《黄金分割》教学设计
一、教材分析：
本节课是初中数学九年级下册的内容，一方面，这是在学习了线段的比的基础上，对比例性质的的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习相似三角形等知识奠定了基础，是进一步研究相似图形及其性质的工具性内容。鉴于这种认识，本节课在此本书中有重要的地位，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
黄金分割是现实生活中存在的一种现象，广泛的应用在设计、艺术等领域中，比如黄金矩形，就是黄金分割在设计中的一个主要应用：在设计建筑物、工艺品、日常用品涉及矩形时，如果设计成黄金矩形，看起来更具有美感.学生体会到数学与自然及人类社会的密切关系，丰富了学生的数学活动经验，促进了学生观察、分析、归纳、概括的能力和审美意识的发展。
通过学习“黄金分割”这样的题材，进一步体会数学的文化价值.有效的激发学生学习数学的兴趣，发展学生的动脑、动手能力，培养学生思维能力，增强学生学习数学自信心。有助于增强学生的创新意识和实践能力，为学生提供了实践和探索的机会。
这节课也有数学实验的味道，学生在具体活动中体验数学知识，并在现实情境中和已有知识的基础上体验和理解数学知识，是学生自己建构、探索数学知识的活动.
二、学情分析：
1、学生已有基础：学生对于真实情境以及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣.而且,在前面的学习中,学生经历过探索概念的形成过程，获得了初步的数学活动经验和体验.学生对黄金分割的定义理解不存困难.也学过无理数、比例线段和一元二次方程的解法，,所以对于黄金比既能求出准确值也能算出近似值。
2、学生面临问题：学生思维能力处于发展阶段，动手能力较弱。
本节课引导学生从数学的角度思考问题，引导学生一步步的走入要解决的问题中心去，让学生自主、积极思维的同时，运用自己已有的知识去探索发现，感受数学的人文价值和与生活间的联系。
三、教学目标：
1．知识与技能目标：
（1）探索黄金分割、黄金矩形，了解黄金分割在生活的各个领域有价值的运用；
（2）在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，增强知识的综合运用能力；
(3)会找一条线段的黄金分割点,通过设计包装活动，积累数学活动经验.
2．过程与方法目标：
（1）通过现实情境与素材加强对线段的比的认识，并在实际操作、思考、交流等过程中增强实践意识；
（2）经历黄金分割概念的建立过程，发展学生的动手能力和自主学习的能力,增强发现、分析、解决问题的能力；
3．情感与态度目标：
（1）从学生乐于接受的现实背景中学习黄金分割，增强学生自信心,认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具；
（2）通过建筑、艺术等生活实例使学生体会黄金分割的文化价值，提高学生的审美意识；并在实际操作、思考、交流等过程中进一步感悟数学与人类生活的密切联系；加深对黄金分割的认识；
(3)通过分组讨论学习，体会在解决实际问题的过程中与他人合作的重要性，从而培养学生的团结协作精神．
四、教学重难点：
教学重点：了解黄金分割、黄金分割点、黄金比、黄金矩形的意义并能运用.
教学难点：会用线段的黄金分割来解决一些实际问题，从数学角度解答有关黄金分割知识.
五、教学过程设计：
《数学课程标准》指出：“数学是人类文化的重要组成部分”.本节课采用一段文化贯穿始末，6个活动展现黄金之美.
（1）同一建筑物两种设计,哪一种更具有美感？
发现美 探究美应用美 感悟美 延伸美 收获美
（2）下面这三个矩形，哪一个看上去更协调匀称？
（3）当气温处于下列哪个温度段时 , 你感到最舒适？
A.2℃～ 3℃
B.12℃～ 13℃
C.22℃～ 23℃
D.32℃～ 33℃
【设计意图】：从现实情景中提出问题，结合学生已有知识，引起学生的注意，激发好奇心和求知欲望，使学生能从数学的角度去探讨存在的奥秘．
它们都隐含着一个“数学密码”，你知道吗？ （1）上海东方明珠电视塔塔高468米.设计师将在289米处设计了一个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观. ≈0.618 黄金分割点 （2）我们大部分人所选的B 矩形, 宽为21，长为34.
≈0.618 黄金矩形
（3）人的正常体温36.2℃～ 37.2℃，当气温处于22.4℃～ 23.0℃时 , 人体感到最舒
适。
≈0.618 黄金比 通过讲故事介绍黄金分割定义.
黄金分割的定义：黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线段分为两部分，此时短段与长段之比恰恰等于长段与整条线段之比，其数值比为0.618 : 1。
【设计意图】：学生观察、思考、亲身体验，自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系。感受到黄金分割、黄金比和黄金矩形的美学价值．
活动二 动手实践探索美
如图，点B 在线段AC 上，且 设AC ＝1，求AB 的长． AC
AB AB BC
=
8
46928=
AC AB 34212
.3723
在线段AC 上，点B 把线段AC 分成两条线段AB 和BC(AB ＞BC)，如果 , 那么称线段AC 被点B 黄金分割,点,B
叫做线段AC 的黄金分割点， AB 与AC （或BC 与AB ）的比值叫做黄金比. ≈0.618 议一议:1．如图：点B 是线段AC 的黄金分割点，线段AC 还有黄金分割点吗？若有，你
能找出它吗？
2．如果把 化为乘积式是怎么样的？结合图形你怎么理解它？ 计算黄金比：
1、已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，则下列说法正确吗？
2、已知线段AB=10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点(AC>BC)，求线段AC 的长．（结果保留根号）
3、变式练习：去掉AC>BC 呢？
【设计意图】：学生经历前人发现、研究、解释美的过程，在这一知识的生成过程中，用数学的眼光来观察、用数学的思想来分析、用数学的语言来描述是帮助学生解读黄金分割之美的渠道.这些练习主要考察学生对基本概念的掌握．“线段上有几个黄金分割点？”是一个触及学生最近发展区的问题，其中蕴涵了对称的思想．这为下面生活中的黄金分割作了铺垫，学生自然而然就能心领神会。
活动三 学以致用应用美
欣赏一段芭蕾舞
为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚? 为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?为什么她们会给人和谐、舒适的美感?
