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必修二立体几何复习+经典例题

一、判定两线平行的方法

1、平行于同一直线的两条直线互相平行

2、垂直于同一平面的两条直线互相平行

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直

线就和交线平行

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明

二、判定线面平行的方法

1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点

2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个

平面平行

3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面

5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面

三、判定面面平行的方法

1、定义：没有公共点

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行

3 垂直于同一直线的两个平面平行

4、平行于同一平面的两个平面平行

四、面面平行的性质

1、两平行平面没有公共点

2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面

3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行

4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面

五、判定线面垂直的方法

1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直

2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直

3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面

4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面

6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面

六、判定两线垂直的方法

90角

1、定义：成?

2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直

3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜

线垂直

4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射

影垂直

5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直

七、判定面面垂直的方法

1、定义：两面成直二面角,则两面垂直

2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面

八、面面垂直的性质

1、二面角的平面角为?

2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面

3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面

九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：?≤

4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：?≤

1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点

2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点

3、重心：中线的交点

4、

垂心：高的交点

【例题分析】

例2 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面P AD ．

【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．

证明：方法一，取PD 中点E ，连接AE ，NE ．

∵底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，

∴MA ∥CD ，.21

CD MA = ∵E 是PD 的中点， ∴NE ∥CD ，.2

CD NE =

∴MA ∥NE ，且MA ＝NE ， ∴AENM 是平行四边形， ∴MN ∥AE ．

又AE ?平面P AD ，MN ?平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD ．

方法二取CD 中点F ，连接MF ，NF ．

∵MF∥AD，NF∥PD，

∴平面MNF∥平面P AD，

∴MN∥平面P AD．

【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：

(2)

例3在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1．

【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可．

证明：连接AC1．

∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，

∴AA1⊥平面ABC，

∴AB⊥AA1．

又AB⊥AC，

∴AB⊥平面A1ACC1，

∴A1C⊥A B．①

又AA1＝AC，

∴侧面A1ACC1是正方形，

∴A1C⊥AC1．②

由①，②得A1C⊥平面ABC1，

∴A1C⊥BC1．

【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化．

例4在三棱锥P－ABC中，平面P AB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面P AC ⊥平面PBC．

【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化．

证明：

∵平面P AB⊥平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，

∴BC⊥平面P AB，

∴AP⊥BC．

又AP⊥PB，

∴AP⊥平面PBC，

又AP?平面P AC，

∴平面P AC⊥平面PBC．

【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：

例5如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点．

(Ⅰ)求证：直线EF∥平面A1ACC1；

(Ⅱ)在线段AB 上确定一点G ，使平面EFG ⊥平面ABC ，并给出证明．证明：(Ⅰ)连接A 1C ，A 1E ．

∵侧面A 1ABB 1是菱形， E 是AB 1的中点， ∴E 也是A 1B 的中点，

又F 是BC 的中点，∴EF ∥A 1C ．

∵A 1C ?平面A 1ACC 1，EF ?平面A 1ACC 1， ∴直线EF ∥平面A 1ACC 1． (2)解：当

=GA BG 时，平面EFG ⊥平面ABC ，证明如下：连接EG ，FG ．

∵侧面A 1ABB 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°，∴△A 1AB 是等边三角形． ∵E 是A 1B 的中点，

=GA BG ，∴EG ⊥AB ． ∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB ， ∴EG ⊥平面ABC ．

又EG ?平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面ABC ．

例6 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点．

(Ⅰ)求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；(Ⅱ)求证：AB 1∥平面BEC 1．【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．

证明：(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴AA 1⊥平面ABC ， ∴BE ⊥AA 1．

∵△ABC 是正三角形，E 是AC 的中点，∴BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，又BE ?平面BEC 1，

∴平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1．

(Ⅱ)证明：连接B 1C ，设BC 1∩B 1C ＝D ．

∵BCC 1B 1是矩形，D 是B 1C 的中点， ∴DE ∥AB 1．又DE ?平面BEC 1，AB 1?平面BEC 1， ∴AB 1∥平面BEC 1．

例7 在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，542==DC AB ．

(Ⅰ)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面P AD ； (Ⅱ)求四棱锥P －ABCD 的体积．

【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M 是PC 上的动点分析知，MB ，MD 随点M 的变动而运动，因此可考虑平面MBD 内“不动”的直线BD 是否垂直平面P AD ．

证明：(Ⅰ)在△ABD 中，

由于AD ＝4，BD ＝8，54=AB ，

所以AD 2＋BD 2＝AB 2．故AD ⊥BD ．

又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥平面P AD ，

又BD ?平面MBD ，故平面MBD ⊥平面P AD ． (Ⅱ)解：过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ，

由于平面P AD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．因此PO 为四棱锥P －ABCD 的高，

又△P AD 是边长为4的等边三角形．因此.3242

=?=PO 在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，

所以四边形ABCD 是梯形，在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为55

484=?，即为梯形ABCD 的高，

所以四边形ABCD 的面积为.2455

5452=?+=

S 故

.31632243

=??=-ABCD P V

9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F

是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥

A BCF -,其中2

BC =

. (1) 证明:DE //平面BCF ;

图 4

(2) 证明:CF ⊥平面ABF ;

(3) 当2

AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.

