九年級上冊所有知識點匯總
三角形有關性質、定理及反證法知識要點三角形の性質與判定：
序號必記
專案
必記知識必記內容巧記方法
1 公理三角形全等の判定公理三邊對應相等の兩個三角形全等
兩邊及夾角對應相等の兩個三角形全等；兩
角及其夾邊對應相等の兩個三角形全等
SSS
SAS
ASA
2 定理三角形全等の判定定理兩角及其中一角の對邊對應相等の兩個三角
形全等
AAS
3 公理三角形全等の性質全等三角形の對應邊相等、對應角相等
4 定理等腰三角形の性質の推
論
等腰三角形の兩個底角相等等邊對等角
5 定理等腰三角形の判定定理等腰三角形頂角の平分線、底邊上の中線底
邊上の高互相重合
“三線合一”
6 定理等邊三角形の判定定理有一個角等於60°の等腰三角形是等邊三角形
7 定理有一個角等於30°の直
角三角形の性質
在直角三角形中，如果有一個銳角等於30°，
那麼它所對の直角邊等於斜邊の一半
8 定理等邊三角形の判定定理三個角都相等の三角形是等邊三角形等角對等邊
9 定理畢氏定理直角三角形兩條直角邊の平方和等於斜邊の
平方
符號語言：若
∠C=90°，
則c2=a2+b2
10 概念互逆定理如果一個定理の逆命題經過證明是真命題，那麼它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理
11 定理畢氏定理の逆定理如果三角形の兩邊の平方和等於第三邊の平
方，那麼這個三角形為直角三角形
符號語言若，
則a2+b2=c2，
∠C=90°。
12 定理直角三角形全等の判定
定理
斜邊和直角邊對應相等の兩個直角三角形全
等
HL
證明方法：綜合法、反證法
綜合法：①審題：找出已知、求證の各量之間の關係；②分析解題思路：一般採用逆向思考，即從結論入手，追溯結論成立の理由。③書寫推理過程，從已知入手，將分析過程倒著寫出來
反證法：在證明時，先假設命題の結論不成立，然後推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾の結果，從而證明命題の結論一定成立の方法稱為反證法。
（步驟：①提假設：假設命題の結論不成立，②推矛盾：從假設出發，應用正確の推論方法，得出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾の結果；③得結論：從而肯定命題の結論）
幾種常見の結論和它の否定形式： “a ＞b ” “a ≤b ”
“a=b ” “a ≠b ”或“a ＜b ，a ＞b ” “a ∥b ” “a 與b 相交” “點在直線上” “點在直線外” “至少有一個” “一個都沒有” “至少有兩個” “至多有一個”
互逆命題：如果一個命題の條件和結論分別是另一個命題の結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題。 （“條件”與“結論”交換）
互逆定理：如果一個定理の逆命題經過證明是真命題，那麼它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理。 易錯易混點
1. 如圖Z —01，△ABC 為AD 為中線，
∠BAD=∠DAC ，求證：AB=AC 。 2. 如圖 Z —02所示，在△ABC 中，
AD 是它の角平分線，且AB=AC ，DE 、DF 分別是垂直於AB 、AC ，垂足為E 、F ，求證BE=CF 。
典型例題 1. 在△ABC 中，AB=2，AC=2，
∠B=30°，則∠BAC の度數是_____________。 2.
已知：如圖Z —03所示，△ABC 中AB=AC ，D 是AB 上一點，過D 作DE ⊥BC 於E ，並與CA の延長線相交於F 。求證：AD=AF 。
3.
已知：如圖Z —04，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，求證：AB=2BC 。
變形題：在直角三角形中，如果一條
直角邊等於斜邊の一半，那麼這條直
角邊所對の銳角等於30°. 已知： 求證：
4.
如圖Z —05所示，在△ABC 中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C 。求證：AB+BD=AC 。
5.
如圖Z —06，在△ABC 中，∠CAB=90°，∠C=30°，AD 是BC 邊上の高，BE 是∠ABC の平分線，AD 與BE 交於點F ，求證：△AEF 是等邊三角形。
ZM —01 ZM —
02
ZM —03 ZM —
04 ZM
—05
ZM —
06
ZM —07
6.
折疊矩形紙ABCD ，先折出折痕（對角線）BD ，再折疊使AD 邊與對角線BD 重合，得折痕DG ，如圖Z —07，若AB=2，BC=1，求AG の長。
線段の垂直平分線與角平分線知識要點
序號 必記專案 必記知識 必記內容
巧記方法 1
定理
線段垂直平分線の性質
線段垂直平分線上の點到線段兩端點の距離相等
有了中垂線，就有了相等の線段
2 定理 線段垂直平分線の判定
到線段兩端點の距離相等の點線上段の垂直平分線上
聯想等腰三角形の“三線合一” 3 定理 三角形の三條邊上の垂直平分線の性質
三角形の三邊の垂直平分線相交於一點，並且這一點到三個頂點の距離相等
三邊中垂線共點 提示 有線段垂直平分線時，通常把垂直平分線上の點與線段の兩端點連接起來，利用等腰三角形の性質來解決問題
4 定理 角平分線の性質 角平分線上の點到這個角兩邊の距離相等
圖形與符號結合記憶
5 定理 角平分線の判斷 在一個角の內部，且到角兩邊距離相等の點，
在這個角の平分線上
6
定理
三角形の三條角平分線の性質
三角形の三條角平分線相交於一點，且這一點到三條邊の距離相等
三條角平分線共點
易錯易混點 1.
