专题06 立体几何(解答题) 1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图,直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°, E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点. (1)证明:MN ∥平面C 1DE ; (2)求点C 到平面C 1DE 的距离. 【答案】(1)见解析;(2) 17 . 【解析】(1)连结1,B C ME . 因为M ,E 分别为1,BB BC 的中点,所以1 ME B C ∥,且11 2 ME B C =. 又因为N 为1A D 的中点,所以11 2 ND A D = . 由题设知11=A B DC ∥,可得11=BC A D ∥,故= ME ND ∥, 因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ED ∥. 又MN ?平面1C DE ,所以MN ∥平面1C DE . (2)过C 作C 1E 的垂线,垂足为H . 由已知可得DE BC ⊥,1DE C C ⊥,所以DE ⊥平面1C CE ,故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ,故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离, 由已知可得CE =1,C 1C =4,所以1C E 17 CH =.
从而点C 到平面1C DE 的距离为 17 . 【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及的知识点有线面平行的判定,点到平面的距离的求解,在解题的过程中,注意要熟记线面平行的判定定理的内容,注意平行线的寻找思路,再者就是利用线面垂直找到距离问题,当然也可以用等积法进行求解. 2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图,长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形,点E 在棱AA 1上, BE ⊥EC 1. (1)证明:BE ⊥平面EB 1C 1; (2)若AE =A 1E ,AB =3,求四棱锥11E BB C C -的体积. 【答案】(1)见详解;(2)18. 【解析】(1)由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1,BE ?平面ABB 1A 1, 故11B C BE ⊥.
平面直角坐标系压轴题 ①能熟练解平面直角坐标系中的面积存在性问题; ②能将几何问题代数化,并能运用数形结合思想解题. 探究案 【例1】如图,在平面直角坐标中,A(0,1),B(2,0),C(2,1.5). (1)求△ABC的面积; (2)如果在第二象限内有一点P(a,0.5),试用a的式子表示四边形ABOP的面积; (3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. 【例2】在平面直角坐标系中,已知A(-3,0),B(-2,-2),将线段AB平移至线段CD. 图2 (1)如图1,直接写出图中相等的线段,平行的线段; (2)如图2,若线段AB移动到CD,C、D两点恰好都在坐标轴上,求C、D的坐标; (3)若点C在y轴的正半轴上,点D在第一象限内,且S△ACD=5,求C、D的坐标; (4)在y轴上是否存在一点P,使线段AB平移至线段PQ时,由A、B、P、Q构成的四边形是平行四边形面积为10,若存在,求出P、Q的坐标,若不存在,说明理由;
【例3】如图,△ABC 的三个顶点位置分别是A (1,0),B (-2,3),C (-3,0). (1)求△ABC 的面积; (2)若把△ABC 向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到△A B C ''', 请你在图中画出△A B C '''; (3)若点A 、C 的位置不变,当点P 在y 轴上什么位置时,使2ACP ABC S S =V V ; (4)若点B 、C 的位置不变,当点Q 在x 轴上什么位置时,使2BCQ ABC S S =V V . 【例4】如图1,在平面直角坐标系中,A (a ,0),C (b ,2),且满足2 (2)20a b ++-=,过C 作CB ⊥x 轴于B . (1)求三角形ABC 的面积; (2)若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ,且AE ,DE 分别平分∠CAB ,∠ODB ,如图2,求∠AED 的度数;
第二节 与球相关的切、接问题 考法(一) 球与柱体的切、接问题 [典例] (2017·江苏高考)如图,在圆柱O 1O 2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2,则V 1 V 2 的值是________. [解析] 设球O 的半径为R ,因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切,所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ,所以V 1V 2=πR 2·2R 43 πR 3=3 2 . [答案] 3 2 考法(二) 球与锥体的切、接问题 [典例] (2018·全国卷Ⅲ)设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( ) A .123 B .18 3 C .24 3 D .54 3 [解析] 由等边△ABC 的面积为93,可得34 AB 2 =93,所以AB =6,所以等边△ABC 的外接圆的半径为r = 3 3 AB =2 3.设球的半径为R ,球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ,则d =R 2-r 2=16-12=2.所以三棱锥D -ABC 高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D -ABC 体积的最大值为1 3 ×93×6=18 3. [答案] B [题组训练] 1.