第十二章 微分方程
§12-1 微分方程的基本概念
一、判断题
1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( )
2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( )
3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )
4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题
1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。
2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0,
y '
x=0=1的曲线是 。
三、选择题
1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2
(B)、 y+0)(arctan =x
e dx d (C)、22x a ??+22y
a ??=0 （D ）
、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程
（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx
3.微分方程2
2dx
y d +w 2
y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3
23y 的一个特解是
（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．2
2
C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x
e C e
C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）
五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
12-2可分离变量的微分方程
一、求下列微分方程的通解
1．sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0
2．(x+xy2)dx-(x2y+y)dy=0
3．(e x+y-e x)dx+(e x+y-e y)dy=0
4．y'=cos(x-y).(提示令.x-y=z)
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
π
1．cosydx+(1+e-x)sinydy=0. y x=0=
4
2.1.1sec 2
32
-==+=
πx y xdx dy y
x
三 、设f(x)=x+?
x 0
f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)
四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
五、船从初速v 0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。
12-3 齐次方程
一、求下列齐次方程的通解 1 y x '-xsin
0=x y 2 (x+ycos )x y dx-xcos x
y
dy=0
二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 1．xy
ax
dy =x 2+y 2
y x=e =2e 2.x 2dy+(xy-y 2)dx=0y x=1=1
三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy 的通解
四、设有连结点O(0，0)和A （1，1）一段向上凸的曲线孤A O ?对于A O ?
上任一点 P （x ，y ）,曲线孤与P O ?直线段OP -
所围图形的面积为x 2，求曲线孤A O ?
的方程。
12.4 一阶线性微分方程
一、求下列微分方程的通解
1.x y '+y=xe x
2.y '+ytanx=sin2x
3.y '+x
x
y x sin 1=
4.y e y x y dx dy 3+=
二、求下列微分方程满足初始条件的特解 1．y 'cosy+siny =x y
4
0π=
=x 2.(2x+1)e y y '2e y =4 y
00
==x
三、已知f(π),曲线积分b
a ?[]
dy x f dx x
y
x f x )()(sin +-与路径无关，求函数f(x).
四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。
五、 求下列伯努利方程的通解
1．y ′+x y x
=1
2y 5 2. xy ′+y-y 2lnx=0
12-4全微分方程
一、求下列方程通解
1．[cos(x+y2)+3y]dx+[2ycos(x+y2)+3x]dy=0
2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0
3.e y dx+(xe y-2y)dy=0
二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解
1 ydx-xdy+y2xdx=0
2 y(2xy+e x)dx-e x dy=0
三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0为全微分方程，其中函数f(x)连续可微，f(0)=0,试求函数f(x)，并求该方程的通解。
一、求下列各微分方程的通解
1．y ''=xsinx 2. y ''-y '=x
3.y y ''+(y ')2=y '
4. y ''(1+e x )+y '=0
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解 1．2y ''=sin2y y
2
π=
=x y '
10
==x
2. x y ''-y 'ln y '+y 'lnx=0 y
21
==x y '
21
e x ==
三、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2，以及f '(x)-0)
()(21=-?dt t
t f x x f x ,求f(x).