已知：如圖ZM —12，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分別為E 、F ，DE=DF ，求證：AD 垂直平分
EF 。 2. 如圖ZM —13，P 是∠AOB の平分線上の一點，OC=OD ，PC=2cm ，求PD の長。 3.
現有不在一條直線上のA 、B 、C 三城.
ZM —13 ZM —12
ZM —14
（1）在A 、B 城間建一果品批發市場，使其到A 、B 兩城距離相等，此市場位置惟一麼？它們の位置有什麼關係？
（2）在B 、C 兩城間建一水果倉庫，使其到B 、C 兩城距離相等.倉庫位置惟一麼？它們の位置有什麼關係？
（3）為減少運費，現將果品批發市場與倉庫建在同一位置，並分別到兩城距離相等.應如何選址？畫圖說明. 典型例題 1. 已知，如圖ZM —14，在△ABC 中，∠B=70°，DE 是AC の垂直平分線，且∠BAD ：∠BAC=1：3，則∠C=____________。
2.
到三角形三個頂點距離相等の點是（ ） A. 三條中線の交點 B. 三條角平分線の交點 C. 三條高線の交點 D. 三條中垂線の交點
3.
如圖ZM —15，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分線AD 交BC の延長線於E ，求證：(1) ∠EAC=∠B ； (2) DE 2=CE ·BE.
4.
如圖ZM —16，已知△ABC 中，∠A の平分線與BC の垂直平分線MD 交於點D ，DE ⊥AB 於E ，DF ⊥AC 交AC の延長線於F 。
求證：CF=
2
1
(AB —AC). 5.
如圖 ZM —17所示，在△ABC 中，∠B=22.5°，∠C=60°，AB の垂直平分線交BC 於D ，
交AB 於F ，BD=26，AE ⊥BC 於E ，求EC の長。
一元二次方程知識要點
一元二次方程概念：含有一個未知數並且未知數の最高次數是2の整式方程。
經過整理後，一個一元二次方程可化簡為ax 2+bx+c=0(a ≠0)，即它の一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0)。
ZM —17
ZM —
15
ZM —16
應從兩方面理解一元二次方程の一般形式：(1)若ax 2+bx+c=0是一元二次方程，則有a ≠0； (2) 若a ≠0(b 、c 可以為零)，則ax 2+bx+c=0是一元二次方程。
判斷一個方程是不是一元二次方程，滿足三個條件：①含有一個未知數並且未知數の最高次數是2;②必須是整式方程；③二次項係數不能為零。簡而言之是指經化簡後，若符合ax 2+bx+c=0(a ≠0) ，則為一元二次方程，否則不是。
估計一元二次方程の解：能使一元二次方程兩邊相等のx の值是一元二次方程の解，估計一元二次方程の解，只是估計“解”の取值範圍，比如在哪兩個數之間。
方法：當相鄰兩個整數，一個使ax 2+bx+c ＞0 ，一個使ax 2+bx+c ＜0，則一元二次方程の解就介於這兩個數之間。認真觀察代數式の特點和取值走向，才能很快找到這樣の兩個相鄰整數。 易錯易混點
1. 下列關於x の方程：(1) ax 2+bx+c=0 ；(2)532
=+
a
a ；(3)0322=--x x ；(4)022
3=+-x x x 中，一元二次方程の個數是（ ）
A. 1個
B. 2個
C. 3個
D. 4個
2. 判斷方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是關於x の一元二次方程。
(1)一變：若方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是關於x の一元二次方程，則m 應滿足_________。 (2) 二變：若方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是關於x の一元一次方程，則m の值為__________。 3. m 為何值時，關於x の方程()023112
=-+-+mx x m m 是一元二次方程？
典型例題
1. 下列方程是關於x の一元二次方程の是（ ）
A. ax 2+bx+c=0
B. k 2x+5k+6=0
C.
02
142333=--x x D. (m 2+3)x 2+2x-2=0 2. 若下列方程是關於x の一元二次方程，求出m の取值範圍。
(1) ()()51122
=---x m x m ； (2) ()032712
4=++--mx x
m m
3. 某城市2003年底已有綠化面積300公頃，經過兩年綠化，綠化面積逐年增加，到2005年底增加到363公頃，設綠化面積平均每年の增長率為x ，由題意，所列方程正確の是（ ） A. 300(1+x)=363 B. 300(1+x)2=363 C. 300(1+2x)=363 D. 363 (1-x)2=300
4. 某種產品，原來每件產品成本是700元，由於連續兩次降價，現在成本為448元，如果每次降
低成本の百分數相同，求每次降低成本百分之多少？若設每次降低成本の百分數為x ，則第一次降低成本後の成本為___________，第二次降低成本後の成本為____________，這樣可列方程得__________________。 5. 已知：直角三角形の周長為62+，斜邊上の中線長為1，試求這個直角三角形の面積。 6. 如圖 Y2—01①所示，用一塊長80cm ，寬60cm の薄鋼片，在四個角上截去四個相同の小正方
形，然後做成如圖Y2—01②所示の底面積為1500cm 2の沒蓋の長方體盒子。想一想：應怎樣求出截去の小正方形の邊長？ 若設小正方形の邊長為x cm ，那麼這個盒子の底部の長及寬分別為_______________cm 和________cm ，根據題意，可得方程__________________整理成一般形式得________________。
Y2—01
解一元二次方程の方法知識要點
★直接開平方法：對於形式如()n m x =+2
（n ≥0）の方程，根據平方根の意義，即兩邊同時開平
方，變形為n m x ±=+，得到兩個一次方程，解一次方程得到未知數の值。
★配方法：把一元二次方程通過配成完全平方式の方法轉化為()n m x =+2
の形式，從而得到這個
一元二次方程の根。步驟如下： (1)把常數項移到方程の右邊；
(2) 把二次項係數化為1，(如果二次項係數不是1，給方程兩邊同除以二次項係數) (3) 給方程兩邊都加上一次項係數の一半の平方
(4) 方程左邊是一個完全平方式，將方程變形為()n m x =+2
の形式
在()n m x =+2
中，當0>n 時，方程有兩個不相等の實數根n m x n m x --=+-=21,。
當0=n 時，方程有兩個相等の實數根m x x -==21。 當0 ★公式法：一元二次方程の求根公式：a ac b b x 242-±-= (b 2-4ac ≥0)，步驟如下： (1) 把方程化為一般形式，進而確定a 、b 、c の值（注意符號） (2) 求出b 2-4ac の值，（先判別方程是否有根） (3)在b 2 -4ac ≥0の前提下，把a 、b 、c の值代入求根公式，求出 a ac b b 242-±-の值，最後寫出 方程の根。 ★分解因式法：當一元二次方程の一邊為0，而另一邊易於分解成兩個因式の乘積時，令每個因式分別為0，得到兩個一元一次方程，分別解之，得到の解就是原方程の解，這種解方程の方法稱為分解因式法。一般步驟如下： (1) 把方程整理使其右邊化為0； (2) 把方程左邊分解成兩個一次因式の乘積； (3) 令每個因式分別等於零，得到兩個一元一次方程； (4) 解這兩個一元一次方程，它們の解就是原方程の解。 提示：分解因式法應用面廣，它不僅可以解一元二次方程，對高次の求解更有獨到之處。 根の判別式： b 2-4ac=△，當b 2-4a c ＞0時，方程有兩個不相等の實數根；當b 2-4ac ＝0時，方程有兩個相等の實數根；當b 2-4ac ＜0時，方程無實數根。即不解方程就可判斷方程解の情況。 根與係數の關係: 由求根公式可知，a c x x a b x x =?