1、（2010?苏州）解方程：．
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化
为关于t的一元二次方程．先求t，再求x．
解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，
解得，t1=2，t2=﹣1，
当t=2时，=2，解得x1=﹣1，
当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，
经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．
点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
2、（2010?嘉兴）（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；
（2）解方程：+=2．
考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。
分析：（1）按解一元一次不等式的步骤进行；
（2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为．可用换元法转
化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．
解答：解：（1）3x﹣2＞x+4，
3x﹣x＞4+2
2x＞6
x＞3；
（2）设=y，则原方程化为y+=2．
整理得，y2﹣2y+1=0，
解之得，y=1．
当y=1时，=1，此方程无解．
故原方程无解．
点评：（1）移项时注意符号的变化．
（2）用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
3、（2008?苏州）解方程：
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2．然后整理原方程化成整式方程求解．
解答：解：设=y，则=y2，
所以原方程可化为2y2+y﹣6=0．
解得y1=﹣2，y2=．
即：=﹣2或=．
解得x1=2，．
经检验，x1=2，是原方程的根．
点评：换元法解分式方程可将方程化繁为简，化难为易，是解分式方程的常用方法之一，换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特点．
4、（2008?上海）解方程：
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查解分式方程的能力，观察分式因为与互为倒数，所以可根据方程特点选择换元法进行解方程，同时又可用常用方法：去分母方法进行解方程．
解答：解：方法一：设，
则原方程化为，整理得2y2﹣5y+2=0，
∴y1=，y2=2，
当y=时，，
解得：x=2；
当y=2时，，
解得：x=﹣1．
经检验x1=2，x2=﹣1是原方程的根；
方法二：去分母得2（x﹣1）2+2x2=5x（x﹣1），
整理得x2﹣x﹣2=0，
解得x1=2，x2=﹣1，
经检验x1=2，x2=﹣1是原方程的根．
点评：解方程时要注意根据方程特点选择合适的方法，达到灵活技巧解题的效果．
5、（2008?乐山）解方程：x2﹣=2x﹣1
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：运用换元法，设y=x2﹣2x，降次求方程的解．
解答：解：设y=x2﹣2x，
则原方程变为：，
即y2+y﹣12=0，
得（y﹣3）（y+4）=0，
解得：y=3或y=﹣4，
当y=3时，x2﹣2x=3，
（x﹣3）（x+1）=0，
解得x1=3，x2=﹣1，
当y=﹣4时，x2﹣2x=﹣4，
∵△=﹣12＜0，
∴此方程无解．
经检验，x1=3，x2=﹣1都是原方程的根．
点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
6、（2007?包头）解分式方程：
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．
∵
∴可设y=．把y代入原方程，转化为整式方程求解．
解答：解：设，原方程化为y2﹣y+3=0，
解得y1=2，，
当y=2时，，解得x=﹣1．
当时，，解得x=﹣2．
经检验x1=﹣1，x2=﹣2都是原方程的根．
点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．本题应注意：最后需代入
y=求得x的值，再验根．
7、（2006?湛江）用换元法解方程：x2+3x﹣=﹣1．
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，观察可得方程若直接去分母会很麻烦，涉及到的计算量会很大，因此可设x2+3x=y，将原方程变形整理为y﹣=﹣1，即：y2+y﹣20=0，求得y的值，然后再去解一元二次方程即可求得x的值．
解答：解：设x2+3x=y，则原方程变形为y﹣=﹣1，
即y2+y﹣20=0，
解得y1=﹣5，y2=4．
当y=﹣5时，x2+3x=﹣5，即x2+3x+5=0，
∵△=32﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，
∴此方程无解；
当y=4时，x2+3x=4，即x2+3x﹣4=0，
解得x1=﹣4，x2=1．
经检验，x1=﹣4，x2=1都是原方程的解．
点评：解分式方程的关键就是把分式方程通过去分母或换元等方式转化为整式方程，因此应根据方程特点选择合适的方法．求解后要注意验根．
8、（2006?盐城）解方程：
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程能力，观察方程，根据其特点可设=y，可得=，再进一步去分母整理化为整式方程即可求解．
解答：解：设：=y，
则原方程为：2y2﹣y﹣1=0，
解得：．
由得：x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．
由y2=1得：x2﹣x﹣1=0，此方程的解x3=，x4=．
检验：都是方程的根．
点评：用换元法可将分式方程化繁为简，化难为易，是解分式方程常用方法之一，要注意总结能够熟练运用换元法解分式方程的特点．
9、（2006?青海）阅读理解题：一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话，请你阅读完后再解答下面问题：
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．
学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？
老师：这样，原方程可整理为x4﹣2x3﹣7x2+8x+12=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？
学生乙：我发现方程中x2﹣x是整体出现的，最好不要去括号！
老师：很好．如果我们把x2﹣x看成一个整体，用y来表示，那么原方程就变成y2﹣8y+12=0．全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y2﹣8y+12=0的解是y1=6，y2=2，就有x2﹣x=6或x2﹣x=2．