1.你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗?
芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.60左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象.
2.为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?
高跟鞋的奥秘：当人肚脐以下部分的长度与身高的比值越接近0.618时，越给人以一种匀称的美感，某女士身高170cm ，脱去鞋后量得下半身长为102cm ，则建议她穿的高跟鞋高度大约为
3.你能否用彩带把礼物包装的更加美观，大方。
4.主持人主持节目时，并没有站在舞台的正中央，而是站在靠边一点，却显得更加自然2
15-AC
AB AB BC =
==AC AB AB BC AC
AB AB BC =AB AC 2
15)1(-=、AC BC 215)2(-=、AC AB BC AC =、)3(CB
AC AB ?=2)4(、
得体。若舞台AB长为10米，试估算主持人应走到离Ａ点至少多少米处？如果她向Ｂ点再走多少米也处在比较得体的位置？（精确到0.1米）
【设计意图】：通过欣赏芭蕾舞来发现黄金分割的应用，通过高跟鞋的奥秘进一步巩固黄金分割，通过小组合作交流包装礼物，在展示包装设计的过程中学生在讲台上不约而同的站在了讲台的黄金分割点的位置，感受黄金分割的美是自然的、发自内心的。在设计包装时，不同的学生会有不同的感受，不同的想象，不同的解释，只要合理都予以肯定，在“做数学”的过程中进一步培养学生的创新意识，增强应用数学知识解决实际问题的能力. 通过本环节检测学生对本节课知识的掌握程度，考查学生解决问题的实际应用能力，又让学生在实践中体验“学以致用”的道理．
活动四欣赏拓展感悟美
1.分享你搜索到的黄金分割的例子：
为了让学生了解黄金分割在更多领域的实用价值和美学价值，让学生课上搜集黄金分割的资料。
2.整合老师搜索到的黄金分割的例子展示给学生
黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下断言，黄金比会给人一种美感。
（1）黄金分割与动植物：让我们把目光投向神奇的大自然：
很多叶子的主叶脉与整个叶子长度之比约为0.618。
当植物的枝干的夹角137°28′时,通风和采光能达到最好效果。
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618
鹦鹉螺等动物的螺旋形外壳从内到外的直径之比也接近0.618,
千姿百态的生物并非杂乱无章随欲的生长。爱开玩笑的0.618制造了大量的巧合. （2）黄金分割与建筑
2400年前的古希腊巴特农神庙是举世闻名的完美建筑，它的高和宽的比是0.618。
法国巴黎圣母院的正面宽度和高度的比例是5:8，（近似0.618）它的每一扇窗户长宽比例也是如此。
文明古国埃及的4600年前的金字塔，形似方锥，大小各异。但金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.
遍布全球的众多建筑，都有意无意的运用了黄金分割法则，给人以整体上的和谐与悦目之美。
（3）黄金分割与摄影：
（4）黄金分割与绘画艺术：
世界名画<蒙娜丽莎>,也完美的体现了黄金分割,无论是画面整体还是局部.看起来是那么的和谐和完美。
画家们绘画时依照黄金比例勾勒出的脸谱.
（5）黄金分割与雕塑艺术
世界艺术珍品——维纳斯女神，她是希腊雕塑鼎盛时期的代表作，她的上半身和下半身的比值接近0.618.
（6）黄金分割与音乐
把二胡的“千斤”放在琴弦某处，音色会无与伦比的美妙。经过数学家验证，这一点恰恰是琴弦的黄金分割点
我国的国歌歌曲高潮部分在结构上几乎正好是全曲的黄金分割的位置，音乐富有动力，让人感到无比振奋。
（7）黄金分割与国旗
（8）黄金分割与工业
汽车设计
优选法：20世纪50、60年代数学家华罗庚在全国推广“0.618法”，在生产中获得大量应用，特别在工程设计方面应用最多，成效最佳。
（9）黄金分割与人
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23℃(体温)，也是正常人体温（37℃）的黄金点（23=37×0.618）。这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节。上肢与下肢长度之比均近似0.618.
