卡尔曼滤波
马尔可夫过程：
在随机理论中，把在某时刻的事件受在这之前事件的影响，其影响范围有限的随机过程，称为马尔可夫过程。一个事件受在它之前的事件的影响的深远程度，通常用在它之前的事件作为条件的概率来表达。受前一个事件的影响，简称为马尔可夫过程；受前两个事件的影响，称为二阶马尔可夫过程；受前三个事件的影响，称为三阶马尔可夫过程！
卡尔曼滤波简介＋算法实现代码（转）：
最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。
现设线性时变系统的离散状态防城和观测方程为：
X(k) = F(k,k-1)·X(k-1)+T(k,k-1)·U(k-1)
Y(k) = H(k)·X(k)+N(k)
其中
X(k)和Y(k)分别是k时刻的状态矢量和观测矢量
F(k,k-1)为状态转移矩阵
U(k)为k时刻动态噪声
T(k,k-1)为系统控制矩阵
H(k)为k时刻观测矩阵
N(k)为k时刻观测噪声
则卡尔曼滤波的算法流程为：
1
2预估计X(k)^= F(k,k-1)·X(k-1)
3计算预估计协方差矩阵C(k)^=F(k,k-1)×C(k)×F(k,k-1)'+T(k,k-1)×Q(k)×T(k,k-1)' Q(k) = U(k)×U(k)'
4计算卡尔曼增益矩阵
K(k) = C(k)^×H(k)'×[H(k)×C(k)^×H(k)'+R(k)]^(-1)
R(k) = N(k)×N(k)'
5更新估计
X(k)~=X(k)^+K(k)×[Y(k)-H(k)×X(k)^]
6计算更新后估计协防差矩阵
C(k)~ = [I-K(k)×H(k)]×C(k)^×[I-K(k)×H(k)]'+K(k)×R(k)×K(k)'
7X(k+1) = X(k)~
C(k+1) = C(k)~
重复以上步骤
其c语言实现代码如下：
#include "stdlib.h"
#include "rinv.c"
int lman(n,m,k,f,q,r,h,y,x,p,g)
int n,m,k;
double f[],q[],r[],h[],y[],x[],p[],g[];
{ int i,j,kk,ii,l,jj,js;
double *e,*a,*b;
e=malloc(m*m*sizeof(double));
l=m;
if (l a=malloc(l*l*sizeof(double)); b=malloc(l*l*sizeof(double)); for (i=0; i<=n-1; i++) for (j=0; j<=n-1; j++) { ii=i*l+j; a[ii]=0.0; for (kk=0; kk<=n-1; kk++) a[ii]=a[ii]+p[i*n+kk]*f[j*n+kk]; } for (i=0; i<=n-1; i++) for (j=0; j<=n-1; j++) { ii=i*n+j; p[ii]=q[ii]; for (kk=0; kk<=n-1; kk++) p[ii]=p[ii]+f[i*n+kk]*a[kk*l+j]; } for (ii=2; ii<=k; ii++) { for (i=0; i<=n-1; i++) for (j=0; j<=m-1; j++) { jj=i*l+j; a[jj]=0.0; for (kk=0; kk<=n-1; kk++) a[jj]=a[jj]+p[i*n+kk]*h[j*n+kk]; } for (i=0; i<=m-1; i++) for (j=0; j<=m-1; j++) { jj=i*m+j; e[jj]=r[jj]; for (kk=0; kk<=n-1; kk++) e[jj]=e[jj]+h[i*n+kk]*a[kk*l+j]; } js=rinv(e,m); if (js==0) { free(e); free(a); free(b); return(js);} for (i=0; i<=n-1; i++) for (j=0; j<=m-1; j++) { jj=i*m+j; g[jj]=0.0; for (kk=0; kk<=m-1; kk++) g[jj]=g[jj]+a[i*l+kk]*e[j*m+kk]; } for (i=0; i<=n-1; i++) { jj=(ii-1)*n+i; x[jj]=0.0; for (j=0; j<=n-1; j++) x[jj]=x[jj]+f[i*n+j]*x[(ii-2)*n+j]; } for (i=0; i<=m-1; i++) { jj=i*l; b[jj]=y[(ii-1)*m+i]; for (j=0; j<=n-1; j++) b[jj]=b[jj]-h[i*n+j]*x[(ii-1)*n+j]; } for (i=0; i<=n-1; i++) { jj=(ii-1)*n+i; for (j=0; j<=m-1; j++) x[jj]=x[jj]+g[i*m+j]*b[j*l]; } if (ii { for (i=0; i<=n-1; i++) for (j=0; j<=n-1; j++) { jj=i*l+j; a[jj]=0.0; for (kk=0; kk<=m-1; kk++) a[jj]=a[jj]-g[i*m+kk]*h[kk*n+j]; if (i==j) a[jj]=1.0+a[jj]; } for (i=0; i<=n-1; i++) for (j=0; j<=n-1; j++) { jj=i*l+j; b[jj]=0.0; for (kk=0; kk<=n-1; kk++) b[jj]=b[jj]+a[i*l+kk]*p[kk*n+j]; } for (i=0; i<=n-1; i++) for (j=0; j<=n-1; j++) { jj=i*l+j; a[jj]=0.0; for (kk=0; kk<=n-1; kk++) a[jj]=a[jj]+b[i*l+kk]*f[j*n+kk]; } for (i=0; i<=n-1; i++) for (j=0; j<=n-1; j++) { jj=i*n+j; p[jj]=q[jj]; for (kk=0; kk<=n-1; kk++) p[jj]=p[jj]+f[i*n+kk]*a[j*l+kk]; } } } free(e); free(a); free(b); return(js); } C++实现代码如下： ============================kalman.h================================ // kalman.h: interface for the kalman class. // ////////////////////////////////////////////////////////////////////// #if !defined(AFX_KALMAN_H__ED3D740F_01D2_4616_8B74_8BF57636F2C0__INCLUDED_) #define AFX_KALMAN_H__ED3D740F_01D2_4616_8B74_8BF57636F2C0__INCLUDED_ #if _MSC_VER > 1000 #pragma once #endif // _MSC_VER > 1000 #include #include "cv.h" class kalman { public: void init_kalman(int x,int xv,int y,int yv); CvKalman* cvkalman; CvMat* state; CvMat* process_noise; CvMat* measurement; const CvMat* prediction; CvPoint2D32f get_predict(float x, float y); kalman(int x=0,int xv=0,int y=0,int yv=0); //virtual ~kalman(); }; #endif // !defined(AFX_KALMAN_H__ED3D740F_01D2_4616_8B74_8BF57636F2C0__INCLUDED_) ============================kalman.cpp================================ #include "kalman.h" #include /* tester de printer toutes les valeurs des vecteurs*/ /* tester de changer les matrices du noises */ /* replace state by cvkalman->state_post ??? */ CvRandState rng; const double T = 0.1; kalman::kalman(int x,int xv,int y,int yv) { cvkalman = cvCreateKalman( 4, 4, 0 ); state = cvCreateMat( 4, 1, CV_32FC1 ); process_noise = cvCreateMat( 4, 1, CV_32FC1 ); measurement = cvCreateMat( 4, 1, CV_32FC1 ); int code = -1; /* create matrix data */ const float A[] = { 1, T, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, T, 0, 0, 0, 1 }; const float H[] = { 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 }; const float P[] = { pow(320,2), pow(320,2)/T, 0, 0, pow(320,2)/T, pow(320,2)/pow(T,2), 0, 0, 0, 0, pow(240,2), pow(240,2)/T, 0, 0, pow(240,2)/T, pow(240,2)/pow(T,2) }; const float Q[] = { pow(T,3)/3, pow(T,2)/2, 0, 0, pow(T,2)/2, T, 0, 0, 0, 0, pow(T,3)/3, pow(T,2)/2, 0, 0, pow(T,2)/2, T }; const float R[] = { 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 }; cvRandInit( &rng, 0, 1, -1, CV_RAND_UNI ); cvZero( measurement ); cvRandSetRange( &rng, 0, 0.1, 0 ); rng.disttype = CV_RAND_NORMAL; cvRand( &rng, state ); memcpy( cvkalman->transition_matrix->data.fl, A, sizeof(A)); memcpy( cvkalman->measurement_matrix->data.fl, H, sizeof(H)); memcpy( cvkalman->process_noise_cov->data.fl, Q, sizeof(Q)); memcpy( cvkalman->error_cov_post->data.fl, P, sizeof(P)); memcpy( cvkalman->measurement_noise_cov->data.fl, R, sizeof(R)); //cvSetIdentity( cvkalman->process_noise_cov, cvRealScalar(1e-5) ); //cvSetIdentity( cvkalman->error_cov_post, cvRealScalar(1)); //cvSetIdentity( cvkalman->measurement_noise_cov, cvRealScalar(1e-1) ); /* choose initial state */ state->data.fl[0]=x; state->data.fl[1]=xv; state->data.fl[2]=y; state->data.fl[3]=yv; cvkalman->state_post->data.fl[0]=x; cvkalman->state_post->data.fl[1]=xv; cvkalman->state_post->data.fl[2]=y; cvkalman->state_post->data.fl[3]=yv; cvRandSetRange( &rng, 0, sqrt(cvkalman->process_noise_cov->data.fl[0]), 0 ); cvRand( &rng, process_noise ); } CvPoint2D32f kalman::get_predict(float x, float y){ /* update state with current position */ state->data.fl[0]=x; state->data.fl[2]=y; /* predict point position */ /* x'k=A鈥k+B鈥k P'k=A鈥k-1*AT + Q */ cvRandSetRange( &rng, 0, sqrt(cvkalman->measurement_noise_cov->data.fl[0]), 0 ); cvRand( &rng, measurement ); /* xk=A?xk-1+B?uk+wk */ cvMatMulAdd( cvkalman->transition_matrix, state, process_noise, cvkalman->state_post ); /* zk=H?xk+vk */ cvMatMulAdd( cvkalman->measurement_matrix, cvkalman->state_post, measurement, measurement ); cvKalmanCorrect( cvkalman, measurement ); float measured_value_x = measurement->data.fl[0]; float measured_value_y = measurement->data.fl[2]; const CvMat* prediction = cvKalmanPredict( cvkalman, 0 ); float predict_value_x = prediction->data.fl[0]; float predict_value_y = prediction->data.fl[2]; return(cvPoint2D32f(predict_value_x,predict_value_y)); } void kalman::init_kalman(int x,int xv,int y,int yv) { state->data.fl[0]=x; state->data.fl[1]=xv; state->data.fl[2]=y; state->data.fl[3]=yv; cvkalman->state_post->data.fl[0]=x; cvkalman->state_post->data.fl[1]=xv; cvkalman->state_post->data.fl[2]=y; cvkalman->state_post->data.fl[3]=yv; } 白噪声是的特点是功率谱为常数，也就是各个频率成分幅值相同，无法用传统的低通、高通、带通、带阻滤波器去除。如果考察信号为周期信号，通过多周期平均来消除白噪声是比较好的办法，如果被考察信号为非周期信号，则需要别的方法，如小波去噪，EMD去噪，自适应滤波等。小波阈值设置好的话，效果可以，EMD我试过，SNR低了效果不行，自适应我不太了解。 均值就是所有数的平均数，就是把所有数都加起来再除以个数 方差就是把每个数减去它们的平均数再平方，把这些平方加起来再除以个数 方差表示统计数据的离散程度 卡尔曼滤波器– Kalman Filter 1．