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x1=3，x2=﹣2，x3=2，x4=﹣1，嗬，有这么多根啊．
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种很重要的转化方法．
全体同学：OK！换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程．
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：阅读型。
分析：换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设=y，换元后整理并求得y的值，再代入=y中求x的值．
解答：解：设y=，
则原方程可变为y2﹣5y﹣6=0，
解得y1=6，y2=﹣1，
∴=6，=﹣1，
解得x=或，
经检验，都是原方程的根．
∴原方程的解为x=或．
点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
10、（2006?湖北）解方程：
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程因为与互为倒数，所以
可设=y，则原方程可变形整理为y+=，再进一步解这个方程即可．
解答：解：设=y，
则原方程可变形整理为：y+=，
整理得：2y2﹣5y+2=0．
解得：y1=2，y2=．
当=2时，方程可整理为2x2﹣x+2=0，
因为△=b2﹣4ac=﹣15＜0，所以方程无解．
当=时，解得x=1．
经检验x=1是原方程的根．
∴原方程的根为x=1．
点评：本题若用常规方法，则较繁琐，灵活应用换元法，则可化繁为简，因此解分式方程时，要根据方程特点选择合适的方法．
11、（2006?贺州）解方程：．
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，根据方程特点可设=y，则原方程可整理为y2+3y=4，再去求解即可．
解答：解：设=y，则（）2=y2，
原方程可整理为y2+3y=4，
解得：y1=﹣4，y2=1，
当y1=﹣4时，=﹣4，
x=﹣4x+4，
解得：x=，
当y2=1时，=1，方程无解．
经检验：x=是原方程的解，
∴方程的解为：x=．
点评：用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．要注意总结能用换元法解的分式方程特点，做到能够根据方程特点选择合适的解方程方法．
12、（2006?哈尔滨）用换元法解方程：x+=2．
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．因为x+=，且与互为倒数，所以可采用换元法解分式方程．
解答：解：由
可设，则y﹣=2，整理得
y2﹣2y﹣3=0，
解得y1=3，y2=﹣1．
当y=3时，=3，x2﹣3x+2=0，解得x1=2，x2=1．
当y=﹣1时，=﹣1，x2+x+2=0，△=1﹣8=﹣7＜0，此方程没有实数根．
经检验：x1=2，x2=1是原方程的根．
∴原方程的根是x1=2，x2=1．
点评：用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．
13、（2006?北京）用换元法解方程：x2﹣x+1=．
考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：本题要求运用换元法解题，可先对方程进行观察，可知方程左右两边都含有x2﹣x，如此只要将x2﹣x看作一个整体，用y代替，再对方程进行化简得出y的值，最后用x2﹣x=y 来解出x的值．
解答：解：设x2﹣x=y，则，
原方程化为y+1=，
∴y2+y﹣6=0即（y+3）（y﹣2）=0，
解得y1=﹣3，y2=2．
当y=﹣3时，x2﹣x=﹣3，
∴x2﹣x+3=0，
∵△=1﹣12＜0，
∴此方程无实根；
当y=2时，x2﹣x=2，
∴x2﹣x﹣2=0，
解得x1=﹣1，x2=2．
经检验，x1=﹣1，x2=2都是原方程的根．
∴原方程的根是x1=﹣1，x2=2．
初中数学知识点总结分式方程和无理方程 知识点总结 一．分式方程、无理方程的相关概念： 1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2．无理方程：根号内含有未知数的方程。（无理方程又叫根式方程） 3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。 二．分式方程与无理方程的解法： 1．去分母法： 用去分母法解分式方程的一般步骤是： ①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； ②解这个整式方程； ③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。 2．换元法： 用换元法解分式方程的一般步骤是： ②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想； ③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解； ④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。 解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。 三．增根问题： 1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。 2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。 3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。 解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。 常见考法 （1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主； （2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。 误区提醒