（10）黄金分割与生命
在人的生命程序DNA 分子中，也包含着“黄金分割比”。它的每个双螺旋结构中都是由宽21个埃与长34个埃之比组成的，它们的比为0.6176，非常接近黄金分割的1.618。这是否说明黄金分割律是比DNA中的遗传密码更基本的东西？因为承载DNA的结构——双螺旋结构——也遵循黄金分割律。黄金分割律也许是我们的宇宙的DNA中的遗传密码？
（11）黄金分割与健康
医学专家也观察到，当人的脑电波频率下限是8赫兹，而上限是12.9赫兹，上下限的比率接近于0.618时，乃是身心最具快乐欢愉之感的时刻。正常人的心跳在心电图上也显示出T波出现的位置恰好大约是一次心跳节拍的“黄金分割”位置上
医学专家分析发现，饭吃六七成饱的人几乎不生胃病；
摄入的饮食以六分粗粮、四分精食为适宜。
而在精与运动养生中，六分静养四分运动，才是调节身心的良方。
整个世界，无处不闪耀着0.618那黄金一样熠熠的光辉.
【设计意图】：通过搜集，欣赏，交流等方式收集材料，感悟大自然的神奇和数学的美，不仅体会到数学与其他学科间的联系，拓宽学生知识面，而且领悟到科学的数学知识所蕴含的巨大人文内涵.提高了他们的数学素养，人文素养，科学素养. 培养他们对数学学习的兴趣、对知识的向往。体会黄金分割的应用价值和人文价值．
活动五思维发散延伸美
黄金分割哲学
从黄金分割率的美感中, 我们领略出另一种韵味无穷的人生哲学. 称其为0.618哲学, 或者叫黄金哲学. 它相仿于半半哲学: 平和, 稳健, 乐天知命. 可是, 它又多了一点儿向上, 一点儿进取, 超越了一点儿平庸.
人生之旅, 说短亦短, 说长亦长. 在这个旅程上, 你要有事业, 有生活, 有朋友... 每每用黄金分割率来度量, 你会有一种说不清道不尽的心旷神怡...
结束语：林语堂在“生活的艺术”一文中, 隐喻地阐述了黄金哲学的理想境界:“观测了中国的文学和哲学之后, 我得到了一个结论: 中国文化的最高理想人物, 是一个对人生有一种鉴于明慧悟性上的达观者. 这种达观产生宽宏的怀抱. 能使人带着温和的心情度过一生. 丢开功名利禄, 乐天知命地生活. 这种达观也产生了自由意识, 放荡不羁的爱好, 傲骨和漠然的态度. 一个人有了这种自由的意识和淡泊的态度, 才能深切热烈地享受快乐的人生". 黄金分割美的本质其实就是“和谐”！
【设计意图】：黄金分割的魅力让我们惊叹、痴迷，现实生活中很多事物和道理都是与数学有联系的，激发学生的求知欲，更重要的是引导学生有积极向上的人生态度。
活动六课堂小结收获美
回眸课堂，总结收获。
【设计意图】：通过反思、归纳、总结所学内容．总结学习成果，黄金分割与生活、其它学科间的联系。
活动七课后活动延续美
1：耐人寻味的0.618
让一根很普通的细橡皮筋发出“哆徕咪”并不难：把它拉紧，固定住，拨动一下，就是“1”；把这条线段黄金分割，拨动较长的那段“弦”，就发出“2”；接着把这段长线段再进行黄金分割，就得到“3”，以此类推，“4、5、6、7”同样可以得到。试着做一做.
2：争做小小营养师
黄金分割律也是一个饮食参数。利用数学知识，用自己喜欢的食物制定一份比较健康的食谱。
碱性食物如：海带、食用菌、蔬菜和水果进食量应占膳食总量的61.8％.
酸性食物如：肉、蛋、油、糖、酒，进食过多会使血液偏酸，导致酸性体质，使免疫能力下降，容易患病.
【设计意图】：让学生感觉到数学有趣，有用，有奥妙. 激发学生的创造欲，并在实践中体验“学以致用”的道理．更多的美尚待开拓研究。
六板书设计：
【设计意图】：简明有序的板书体现了本节课教与学的内容.
七教学反思：
带领学生走进历史、走进自然，走进网络，努力挖掘蕴涵在黄金分割知识背后的人文因素，融入其中.我们的学生在数学课堂上，不仅为获得知识技能而惊喜，更为数学知识创造的奇迹而惊叹，为数学家追求真理的执著而震撼，希望能通过生生不息、洋溢着人文气息的数学课堂，在数学和人文之间架起一座坚实的桥梁.