什么是卡尔曼滤波器 （What is the Kalman Filter?） 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！ 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载： 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 2．卡尔曼滤波器的介绍 （Introduction to the Kalman Filter） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+ 0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。 现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k +1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。 就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！ 下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。 3．卡尔曼滤波器算法 （The Kalman Filter Algorithm） 在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model 等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。 首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述： X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) 再加上系统的测量值： Z(k)=H X(k)+V(k) 上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B 是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。 对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算 系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。 首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态： X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1) 式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。 到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance 还没更新。我们用P表示covariance： P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2) 式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。 现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)： X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) (3) 其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)： Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) (4) 到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance： P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) (5) 其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。 卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。 下面，我会用程序举一个实际运行的例子。。。 4．简单例子 （A Simple Example） 这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。 根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出： X(k|k-1)=X(k-1|k-1) (6) 式子（2）可以改成： P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q (7) 因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下： X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) (8) Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) (9) P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) (10) 现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。 为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。 该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。 现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声。 为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡 尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。 该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。 附matlab下面的kalman滤波程序： clear N=200; w(1)=0; w=randn(1,N) x(1)=0;%如果系统真实温度是25度，这里应该为25 a=1; for k=2:N; x(k)=a*x(k-1)+w(k-1); end V=randn(1,N); q1=std(V); Rvv=q1.^2; q2=std(x); Rxx=q2.^2; q3=std(w); Rww=q3.^2; c=0.2; Y=c*x+V;%如果系统真实温度是25度，这里x应该删除。而取常数25 p(1)=0; s(1)=0; for t=2:N; p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww; b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);%原代码 根据增益计算方程：Kg(k)= P(k|k-1) H' / (H P(k|k-1) H' + R) 应该为b(t)=p1(t)/(c*(p1(t)+Rvv))，不知道我的观点是否正确; s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1)); p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t); end t=1:N; plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b'); 卡尔曼滤波计算举例 ?