2 例如：x 2 3x x 2 3x 2 3x 2 2x 3x 2 2x 4x 2 5x 观察发现 2 3x 2 3x 2x 4x 2 5x 1，故可设 x 2 3x 2 3x 2 2x v ，原方程变为u 2 uv v 2 ，方程由繁变简，可得解? 第 6 讲利用换元法解方程 、方法技巧 （一） 换元法 解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的 . （二） 运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、 整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次 （三） 换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的， 不同的方程就有不同的换元方 法，因此， 这种方法灵活性大，技巧性强?恰当地换元，可将复杂方程化简，以 便寻求解题的途径. 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等. 82，使方程变得易解，这是均值换元法 例如: 5 — 6 0，可使用局部换元法, x 1 ②x 2 0,变形后也可使用局部换元法，设 2x 2 ~2 x x 2 1 19 —，看着很繁冗，变形整理成 6 x 2 x 2 2 x 2 x 19 一 —时，就可使用局部换兀法 6 82 , 可设 口 x 2，方程变成 ⑤6x 4 5x 3 38x 2 5x 符合与中间项等距离的项的系数相等, 如6x 4 与6 , 5x 3与5x 系数相等，可构造 x 1换元，是倒数换元法. x ⑥x 3 2、.3x 2 3x .3 1 0 ,不易求解，若反过来看，把设 x 看作已知数, 把.3设为设t ，则方程就变成x t 2 2x 2 1 t 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法 有时根 据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简, 求解的目的
第6讲 利用换元法解方程 一、方法技巧 （一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的. （二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程. 解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次. （三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方 法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径． 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等． 例如：① 256011x x x x ????++= ? ?++? ??? ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x += ③222212219116 x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116 x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成 ()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法. ⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等， 如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x + 换元，是倒数换元法. ⑥32310x x +++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已 t ，则方程就变成()() 2232110x t x t x ?+++-=， 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法. 有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的. 例如：
解一元一次方程的一般步骤 一、等式：用等号表示相等关系的式子叫等式。 等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 等式性质3 等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等。 等式性质4 等式具有对称性。若a=b,则b=a。 等式性质5 等式具有对传递性。如果a=b且b=c,那么a=c。 注意： （1）、等式中一定含有等号； （2）、等式两边除以一个数时，这个数必须不为0； （3）、对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。 二、一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 1、写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是2；②方程的解是3；这样的方程是。 2、若关于x的方程（k－1）x2+x－1=0是一元一次方程，则k= 。 三、列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1、审题：弄清题意． 2、找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系． 3、设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程。 （1）、直接设元法，求什么设什么，方程的解就是问题的答案； （ 2）、间接设元法，不是求什么设什么，方程的解并不是问题的答案，需要根据问题中的数量关系求出最后的答案。 4、解方程：解所列的方程，求出未知数的值． 5、检验并作答：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案。 四、解一元一次方程的一般步骤和注意事项： 1、去分母：在方程两边都乘分母的最小公倍数。 （1）、没有分母的项不要漏乘（尤其整数项）。也可以说方程中的每一项都要乘以分母的最小公分母。 （2)、去分母时，应把分子作为一个整体加上括号。
合并法、换元法解二元一次方程组 （一）知识教学点 1．掌握用合并法、换元法解二元一次方程组的步骤． 2．熟练运用合并法、换元法解二元一次方程组． （二）能力训练点 1．培养学生的观察分析能力; 2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯． （三）德育渗透点 消元，化未知为已知的数学思想． （四）美育渗透点 通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美． 二、学法引导 1．教学方法：引导发现法、练习法，指导法． 2．学生学法：在前面已经学过二元一次方程组的解法，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法． 三、重点、难点、疑点及解决办法 （－）重点 使学生会用合并法、换元法解二元一次方程组． （二）难点 灵活运用合并法、换元法的技巧． （三）疑点 如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．