四、一物体质量为m,以初速度V o 从一斜面上滑下，若斜面的倾角为α，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。
一、选择题
1．下列方程中 为线性微分方程 （A ）（y '）+x y '=x (B)y x y y =-'2 (C) x e y x y x y =+'-''222 (D)y xy y y cos 3=-'-''
2.已知函数y 1=2
21x
x e
+
，y 1=2
21x x e
-
，y 3=e (x-
2
)
1x 则
（A ）仅y 1与y 2线性相关 （B ）仅y 2与y 3线性相关 （C ）仅y 1与y 3线性相关 （D ）它们两两线性相关
3．若y 1和y 2是二阶齐次线性方程，y ''+p(x)y '+4(x)y=0两个特解，c 1c 2为任意常数，则y=c 1y 1+c 2y 2
(A)一定是该方程的通解 （B ）是该方程的特解 （C ）是该方程的解 （D ）不一定是方程的解 4．下列函数中哪组是线性无关的
（A ）lnx, lnx 2 (B)1， lnx (C)x, ln2x (D)ln x , lnx 2 二、证明：下列函数是微分方程的通解
1y=c 1x 2+c 2x 2lnx(c 1 c 2是任意常数)是方程x 2y ''-3x y '+4y=0的通解
2y=c 1e -x +c 2e
x e x
+2
(c 1c 2是任意常数)是方程2x e y y 2='+'''的通解
三、设y 1(x)y 2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y 1(x)y 2(x).y 3(x).线性无关， 证明：微分方程的通解为：)()1()()(3212211x y c c x y c x y c y --++=
四、试求以y=1(1
c x
e x +c 2e -x )+2x e (c 1,c 2是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。
12-9 二阶常系数齐次线性微分方程
一、选择题
1以y 1=cosx,y 2=sinx 为特解的方程是
（A ）0=-''y y (B)0=+''y y (C)0='+''y y (D)0='-''y y 2．微分方程20=-'+''y y y 的通解是 （A ）x
x
e
c e c y 221--=（B ）2
21x x
e c e
c y -=-（C ）2
21x x
e
c e c y -
-= (D)x x
e c e
c y 221+=-
3．常微分方程0)(2121=+'++''y y y λλλλ，（其中21,λλ是不等的系数），在初始条件y 1x=0=00
='
=x y 特解是
（A ）y=0 (B)y=x x
e c e
c 2121λλ+ (C)221x y λλ= （D ）221)(x y λλ+=
4．x
e y 2=是微分方程06=+'+''y y p y 的一个特解，则此方程的通解是 （A ）x x
e c e c y 3221-+= （B ）x e xc c y 221)(+=
（C ）x x
e c e
c y 3221+= （D ）)3cos 3sin (212x c x c e y x +=
5．x
x
e
c e c y -+=21是微分方程 的通解
（A ）0=+''y y （B ）0=-''y y （C ）0='+''y y （D ）0='-''y y
二、求下列微分方程的通解
1．05='-''y y 2．044=+'-''y y y
3．04=+'+''y y y 4．065=+'-''y y y
5．01036=+'+''-'''y y y y 5. 02)
4(=''+'''-y y y
三、求下列微分方程满足初始条件的特解 1．0102=+'+''y y y 10
==x y 20
1==x y
2．032=-+x dt
dx
dt x d 00
==t x 10
='
=t x
四、一质量为m 的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大
小成正比（比例系数为k ），求此质点的运动规律。
12-10 二阶常数非齐次线性微分方程
一、选择题
1微分方程，形式为的特解*
2y x y y ='-'' (A)ax (B)ax+b (C)ax 2 (D)bx ax +2
2.微分方程形式为的特解*
1
y e y y x +=-'' （A ）b ae x + （B ）b axe x + （C ）bx ae x + （D ）bx axe x
+ 3．微分方程x
xe u y 22='-''的特解y *形式为 （A ）x
e b ax x 2)(+ （B ）x
e
b ax 2)(+ （C ）x
xe
2 （D ）x
e c bx ax 22)(++
4．微分方程x y y 2cos 4=+''的特解y *形式为
（A ）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x 5. 微分方程x x y y 2
sin =-''的特解形式为y*=
（A ）（ax+b ）sin 2x (B)(ax+b)sin 2x+(cx+d)cos 2x
（C ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f 6. 微分方程x e y y y x 5sin 54+=-'-''-的特解形式为
（A ）x b ae
x
5sin +- (B)x c x b ae x 5sin 5cos ++- （C ）x b axe
x
5sin +- （D ）x c x b axe x 5sin 5cos ++-
二、求下列各方程的通解
1．x
xe y y y =+'+''2 2．x y y y sin 67=+'-''
3．x e y y y x sin 52=+'-'' 4．x x y y cos +=+''
三、求微分方程x y y cos 9=+''满足02
2
='
==
=
ππx x y y 的特解
四、已知二阶常系数微分方程)2(+=+'+''x y y y γβα有特解x x e y x
612
*
--+=，求
γβα,,的值，并求该方程的通解
五、k 为常数。试求x
e y k y k y =+'-''2
2的通解。
六、设?