计算举例 ?卡尔曼滤波器特性 假设有一个标量系统，信号与观测模型为 [1][][]x k ax k n k +=+[][][] z k x k w k =+其中a 为常数，n [k ]和w [k ]是不相关的零均值白噪声，方差分别为和。 系统的起始变量x [0]为随机变量，其均值为零，方差为。2n σ2 σ[0]x P （1）求估计x [k ]的卡尔曼滤波算法；（2）当时的卡尔曼滤波增益和滤波误差方差。 22 0.9,1,10,[0]10 n x a P =σ=σ==1. 计算举例 根据卡尔曼算法，预测方程为: ??[/1][1/1]x k k ax k k -=--预测误差方差为: 2 2 [/1][1/1]x x n P k k a P k k -=--+σ 卡尔曼增益为: () 1 22 22 22 [][/1][/1][1/1][1/1]x x x n x n K k P k k P k k a P k k a P k k -=--+σ --+σ=--+σ+σ ???[/][/1][]([][/1])??[1/1][]([][1/1])?(1[])[1/1][][]x k k x k k K k z k x k k ax k k K k z k ax k k a K k x k k K k z k =-+--=--+---=---+滤波方程: ()() 2 2222222 222 22 [/](1[])[/1] [1/1]1[1/1][1/1][1/1][1/1]x x x n x n x n x n x n P k k K k P k k a P k k a P k k a P k k a P k k a P k k =--??--+σ=---+σ ?--+σ+σ??σ--+σ = --+σ+σ 滤波误差方差 起始：?[0/0]0x =[0/0][0] x x P P = UT 变换 核心思想：近似一种概率分布比近似任意一个非线性函数或非线性变换要容易。 假设n 维向量x 经过一个非线性变换得到y ，即()y g x =，x 的均值为?x ，协方差矩阵为xx P 。 步骤1：根据x 的均值?x 和协方差矩阵xx P ，采用一定的采样策略（此处采用对称采样）得到sigma 点集{}i χ。 0???1,2,...,i i i n i x x x i n χχχ+==+=-= 其中，i 表示矩阵的第i 列。 (0)(0)2() ()/() /()(1) 1/2(),1,2,...,21/2(), 1,2,...,2m c i m i c W n W n W n i n W n i n λλλλαβλλ=+=++-+=+==+= 注，这里sigma 点集{}i χ乘以对应的权重{}i m W ，可得sigma 点集的均 值为?x ，协方差为xx P 。 步骤2：对所采样的sigma 点集{}i χ中的每个sigma 点通过非线性变 换g(*),得到采样后的sigma 点集{}i y 。 ()i i y g χ= 步骤3：对变换后的sigma 点集{}i y 进行加权处理，得到输出变量y 的均值?y 和协方差yy P 。 2()02()0???()()n i m i i n i T yy c i i i y W y P W y y y y ====--∑∑ UKF 非线性系统模型为: ()((1))(1)()(())() x k f x k V k y k h x k W k =-+-=+ 1) 状态初始条件为 ?(0|0)((0|0))??(0|0)(((0|0)(0|0))((0|0)(0|0)))T xx x E x P E x x x x ==-- 2) Sigma 点采样 ??(1|1)[(1|1)(1|1)?(1|1)k k x k k x k k x k k χ--=----+-- 3) 时间更新 202020(|1)((1|1)) ?(|1)(|1) (|1)((|1)) ?(|1)(|1) ??(|1)(((|1)(|1))((|1)(|1)))(1)n i m i i n i m i i n i T xx c i i i k k f k k x k k W k k k k h k k y k k W k k P k k W k k x k k k k x k k Q k χχχμχμχχ===-=---=--=--=--=------+-∑∑∑ 4) 测量更新 20 20 1??(|1)((|1)(|1))((|1)(|1))??(|1)((|1)(|1))((|1)(|1))()(|1)*(|1)???(|)(|1)()(()(|1))(|)n i T xy c i i i n i T yy c i i i xy yy xx P k k W k k x k k k k y k k P k k W k k y k k k k y k k K k P k k P k k x k k x k k K k y k y k k P k k χμμμ==--=-------=------=--=-+--∑∑(|1)()(|1)()T xx yy P k k K k P k k K k =--- 一个应用实例详解卡尔曼滤波及其算法实现 标签：算法filtermatlabalgorithm优化工作 2012-05-14 10:48 75511人阅读评论(25) 收藏举报分类： 数据结构及其算法（4） 为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是，他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。 在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。 假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。 我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。 好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。 由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23 度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance（协方差）来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。 可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。 现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56 度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度 卡尔曼滤波实验报告 捷联惯导静基座初始对准实验 一、实验目的 ①掌握捷联惯导的构成和基本工作原理； ②掌握捷联惯导静基座对准的基本工作原理； ③了解捷联惯导静基座对准时的每个系统状态的可观测性； ④了解双位置对准时系统状态的可观测性的变化。 二、实验原理 选取状态变量为：[]T E N E N U x y x y z X V V δδεεε=ψψψ??，其 中导航坐标系选为东北天坐标系，E V δ为东向速度误差，N V δ为北向速度误差，E ψ为东向姿态误差角，N ψ为北向姿态误差角，U ψ为天向姿态误差角，x ?为东向加速度偏置，y ?为北向加速度偏置，x ε为东向陀螺漂移，y ε为北向陀螺漂移，z ε为天向陀螺漂移。则系统的状态模型为： X AX W =+ (1) 其中， 1112212211 12 1321222331323302sin 000002sin 000000000sin cos 0000sin 000000cos 0000000000000000000000000000000000000000000000000000 0L g C C L g C C L L C C C L C C C L C C C A Ω-? ? ??-Ω????