第一章 教学内容：证明（二） 重点：直角三角形，线段垂直平分线与角平分线的证明 难点：证明逆命题的真假，角平分线的证明及其对逆命题的理解易错点：线段的垂直平分线和角平分线的定理及逆定理的判别第二章 教学内容：一元一次方程 重点：用配方法，公式法，分解因式法解一元一次方程 难点：黄金分割点的理解，用配方法解方程 易错点：利用因式分解法和公式法解方程 第三章 教学内容：证明（三） 重点：特殊的平行四边形的性质与判定，平行四边形的性质与判定 难点：特殊的平行四边形的证明 易错点：各定理之间的判别 第四章 教学内容：视图与投影 重点：某物体的三视图与投影 难点：理解平行投影与中心投影的区别 易错点：三视图的理解，中心投影与平行投影的区别第五章 教学内容：反比例函数 重点：反比例函数的表达式，反比例函数的图像的概念与性质 难点：反比例函数的运用，猜想，证明与拓展 易错点：主要区别反比例函数与x 轴和与y 轴无限靠近第六章 教学内容：频率与概率 定义和命题：频率与概率的概念 难点：理解用频率去估计概率 易错点：频率是样本中才出现的，概率是整体中出项的 苏教版九年级数学上知识点汇总 第一章图形与证明（二） 1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 1.2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的判定： 角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半。 1.3 平行四边形的性质与判定： 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。定理1：平行四边形的对边相等。定理2：平行四边 形的对角相等。 定理3：平行四边形的对角线互相平分。 判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。3 两组对边分 别相等的四边形是平行四边形。从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。定理1：矩形的4 个角都是直角。定理2：矩 形的对角线相等。
九年级（上）知识点归纳 第一章图形与证明（二） 1.1 等腰三角形的性质和判定 1.等腰三角形性质定理： 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”） 2.等腰三角形判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）1.2 直角三角形全等的判定定理： 1.判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。 2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 3.角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 推论：直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半。 1.3：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定 1.平行四边形性质定理： 定理1：平行四边形的对边相等。 定理2：平行四边形的对角相等。 定理3：平行四边形的对角线互相平分。 2.平行四边形判定定理： 从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.矩形的性质定理： 定理1：矩形的4个角都是直角。 定理2：矩形的对角线相等。 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.矩形的判定定理： 1.有三个角是直角的四边形是矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形 5.菱形的性质定理： 定理1：菱形的4边都相等。 定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 6.菱形的判定定理： 1.四条边都相等的四边形是菱形。 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 7.正方形的性质定理： 正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。 8.正方形的判定定理： 1、有一个角是直角的菱形是正方形。 2、有一组邻边相等的平行四边形是正方形 1.4：等腰梯形的性质和判定 1. 等腰梯形的性质定理： 定理1：等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理2：等腰梯形的两条对角线相等。
《黄金分割》教学设计 一、教材分析： 本节课是初中数学九年级下册的内容，一方面，这是在学习了线段的比的基础上，对比例性质的的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习相似三角形等知识奠定了基础，是进一步研究相似图形及其性质的工具性内容。鉴于这种认识，本节课在此本书中有重要的地位，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。 黄金分割是现实生活中存在的一种现象，广泛的应用在设计、艺术等领域中，比如黄金矩形，就是黄金分割在设计中的一个主要应用：在设计建筑物、工艺品、日常用品涉及矩形时，如果设计成黄金矩形，看起来更具有美感.学生体会到数学与自然及人类社会的密切关系，丰富了学生的数学活动经验，促进了学生观察、分析、归纳、概括的能力和审美意识的发展。 通过学习“黄金分割”这样的题材，进一步体会数学的文化价值.有效的激发学生学习数学的兴趣，发展学生的动脑、动手能力，培养学生思维能力，增强学生学习数学自信心。有助于增强学生的创新意识和实践能力，为学生提供了实践和探索的机会。 这节课也有数学实验的味道，学生在具体活动中体验数学知识，并在现实情境中和已有知识的基础上体验和理解数学知识，是学生自己建构、探索数学知识的活动. 二、学情分析： 1、学生已有基础：学生对于真实情境以及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣.而且,在前面的学习中,学生经历过探索概念的形成过程，获得了初步的数学活动经验和体验.学生对黄金分割的定义理解不存困难.也学过无理数、比例线段和一元二次方程的解法，,所以对于黄金比既能求出准确值也能算出近似值。 2、学生面临问题：学生思维能力处于发展阶段，动手能力较弱。 本节课引导学生从数学的角度思考问题，引导学生一步步的走入要解决的问题中心去，让学生自主、积极思维的同时，运用自己已有的知识去探索发现，感受数学的人文价值和与生活间的联系。
苏科版数学九年级上册知识梳理 第一章一元二次方程 1.1一元二次方程 1、概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2、一元二次方程的一般形式 （1）形如ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数、一次项系数 （2）特殊的一元二次方程 ax2=0（a≠0，b=0，c=0） ax2+c=0（a≠0，b=0，c≠0） ax2+bx=0（a≠0，b≠0，c=0） 注意：二次项系数a≠0 （3）化一元二次方程为一般形式的方法： 整理一元二次方程的常用手段是去分母、去括号、移项、合并同类项等 （4）一元二次方程的一般形式的特征： 等号的左边是按x的降幂进行排列，右边等于0 3、根据实际问题列出一元二次方程 从实际问题中抽象一元二次方程的一般步骤： （1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系 （2）设出合适的未知数 （3）确定相等关系 （4）根据等量关系列出方程 1.2一元二次方程的解法 直接开平方法 1、如果一个一元二次方程的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解 2、直接开平方法的使用范围和理论依据：
（1）直接开平方法适合解形如x2=b和（x-a）2=b的方程，其中b≥0，因为若b＜0，方程无解 （2）直接开平方法的实质是吧一个一元二次方程降次为两个一元一次方程来求方程的根，因此要注意方程应该有两个根 配方法 配方法是通过配方将一元二次方程左边化为完全平方的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。配方法是一种重要的数学思想，它以a2±2ab+b2=（a ±b）2为依据，其基本步骤为： （1）在方程两边同除以二次项系数a，把二次项系数化为1； （2）把常数项移到等式的右边； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）方程左边写成完全平方式，右边化简为常数； （5）利用直接开平方法解方程。 公式法 用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根为x= a2 ac 4- b b-2 ± （b2-4ac≥0）。把 x= a2 ac 4- b b-2 ± 叫做一元二次方程的求根公式 一般步骤： （1）把一元二次方程化为一般形式； （2）确定a、b、c的值 （3）求出b2-4ac的值，若b2-4ac＜0，则方程无解；（4）若b2-4ac≥0，代入求根公式求出x1，x2