四、课时安排 一课时． 五、教具学具准备 电脑 投影仪． 六、教学过程 一导 运用导学案 自主学习 （一）解二元一次方程组的基本思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.若能根据题目的特点，适时改进方法，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组. （二）自主探究请同学们根据提示用合并法解二元一次方程组 （略） 设计意图：以学生的兴趣为主，由易至难，逐层递进，逐步完成各个任务。 （三）总结 二研 合作学习 研究探讨 （一）例题解析 （1） ???-=+=+② 10y 65x ① 1056y x
（2） ???=+-=-+-② 72009)-7(2010y 9)4(2x ① 3)20092010(3)92(2y x 设计意图：合作探究，探索比较，发现规律，使每位学生参与其中，成为课堂的主人，提高解题技巧 （二）练习题 （1）???=+=+② 79y 137x ① 61713y x （2）???=+=+② 74y 1911x ① 1061119y x （3）?????-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x （4）??? ????=--+=-++.86)32(55)1(3,36)32(5)1(2y x y x 设计意图：竞赛完成，激发学习热情，巩固强化 三验 课堂小测验（略） 设计意图：对学生完成情况及时了解，及时总结，对课堂教学及时反思，对下一步的教学进行适时，适当的调整。并对学生的解题情况进行总体的评价，要本着激励的原则，使学生有成就感。
换元法解方程 西安市第八十五中学江树基 换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的．换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等． 解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次，实现这一基本思想的方法有多种，其中换元法是常用的一种重要方法，本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧． 一、分式方程 分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设 ∴（y-1）2=0，解得y=1． 经检验，x 1，x 2 都是原方程的根． 分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设y=x2+2x． 解：设y=x2+2x，则原方程可化为 即y2-y-12=0，解得y1=4，y2=-3．
x2＋2x=-3，无实数解． 例3 解方程 分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设y=x2＋2x＋10． 解：设y=x2＋2x＋10，则原方程可化为 解得y =9x，y2=-5x. 1 由x2＋2x＋10=9x，解得x =5，x2=2． 1 由x2＋2x＋10=-5x，解得x =-5，x4=-2． 3 经检验知，它们都是原方程的解． 注：以上三个例子可看出，换元时必须对原方程进行仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，化繁为简，达到解方程的目的． 二、无理方程 两边立方，并整理得 y3-2y2＋3y=0，即y（y2-2y＋3）=0， ∴y=0或y2-2y＋3=0，无解． 经检验知x=-1是原方程的解． 可设两个未知数，利用韦达定理解． 原方程为m＋n=1，又∵（m＋n）3=m3＋n3＋3mn·（m+n）=4+3mn=1，∴mn=-1．
特殊法解二元一次方程组专题 命题人：易晓萍 班级：________姓名：__________ 学习目标：掌握整体代入法、换元法、轮换对称方程、含参方程等特殊的方法解方程 一、整体代入法 例1、对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组： 变式练习：（1）???=+=+11325y x y x （2）?????=--=-12264532y y x y x 归纳总结：在运用消元法解二元一次方程组时，要注重整体思想的运用，以探求消元捷径，提高解题速度和准确性。 二、换元法 请阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组 ，若设x +y ＝m ，x ﹣y ＝n ，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，所以，再解这个方程组得．由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 ． 变式练习：（1）???=-++=--+11)(2)(35)()(2n m n m n m n m （2）???????=-++=-++1732)(3732y x y x y x y x 归纳总结：具备这种特征的二元一次方程组，如果按照常规解法，不仅计算量大，而且特别容易出错，若根据
其特征，适当进行换元，不仅可以减少运算量，而且可以更快更准确。 三、轮换对称方程 定义：在解方程组 时，我们可以先①+②，得x +y ＝1，再②﹣①，得x ﹣y ＝9，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． 变式练习：（1）???=+=+13 341 43y x y x （2） ???=+=+15151491494951y x y x 归纳总结：具备这种特征的二元一次方程组，如果按照常规解法，不仅计算量大，而且特别容易出错，若根据 其特征，将两个方程相加相减得出新的方程，会大大减低计算量。（依据是等式的性质） 四、含参方程 例、解方程组 ???-=+=14 434:3:2::c b a c b a 变式练习：已知x 、y 的值满足等式 54321y x y x +=+=+，求式子32123++++y x y x 的值 归纳总结：连比或者连等，通常利用设参法，先将连比或连等中的未知数设参数表示，再求解，以达到消元的目的。
知识点：方程解的情况及换元法 1．一元二次方程的根的情况是. A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2．不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 3．不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 4．不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5．不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 6．不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 7．不解方程,判别方程x2+4x+2=0的根的情况是 . A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 不解方程,判断方程5y+1=2y的根的情况是 A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 用换元法解方程时, 令= y,于是原方程变为. A.y-5y+4=0 B.y-5y-4=0 C.y-4y-5=0 D.y+4y-5=0 10. 用换元法解方程时,令= y ,于是原方程变为. A.5y-4y+1=0 B.5y-4y-1=0 C.-5y-4y-1=0 D.-5y-4y-1=0 11. 用换元法解方程()2-5()+6=0时，设=y，则原方程化为关于y的方程是 . A.y2+5y+6=0 B.y2-5y+6=0 C.y2+5y-6=0 D.y2-5y-6=0