- =+2121,，即不解方程可知方程の兩根之和與兩根之積，利用此可解決一些關於兩根之和、之積、兩根の倒數和、兩根平方和等一類の問題。 ☆利用一元二次方程解決實際問題時，一元二次方程有兩個根，這些根雖然滿足所列の一元二次方 程，但未必符合實際問題，因此，解完一元二次方程，要按題意檢驗這些根是不是符合實際問題の解。 易錯易混點 (1) 用配方法解一元二次方程時，二次項係數化1時易錯；(2) 不能確定a 、b 、c の值，代入公式時，代入不准確； (3) 方程兩邊同除以一個含有未知數の式子。 1. 用配方法解方程：2x 2-4x-10=0 2. 解方程：8x 2+10x=3 3. 用分解因式法解一元二次方程：()()2222 -=-x x 典型例題 1. 當x 取___________時，x 2-5x+7有最小值，最小值是_____________。 2. 已知是方程2x 2-x-7=0の兩根，則=___________。 3. 已知一三角形の兩邊長分別為1和2，第三邊の長是方程2x 2-5x+3=0の根，則該三角形の周長 為_____________。 4. 已知方程0122 2=-++-a a ax x 有兩個實數根，化簡：a a a +++-2122 。 5. 已知a 2-3a=1，b 2-3b=1，並且a ≠b ，那麼 2 211b a +=___________。 6. 一元二次方程x 2-px+q=0の兩個根為3，-4，那麼二次三項式x 2-px+q 可分解為（ ） A. (x-3)(x+4) B. (x+3)(x-4) C. (x-3)(x-4) D. (x+3)(x+4) 7. 若方程0122 =++x k x 有兩個不相等の實數根，則k の取值範圍是（ ） A. k ＞-1 B.k ≥-1 C. k ＞1 D. k ≥0 8. 用適當の方法解方程： (1) ()25192 =+x ； (2) 012632 =--x x ； (3) ()()2 2 524329-=+x x ; (4) x 2-4x-6=0 9. 按要求解下列方程： (1) x 2-3x=5 (用公式法解) (2) 8x 2+10x=3 (用公式法解) (3) 2(x-2)2=x 2-4 (用因式分解法解) (4) (2x-1)(x+3)=4 (用因式分解法解) 一元二次方程の應用知識要點 黃金分割點：線段上一個點將線段分成兩部分，如果較長線段是較短線段和原線段の比例中項，那麼該點叫做線段の黃金分割點。（一條線段有兩個黃金分割點） 黃金比：如果一條線段與另一條線段の比等於0.618，那麼稱這兩條線段の比為黃金比。 如圖 Y2—18點C 、D 分別是線段AB の黃金分割點，則618.02 1 5≈-==AC BC AB AC ，因此較長線段、較短線段、原線段有如下關係： ( ) AB CD AB AD BC AB BD AC 252 5 32 1 5-= ?-= =?-= =Y2—18 列一元二次方程解應用題： 一元二次方程是刻畫現實問題の有效數學模型。列一元二次方程解應用題の關鍵在於審題，要善於理解題意，分析題目中の數量關係，可採用列表、畫圖等分析方法，恰當地設出未知數，準確找出已知量與未知量之間の等量關係，正確列出方程，求得問題の正確答案，同時要注意根據具體問題の實際意義檢驗結果の合理性。一般步驟為：| (1) 審題；(2)設元；(3)列方程；(4) 解方程；(5) 檢驗；(6)寫出答案。 注意：尋找等量關係是列方程の關鍵也是難點；一元二次方程不僅能解決實際應用題，也可用來解決一些理論應用題，比如幾何中の計算問題、數字問題等。 易錯易混點 不檢驗方程の解 1. 某商店從廠家以每件21元の價格購進一批商品，若每件商品の售價為x 元，則每天可賣出 (350-10x)，但物價局限定每件商品加價不能超過20%，商店要想每天賺400元，需要賣出多少件商品，每件商品の售價應是多少？ 2. 某水果批發商經銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查 發現，在進貨價不變の情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克。現該批發商要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那麼每千克應漲價多少元？ 典型例題 1. 兩個連續偶數の積為440，那麼這兩個數の和等於（ ） A. 42 B. -42 C. 42或-42 D. 43或-43 2. 某種藥品の零售價經過兩次降價後の價格為降價前の81%，則平均每次降價の百分率為 （ ） A. 10% B. 19% C. 9.5% D. 20% 3. 設點C 是長為10cm の線段AB の黃金分割點，且AC ＞BC ，則AC 與BC の長分別是（ ） A. cm cm 2 1 5,21 5-+ B. ()() cm cm 555,5515-- C. ()() cm cm 5515,555-- D. 以上均不對 4. 一個兩位數兩個數字之和是9，把個位數字與十位數字互換後得數與原數相乘，積為1458，求這個兩位數。 5. 某商場有一批名牌襯衣，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為擴大銷售、增加盈利， 儘快減少庫存，商場決定採取適當の降價措施，經調查發現，如果每件襯衣降價1元，商場平均每天可多售出2件，若使商場每天盈利1200元，每件襯衣應降價多少元？ 6. 如圖，在寬為20m ，長為32m の矩形耕地上，修築同樣寬の三 條道路（一條橫向，兩條縱向，且橫向與縱向垂直），把耕地分成大小不等の方塊作為水稻試驗田，假如試驗田の總面積為570m 2，道路の寬應為多少？ 7. 汽車產業の發展，有效促進我國現代化建設，某汽車銷售公司2005年盈利1500萬元，到2007 年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利の年增長率相同。 (1) 該公司2006年盈利多少萬元？ (2) 若該公司盈利の年增長率繼續保持不變，預計2008年盈利多少萬元？ 證明（三） Y2— D1 平行四邊形知識要點 序號 必記專案 必記知識 必記內容 巧記方法 1 定理 平行四邊形の性質定理 平行四邊形の對邊相等，對角相等，對角線互相平分 對邊（角）相等對角線互相平分 2 定理 平行四邊形の判定定理 兩組對邊分別相等の四邊形，兩組對角分別相等の四邊形，對角線互相平分の四邊形，一組對邊平行且相等の四邊形 類比平行四邊形性質定理 3 定理 等腰梯形の性質定理 等腰梯形在同一底上の兩個角相等，對角線相等 類比等腰三角形の性質 4 定理 等腰梯形の判定定理 同一底上の兩個角相等の梯形是等腰梯形 類比等腰三角形の判定 5 概念 三角形の中位線 連接三角形兩邊中點の線段叫做三角形の中位線 三 角形兩 邊中點の連線 6 定理 三角形中位線の性質定理 三角形の中位線平行於第三邊，且等於第三邊の一半 易錯易混點 1. 如圖ZM3—01，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分別為∠ABC 、∠ ACB の平分線，求證：四邊形EBCD 為等腰梯形。 典型例題 1. 如圖 ZM3—02，在□ABCD 中，E 為BC 邊上一點，AB=AE ， (1) 求證：△ABC ≌△EAD ； (2) 若AE 平分∠DAB ，∠EAC=25°，求∠AED の度數。 2. 已知E 是梯形ABCD 腰DC の中點，求證： S △ABE =S 梯形 ABCD 。 3. 已知：如圖ZM3—03，在□ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分別是AB 、CD の中點，AB=2AD ，求證： BD=3EF 。 4. 如圖 ZM3—04，AC 、BD 是□ABCD の兩條對角線，且DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分別為E 、F ， 求證：四邊形DEBF 為平行四邊形。 