1.单调函数的定义
2.单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.
注意：
关于函数单调性的定义应注意哪些问题？
(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值．
(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；
(3)定义的两种变式：
设任意x1，x2∈[a，b]且x1 1 / 16 2 / 16 ① 1212 ()()0->-f x f x x x ?f (x )在[a ，b ]上是增函数； 1212()()0-<-f x f x x x ?f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 ②作差f (x 1)－f (x 2)，并适当变形 (“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． (2) 导数法: 设函数y ＝f (x )在某区间D 内可导．如果f ′(x )>0，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数． 注意：(补充) 3 / 16 （1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个， 则如果f ′(x )0≥，则f (x )在区间D 内为增函数； 如果f ′(x ) 0≤，则f (x )在区间D 内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 (补充)单调性的有关结论 1．若f (x )，g (x )均为增(减)函数， 则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数． 2．若f (x )为增(减)函数， 则－f (x )为减(增)函数，如果同时有f (x )>0， 则()1f x 为减(增) (减)函数． 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数， 若f (x )与g (x )的单调性相同， 则其复合函数f [g (x )]为增函数； 若f (x )、g (x )的单调性相反， 则其复合函数f [g (x )]为减函数． 简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 二、例题分析： （一)函数单调性的判断与证明 判断下列说法是否正确 (1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．() (2)函数f(x)＝1 x在其定义域上是减函数．() (3)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．() 答案：√×√ 例1. (2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是() A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1) 答案：A. 例2. 判断函数f(x)＝ax x＋1 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明． 4 / 16 法一：定义法 设－1 则f(x1)－f(x2)＝ ax1 x1＋1 － ax2 x2＋1 ＝ax 1x2＋1－ax2x1＋1 x1＋1x2＋1 ＝ a x1－x2 x1＋1x2＋1 ∵－1 ∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0. ∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1) ∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 同理当a<0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， ∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减． 法二：导数法 1.判断函数的单调性应先求定义域； 2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为： 取值—作差—变形—判号—定论， 其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等； 3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视 5 / 16 6 / 16 （二）求复合函数、分段函数的单调性区间 例1 求函数y ＝x －|1－x |的单调增区间 y ＝x －|1－x |＝??? 1，x ≥1，2x －1，x <1. 作出该函数的图象如图所示． 由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 例2. 求函数y＝log1 (x2－4x＋3)的单调区间． 3 解析:令u＝x2－4x＋3， u与u＝x2－4x＋3的复合函数．原函数可以看作y＝log1 3 令u＝x2－4x＋3>0.则x<1或x>3. (x2－4x＋3)的定义域为 ∴函数y＝log1 3 (－∞，1)∪(3，＋∞)． 又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数， 在(3，＋∞)上是增函数． u在(0，＋∞)上是减函数， 而函数y＝log1 3 (x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)， ∴y＝log1 3 单调递增区间为(－∞，1)． 注意： 求函数的单调区间的常用方法 7 / 16 8 / 16 (1)利用已知函数的单调性， 即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的 图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间． 例2.（2）(补充)21122 log 4log ? ?=- ???y x x 答案：增区间：1,4??+∞ ???；减区间：10,4?? ??? 练习:()222log log y x x =- 答案：增区间：)+∞ ；减区间：( （三）利用单调性解（证）不等式及比较大小 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 9 / 16 【规范解答】 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0， ∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1) 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 例1.（2）已知函数f (x )＝??? x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0， 则不等式 f (a 2－4)>f (3a )的解集为( ) A ．(2,6) B ．(－1,4) C ．(1,4) D ．(－3,5) 【规范解答】作出函数f (x )的图象， 如图所示，则函数f (x )在R 上是 单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )， 可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，