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母 来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元 的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例解析】 例1．用适当方法解下列方程： （1）2x2﹣5x﹣3=0 （2）16（x+5）2﹣9=0 2 2 2 ． （3）（x+x）+（x+x）=6 例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可； （2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2= ，直接开方即可；（3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可． 解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49， ∴x= = = ， ∴x1=3，x2=﹣； （2）整理得，（x+5）2=， 开方得，x+5=±， 即x1=﹣4 ，x2=﹣5 ， 2 +x，将原方程转化为2 ， （3）设t=x t+t=6 因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0， 解得t1=2，t2=﹣3． 2 2 ∴x+x=2或x+x=﹣3（△＜0，无解）， ∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2．
宿城区中扬中学 张家旭 根号下含有未知数的方程叫无理方程。解无理方程的指导思想是通过乘方把无理方程转化为有理方程。由于在乘方过程中扩大了方程中未知数的取值范围，可能会产生增根，所以，解无理方程一定要验根，验根是必不可少的步骤。但对一些特殊的方程可考虑用特殊的方法来解，比较方便。现将解无理方程的基本方法和几种特殊方法归纳如下，供参考。 一、观察法 例1、 解方程 )2(5222+-=+x x 解：无论x 取什么值时，522+x 恒为正，而)2(2+-x 恒为负，矛盾。所以，此方程无解。 例2、 解方程 53-=-x x 解：根据算术根的定义，要保证x -3有意义，必须要x ≤3，而要使53-=-x x 有意义，必须要使x ≥5，这显然矛盾。所以，原方程无解。 例3、解方程 638=---x x 解：要使8-x 有意义，x ≥8，要使x -3有意义，x ≤3，显然不存在同时满足这两个条件的x 值。故此方程无解。 例4、解方程 x x x 21679-=-+- 分析：这个方程的特点是：左边两个根号下的被开方式的和等于右边根号下的被开方式。所以，由观察可得其解。 解：原方程可化为)7()9(79x x x x -+-=-+- 由观察得x=7或者x=9 显然x=9是增根。所以，原方程的解为x=7。 注：我们对一些较为简单的或者是有特殊关系的无理方程，可通过观察，根据算术根的定义或利用根式的有关性质，直接判断它们解的情况。这样，可不必盲目的去解方程，避免走弯路。 二、直接平方法 例5、解方程 x x x =-+2722 解：移项得，=+x x 722x+2 两边平方整理得，0432=-+x x 解得，4,121-==x x 经检验，42-=x 是增根。所以，原方程的解为x=1 。 注：含有一个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行一次平方，即可把无理方程转化为有理方程。 例6、解方程 1542=+--x x 解：移项、两边平方并整理得，5210+=-x x 两边再平方并整理得， 080242=+-x x 解得 x =20， 或者x=4， 经检验，x=4是增根。所以，原方程的解为x=20。 注：含有两个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行两次平方才能获得方程的解。 三、换元法 例7、解方程 0393253222=+++-+x x x x
二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程：
综合解一元二次方程— 换元法 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例解析】 例1．用适当方法解下列方程： （1）2x2﹣5x﹣3=0 （2）16（x+5）2﹣9=0 （3）（x2+x）2+（x2+x）=6． 例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法 （1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可； （2）用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）2=，直接开方即可； （3）设t=x2+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可． 解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）=25+24=49， ∴x===， ∴x1=3，x2=﹣； （2）整理得，（x+5）2=， 开方得，x+5=±， 即x1=﹣4，x2=﹣5， （3）设t=x2+x，将原方程转化为t2+t=6， 因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0， 解得t1=2，t2=﹣3． ∴x2+x=2或x2+x=﹣3（△＜0，无解）， ∴原方程的解为x1=1，x2=﹣2． 例2．解方程：（1）（x+3）（x﹣1）=5