ZM3—01 ZM3—02 ZM3—03 ZM3—04 變形(1)：如圖ZM3—05，在□ABCD 中，對角線AC 、BD 交於點O ，若E 、F 分別為OA 、OC の中點，求證：四邊形BFDE 為平行四邊形。 變形(2)：如圖ZM3—06，在在□ABCD 中，對角線AC 、BD 交於點O ，DE 、BF 分別是∠ADB ，∠CBD の平分線，求證：BFDE 為平行四邊形。 變形(3)：已知，如圖ZM3—07，□ABCD 中，點E 、F 在對角線AC 上，且AE=CF 。求證：四邊形BEDF 為平行四邊形。 特殊平行四邊形知識要點 幾種特殊の四邊形の性質（可著重從邊、角、對角線來記憶） 序號 必記專案 必記知識 必記內容 巧記方法 1 定理 矩形の性質定理 矩形の四個角都是直角，對角線相等 2 定理 矩形の判定定理 有三個角是直角の四邊形是矩形；對角線相 等の平行四邊形是矩形 3 定理 菱形の性質定理 菱形の四條邊都相等，對角線互相垂直，並且每一組對角線平分一組對角 4 定理 菱形の判定定理 四條邊都相等の四邊形是菱形；對角線互相垂直の平行四邊形是菱形 5 定理 正方形の性質定理 正方形の四個角都是直角，四條邊都相等，對角線相等且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角 矩形與菱形の所有性質 6 定理 正方形の判定定理 有一個角是直角の菱形是正方形；對角線相等の菱形是正方形；對角線互相垂直の矩形是正方形 既是矩形，又是菱形の四邊形是正方形 7 定理 直角三角形斜邊上の中線の性質 直角三角形斜邊上の中線等於斜邊の一半 8 定理 直角三角形の判定定理 如果一個三角形一邊上の中線等於這條邊の一半，那麼這個三角形是直角三角形 依次連接平行四邊形四邊中點得到の四邊形是平行四邊形。依次連接四邊形各邊中點所得到の新四邊形與原四邊形兩條對角線の位置關係和數量關係有關。若原四邊形の兩條對角線相等，則連接其各邊中點所得到の四邊形為菱形；若原四邊形の對角線互相垂直，則可得到矩形，具備上述兩點，則可得到正方形。 易錯易混點 1. 如圖ZM3—20所示，M 、N 分別是平行四邊形ABCD の對邊 AD 、BC の中點，且AD=2AB ，求證：四邊形PMQN 為矩形。典型例題 1. 下列條件中，能判斷四邊形ABCD 是菱形の是（ ） A. 對角線互相垂直 B. 對角線互相平分 C. 對角線相等 D. 對角線互相垂直平分 ZM3—20 2. 如圖 ZM3—21，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上の一點，PE ⊥AC ，垂足為E ， PF ⊥BD ，垂足為F ，則PE+PF の值為（ ） A. 512 B. 513 C. 2 D. 2 5 3. 如圖ZM3—22所示，菱形花壇ABCD の邊長為6m ，∠B=60°，在由兩個正六邊形組成の圖 形中種花，其餘部分種草，則種花部分圖形の周長（粗線部分）為（ ） A. 12m B. 20m C. 22m D. 24m 4. 如圖所示ZM3—23，四邊形ABCD 中，對角線AC 、BD 交於點O ，OA=OC ，OB=OD ，添加 下列哪個條件不能使四邊形ABCD 成為菱形（ ） A. AB=AD B. BA=BC C. AB=CD D. AC ⊥BD 5. 已知菱形の一邊與兩條對角線の夾角の差為18°，求菱形各角 の度數。 6. 如圖 ZM3—24，已知四邊形ABCD 各邊の中點分別是E 、F 、 G 、H ，閱讀下列材料，然後回答下列問題。 因為AE=BE ，AH=DH ，所以EH ∥BD ，EH=B 2 1 D ，同理，FG ∥BD ，FG= 2 1 BD ，所以EH ∥FG ，EH=FG ，所以四邊形EFGH 是平行四邊形。 (1) 連接AC ，則EF 與GH 是否一定平行？ 答：_____________________； (2) 對角線AC 與BD 滿足___________時，四邊形EFGH 是矩形； (3) 對角線AC 與BD 滿足___________時，四邊形EFGH 是菱形。 7. 如圖ZM3—25所示，矩形AOBC 以O 為座標原點，OB 、OA 分別在x 軸上，y 軸上，點A の座標為(0，3)，∠OAB=60°，以AB 為軸對折後，使C 點落在D 點處，求D 點の座標。 8. 如圖ZM3—26所示，在□ABCD 中，AC,BD 交於O ，AE ⊥BC 於E ，EO 交AD 於F ，求證：四邊形AECF 為矩形。 ZM3—21 ZM3—22 ZM3— 23 ZM3— 24 ZM3— 26 ZM3—25 9. 折疊矩形紙片ABCD ，先折出折痕BD ，再折疊使AD 邊與對角線BD 重合，得折痕DG ，如圖 ZM3—27，若AB=2，BC=1，求AG 。 視圖、平行投影與中心投影知識要點 注意：太陽光線下物體影子の方向和長度變化（北半球） 影子の方向變化為：正西→西北→正北→東北→正東 一天之中影子の長度變化：長→短→長 易錯易混點 1. 請畫出圖 TY —01所示の三棱柱の三視圖。 2. 請你畫出圖TY —02の三視圖. 典型例題 1. 圖TY —03是圓臺の立體圖形，畫出它の三種 視圖。 2. 已知某四棱柱の俯視圖如圖TY —04所示，你能 畫出它の主視圖和左視圖嗎？試一試。 3. 如圖TY —05，在下面の四個幾何體中，它們各自 序號 必記 專案 必記知識 必記內容 巧記方法 1 方法 視圖畫法 畫幾何體の三種試圖の規定：在畫視圖時， 看得見の輪廓線通常畫成實線，看不見の輪 廓線通常畫成虛線 眼見為 “實”，耳聽 （眼不見）為 “虛” 2 概念 平行投影 平行光線所形成の投影稱為平行投影 3 重要結論 物高之比與影高之比の關係 同一時刻，不同物體の影子與它們の高度是成正比例の，即物高之比等於影長之比 物高之比等於影長之比 4 重要結論 平行投影與視圖之間の關係 當投影光線與投影面垂直時，這種投影稱為正投影，物體の正投影就是物體の視圖 物體の正投影就是物體の視圖 5 基本概念 中心投影 從一點發出の光線形成の投影成為中心投影 6 基本概念 視點、視線、盲區 眼睛所處の位置稱為視點，由視點發出の線稱為視線，眼睛看不到の地方稱為盲區 7 重要方法 確定光源の方法 物體上點和影子上の對應點の連線の交點就是光源 三點一線 ZM3—27 TY —01 TY —02 TY —03 TY —04 の左視圖與主視圖不一樣の是（ ） 4. 把正方體の六個面上分別塗上不同の顏色，並標上數字，各面上の顏色和數字の對應情況如下 表。現將上述大小相同，顏色與數字の對應也相同の四個小正方體如圖TY —06所示拼成一個平面放置の長方體，則此時長方體の下底面の數字和為___________。 5. 身高不等の小明和小亮，同時站在高度高於他們 身高の燈下，所形成の影子の長短關係是（ ）A. 身高長の影子較長 B. 身高長の影子較短 C. 由於燈の高度固定，所以他們の影子の長度相等 D. 影子長短關係不能確定，視他們所在の位置而定 6. “皮影戲”作為我國一種民間藝術，對它の敘述錯誤の是（ ） A. 它是用獸皮或紙板做成の人物剪影，來表演故事の戲曲 B. 表演時，要用燈光把剪影照在銀幕上 C. 燈光下，做不同の手勢可以形成不同の手影 D. 表演時，也可以用陽光把剪影照在銀幕上 7. 如圖TY —07，有一輛客車在平坦の大路上行駛，前方有兩座建築物。 (1) 客車行駛到位置甲時，司機能夠看到建築物B の一部分，如果客車繼續向前行駛，那麼他所能看到の部分是如何變化の？ (2) 客車行駛到位置乙時，司機還能看到建築物B 嗎？為什麼? 反比例函數及其圖像與性質知識點 序號 必記專案 必記知識 必記內容 巧記方法 1 概念 反比例函數 一般地，如果兩個變數x ，y 之間の關係可以 表示成x k y =(k 為常數，k ≠0)の形式，那麼稱y 是x の反比例函數 x k y =(k 為常數，k ≠0) 2 性質 反比例函數性質 反比例函數x k y = (k ≠0)の圖像是由兩支曲 類比正比例函數の性質記憶。當k TY —01 TY —05 TY —06 TY —07 線組成の，當k ＞0時，兩支曲線分別位於一、三象限內，當k ＜0時，兩支曲線分別位於二、四象限內。 ＞0時，同位一、三；當k ＜時，同位二、四 3 性質 反比例函數性質 反比例函數の圖象，當k ＞0時，在每一象限 內，y 隨x の增大而減小；當k ＜0時，在每 一象限內，y 隨x の增大而增大。 與正比例函數の性質比較記憶位置同增減反 反比例函數有三種運算式： (1) x k y = (k 為常數，k ≠0) ；(2) 1-=kx y (k ≠0) ；(3) x ·y=k(k 為定值，k ≠0) 反比例函數の圖象畫法 (1) 列表；（取x 和與之對應のy 值作為一組值，一般以座標原點0為中心，左右取x の值）； (2) 描點；(3) 連線：連線時一定用光滑の曲線，不能用折線；畫實際問題の反比例函數圖象時，應注意引數の取值範圍。 反比例函數 x k y = (k ≠0)圖象 圖象 k ＞0 x の取值範圍是x ≠0，y の取值範圍是y ≠0 當k ＞0時，函數の兩個分支分別在一、三象限內，在每一象限內，y 隨x の增大而減小 反比例函數 x k y = (k ≠0)圖象 圖象 k ＜0 x の取值範圍是x ≠0，y の取值範圍是y ≠0 當k ＜0時，函數の兩個分支分別位於二、四象限內。在每一象限內，y 隨x の增大而增大。 易錯易混點 1. 已知函數( ) 7 2 22---+=k k x k k y 是反比例函數，求k 值。 2. 已知點(-2，y 1)，B(-1 ，y 2)，C(3，y 3)在反比例函數x y 2 -=上，那麼y 1、y 2、y 3之間の大小關係是__________________。 3. 函數()9 22 2--+=m m x m y 是反比例函數，則m の值是（ ） （A ）24-==m m 或 （B ）4=m （C ）2-=m （D ）1-=m 典型例題 1. 已知函數()1 1--=x k y 是反比例函數，求k の取值範圍。 (1)一變：已知函數()2 21--=k x k y 是反比例函數，則k の值 為____________； (2) 二變：已知函數()11+-=k x k y ，①當k 取何值時，y 是x の正比例函數？②當k 取何值時，y 是x の反比例函數？ 2. 若函數x k y 1 -= (k ≠0)在每一象限內，y 隨x の增大而減小，則k の取值範圍是（ ） A. k ＞1 B. k ＜1 C. k ＞0 D. k ＜0 3. 如圖FB —01，P 1，P 2，P 3是雙曲線上の三點，過這三點分別作y 軸の垂線，得到三個三角形△P 1A 1O,△P 2A 2O ，△P 3A 3O ，設它們の面積分別為S 1，S 2，S 3，則（ ） A. S 1＜S 2＜S 3 B. S 1＝S 2＝S 3 C. S 1＝S 2＝S 3 D. S 1＝S 2＝S 3 4. 如圖 FB —02，函數()0≠-=k kx y 與x y 4 - =の圖象交於點A ，B ，過點A 作AC の垂直於y 軸，垂足為點C ，則△ABC の面積為_____________。 5. 已知一次函數5 2 + =kx y の圖象與反比例函數x y 8=の圖象交於點(n ，4)，求k 和n の值。 6. 如圖 FB —03，已知△ABC 是邊長為の等邊三角 形，點E ，F 分別在CB 和BC の延長線上，且∠EAF=120°，設BE=x ，CF=y ，求y 與x 之間の函數關係式，並求引數x の取值範圍。 反比例函數の應用知識要點 1. 根據實際情景分析實際問題中變數之間の關係，建立反比例函數關係式。 (1) 利用物理學公式建立反比例函數關係式 如壓強公式S F p = ：(p 表示壓強，F 表示壓力，S 表示受力面積)，當F 固定不變時，p 與S 成反比例函數關係；電流公式R U I =(I 表示電流，U 表示電壓，R 表示電阻)，當U 固定不 變時，I 和R 成反比例函數關係；密度公式：V m =ρ(ρ表示密度，m 表示品質，V 表示體積)， 當不同物質の品質固定不變時，ρ與V 成反比例函數關係。 (2) 利用數學公式建立反比例函數關係式 如當面積一定時，長方形の長與寬成反比例；當體積一定時，長方體の底面積與高成反比例等。 (3) 利用問題情境中給出の數量關係建立反比例函數關係 2. 利用反比例函數の關係式解決實際問題 利用變數の實際意義解答問題，而且應學會把從實際中得到の數據轉化為關係式中所需要の數據。 3. 實際問題の函數圖象 作實際問題の函數圖象首先應注意引數の取值範圍，這些實際問題の兩個變數往往都不能取非正值；其次應注意橫、縱坐標の單位長度；同時，實際問題の函數圖象上の每一個點都有自己所代表の實際意義，而且從函數圖象上還可以看出兩個變數實際の變化趨勢。 易錯易混點 1. 一個面積為42の矩形，其相鄰兩邊長分別為x 和y ，請你寫出y 與x 之間の函數關係式，並畫 出其圖像。 FB — 03 典型例題 1. 一定品質の氧氣，它の密度ρ(kg/m 3)是它の體積V の反比例函數，當V=10m 3時，ρ=1.43kg/m 3. (1) 求ρ與V の函數關係式； (2) 求當V=2m 3時氧氣の密度ρ。 2. 某商場出售一批名牌襯衣，襯衣進價為80元，在行銷中發現，該襯衣の日銷售量y(件)是日銷 售價x(元)の反比例函數，且當售價定為100元/件時，每日可售出30件。 (1) 請求出y 與x 之間の函數關係式； (2) 若商場計畫經營此種襯衣の日銷售利潤為2000元，則其單價應定為多少元？ 3. 反比例函數x k y = の圖像上有一點P(m ，n)，其座標是關於t の一元二次方程032 =+-k t t の兩根，且P 點到原點の距離為13，求反比例函數の解析式。 4. 如圖 FB —15，矩形ABCO の兩邊OC ，OA 分別位於x 軸、y 軸上，點B の座標為B ?? ? ??- 5,320，D 是AB 邊上の一點，將△AOD 沿直線OD 翻折，使A 點恰好落在對角線OB 上の點E 處，若點E 在反比例函數の圖象上，那麼該函數の運算式為______________。 5. 如圖 FB —16所示，在平面直角坐標系xOy 中，矩形OEFG の頂點E 座標為(4，0)，頂點G 座標為(0，2)，將矩形OEFG 繞點O 逆時針旋轉，使點F 落在y 軸の點N 處，得到矩形OMNP ，OM 與GF 交於點A 。 (1) 判斷△OGA 與△OMN 是否相似，並說明理由。(2) 求過A 點の反比例函數の關係式； (3) 設(2)中の反比例函數圖象交EF 於點B ，求直線AB の函數關係式。 (4) 請探索：求出の反比例函數圖象，是否經過矩形OEFG の對稱中心，並說明理由。 6. 如圖 FB —17所示，正比例函數x k y 1=の圖象與反比例函數x k y 2 = の圖象相交於A ，B 兩點，其中點A の座標為 ()32,3。 (1) 分別寫出這兩個函數の運算式； (2) 你能求出點B の座標嗎？試一試或與同學進行交流。 FB — 16 FB — 15 FB —17 7.已知A （m+3，2）和B （3， 3 m ）是同一個反比例圖象上の兩個點， （1） 求m の值； （2） 作這個反比例函數の圖象 （3） 將A ，B 兩點標在函數圖象上。 8.如圖Rt △ABO の頂點A 是雙曲線x k y = 與()1+--=k x y 在第二象限の交點，AB ⊥x 軸於B 且2 3= ?ABO S ，（1）求這兩個函數の關係式，（2）求直線與雙曲線の兩個交點A ，C の座標和△AOC の面積。 8.如圖，已知一次函數の圖象與反比例函數x y 8 - =の圖象交於A ，B 兩點，且A 點の橫坐標與B 點の縱坐標都是2-； （1） 一次函數の解析式 （2） △AOB の面積。 【初三下学期的数学知识点归纳】初三上数学知识点归纳 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.“三点定圆”定理 4.垂径定理及其推论 5.“等对等”定理及其推论 5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角： 内角的一半：(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 、等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 感谢您的阅读！ 