Ω-Ω? ?-Ω????Ω=? ?????? ?????????? ? [00000]E N E N U T V V W W W W W W δδψψψ=，E D V W W δψ 为零均值高斯 白噪声，分别为加速度计误差和陀螺漂移的噪声成分，Ω为地球自转角速度，ij C 为姿态矩 阵n b C 中的元素，L 为当地纬度。 量测量选取两个水平速度误差：[ ]T E N Z V V δδ=，则量测方程为： 10000000000100000000E E N N V X V δηδη???? ??=+???????????? (2) 即Z HX η=+ 其中，H 为量测矩阵，[]T E N ηηη=为量测方程的随机噪声状态矢量，为零均值高 斯白噪声。 要利用基本卡尔曼滤波方程进行状态估计，需要将状态方程和量测方程进行离散化。 系统转移矩阵为： 2323/1111102!3!! n n k k k k k k n T T T I TA A A A n ∞ -----=Φ=++++=∑ (3) 2017 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:雷达系统导论 学生所在（系）:电子与信息工程学院 学生所在学科:电子与同学工程 学生姓名: 学号: 学生类别: 考核结果阅卷人 第 1 页（共页） 几种非线性滤波算法的介绍与性能分析 作者姓名：学号： 专业院系：电信学院电子工程系 电子邮件： 摘要—非线性滤波算法在雷达目标跟踪中有着重要的应用，对雷达的跟踪性能有着至关重要的影响。好的滤波算法有利于目标航迹的建立及保持，能够得到较精确的目标位置，为发现目标后的后续工作提供可靠的数据依据。本文重点介绍了雷达数据处理中的几种非线性滤波算法：扩展卡尔曼滤波（EKF）、不敏卡尔曼滤波（UKF）、粒子滤波（PF），并且给出了一个利用这三种算法进行数据处理的一个实例，通过这个实例对比分析了这三种算法的性能以及优劣。 关键字—非线性滤波算法；扩展卡尔曼滤波；不敏卡尔曼滤波；粒子滤波； I.概述（一级表题格式） 在雷达对目标进行跟踪前要先对目标进行检测。对于满足检测条件的目标就需要进行跟踪，在跟踪的过程中可以利用新获得的数据完成对目标的进一步检测比如去除虚假目标等，同时利用跟踪获得数据可以进一步完成对目标动态特性的检测和识别。因此对目标进行准确的跟踪是雷达性能的一个重要指标。在检测到满足条件的目标后，根据目标运动状态建立目标运动模型，然后对目标跟踪算法进行设计，这是雷达目标跟踪中的核心部分。 目前主要的跟踪算法包括线性自回归滤波，两点外推滤波、维纳滤波、- αβ滤波、加权最小二乘滤波、维纳滤波和卡尔曼滤波[1]。对于线性系统而言最优滤波的方法就是卡尔曼滤波，卡尔曼滤波是线性高斯模型下的最优状态估计算法。但是实际问题中目标的运动模型往往不是线性的，因此卡尔曼滤波具有很大的局限性。目前主要用的非线性滤波算法可以分为高斯滤波和粒子滤波[2]。不敏卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波就是高斯滤波中的典型代表，也是应用相对较为广泛的。粒子滤波的应用范围比高斯滤波的适用范围要广，对于系统状态非线性，观测模型非高斯等问题都有很好的适用性。本文具体分析阐述了扩展卡尔曼滤波算法，不敏卡尔曼滤波算法，粒子滤波算法，并且通过一个实例利用仿真的方法分析了这三种算法在滤波性能上的优劣，最后对这三种算法做了一定的总结。 我本科毕业设计题目为《基于历史数据的路径生成算法研究》，由于我是跨专业保研到电信学院，该课题所研究内容不属于雷达系统研究范围，是一种城市路网最快路径生成算法。 II.几种非线性滤波算法 A.扩展卡尔曼滤波 扩展卡尔曼滤波是将非线性系统转换为近似的线性系统的一种方法，其核心思想是围绕滤波值将非线性函数展开成泰勒级数并略去二阶及以上的项，得到一个近似的线性化模型，然后应用卡尔曼滤波完成状态估计。 扩展卡尔曼滤波状态空间模型： k k k w x f+ = + ) ( x 1 状态方程 k k k v x h+ =) ( z观测方程 其中(.) f和(.) h为非线性函数 在扩展卡尔曼滤波中，状态的预测以及观测值的预测由非线性函数计算得出，线性卡尔曼滤波中的状态转移矩阵A阵和观测矩阵H阵由f和h函数的雅克比矩阵代替。 对 (.) f和(.) h Taylor展开，只保留一次项有： ) ? ( ) ?( ) ( k k k k k x x A x f x f- + ≈ ) ? ( ) ?( ) ( k k k k k x x H x h x h- + ≈ 其中： k k x x k k dx df A ?= =为f对 1- k x求导的雅克比矩阵 k k x x k k dx dh H ?= =为h对 1- k x求导的雅克比矩阵 ) ?( ? 1-k k x f x=，于是可以得出： k k k k k k k w x A x f x A x+ - + ≈ + ) ? ) ?( ( 1 k k k k k k k v x H x h x H z+ - + ≈ + ) ? ) ?( ( 1 通过以上变换，将非线性问题线性化。接下来EKF 滤波过程同线性卡尔曼滤波相同，公式如下: )) | (?( ) |1 ( X?k k X f k k= + ) ( ) ( ) | ( ) ( ) |1 (P k Q k k k P k k k+ Φ' Φ = + )1 ( )1 ( ) |1 ( )1 ( )1 (S+ + + ' + + = +k R k H k k P k H k )1 ( )1 ( ) |1 ( )1 ( K1+ + ' + = +-k S k H k k P k Kalman_Filter(float Gyro,float Accel) { Angle+=(Gyro - Q_bias) * dt; Pdot[0]=Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0]; Pdot[1]= - PP[1][1]; Pdot[2]= - PP[1][1]; Pdot[3]=Q_gyro; PP[0][0] += Pdot[0] * dt; PP[0][1] += Pdot[1] * dt; PP[1][0] += Pdot[2] * dt; PP[1][1] += Pdot[3] * dt; Angle_err = Accel - Angle; PCt_0 = C_0 * PP[0][0]; PCt_1 = C_0 * PP[1][0]; E = R_angle + C_0 * PCt_0; K_0 = PCt_0 / E; K_1 = PCt_1 / E; t_0 = PCt_0; t_1 = C_0 * PP[0][1]; PP[0][0] -= K_0 * t_0; PP[0][1] -= K_0 * t_1; PP[1][0] -= K_1 * t_0; PP[1][1] -= K_1 * t_1; Angle += K_0 * Angle_err; Q_bias += K_1 * Angle_err; Gyro_x = Gyro - Q_bias; } 首先是卡尔曼滤波的5个方程： -=--+（1）先验估计 X k k AX k k Bu k (|1)(1|1)() -=--+（2）协方差矩阵的预测(|1)(1|1)' P k k AP k k A Q LMS 自适应滤波实验报告 姓名： 学号： 日期：2015.12.2 实验内容： 利用自适应滤波法研究从宽带信号中提取单频信号的方法。 设()()()()t f B t f A t s t x 212cos 2cos π?π+++=，()t s 是宽带信号，A ，B ，1f ，2f ， ?任选 （1）要求提取两个单频信号； （2）设f f f ?+=12，要求提取单频信号()t f 22cos π，研究f ?的大小对提取单频信号的影响。 1. 自适应滤波器原理 自适应滤波器理论是现代信号处理技术的重要组成部分，它对复杂信号的处理具有独特的功能。自适应滤波器在信号处理中属于随机信号处理的范畴。在一些信号和噪声特性无法预知或他们是随时间变化的情况下，自适应滤波器通过自适应滤波算法调整滤波器系数，使得滤波器的特性随信号和噪声的变化，以达到最优滤波的效果，解决了固定全系数的维纳滤器和卡尔曼滤波器的不足。 （1） 自适应横向滤波器 所谓自适应滤波，就是利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。自适应滤波器由两个部分组成：滤波器结构和调节滤波器系数的自适应算法。自适应滤波器的特点是自动调节自身的冲激响应，达到最优滤波，此算法适用于平稳和非平稳随机信号，并且不要求知道信号和噪声的统计特性。 一个单输入的横向自适应滤波器的原理框图如图所示： 实际上这种单输入系统就是一个FIR 网络结构，其输出()n y 用滤波器单位脉冲响应表示成下式： ()()()∑-=-=1 N m m n x m w n y 这里()n w 称为滤波器单位脉冲响应，令：()()n i n x x i w w m i i i ,1,1,1+-=-=+=用j 表示，上式可以写成 ∑==N i ij i j x w y 1 这里i w 也称为滤波器加权系数。用上面公式表示其输出，适用于自适应线性组合器，也适用于FIR 滤波器。将上式表示成矩阵形式： X W W X j T T j j y == 式中 [][ ] T Nj j j j T N x x x w w w X W ,...,,, ,...,,2121== 误差信号表示为 X W j T j j j j d y d e -=-= （2） 最小均方（LMS ）算法 Widrow 等人提出的最小均方算法，是用梯度的估计值代替梯度的精确值，这种算法简单易行，因此获得了广泛的应用。 LMS 算法的梯度估计值用一条样本曲线进行计算，公式如下： 第 46卷第 2期 2011年 4月 西南交通大学学报 J OURNAL OF SOUTHW EST JI A OTONG UN I VERSI T Y V o. l 46 N o . 2 A pr . 2011收稿日期 :2010 02 01 作者简介 :马磊 (1972-, 男 , 教授 , 博士 , 研究方向是网络化控制和多机器人系统 , E m ai:l m ale@i s w jt u . edu. cn , l . 文章编号 :0258 2724(2011 02 0287 07 DO I :10. 3969/.j i ssn . 0258 2724. 2011. 02. 019 多智能体系统中一致性卡尔曼滤波的研究进展 马磊 1 , 史习智 2 (1. 西南交通大学电气工程学院 , 四川成都 610031; 2. 上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室 , 上海 200240 摘要 :从多智能体系统中一致性问题的基本概念、算法收敛性和性能分析出发 , 总结了基于一致性方法的分布式卡尔曼滤波的研究进展 . 从基于局部通讯的滤波器构造方法、信息加权和滤波器参数优化等方面对研究现状进行了评述 . 最后 , 讨论了信息损失、量化一致性和随机异步算法等前沿问题 , 以期促进相关研究 . 关键词 :一致性 ; 多智能体系统 ; 图拉普拉斯算子 ; 信息融合 ; 分布式卡尔曼滤波中图分类号 :TP242 文献标志码 :A R ecent Developm ent on Consensus Based Kalman Fi ltering in M ulti agent System s MA Lei 1 , S H I X izhi 2 (1. Schoo l o f E lectr i ca lEng i neeri ng , Southwest Jiao tong U nivers it y , Chengdu 610031, Ch i na ; 2. Sta te K ey L aboratory o fM echanical Syste m s and V ibra tion , Shangha i Ji ao t ong U n i v ers it y , Shangha i 200240, Ch i na Abst ract :Recent deve l o pm ent of the distributed K al m an filtering usi n g the consensus m ethod w as addressed . The concep, t conver gence and perfor m ance ana l y sis of consensus prob le m s i n m ulti agent syste m s w ere i n tr oduced , and severa l aspects o f t h e consensus based K al m an filtering were discussed in deta ils , i n c l u d i n g filter constructi o n based on loca l co mmunicati o n , i n for m ation w eighti n g and para m eter opti m ization . F i n ally , so m e fronti e rs o f the research on the consensus m ethod , such as i n f o r m ation loss , quantized consensus and stochastic asynchronous a l g orithm s , w ere briefly d iscussed to pro m ote the related research . K ey w ords :consensus ; mu lti agent syste m; graph Laplacian; i n for m ation f u si o n ; distri b uted K al m an filtering 卡尔曼，美国数学家和电气工程师。1930年5月 19日生于匈牙利首都布达佩斯。1953年在美国麻省理工学院毕业获理学士学位,1954年获理学硕士学位,1957年在哥伦比亚大学获科学博士学位。1957～1958年在国际商业机器公司(IBM)研究大系统计算机控制的数学问题。1958～1964年在巴尔的摩高级研究院研究控制和数学问题。1964～1971年到斯坦福大学任教授。1971年任佛罗里达大学数学系统理论研究中心主任，并兼任苏黎世的瑞士联邦高等工业学校教授。1960年卡尔曼因提出著名的卡尔曼滤波器而闻名于世。卡尔曼滤波器在随机序列估计、空间技术、工程系统辨识和经济系统建模等方面有许多重要应用。1960年卡尔曼还提出能控性的概念。能控性是控制系统的研究和实现的基本概念，在最优控制理论、稳定性理论和网络理论中起着重要作用。卡尔曼还利用对偶原理导出能观测性概念，并在数学上证明了卡尔曼滤波理论与最优控制理论对偶。为此获电气与电子工程师学会(IEEE)的最高奖──荣誉奖章。卡尔曼著有《数学系统概论》(1968)等书。 什么是卡尔曼滤波 最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼 滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。 卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量。它以“预测—实测—修正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。 释文：卡尔曼滤波器是一种由卡尔曼（Kalman）提出的用于时变线性系统的递归滤波器。这个系统可用包含正交状态变量的微分方程模型来描述，这种滤波器是将过去的测量估计误差合并到新的测量误差中来估计将来的误差。 卡尔曼滤波的应用 斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器.卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时,发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用,后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器. 关于这种滤波器的论文由Swerling (1958), Kalman (1960)与 Kalman and Bucy (1961)发表. LMS 自适应滤波实验报告 ： 学号： 日期：2015.12.2 实验容： 利用自适应滤波法研究从宽带信号中提取单频信号的方法。 设()()()()t f B t f A t s t x 212cos 2cos π?π+++=，()t s 是宽带信号，A ，B ，1f ，2f ， ?任选 （1）要求提取两个单频信号； （2）设f f f ?+=12，要求提取单频信号()t f 22cos π，研究f ?的大小对提取单频信号的影响。 1. 自适应滤波器原理 自适应滤波器理论是现代信号处理技术的重要组成部分，它对复杂信号的处理具有独特的功能。自适应滤波器在信号处理中属于随机信号处理的畴。在一些信号和噪声特性无法预知或他们是随时间变化的情况下，自适应滤波器通过自适应滤波算法调整滤波器系数，使得滤波器的特性随信号和噪声的变化，以达到最优滤波的效果，解决了固定全系数的维纳滤器和卡尔曼滤波器的不足。 （1） 自适应横向滤波器 所谓自适应滤波，就是利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。自适应滤波器由两个部分组成：滤波器结构和调节滤波器系数的自适应算法。自适应滤波器的特点是自动调节自身的冲激响应，达到最优滤波，此算法适用于平稳和非平稳随机信号，并且不要求知道信号和噪声的统计特性。 一个单输入的横向自适应滤波器的原理框图如图所示： 实际上这种单输入系统就是一个FIR 网络结构，其输出()n y 用滤波器单位脉冲响应表示成下式： ()()()∑-=-=1 N m m n x m w n y 这里()n w 称为滤波器单位脉冲响应，令： ()()n i n x x i w w m i i i ,1,1,1+-=-=+=用j 表示，上式可以写成 ∑==N i ij i j x w y 1 这里i w 也称为滤波器加权系数。用上面公式表示其输出，适用于自适应线性组合器，也适用于FIR 滤波器。将上式表示成矩阵形式： X W W X j T T j j y == 式中 [][ ] T Nj j j j T N x x x w w w X W ,...,,, ,...,,2121== 误差信号表示为 X W j T j j j j d y d e -=-= （2） 最小均方（LMS ）算法 Widrow 等人提出的最小均方算法，是用梯度的估计值代替梯度的精确值，这种算法简单易行，因此获得了广泛的应用。 第十三章 卡尔曼滤波 在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算Gauss ARMA 模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。 §13.1 动态系统的状态空间表示 我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设基础上，继续分析动态系统的表示方法。 13.1.1 继续使用的假设 假设表示时刻观测到的n 维随机向量，一类非常丰富的描述动态性的模型可以利用一些可能无法观测的被称为状态向量(state vector)的r 维向量表示，因此表示动态性的状态空间表示(state-space representation)由下列方程系统给出： 状态方程(state model) (13.1) 量测方程(observation model) (13.2) 这里，和分别是阶数为，和的参数矩阵，是的外生或者前定变量。方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量测方程(observation model)，维向量和维向量都是向量白噪声，满足： (13.3) (13.4) 这里和是和阶矩阵。假设扰动项和对于所有阶滞后都是不相关的，即对所有和，有： (13.5) t x 是外生或者前定变量的假定意味着，在除了包含在121,,,y y y t t 内的信息以外，t x 没有为s t ξ和s t w ( ,2,1,0 s )提供任何新的信息。例如，t x 可以包括t y 的滞后值，也可以包括与 ξ和 w (任意 )不相关的变量。 方程系统中方程(13.1)至方程(13.5)可以表示有限观测值的序列},,,{21T y y y ，这时需要状态向量初始值1ξ。假设1ξ与t v 和t w 的任何实现都不相关： 卡尔曼滤波实验报告 2014 年 4 月 GPS 静/动态滤波实验 一、实验要求 1、分别建立GPS 静态及动态卡尔曼滤波模型，编写程序对静态和动态GPS 数据进行Kalman 滤波。 2、对比滤波前后导航轨迹图。 3、画出滤波过程中估计均方差(P 阵对角线元素开根号)的变化趋势。 4、思考：① 简述动态模型与静态模型的区别与联系；② R 阵、Q 阵，P0阵的选取对滤波精度及收敛速度有何影响，取值时应注意什么；③ 本滤波问题是否可以用最小二乘方法解决，如果可以，请阐述最小二乘方法与Kalman 滤波方法的优劣对比。 二、实验原理 2.1 GPS 静态滤波 选取系统的状态变量为[ ]T L h λ=X ,其中L 为纬度(deg),λ为经度(deg)，h 为高度 (m)。设()w t 为零均值高斯白噪声，则系统的状态方程为： 310()w t ?=+X (1) 所以离散化的状态模型为： ,111k k k k k W ---=+X X Φ (2) 式中，,1k k -Φ为33?单位阵，k W 为系统噪声序列。 测量数据包括：纬度静态量测值、经度静态量测值和高度构成31?矩阵Z ，量测方程 可以表示为： k k k Z HX V =+ (3) 式中，H 为33?单位阵，k V 为量测噪声序列。 系统的状态模型是十分准确的，所以系统模型噪声方差阵可以取得十分小，取Q 阵零矩阵。 系统测量噪声方差阵R 由测量确定，由于位置量测精度为5m ，采用克拉索夫斯基地球椭球模型，长半径e R 为6378245m ，短半径p R 为6356863m 。所以R 阵为： 2 2 25180()0 05180 ( )0cos()00 5p e R R L ππ ??? ?? ? ??= ??? ? ? ?? ? R (4) 2.2 GPS 动态滤波 动态滤波基于当前统计模型，在地球坐标系下解算。选取系统的状态变量为 T x x x y y y z z z X x v a y v a z v a εεε??=??,其中,,,x x x x v a ε依次为地球坐标系下x 轴上的位置、速度、加速度和位置误差分量，,y z 轴同理。系统的状态模型可以表示为： ()()()()t t t t =++X AX U W (5) 式中，位置误差视为有色噪声，为一阶马尔科夫过程，可表示为： x x x x y y y y z z z z w w w εετεετεετ?=-+????=-+????=-+?? 1 11 (6) 其中，i τ(,,i x y z =)为对应马尔科夫过程的相关时间常数，(,,)i w i x y z =为零均值高斯白噪声。 卡尔曼滤波实验报告 2014 年 4 月 GPS静/动态滤波实验 一、实验要求 1、分别建立GPS静态及动态卡尔曼滤波模型，编写程序对静态和动态GPS数据进行Kalman滤波。 2、对比滤波前后导航轨迹图。 3、画出滤波过程中估计均方差(P 阵对角线元素开根号)的变化趋势。 4、思考：① 简述动态模型与静态模型的区别与联系；② R 阵、Q 阵，P0阵的选取对滤波精度及收敛速度有何影响，取值时应注意什么；③ 本滤波问题是否可以用最小二乘方法解决，如果可以，请阐述最小二乘方法与Kalman 滤波方法的优劣对比。 二、实验原理 2.1 GPS 静态滤波 (deg) 度(m) (1) 所以离散化的状态模型为： (2) 可以表示为： (3) 矩阵。 5m ，采用克拉索夫斯基地球 6378245m 6356863m (4) 2.2 GPS 动态滤波 动态滤波基于当前 统计模型，在地球坐标系下解算。