作品编号：4862354798562348112533 学校：兽古上山市名扬镇装载小学* 教师：葛蝇给* 班级：朱雀捌班* 第4课时黄金分割 【知识与技能】 1.理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点. 2.会判断一点是否是线段的黄金分割点. 【过程与方法】 通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解能力和动手能力. 【情感态度】 理解黄金分割点的现实意义，动手制作相关图形，感受黄金分割的美，体会教学的应用价值. 【教学重点】 找一条线段的黄金分割点. 【教学难点】 黄金分割比的应用. 一、情境导入，初步认识 现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、古希腊巴台农神庙，这些建筑的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？ 【教学说明】利用来源于生活中的美丽图象或建筑吸引学生的注意力，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，唤醒学生对美的感受. 二、思考探究，获取新知 动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，然后计算AC AB 与 BC AC , 它们的值相等吗？
【教学说明】学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解. 【归纳结论】在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如 果AC AB = BC AC ,那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点， AC与AB的比叫做黄金比. 三、运用新知，深化理解 1.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（D） 2.把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为0.764 米. 3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞ CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为51 - . 4.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.68米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位) 解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm， 则102 168 x x + + =0.618， 解得：x≈4.8cm.故答案为：4.8cm. 5.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC. 解：作法如下： （1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，
最新初中数学精品资料设计 1 2006年C品牌冰箱的市场占有率最高品牌A 29%品牌B 25% 品牌C 34%其他12%A品牌冰箱的销售量逐年上升50100150 200250300 02年03年04年05年06年销量/万台近5年B品牌冰箱的销售总量最大02004006008001000 1200140016001800A B C 品牌销量/万台8.2货比三家 教学目标： 经历从不同的角度观察分析数据，感受针对相同的数据、不同的表达方式可能会给人造成的误导； 教学重点：能够通过举例体会媒体数据对我们的重要性，并且经历查询数据作决策的过程，体会媒体是获取数据得重要渠道.其中要能够认识到来自媒体的信息也不完全可信的. 教学难点：同上 教学设计： 一、情景创设 问题1：在实际生活中，为了对某个问题作出决策，我们必须寻求解决问题所需得数据，你知道获取数据有哪些方法吗？说出来与同学们交流. （常用收集数据的方法有：民意调查、实地调查、媒体查询） 问题2：从不同的渠道获取的同一个问题的数据（信息）一定相同吗？这些数据（信息）一定准确吗？为什么？ （从不同渠道获取的同一个问题的数据（信息）不一定相同，也不一定准确.因为从不同的角度、考虑问题的不同方式、不同的立场看待同一个问题，结果肯定是不同的.） 问题3：在日常生活中，你是怎样处理媒体中提供的数据（信息）的？ 二、探究活动 小明家准备购买一台冰箱，在选择A 、B 、C 三种品牌时，全家意见发生了分歧.小明的父母收集了这三种品牌冰箱的销售资料，但数据的处理上感到十分为难. 小明通过互联网收集到A 品牌、B 品牌和C 品牌冰箱的有关销售数据如下： 冰箱销售量（单位：万台） A 品牌 B 品牌 C 品牌 2002年 58 389 208 2003年 92 353 244 2004年 135 319 265 2005年 187 266 280 2006年 249 217 289
苏科版数学九年级全册知识点梳理 第一章图形与证明（二） 1 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。 等腰三角形的判定定理： 如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 2 直角三角形全等的判定定理： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。 角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半。 3 平行四边形的性质与判定： 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 定理1：平行四边形的对边相等。 定理2：平行四边形的对角相等。 定理3：平行四边形的对角线互相平分。 判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 矩形的性质与判定： 定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。定理1：矩形的4个角都是直角。 定理2：矩形的对角线相等。 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。 2对角线相等的平行四边形是矩形。 菱形的性质与判定： 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 定理1：菱形的4边都相等。 定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 判定：1四条边都相等的四边形是菱形。 2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 正方形的性质与判定： 正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。 判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。 2有一组邻边相等的平行四边形是正方形。 1.4 等腰梯形的性质与判定 定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 定理1：等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理2：等腰梯形的两条对角线相等。 判定：1在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 2对角线相等的梯形是等腰梯形。 1.5 中位线 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底的一半。 1 / 1
）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方 ③化二次项系数为 方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为 可以用两边开平方来求出方程的解；如果 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二 ± 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 ．一元二次方程的注意事项：
