专题7.4 基本不等式及其应用
【考纲解读】
要求
内容备注
A B C
一元二次不等式√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分
别用A、B、C表示）.
了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问集
合线性规划
√题.
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.
掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为基本不等式√
困难的问题.
【直击考点】
题组一常识题
4
1．函数y＝x＋(x＞0)的最小值为________．
x
4 4 4
【解析】∵x＞0，∴y＝x＋≥4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，故函数y＝x＋(x＞
x x x
0)的最小值为4.
2．一段长为40 m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________．
【解析】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝40，即x＋y＝20，∴矩形的面x＋y 2
积S＝xy≤(2 )＝100，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大的
面积是100 m2.
3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够
用且浪费最少)的铁丝的长为________m.
1 【解析】设
两直角边长分别为a m，b m，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，即ab
2
＝4，∴l＝a＋b＋a2＋b2≥2 ab＋2ab＝4＋2 2，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选用最合
理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋2 2)m.
4．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，
池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为______元．
1
4 【解析】设水池的总造价为 y 元，池底长为 x m ，则宽为 m ，由题意可得 y ＝4×120＋2 x
8 4 4 4
(2x ＋x ) (x ＋
×80＝480＋320 x )≥480＋320×2 x · ＝480＋320×2 ＝1760，当且仅当 x ＝ ，
4 x x
即 x ＝2时，y min ＝1760.
故当池底长为 2 m 时，这个水池的造价最低，最低造价为 1760元．
题组二 常错题
4
5．若 x ＞－1，则 x ＋ 的最小值为________． x ＋1
4 4 4 【解析】x ＋ ＝x ＋1＋ －1≥4－1＝3，当且仅当 x ＋1＝ ，即 x ＝1时等号成 x ＋1 x ＋1 x ＋1
立．
4 6．已知 0 【解析】∵0 4 4 ∴－y ＝－lg x ＋ ≥2 （－lg x ） × ＝4， －lg x －lg x 4 1 当且仅当－lg x ＝ ，即 x ＝ 时，等号成立， －lg x 100 ∴y max ＝－4. 4 π 7. 函数 y ＝sin x ＋sin x ，x ∈(0， 2]的最小值为 _________________________. 4 【解析】当 sin x ＝ 时，sin x ＝±2，显然等号取不到，事实上，设 t ＝sin x ，则 sin x 4 t ∈(0，1]，y ＝t ＋ 在(0，1]上为减函数，故当 t ＝1时，y 取最小值 5. t 题组三 常考题 ax ＋y ＝1， 8． 设 a ＞0，b ＞0.若关于 x ，y 的方程组{x ＋by ＝1 )无解，则 a ＋b 的取值范围是 __________． 【解析 】将方程组中的第一个方程化为 y ＝1－ax ，代入第二个方程整理得(1－ab )x ＝1－ b ，由方程组无解得 1－ab ＝0且 1－b ≠0，所以 ab ＝1且 b ≠1.由基本不等式得 a ＋b >2 ab ＝ 2，故 a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)． x y 9．若直线 ＋ ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则 a ＋b 的最小值等于________． a b 1 1 1 1 a b a b 【解析】依题意有 ＋ ＝1，所以 a ＋b ＝(a ＋b )· ＋ ＝1＋ ＋ ＋1≥2＋ 2 · ＝4，当 a b a b b a b a 且仅当 a ＝b ＝2时等号成立．10．已知 a >0，b >0，ab ＝8，则当 a 的值为________时， log2a·log2(2b)取得最大 2
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