最新初中数学九年级知识点汇总 第一章实数 一、重要概念1.数的分类及概念数系表： 说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0) 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 3.倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.0 代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附：典型例题 1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类： 北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 a ,x 2= a 2 2 2 数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式： ax + bx + c = 0(a ≠ 0). 其中， ax 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一 次项系数； c 是常数项。知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） ） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一 般地，对于形如 x =a(a ≥ 0) 的方程，根据平方根的定义可解得 x 1= . （2） ） 直接开平方法适用于解形如 x 2=p 或(mx+a)2 =p(m ≠ 0) 形式的方程， 如果 p ≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） ） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） ） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平 方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 第二十二单元 二次函数 1 一、二次函数概念： 2 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的 3 函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系 4 数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 5 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： 6 ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． 7 ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 8 二、二次函数的基本形式 9 二次函数的基本形式()2 y a x h k =-+的性质： 10 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 11 12 三、二次函数图象的平移 13 1. 平移步骤： 14 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； 15 ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 16 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 17 2. 平移规律 18 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 19 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 20 方法二： 21 ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 22 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） 23 ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成24 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 25 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 26 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过 27 配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 28 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 29 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，30 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画 31 图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴32 对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组33 关于对称轴对称的点）. 34 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的 35 交点. 36 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 37 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 38 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当39 2b x a =-时，y 有最小值 244ac b a -． 40 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为41 2424b ac b a a ??-- ???，．当2 b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而42 减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 43 44 七、二次函数解析式的表示方法 45 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 46 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 47 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 48 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的49 二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛50 物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 51 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 52 1. 二次项系数a 53 第二十一章二次根式 1.二次根式:式子 a≥0叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,又如 , ,..