、一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形。、圆内接四边形的对角互补。
x n，我们把n个数的算术平均数，简称平通常，平均数可以用来表示一组数据的
并不总是相同的，有时有些数据比其他的更重要．所以，我们在计算这组数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个” n个数据，个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数 ．将一组数据按从小到大排列，处于中间位置的数（奇数个数时）或中间两个数的平均数（偶数个数时）叫做这组数据的中位数. 在生活中可用平均数、众数和中位数这三个特征数来描述一组数据的集中趋势，它们各有不同的侧重点，需联系实际选择。 ）如何理解 众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据，它的大小只与一组一组数据中的部分数据有关，一组数据的众数可能有一个或几个，也可能没有。 ．描述一组数据的离散程度可采取许多方法，在统计中常先求这组数据的平均数，再求这组数据与平均数的差的平方和的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小 －)－)－)－) （二）通常，一组数据的方差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据也就越稳定. ．标准差：有些情况下，需用到方差的算术平方根，即，
一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有 中的一个结果出现．如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这 出现的机会都一样，那么我们就称这个试验的结果具有等可能性． 表示一次试验所有等可能出现的结果数） 树状图它可以帮助我们不重复、不遗漏地列出所有可能出现的结果。 小结：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯 6.1 图上距离与实际距离 （满分120分；时间：120分钟） 一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） 1. 已知线段m 、n ，且5m =3n ，则m n 等于（ ） A.1 5 B.1 3 C.3 5 D.5 3 2. 已知x:y =2:3，下列等式中正确的是（ ） A.(x +y)：y =2:3 B.(x +y)：y =3:2 C.(x +y)：y =1:3 D.(x +y)：y =5:3 3. 若a:b =5:3，则下列a 与b 关系的叙述，哪一个是正确的（ ） A.a 为b 的5 3倍 B.a 为b 的3 5倍 C.a 为b 的5 8倍 D.a 为b 的8 5倍 4. 如果a:b =12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（ ） A.4:3 B.3:2 C.2:3 D.3:4 5. 下列各式由ad =bc 变形错误得是（ ） A.a b =c d B.a c =b d C.b c =d a D.d b =c a 6. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，若AB =8，则线段AC 的长为（ ） A.4(√5?1) B.4√5?1 C.12?4√5 D.8?4√5
7. 若x:y=6:5，则下列等式中不正确的是() A.x+y y =11 5 B.x?y y =1 5 C.x x?y =6 D.y y?x =5 8. 有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为 5cm．经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是（） A.100m2 B.270m2 C.2700m2 D.90000m2 9. 在比例尺为1:50000的地图上，两个城市之间的距离为18cm，则它们之间的实际距离约为（） A.900000m B.90000m C.9000m D.900m 10. 如果线段a、b、c、d满足a b =c d ，那么下列等式不一定成立的是（） A.a+b b =c+d d B.a?b b =c?d d C.a+c b+d =a d D.a?b a+b =c?d c+d 二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，） 11. 已知a:b=2:3，b:c=1:5，c:d=6:7，则a:b:c:d=________． 12. 已知2x=5y，则①x+y y =________；②x?y y =________． 13. 若5?x x =2 3 ，则x=________．若m n =3 7 ，则m+n m =________． 14. 在1:500000的地图上，A、B两地的距离是64?cm，则这两地间的实际距离是________km．
篇一：2016苏科版最新教材初中数学目录 苏科版最新教材初中数学 2016年9月 目录 七年级上 第1章数学与我们同行 1.1生活数学 1.2活动思考 第2章有理数 2.1正数与负数 2.2有理数与无理数 2.3数轴 2.4绝对值与相反数 2.5有理数的加法与减法 2.6有理数的乘法与除法 2.7有理数的乘方 2.8有理数的混合运算 数学活动算“24” 小结与思考 复习题 第3章代数式 3.1 字母表示数 3.2 代数式 3.3代数式的值 3.4合并同类项 3.5去括号 3.6整式的加减 数学活动月历中的数学 小结与思考 复习题 第4章一元一次方程 4.1从问题到方程 4.2解一元一次方程 4.3用一元一次方程解决问题数学活动一元一次方程应用的调查小结与思考复习题 第5章走进图形世界 5.1丰富的图形世界 5.2图形的运动 5.3展开与折叠 5.4主视图、左视图、俯视图 数学活动设计包装纸箱
复习题 第6章平面图形的认识（一） 6.1线段、射线、直线 6.2角6.3余角、补角、对顶角 6.4平行 6.5垂直 数学活动测量距离 小结与思考 复习题 课题学习制作无盖的长方体纸盒数学活动评价表 七年级下 第7章平面图形的认识（二） 7.1探索直线平行的条件 7.2探索平行线的性质 7.3图形的平移 7.4认识三角形 7.5多边形的内角和与外角和 数学活动利用平移设计图案 第8章幂的运算 8.1同底数幂的乘法 8.2幂的乘方与积的乘方 8.3同底数幂的除法 数学活动生活中的“较大数”与“较小数” 第9章整式乘法与因式分解 9.1单项式乘单项式 9.2单项式乘多项式 9.3多项式乘多项式 9.4乘法公式 9.5多项式的因式分解数学活动拼图·公式 第10章二元一次方程组 10.1二元一次方程 10.2二元一次方程组 10.3解二元一次方程组*10.4三元一次方程组 10.5用二元一次方程组解决问题数学活动算年龄 第11章一元一次不等式 11.1生活中的不等式 11.2不等式的解集 11.3不等式的性质 11.4解一元一次不等式 11.5用一元一次不等式解决问题 11.6一元一次不等式组数学活动一元一次不等式问题的调查第12章证明 12.1定义与命题
一、选择题（每小题3分，共30分）（请把正确选项填在下面的表格内） 1．如右图中，圆与圆之间的位置关系有( ▲ )． A ．2种 B ．3种 C ．4种 D ．5种 2．已知四边形ABCD 内接于圆，∠A ＝2∠C ，则∠C 等于( ▲ )． A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 3．要判断小刚的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的( ▲ )． A ．平均数 B ．中位数 C ．方差 D ．众数 4．二次函数y ＝－2(x －1)2 ＋3的图象如何移动就得到y ＝－2x 2 的图象( ▲ )． A ．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B ．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C ．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D ．向右移动1个单位，向下移动3个单位 5．下列说法正确的是( ▲ )． A ．垂直于半径的直线是圆的切线 B ．经过三点一定可以作圆 C ．圆的切线垂直于圆的半径 D ．每个三角形都有一个内切圆 6．已知圆锥的底面半径为4，高为3，则它的侧面积是( ▲ )． A ．20π B ．15π C ． 12π D ． 6π 7．若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2 ＋x ＋a 2 －1＝0有一个根为0，则a 的值等于( ▲ )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．1或－1 8．如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C 两点恰好落在扇形AEF 的EF 时，BC 的长度等于( ▲ )． A ． 6π B ．4π C ．3 π D ． 2 π 9．若抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)只经过第一、二、四象限，则该抛物线的顶点一定在( ▲ )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）(a>2），半径为2，函数y ＝x 的图像被⊙P 截得的弦AB 的长为23，则a 的值是( ▲ )． A ．22 B ．2＋2 C ． 23 D ． 2＋3