?-+
=x
x
dt t f x dt t f x x f 0
)()(sin )(，其中f(x)为连续的数，求f(x)。
七、一链长18cm ，挂在光滑的圆钉上，一边垂下8cm ，另一边垂下10cm ，问整个链子滑过钉子需要多少时间？
第十二章自测题一
一、 填空题
1．已知曲线y=y(x)过点（0，2
1 ）且其上任一点（x,y ）处的切线斜率为xln(1+x 2)，则f(x)=
2．以()12
2
=++y c x 为通解的微分方程是 （其中为任意常数）
3。微分方程ydx+(c 2-4x)dy=0的通解为 4．微分方程ax x y y =++'ln 的通解为 ]
5．已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解e -x ,e x ,sinx,cosx,则该微分方程为 二、选择题
１．已知函数y=f(x)在任意点x 处的增量?y=α++?2
1x x
y 且当?x →o 时，α是比?x 更高
阶的无穷小量，y(o)=π，则y(1)等于
（A ）2π （B ）π （C ）4
πe （D ）4
ππe 2 y=y(x)是微分方程0sin =-'-''x
e
y y 的解，且0)(0='x f ，则f(x)在
（A ） x ０的某个邻域内单调增加 （B ）x ０的某个邻域内单调减少 （C ）x ０处的取极小值 （D ）x ０处取极大值
3．一曲线通过点m(4.3),且该曲线上任意一点p 处的切线在y 轴上的截距等于原点到p 的距离，则此曲线方程为
（A ）252
2
=+y x （B ）1022x y +=（C ）25)9()9(2
2=+-+y x （D ）16
42x y -=
4．下列方程中可利用y p '=,y p ''='降为p 的一阶微分方程的是 （Ａ）0)(2
=-'+''x y x y （Ｂ）02
=+'+''y y y y （C ）02
2
=-'+''x y y y y (D) 0=+'+''x y y y 三、求解下列微分方程 1.求ydx+(x 2y-x)dy=0，满足11
==x y 的特解，
2.求x
e y y +='+''11
的通解
四、求x x y y sin +='+''的通解。
五、已知x
x
e xe y 21+=，x
x
e xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分
方程的三个解，求此微分方程。
六、已知函数f(x)可微 ，且对任意实数x,y 满足：f(x+y)=)()(x f e y f e y
x
+,求此函数f(x).
七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为a+bv,其中a,b 为常数，v 为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s(t).
第十二章自测题二
一、单项选择题
１．设y=)(x f 是方程042=+'-''y y y 的解，若,0)(0>x f 则)(x f 在0x 点 （A ）取得极大值； （B ）取得极小值；（C ）某邻域内单调递增；（D ）某邻域内单调递减； ２．函数x
e
y 23=是方程04=-''y y 的
（A ）通解；（B ）特解；（C ）解，但既非通解也非特解（D ）以上都不对 ３．微分方程x y y 2
cos 52='+''的特解应具有形式（其中，a,b,c 为常数）
（A ）);sin cos (2
2
x b x a x + （B ）x c x b ax 2sin 2cos ++ （C ）a+bcos2x; (D) ax 2+bcos2x+csin2x 4.微分方程x
xe y y y 396=+'+''特解应具有形式
（A ）（Ax+Bx ）e 3x (B)x(Ax+B)e 3x （C ）x 2(Ax+B)e 3x （D ）Ax 3e 3x
5.设一动点以等加速度a 作直线运动，且其初速度为v 0,初始位移为s 0，则此质点规律是 （A ）s=v 0+s 0; (B)002
2
1s t v at s ++=
(C);020s t v s += (D)002s t v at s ++= 6 函数f(x)满足关系式=+?=)(,21)2
()(20x f n dt t f x f x
则
（A ）1n2·e x ; （B ）1n2·e 2x ; （C ）e x +ln2; （D ） e 2x +ln2. 二、填空题
1.微分方程02=-'+''y y y 的通解y=
2.以221==λλ为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
3.以x e x e e x
x
x
cos ,sin ,为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是 4.微分方程==-'y y y 通解32 三、判断下列方程的类型并求其解 １．求的特解满足20)23(0
5
==+-=x y dy y x ydx
２．求(xe y +1)dx+(
y e x y
+22
1)dy=0的通解 四、求微分方程的x
xe y y y 265=+'-''的通解
五、已知函)(x f y =的图形经过原点和点M （1，2），且满足微分方程，012
2='-+
''y y
y 求
).(x f
六、设二阶常数线性微分方程x
e y y a y γβ=+'+''的一个特解为,)1(2x x
e x e y ++=试确
定常数,,,γβα并求该方程的通解
七、设函数)(x f 连续可微，,1)1(=f 且对任意闭曲线C 都有,0)(43
=+?