一、选择题 1. （2011?江苏宿迁，5，3）方程1 1112+=-+x x x 的解是（ ） A 、﹣1 B 、2 C 、1 D 、0 考点：解分式方程。 专题：计算题。 分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：方程的两边同乘（x+1），得 2x ﹣x ﹣1=1， 解得x=2． 检验：把x=2代入（x+1）=3≠0． ∴原方程的解为：x=2． 故选B ． 点评：本题考查了解分式方程：注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． 2. （2011山西，9，2分）分式方程1223 x x =+的解为（ ） A ．1x =- B ． 1x = C ． 2x = D ． 3x = 考点：分式方程 专题：分式方程 分析：解分式方程的一般步骤：先化分式方程为整式方程， 解这个整式方程， 验根， 点明原分式方程的根． 解答：B 点评：掌握解分式方程的一般步骤即可，解分式方程切记要验根． 3. （2011四川凉山，10，4分）方程24321 x x x x x ++=++的解为（ ） A ．124,1x x == B ．12x x = = C ．4x = D ．124,1x x ==- 考点：解分式方程． 专题：计算题． 分析：把等号左边的第一项分母分解因式后，观察发现原分式方程的最简公分母为x （x ＋1），方程两边乘 以最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：原方程可化为：1 32)1(4+=+++x x x x x ， 方程两边都乘以x （x ＋1）得： x ＋4＋2x （x ＋1）＝3x 2，即x 2－3x －4＝0， 即（x －4）（x ＋1）＝0， 解得：x ＝4或x ＝－1， 检验：把x ＝4代入x （x ＋1）＝4×5＝20≠0；把x ＝－1代入x （x ＋1）＝－1×0＝0， ∴原分式方程的解为x ＝4． 故选C ． 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解； （2）解分式方程一定注意要验根．学生要认识到分式方程验根的原因是在方程两边乘以最简公分母转化为整式方程后，整式方程与分式方程不一定是同解方程．
分式方程和无理方程的解法 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根． 分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为： 142 12(2)(2)2 x x x x x +-=++-- 方程两边各项都乘以2 4x -： 2(2)42(2)4x x x x -+-+=- 即2 364x x -=-， 整理得：2 320x x -+= 解得：1x =或2x =． 检验：把1x =代入2 4x -，不等于0，所以1x =是原方程的解； 把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根． 所以，原方程的解是1x =． 说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程实行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．所以我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解． 2．用换元法化分式方程为一元二次方程 【例2】解方程 22 23()4011 x x x x --=-- 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点， 设 2 1x y x =-，即得到一个关于y 的一元二次方程．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程 2 1 x y x =-． 解：设 2 1 x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-．
解一元一次方程的妙招 在解数学题时，可以利用转化思想方法将复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，从而使问题得到解决。现我谈谈转化思想方法在一元一次方程的解法中的运用。 例：解方程4310.20.5 x x +--=. 分析：本题是分母为小数的一元一次方程，这类题难计算、易出错，若我们利用转化思想方法，把这个问题转为已知的、熟悉的、较为简单的问题就方便多了。方法如下： 方法1：直接去分母。 （1） 两边同乘最小公倍数0.1。 解： 4310.20.5 x x +--= 0.5（x+4）-0.2（x-3）=0.1 0.5x+2-0.2x+0.6=0.1 0.5x-0.2x=0.1-0.6-2 0.3x=-2.5 X=253 - （2） 两边同乘公倍数1. 解： 4310.20.5x x +--= 5（x+4）-2（x-3）=1 5x+20-2x+6=1 5x-2x=1-6-20
3x=-25 X=253 - 反思：直接去分母，难计算，容易出错，上述两种方法较之第二种要好些，通过两边乘公倍数1去掉了分母，并且转为是整数的已知内容——有括号的一元一次方程。 方法2：用分数的性质解题。 分析：此方程利用分数的性质，将第一个式子分子分母乘以5得5x+20，将第二个式子分子分母乘以2，得2x-6，而右边不变，可简化计算。 解： 4310.20.5 x x +--= 5x+20-（2x-6）=1 5x+20-2x+6=1 5x-2x=1-6-20 3x=-25 X=253 - 方法3：把分数线看作除号。 分析：此方程中可以把分数线看作除号，将第一个式子理解成（x+4）÷15 ，再由除法法则——除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数，得：5（x+4），同理第二个式子也可得到：2（x-3），这样也可简化计算。 解： 4310.20.5 x x +--= （x+4）÷15-1(3)2x -÷=1
用换元法解各种复杂方程 用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。 [内容综述] “换元法”是一种重要的数学方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决。在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用换元方法，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。 [问题精讲] 1.在中学课程中,只要求学生会解一些特殊的高次方程,最常见的就是“双二次方程”，即只含有未知数的四次项、二次项和常数项的方程。对于这类方程,可以经过对二次项的换元转化为一元二次方程。例1，解方程(x 2+1)2=x 2+3 分析:思路1：以x 2+1为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有x 2+1。 思路2：把方程展开成标准的双二次方程，再对x 2 进行换元。 解法一：原方程可化为(x 2+1)2-(x 2+1)-2=0，设x 2+1=y 得y 2-y-2=0， 解得 y 1=2，y 2=-1，x 2+1=-1无实根， 由x 2+1=2解得x 1=1，x 2=-1。 解法二：由原方程得x 4+x 2-2=0，设x 2=y （解题熟练时，这一换元过程也可以不写出） 得y 2+y-2=0，解得y 1=1，y 2=-2，x 2=-2无实根， 由x 2=1解得x 1=1，x 2=-1。 注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。例如在牛刀小试题1中，可以设4x 2+2=y ，则原方程化为y 2+y-12=0；也可以设4x 2+1=y ，则原方程化为y 2+3y-10=0（选C ），（还可以设4x 2=y 等等，学生可以自己练习）。但是无论采用哪一种换元方法，所得方程的解都是相同的。 2.解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式作为整体进行换元，达到化去根号转化为可解方程的目的。这时经过变形，原方程的某个整式部分常可表示为新元的平方。 例2，解方程051356222=-----x x x x 分析：为使原方程中出现形式相同的部分，可以将其变形为 03135)13(222=------x x x x 。 解：设y x x =--132，则原方程可以化为2y 2-5y-3=0 解得（不符合算术根的定义，舍去。） 由3132=--x x 得x 1=5，x 2=-2，经检验是原方程的根。