比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段； 2、会运用比例线段解决简单的实际问题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点. 【要点梳理】 要点一、比例线段 【： 394495 图形的相似 预备知识】 1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：如果 a c b d =，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d ，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 要点二、黄金分割 1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC =,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释： AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 图4－7 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD = 2 1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、比例线段 1. （2016?兰州模拟）若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ） A ．2a=3b B ．3a=2b C ． D ． 【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案． 【答案】B ． 【解析】A 、2a=3b ?a ：b=3：2，故选项错误； B 、3a=2b ?a ：b=2：3，故选项正确； C 、=?b ：a=2：3，故选项错误； D 、=?a ：b=3：2，故选项错误． 故选B ． 【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积． 举一反三： 【变式】（2015?崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72 += 【答案】C ． 2. 设432z y x ==，求2222232z xy x z yz x --+-的值． 【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简． 【答案与解析】设4 32z y x ==＝k 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 原式＝2222)4(322)2()4(433)2(2k k k k k k k k -??-+??-?＝222412k k --＝2 1 【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去． 类型二、黄金分割
沙沟初级中学九年级数学科教学计划 2010~2011学年度第二学期 课次课题周次课时教学目的和要求教学重点和难点教学准备 第七章锐角三角函数1 3 12 1．通过实例认识锐角三角函数 （sinA、cosA、tanA）． 2．知道30°、45°、60°角的三 角函数值． 3．会使用计算器由已知锐角求它 的三角函数值，由已知三角函数值求它 对应的锐角． 4．能运用三角函数解决和直角三 角形有关的简单实际问题． 5．理解直角三角形中边、角之间 的关系，会运用勾股定理、直角三角形 的两个锐角互余及锐角三角函数解直 角三角形，进一步感受数形结合的数学 思想方法． 6．通过对实际问题的思考、探索， 提高解决实际问题的能力和使用数学 的意识． 教学重难点： 1．锐角三角函数的概 念； 2．运用三角函数解决 和直角三角形有关的简单 实际问题． 教学建议： 1．根据学生已有的知 识经验，充分利用课本提供 的问题情境和设置的活动， 经历观察、思考、操作、实 践等活动过程，利用直角三 角形中两条边的比引入锐 角三角函数的概念． 2．渗透数形结合的数 学思想． 3．培养学生分析问题 解决问题的能力． 4．要求学生会正确使 用科学计算器．
沙沟初级中学九年级数学科教学计划 2010~2011学年度第二学期 课次课题周次课时教学目的和要求教学重点和难点教学准备 第八章统计的简单应用4 5 6 1．经历收集、整理、描述和分析 数据的活动，了解数据分析的过程，能 用计算器处理较为复杂的统计数据． 2．体会样本和总体的关系，知道 可以用样本的平均数、方差来估计总体 的平均数和方差． 3．根据统计结果做出合理的判断 和预测，体会统计对决策的作用，能比 较清晰地表达自己的观点，并进行交 流． 4．能根据问题查找有关资料，获 得数据信息；对日常生活中的某些数据 发表自己的看法． 5．了解统计在社会生活及科学领 域中的使用，并能解决一些简单的实际 问题． 6．注重学生从事数据的收集、整 理、描述和分析的全过程，加强统计和 概率的联系． 7．在收集、整理、描述、分析数 教学重难点： 1．能通过各种媒体获 取数据，全面分析数据信息 进行决策，感受全面分析对 于统计决策的重要性． 2．能设计适当的调查 方案，通过调查问卷进行数 据的收集，并对数据进行适 当的整理． 3．了解简单随机抽样， 能用简单随机抽样方法抽 取样本． 教学建议： 1．在教学法上，以学 生合作探究活动为主． 2．呈现的数据信息必 须和学生日常生活相联系． 3．注意数据呈现方式 的多样性，加强前后知识的 联系．
天才是百分之一的天分,再加上百分之 九十九的努力 第4课时黄金分割 学习目标： 1、认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念. 2、会运用黄金分割进行相关计算和证明. 学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念. 学习难点：运用黄金分割解决实际问题. 【预习案】 一、链接 请写出比例的基本性质. 二、导读 阅读课本P95-96，回答下列问题： （1）叫做黄金分割．（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？ 叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比. 【探究案】 ㈠、黄金分割的定义：
1、动手操作，然后算一算，完成下面的填空： 度量线段AC 、BC 的长度，线段AC= ，BC= ， 计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与AC BC 的值 A B C 相等吗？ ※在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 和 ，如果 = ， 那么称线段AB 被点C ，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 。其中AB AC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有 个。 ⑵、黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为 ，精确到0.001为 。 2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点，则AB AC = 。 ㈡、确定黄金分割点： 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD= 21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB. （3）在AB 上截取AC=AE.点C 就是线段AB 的黄金分割点。 ㈢、黄金矩形： 宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形。 【训练案】 1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则AB ：AC= ；BC ：AB= . 2、若在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中， =11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四边形A 1B 1C 1D 1的周长为80cm ，求四边形ABCD 的周长. 3、已知，如图在 △ABC 中 EC AE DB AD = E D A A B 5?12