选取系统的状态变量为 (5) 式中，位置误差视为有色噪声，为一阶马尔科夫过程，可表示为： ε τεετεετ-=- =-1 1 (6) 白噪声。 (7) (8) 系统噪声为： (9) 量测量为纬度动态量测值、经度动态量测值、高度和三向速度量测值。由于滤波在地球 坐标系下进行，为了简便首先将纬度、经度和高度转化为三轴位置坐标值，转化方式如下： (10) 量测方程为： (11) 综上，离散化的Kalman滤波方程为： (12) 离散化的系统噪声协方差阵为： 2 [ π ?] ? k x = +<0 “当前”加速度 (13) 离散化量测噪声协方差阵为：diag = R 三、实验结果 3.1 GPS静态滤波 卡尔曼滤波与组合导航》课程实验报告 实验 捷联惯导 /GPS 组合导航系统静态导航实验 实验序号 3 姓名 陈星宇 系院专业 17 班级 ZY11172 学号 ZY1117212 日期 2012-5-15 指导教师 宫晓琳 成绩 、实验目的 ① 掌握捷联惯导 /GPS 组合导航系统的构成和基本工作原理； ②掌握采用卡尔曼滤波方法进行捷联惯导 /GPS 组合的基本原理； ③掌握捷联惯导 /GPS 组合导航系统静态性能； ④了解捷联惯导 /GPS 组合导航静态时的系统状态可观测性； 、实验原理 （ 1）系统方程 X FX GW 系统噪声矢量由陀螺仪和加速度计的随机误差组成，表达式为： 2）量测方程 和 H 分别为捷联解算与 GPS 的东向速度、北向速度、天向速度、纬度、经度和高度之 差；量测矩阵 H H V H P T ，H P 03 6 diag R M H, （R N H ）cos L, 036 ， H V 033 diag 1, 1, 1 039 ，v v V E v V N v V U v L v v H 为量测噪声。 量测噪声 v E v N T v U L h x y z x y z 其中， E 、 N 、 U 为数学平台失准角； v E 、 v N 、 v U 分别为载体的东向、北向和天向速度误差； L 、 、 h 分别为纬度误差、经度误差和高度误差； x 、 y 、 z 、 x 、 y 、 z 分别为陀螺随 机常值漂移和加速度计随机常值零偏。（下 标 系统的噪声转移矩阵 G 为： E 、N 、 U 分别代表东、北、天） C b n 3 3 0 9 3 3 3 C n C b 9 3 15 6 系统的状态转移矩阵 w w w w F 组成内容为： w z F 06N 9 F S F M ，其中 F N 中非零元素为可由惯导误差模型获得。 F S C b n 3 3 0 3 3 3 3 C b n 3 3 96 量测变量 z V E V N V U L H ， ， V E 、 V N 、 V U 、 L 、 X U 卡尔曼滤波研究综述 1 卡尔曼滤波简介 1.1卡尔曼滤波的由来 1960年卡尔曼发表了用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文-《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法），在这篇文章里一种克服了维纳滤波缺点的新方法被提出来，这就是我们今天称之为卡尔曼滤波的方法。卡尔曼滤波应用广泛且功能强大，它可以估计信号的过去和当前状态甚至能估计将来的状态即使并不知道模型的确切性质。 其基本思想是以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值。算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。 对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。它的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 1.2标准卡尔曼滤波-离散线性卡尔曼滤波 为了描述方便我们作以下假设：物理系统的状态转换过程可以描述为一个离散时间的随机过程；系统状态受控制输入的影响；系统状态及观测过程都不可避免受噪声影响；对系统状态是非直接可观测的。在以上假设前提下，得到系统的状体方程和观测方程。 X ?? 1-1 式中:X k 为状态向量,L k 为观测向量,Φk,k-1为状态转移矩阵,U k-1为控制向量,一 般不考虑,Γk,k-1,B k 为系数矩阵,Ωk-1为系统动态噪声向量,Δk 为观测噪声向量,其 随机模型为 E(Ωk ) =0;E(Δk ) =0;cov(Ωk ,Ωj ) = D Ω(k )δkj , cov(Δk ,Δj ) = D k (k )δkj ;cov(Ωk ,Δj ) =0;E(X 0) =μx(0) var(X 0) = D(X 0);cov(X 0,Ωk ) =0;cov(X 0,Δk ) =0. 1-2 卡尔曼滤波递推公式为 X ∧(k/k) = X ∧(k/k-1)+J k (L k -B k X ∧(k/k-1)), D(k/k) = (E-J k B k )D x (k/k-1), J k = D x (k/k-1)BT k [B k D x (k/k-1)]B T k +D Δ(k)]-1, X ∧ (k/k-1) =Φk ,k-1X ∧ (k-1/k-1), D x (k/k-1) =Φk ,k-1D x (k-1/k-1)ΦT k ,k-1+Γk ,k-1D Δ(k-1)ΓT k ,k-1. 1-3 2 几种最新改进型的卡尔曼滤波算法。 2.1 近似二阶扩展卡尔曼滤波 标准的卡尔曼滤波只适用于线性系统，而工程实际问题涉及的又大多是非 线性系统，于是基于非线性系统线性化的扩展卡尔曼滤波(EKF)在上世纪70年代 被提出,目前已经成为非线性系统中广泛应用的估计方法。近似二阶扩展卡尔曼 滤 波方法(AS-EKF)基于线性最小方差递推滤波框架,应用均值变换的二阶近似从 而得到非线性系统的递推滤波滤波框架 该滤波基于线性最小方差递推框架，状态X 的最小方差估计为 自适应卡尔曼滤波 卡尔曼滤波发散的原因 如果卡尔曼滤波是稳定的，随着滤波的推进，卡尔曼滤波估计的精度应该越来越高，滤波误差方差阵也应趋于稳定值或有界值。但在实际应用中，随着量测值数目的增加，由于估计误差的均值和估计误差协方差可能越来越大，使滤波逐渐失去准确估计的作用，这种现象称为卡尔曼滤波发散。 引起滤波器发散的主要原因有两点： （1）描述系统动力学特性的数学模型和噪声估计模型不准确，不能直接真实地反映物理过程，使得模型与获得的量测值不匹配而导致滤波发散。这种由于模型建立过于粗糙或失真所引起的发散称为滤波发散。 （2）由于卡尔曼滤波是递推过程，随着滤波步数的增加，舍入误差将逐渐积累。如果计算机字长不够长，这种积累误差很有可能使估计误差方差阵失去非负定性甚至失去对称性，使滤波增益矩阵逐渐失去合适的加权作用而导致发散。这种由于计算舍入误差所引起的发散称为计算发散。 针对上述卡尔曼滤波发散的原因，目前已经出现了几种有效抑制滤波发散的方法，常用的有衰减记忆滤波、限定记忆滤波、扩充状态滤波、有限下界滤波、平方根滤波、和自适应滤波等。这些方法本质上都是以牺牲滤波器的最优性为代价来抑制滤波发散，也就是说，多数都是次优滤波方法。 自适应滤波 在很多实际系统中，系统过程噪声方差矩阵Q和量测误差方差阵R事先是不知道的，有时甚至连状态转移矩阵 或量测矩阵H也不能确切建立。如果所建立的模型与实际模型不符可能回引起滤波发散。自适应滤波就是这样一种具有抑制滤波发散作用的滤波方法。在滤波过程中，自适应滤波一方面利用量测值修正预测值，同时也对未知的或不确切的系统模型参数和噪声统计参数进行估计修正。自适应滤波的方法很多，包括贝叶斯法、极大似然法、相关法与协方差匹配法，其中最基本也是最重要的是相关法，而相关法可分为输出相关法和新息相关法。 在这里只讨论系统模型参数已知，而噪声统计参数Q和R未知情况下的自适应滤波。由于Q和R等参数最终是通过增益矩阵K影响滤波值的，因此进行自适应滤波时，也可以不去估计Q和R等参数而直接根据量测数据调整K就可以了。卡尔曼滤波计算举例
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