一元二次方程中的整体思想（换元法） 一、内容概述 所谓整体思想就是从问题整体性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思想之一。最具体的代表就是换元法的运用。 二、例题解析 初中阶段，在各年级的数学代数学习中，时常会碰到换元法。何为换元法呢？解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低次，化无理为有理。 （一）换元法在解方程中的应用 我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而我们会碰到这样的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。 1.利用倒数关系换元 例1 解分式方程：224343x x x x +=-- 分析：此分式方程若两边同时去分母的话，会产生高次方程，比较复杂难解。但是若稍加整理成2243403x x x x -+ +=-，则可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单了。 解：移项整理得 2243403x x x x -+ +=- 设23x x y -=，则原方程可化为440y y ++= 去分母得2440y y ++= 解得122y y ==- 当2y =-时，232x x -=- 解得11x = 22x = 经检验：11x = 22x =是原方程的根 所以，原方程的根为11x = 22x = 练习1 103 =
无理方程解法 定义:根号下含有未知数的方程,叫做无理方程. 1.平方法解无理方程 例1解方程1x = 分析:移项、平方,转化为有理方程求解. 解:移项得1x =+ 两边平方得:2721x x x +=++ 移项,合并同类项得:260x x +-= 解得:3x =-或2x = 检验:把3x =-代入原方程,左边≠右边,所以3x =-就是增根. 把2x =代入原方程,左边 = 右边,所以2x =就是原方程的根. 所以,原方程的解就是2x =. 说明:含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤: ①移项,使方程的左边只保留含未知数的二次根式,其余各项均移到方程的右边;②两边同时平方,得到一个整式方程;③解整式方程;④验根. 例2解方程3+= 分析:直接平方将很困难.可以把一个根式移右边再平方,这样就可以转化为上例的模式,再用例4的方法解方程. 解:原方程可化为3=- 两边平方得:3293x x -=-+ 整理得:1427x x =-?=- 两边平方得:2 9(3)4914x x x +=-+ 整理得:223220x x -+=,解得:1x =或22x =. 检验:把1x =代入原方程,左边=右边,所以1x =就是原方程的根. 把22x =代入原方程,左边≠右边,所以22x =就是增根. 所以,原方程的解就是1x =.
例3解方程 解:移项得 两边平方后整理得 再两边平方后整理得x 2＋3x-28＝0, 所以 x 1=4,x 2=-7. 经检验知,x 2=-7为增根,所以原方程的根为x=4. 说明:含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤: ①移项,使方程的一边只保留一个含未知数的二次根式;②两边平方,得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程;③一下步骤同例4的说明. 2.换元法解无理方程 例4 解方程 22 3152512x x x x ++++= 分析:本题若直接平方,会得到一个一元四次方程,难度较大.注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系,可以发现:2231533(51)x x x x ++=++.因此,可以设251x x y ++=,这样就可将原方程先转化为关于y 的一元二次方程处理. 解:251x x y ++=,则2222513153(1)x x y x x y ++=?+=- 原方程可化为:23(1)22y y -+=, 即23250y y +-=,解得:1y =或53y =-. (1)当1y =时225115010x x x x x x ++=?+=?=-=或; (2)当53y =-时,2510x x y ++=≥,所以方程无解. 检验:把1,0x x =-=分别代入原方程,都适合. 所以,原方程的解就是1,0x x =-=. 说明:解决根式方程的方法就就是采取平方、换元等法,将根式方程转化为有理方程,体
第2课时 用移项的方法解一元一次方程 1．掌握移项变号的基本原则；(重点) 2．会利用移项解一元一次方程；(重点) 3．会抓住实际问题中的数量关系列一元一次方程解决实际问题．(难点 ) 一、情境导入 上节课学习了一元一次方程，它们都有这样的特点：一边是含有未知数的项，一边是常数项．这样的方程我们可以用合并同类项的方法解答．那么像3x ＋7＝32－2x 这样的方程怎么解呢？ 二、合作探究 探究点一：移项法则 通过移项将下列方程变形，正确的是( ) A ．由5x －7＝2，得5x ＝2－7 B ．由6x －3＝x ＋4，得3－6x ＝4＋x C ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8 D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －x ＝－1＋9 解析：A.由5x －7＝2，得5x ＝2＋7，故选项错误；B.由6x －3＝x ＋4，得6x －x ＝3＋4，故选项错误；C.由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8，故选项正确；D.由x ＋9＝3x －1，得3x －x ＝9＋1，故选项错误．故选C. 方法总结：①所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这个方程的一边变换两项的位置．②移项时要变号，不变号不能移项． 探究点二：用移项解一元一次方程 解下列方程： (1)－x －4＝3x ； (2)5x －1＝9； (3)－4x －8＝4; (4)0.5x －0.7＝6.5－1.3x . 解析：通过移项、合并、系数化为1的方法解答即可． 解：(1)移项得－x －3x ＝4， 合并同类项得－4x ＝4， 系数化成1得x ＝－1； (2)移项得5x ＝9＋1， 合并同类项得5x ＝10， 系数化成1得x ＝2； (3)移项得－4x ＝4＋8， 合并同类项得－4x ＝12， 系数化成1得x ＝－3； (4)移项得1.3x ＋0.5x ＝0.7＋6.5， 合并同类项得1.8x ＝7.2， 系数化成1得x ＝4.