dy x xf ydx x C
求).(x f
常微分方程试题库 二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'； 选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解， （2分） 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分） （分） （22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t
第七章 微分方程与差分方程 习题7－1（A ） 1． 说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： 点横坐标的平方。 处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题： 平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。 速度成反比（比例系数同时阻力与， 成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
第十二章 微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是 。 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ） 、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程 （A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
第十二章 微分方程 § 1 微分方程的基本概念 1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=y x 21-写成以 y 为自变量，x 为函数的形式为（ ） A.y x 21dx dy -= B.y x 21dy dx -= '=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ） A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成 ) y ,x (P ) y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ） A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ） A. e y =e 2x +1 2 1 e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C 4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=?x x 1y y 2 ，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( ) A. 2π B. π C. 4 e π 4e ππ 5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4 π 解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0= 4π 得：2 2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2 y x cos y x 2 1cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。
第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （ 1）方程形式：dy P x Q y Q y0通解 dy P x dx C dx Q y （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0 通解M 1x dx N 2 y dy C M 2 x 0, N 1 y 0 M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式 dy f y （ 1）齐次方程 x dx 令y u ，则 dy u x du f u f du dx c ln | x | c x dx dx u u x 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy P x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx 2．一阶线性非齐次方程 精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性 dx 非齐次方程求解。 dy1可化为 dx P y x Q y y x 以为自变量，．方程： P y x dy dx Q y 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程 方程类型解法及解的表达式 通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n y n f f x dx C1 x n 1 x n次 令 y p ，则 y p ，原方程 y f x, y f x, p ——一阶方程，设其解为p g x, C1 p， 即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。 令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dp dx dy dx dy y f 把 y， y 的表达式代入原方程，得 dp1 f y, p—一阶方程， y, y dy p dy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C 1 , 即 dy g y, C1，则原方程的通解为 dx 令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C 3．伯努利方程 dy Q x y0,1 P x y dx dy x C2。 g y, C1
常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程
常微分方程试题
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。
7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=
第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的 齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二
个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27
常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o 8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^= 应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为 第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 常微分方程试题库试 卷库 常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题（30%） 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ６、若()t φ和()t ψ都是' ()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是 _____________________________。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、 3 ()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=- ３、若 2114A ?? =?? -??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt ４、32( )480 dy dy xy y dx dx -+= ５、求方程2 dy x y dx =+经过（0，0）的第三次近似解 6.求1,5 dx dy x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（１０％） １、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 １、()M N y x x N ???-??= ()M N y x y M ???-??=- 常微分方程试题模拟试题（一） 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 ．方程d d y x =满足初值解的存在且惟一性的区域是 ． 2．方程0d )1(d )1(=+++y x x y 所有常数解是 ． 3．线性方程0y y ''+=的基本解组是 ． 4．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的 条件． 5．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的 条件． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．积分方程11()1()d x y x y s s s =+?的解是（ ） ． （A ）1y = （B ）e x y = （C ）0y = （D ）y x = 7. 一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 8．方程 ?????≠==0 ,ln 00d d y y y y x y 当当， 在xoy 平面上任一点的解（ ）． （A ）都不是惟一的 （B ）都是惟一的 （C ）都与x 轴相交 （D ）都与x 轴相切 9．平面系统???????+=+=y x t y y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（ ）． （A ）不稳定结点 （B ）稳定焦点 （C ）不稳定焦点 （D ）鞍点 10．方程0y y ''+=的任一非零解在(,)x y 平面的x 轴上任意有限区间内（ ）零点． （A ）无 （B ）只有一个 （C ）至多只有有限个 （D ）有无限个 三、计算题（每小题8分，共40分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 2211d d x y x y --= 12. ()d ()d 0x y x x y y +--= 13. 2y xy y ''=+ 14．012)(2=+'-'y x y 15．032 22=-'-''y x y y y 四、计算题（本题15分）常微分方程应用题和答案
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