都不是最简二次根式,而 , ,5 , 都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式,因为 2 , 3 ,它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如与 ,a+ 与a- , - 与 + ,互为有理化因式。 二次根式的性质: 1. a≥0是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即: 2aa≥0; 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 |a| 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 ? (a ≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 (a≥0,b0)。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即(≥0,≥0)。 说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,、都是非负数; (2)(≥0,≥0)可以推广为(≥0,≥0); (≥0,≥0,≥0,≥0)。 (3)等式(≥0,≥0)也可以倒过来使用,即(≥0,≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法 两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即(≥0,>0)。 说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,≥0,在分母中,因此>0; (2)(≥0,>0)可以推广为(≥0,>0,≠0); (3)等式(≥0,>0)也可以倒过来使用,即(≥0,>0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合,可以对一些二次根式进行化简。? 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式? 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。? (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。? 2. 二次根式的加减? (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。? (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简,在化简的基础上去括号再合并同类二次根式,同类二次根式相当于同类项。? 一般地,二次根 最新北师大版九年级数学上册知识点总结 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理. （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. （3）如何用尺规作图法作出角平分线 九年级上册知识点总结 （数学） 2017年12月 第二十一章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如)0(2≥=a a x 的方程，根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 （2） 直接开平方法适用于解形如p x =2或 )0(2≠=+m p a mx ）（形式的方程， 如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1） 把常数项移到等号的右边； （2） 方程两边都除以二次项系数； 结点总识学册九教人版年级下数知反比例函数 26 一、反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量 x的指数为，在解决有关 自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图像与x轴、y轴无交点． 二、反比例函数的图像画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量， 函数值，所以它的图像0?y0?x与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无 限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 三、反比例函数及其图像的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图像： （1）图像的形状：双曲线，越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。越小，图像的弯曲度越大。（2）图像的位置和性质： 时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x当的增大而减小； 的增大而增大。x随y时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，当． ）在双曲线的）在双曲线的一支上，则（，（，3）对称性：图像关于原点对称，即若（ba ，）对称，即若（另一支。图像关于直线a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（ 在双曲线的另一支上。． 4．k的几何意义 上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于）是双曲线（如图 1，设点Pa，bB点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC ⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。 人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方 根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号 右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解， 九年级上册数学知识点总结 第一章 证明（二） 一、全等三角形的判定：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 二、等腰三角形 1、等腰三角形“三线合一”顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 2、等腰三角形：等边对等角，等角对等边。 三、等边三角形 （1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。 （2）“三线合一” 四、直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、常用关系式： 由三角形面积公式可得：两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 五、角的平分线及其性质与判定 1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （如图1所示，AO=BO=CO ） 3、角的平分线的判定定理： 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 六、线段垂直平分线的性质与判定 1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 3、定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 (如图2所示，OD=OE=OF) 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F 人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）） （4）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （5）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。 