形ABC 中,AD AE =

9. 【答案】(1)在等边三角

AD AE

DB EC ∴

,在折叠后的三棱锥A BCF -中

也成立,//DE BC ∴ ,DE ? 平面BCF ,

BC ?平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;

(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,

12BF CF =

在三棱锥A BCF -中,

2BC =

,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②

BF CF F CF ABF ?=∴⊥ 平面;

(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE

DFG ⊥平面

111111132323323324F DEG E DFG

V V DG FG GF --?∴==????=?????= ??

4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．

（1）证明：EF ∥面PAD ；（2）证明：面PDC ⊥面PAD ；（3）求四棱锥P —ABCD 的体积． 4. 如图，连接AC ，

∵ABCD 为矩形且F 是BD 的中点，

∴AC 必经过F

1分

又E 是PC 的中点，所以，EF ∥AP

2分

∵EF 在面PAD 外，PA 在面内，∴EF ∥面PAD

（2）∵面PAD ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，面PAD 面ABCD=AD ，∴CD ⊥面PAD ，

又AP ?面PAD ，∴AP ⊥CD

又∵AP ⊥PD ，PD 和CD 是相交直线，AP ⊥面PCD 又AD ?面PAD ，所以，面PDC ⊥面PAD

（3）取AD 中点为O ，连接PO ，

因为面PAD ⊥面ABCD 及△PAD 为等腰直角三角形，所以PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高

∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P —ABCD 的体积1233

V PO AB AD =

??= 1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1

2AA 1，D 是棱

AA 1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ?=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ?面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,

由题设知0

1145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=0

90,

即1DC DC ⊥,

又∵DC BC C ?=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵

1DC ?面1BDC ，

∴面BDC ⊥面1BDC ；

（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132

+???=1

2，

由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，

∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.

B 1 C

C 1

A 1

必修2立体几何复习(知识点+经典习题)

必修二立体几何知识点与复习题一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点考点一,几何体的概念与性质【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

高一必修二经典立体几何专项试题

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高一必修二经典立体几何专项练习题空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交一一有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a a来表示 a a a Aa =A a //a 22直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示： a B => a // b 2.2.2平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号示：

// b // 2、判断两平面平行的方法有三种： (1) 用定义； (2) 判定定理； (3) 垂直于同一条直线的两个平面平行。— 223 — 224直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任平面与此平面的交线与该直线平行作用：利用该定理可解决直线间的平行问题么它们的交线平行。符号表示： // □ Y =a 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质、、亠 1 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; 简记为：线面平行则线线平行。符号表示： 2、 ] a // b // 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L 与平面a 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面a 互相垂直，记作L 丄a ，直线L 叫做平面a 的垂线，平面a 叫做直线 L 的垂

高中数学必修二知识点整理

高中数学必修2知识点第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2 R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++ =)3 1 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 D C B A α L A · α 222r rl S ππ+=

必修二立体几何复习+经典例题

一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法 1、定义：成90 角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5 、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角, 则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为90

必修二立体几何初步知识点整理.

必修二立体几何初步知识点整理一、基础知识（理解去记）（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体——把一个平面图形绕它所在平面的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①????????→??????? →???? ? 底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形侧棱与底面边长相等 ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。补充知识点长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】2 22211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么2 2 2 cos cos cos 1αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则 222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=. 1.4侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.

人教版高中数学必修二教学案-《立体几何初步》全章复习

人教版高中数学必修一教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题《立体几何初步》全章复习课型□预习课□同步课■复习课□习题课授课日期及时段教学内容《立体几何初步》全章复习【知识网络】【要点梳理】知识点一：空间几何体的结构与特征本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形．空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：

【典型例题】类型一：空间几何体的三视图例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD 平面PEG 【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH，故其正视图与侧视图全等．（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果．【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

立体几何题经典例题

D E A F B C O O 1 M D C A S 15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥；（2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值． 7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．（1）求二面角F AD B --的大小；（2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值． 8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若 a BN CM ==)20(<

18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2 π = ∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ?是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥； (2)求二面角D PC B --的大小． 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；（III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． A B C D M N 第18题图