苏科版数学九年级下册知识梳理 第五章二次函数 5.1二次函数 定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，其中x 是自变量，y是x的函数 5.2二次函数的图像和性质 一、基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 =+的性质：（上加下减） y ax c
3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点 ()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -．
九年级上数学期中复习题 班级： 姓名： 学号： 一、精心选一选 1.在3 16x 、3 2 - 、5.0-、x a 、325中，最简二次根式的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2 =1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2 ]=1000 3.不解方程，判别方程x 2+4x+4=0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个互为相反数的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 4.下列说法: ①过三点可以作圆. ②同弧所对的圆心角度数相等.③在O ⊙内经过一点P 的所有弦中,以与OP 垂直的弦最短.④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. 其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，⊙O 中，AB 、AC 是弦，O 在∠ABO 的内部，α=∠ABO ，β=∠ACO ，θ=∠BOC ，则下列关系中，正确的是 （ ） A.βαθ+= B. βαθ22+= C ．? =++180θβα D. ? =++360θβα 6.如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC 等于（ ） A. 60° B. 100° C. 80° D. 130° 7.如图，已知EF 是⊙O 的直径，把A ∠为60 的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合．将三角板ABC 沿OE 方 向平移，使得点B 与点E 重合为止．设?=∠x POF ，则x 的取值范围是（ ） A ．3060x ≤≤ B ．3090x ≤≤ C ．30120x ≤≤ D ．60120x ≤≤ 8.式子3 ax --（a ＞0）化简的结果是（ ） A 第6题
初中数学知识点大全 第一章 实数 一、 重要概念 1．数的分类及概念 数系表： 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0） 常见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a （a≠±1）;B.1/a 中，a≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数： ①定义及表示法 ②性质：A.a≠0时，a≠-a; B.a 与-a 在数轴上的位置; C.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”） ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数） 定义及表示：奇数：2n-1 偶数：2n （n 为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）： 代数定义： 几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志; ③数a 的绝对值只有一个; 实数 无理数(无限不循环小数) 有理数 正分数 负分数 正整数 0 负整数 (有限或无限循环性整数 分数 正无理数 负无理数 0 实数 负数 整数 分数 无理数 有理数 正数 整数 分数 无理数 有理数 │a │ 2a a (a ≥0) (a 为一切实数) a(a≥0) -a(a<0) │a │=
④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的分配律） 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷ ×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 第二章 代数式 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。整式和分式统称为有理式。 2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。 说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。 4.系数与指数区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看 5.同类项及其合并条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。 注意：①从外形上判断;②区别：3、7是根式，但不是无理式（是无理数）。 7.算术平方根 ⑴正数a 的正的平方根（a [a ≥0—与“平方根”的区别]）; ⑵算术平方根与绝对值 单项式 多项式 整式 分 有理式 无理式 代数式 51
A 初中数学试卷 九年级数学练习 一、选择题（4*10=40分） 1、如图，已知ACB ∠是⊙O的圆周角，50 ACB ∠=?，则圆心角AOB ∠是（）A．? 25 B．50? C．80? D．100? 2、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝30°， 则∠BAC的度数为（）A．30 ° B．45° C．60° D．90 ° 3、下列命题中，正确的是（） ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90o的圆周角所对的弦是直径； ④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A．①②③B．③④⑤C．①②⑤D ．②④⑤ 4、⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（ ）A．相离 B．相切C．相交 D．内含 4、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（） A．2cm B C．D．
5、如图， PA PB ，分别是⊙O 的切线，A B ，为切点，AC 是⊙O 的直径，已知 35BAC ∠=o ，P ∠的度数为（ ） A ．35o B ．45o C ．60o D ．70o 6、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ．375 D ．37 7 7、如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( ) A ．2 B.32 C.3 D.3 8、如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙O 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是（ ） A ．(53)， B ．(35)， C ．(54)， D ．(45)， 9、将一块弧长为π 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为（ ） A ．3 B ． 23 C ．5 D ．2 5 10、如图，在ABC △中，10AB =，8AC =，6BC =，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA CB ，分别相交于点P Q ，，则线段PQ 长度的最小值是（ ） A ．4.75 B ．4.8 C ．5 D ．二、填空题（4*10=40分） 11、如图，AB 是⊙O 的弦，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB 于点D ，AB ＝16cm ，OD ＝6cm ，那么⊙O 的半径是__________cm ． 第10题 A C A B D O B 第7题图 第4题图