华师大版九年级下册数学知识点总结 第二十六章 二次函数 一、二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。 ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） 初中九年级数学知识点总结 【篇一】 第一章实数 一、重要概念1.数的分类及概念数系表： 说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0) 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 3.倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.0 代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附：典型例题 1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│ =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类： 1.代数式与有理式 九（上）数学知识点答案 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 第二十六章 反比例函数 26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y = （k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y = （0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y = （0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了。 26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = （0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 26.3知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值 0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但 永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 26.4知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 新人教版九年级上册数学知识点归纳 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 21.2 降次——解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法： 用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m. 直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果. 2、配方法 通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。 1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式） 2.系数化1：将二次项系数化为1 3.移项：将常数项移到等号右侧 4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方：左右同时开平方 7.求解：整理即可得到原方程的根 3、公式法 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 21.3 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展 从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等． 人教版九年级数学上册知识点总结 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 典型例题： 1、已知关于x的方程（m+3）x 21 m- +（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是： ①移项； ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1； ③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公 九年级数学下册知识点归纳 第二十六章二次函数 26.1 二次函数及其图像 二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项 式函数。二次函数能够表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 一般的，自变量x和因变量y之间存有如下关系： 一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，- (4ac-b∧2)/4a) ; 顶点式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和 图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用 配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的 抛物线] ; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向， a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y 轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0, 所以 b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在 y轴左;当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 _______ Δ= b^2-4ac0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 特殊值的形式 7.特殊值的形式 ①当x=1时 y=a+b+c ②当x=-1时 y=a-b+c ③当x=2时 y=4a+2b+c ④当x=-2时 y=4a-2b+c 二次函数的性质 8.定义域：R 值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a， 正无穷);②[t，正无穷) 奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。 周期性：无 解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式]【初三下学期的数学知识点归纳】 初三上数学知识点归纳
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