换元法 在因式分解中,把一个较复杂的数学式子的某一部分看成一个整体,用一个字母去代替这一部分,使原式变成含有新元的简单式子,在分解后再将新元换出,这种方法叫换元法. 1.10)3)(4(22+++-+x x x x 2.24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x 3.20)5)(1)(3(2-+-+x x x 4.90)384)(23(22-++++x x x x 5.)(4)(22222y x xy y xy x +-++ 6.2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x 7.4482--a a 8.yz z y x 2222+-- 9. 644+x 10. 2214176y xy x -- 11. 581337622-++--y x y xy x 12.1433181892022-+--+y x y xy x 13. 2820152-+--y x xy x 14.12)2)(1(22-++++x x x x
15.1)1(2)(3---++y x xy y x 16. 222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x 17. 已知乘法公式 a 5+b 5=(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)，a 5-b 5=(a-b)(a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3+b 4),利用或不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1. 五.待定系数法 1. 192256112--x x 2.744272234+---x x x x 3.156234+-+-x x x x 六.因式定理 余数定理 ).()()(a f a x x f 的余数等于 除以多项式- 因式定理 整除能被则即的值为零，多项式如果a x x f a f x f a x -==)(,0)( )(,).)(a x x f -含有因式（即
人教版初中数学方程与不等式之无理方程全集汇编 一、选择题 1．方程23 x+=的根是_______________． 【答案】x=7 【解析】 【分析】 根据无理方程的解法求解即可. 【详解】 x+=， 解：23 两边平方可得：x+2=9， 移项合并得：x=7. 故答案为：x=7. 【点睛】 本题考查了无理方程的解法，解题的关键是根据等式的性质将方程两边平方，从而化成整式方程. 2．方程21 -=的解为 x 【答案】x=1 【解析】 试题分析：方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代入进行检验即可． 试题解析：方程两边平方，得：2-x=1， 解得：x=1． 经检验：x=1是方程的解． 考点：无理方程． 3．方程2=x﹣6的根是______． 【答案】x=12． 【解析】 两边平方，求得一元二次方程的解，进一步利用x﹣3≥0验证得出答案即可． 解：2=x﹣6 4（x﹣3）=x2﹣12x+36 整理得x2﹣16x+48=0 解得：x1=4，x2=12 代入x﹣3＞0，当x=4时，等式右边为负数， 所以原方程的解为x=12． 故答案为：x=12．
4．方程32 x-=的解是__________． 【答案】x=7 【解析】 【分析】 将方程两边平方后求解，注意检验． 【详解】 将方程两边平方得x-3=4， 移项得：x=7， -=2，原方程成立， 代入原方程得73 x-＝2的解是x=7． 故方程3 故本题答案为：x=7． 【点睛】 在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验． 5．方程-x=1的根是______ 【答案】x=3 【解析】 【分析】 先将-x移到方程右边，再把方程两边平方，使原方程化为整式方程x2=9，求出x的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解. 【详解】 解：整理得：=x+1， 方程两边平方，得：2x+10=x2+2x+1， 移项合并同类项，得：x2=9， 解得：x1=3，x2=-3， 经检验，x2=-3不是原方程的解， 则原方程的根为：x=3. 故答案为：x=3. 【点睛】 本题考查了解无理方程，无理方程在有些地方初中教材中不再出现，比如湘教版. 6．320 -=的解是____. x x x=- 【答案】3 【解析】 【分析】 根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验． 【详解】