(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2,底面半径为3,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于( ) A .4π B.16 3π C.323 π D .16π 解析:选D 如图,由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心, 于是,球的半径r =OB =OA 2+AB 2= 12+(3)2=2. 故这个球的表面积S =4πr 2=16π.故选D. 2.三棱锥P -ABC 中,AB =BC =15,AC =6,PC ⊥平面ABC ,PC =2,则该三棱锥的外接球表面积为________. 解析:由题可知,△ABC 中AC 边上的高为15-32=6,球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外
平面直角坐标系 漂市一中钱少锋 二、知识要点梳理 知识点一:有序数对 比如教室中座位的位置,常用“几排几列”来表示,而排数和列数的先后顺序影响座位的位置,因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时,记作(a,b),表示一个物体的位置。我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记作: (a,b). 要点诠释: 对“有序”要准确理解,即两个数的位置不能随意交换,(a,b)与(b,a)顺序不同,含义就不同,表示不同位置。 知识点二:平面直角坐标系以及坐标的概念 1.平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。 注:我们在画直角坐标系时,要注意两坐标轴是互相垂直的,且有公共原点,通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。 2.点的坐标
点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法,是今后研究函数的基础。在平面直角坐标系中,要想表示一个点的具体位置,就要用它的坐标来表示,要想写出一个点的坐标,应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是a,垂足N在y轴上的坐标是b,我们说点A的横坐标是a,纵坐标是b,那么有序数对(a,b)叫做点A的坐标.记作:A(a,b).用(a,b)来表示,需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面,所以这是一对有序数。 注:①写点的坐标时,横坐标写在前面,纵坐标写在后面。横、纵坐标的位置不能颠倒。 ②由点的坐标的意义可知:点P(a,b)中,|a|表示点到y轴的距离;|b|示点到x轴的距离。 知识点三:点坐标的特征 l.四个象限内点坐标的特征: 两条坐标轴将平面分成4个区域称为象限,按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象限,如图2.这四个象限的点的坐标符号分别是(+,+),(-,+),(-,-),(+,-). 2.数轴上点坐标的特征: x轴上的点的纵坐标为0,可表示为(a,0); y轴上的点的横坐标为0,可表示为(0,b). 注意:x轴,y轴上的点不在任何一个象限内,对于坐标平面内任意一个点,不在这四个象限内,在坐标轴上。坐标轴上的点不属于任何一个象限,这一点要特别注意。
图1 图2 图3 平面直角坐标系中如何求几何图形的面积 一、 求三角形的面积 1、有一边在坐标轴上或平行于坐标轴 例1:如图1,平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为(-3,0)、(0,3)、(0,-1),你 能求出三角形ABC 的面积吗 2、无边在坐标轴上或平行于坐标轴 例2:如图2,平面直角坐标系中,已知点A (-3,-1)、B (1,3)、C (2,-3),你能求出三角形ABC 的面积吗 归纳:求三角形面积的关键是确定某条边及这条边上的高,如果在坐标系中,某个三角形中有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴,则根据这条边的两个顶点的坐标易求出这边的长,根据这条边的相对的顶点可求出他的高。 二、求四边形的面积 例3:如图3,你能求出四边形ABCD 的面积吗 分析:四边形ABCD 是不规则的四边形,面积不能直接求出,我们可以利用分割或补形来求。
归纳:会将图形转化为有边与坐标轴平行的图形进行计算。 怎样确定点的坐标 一、 象限点 解决有关象限点问题的关键是熟记各象限的符号特征,由第一到底四象限点的符号特征分别为(+,+)、 (-,+)、(-,-)、(+,-)。 例1:已知点M (a 3-9,1-a )在第三象限,且它的坐标都是整数,则a =( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、0 二、轴上的点 解决有关轴上点问题的关键是把握“0”的特征,x 轴上点的纵坐标为0,可记为(x ,0);y 轴上点的横坐标为0,可记为(0,y );原点可记为(0,0)。 例2:点P (m+3,m+1)在直角坐标系的x 轴上,则P 点的坐标为( ) A 、(0,-2) B 、(2,0) C 、(4,0) D 、(0,-4) 三、象限角平分线上的点 所谓象限角平分线上的点,就是各象限坐标轴夹角平分线上的点。解决这类问题的关键是掌握“y x =”的特征,一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等,可记为(x ,x );二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数,可记为(x ,-x )。 例3:已知点Q (8,4m 22 2++++m m m )在第一象限的角平分线上,则m=_________. 四、对称点 对称点的横、纵坐标之间有很密切的关系,点P (a ,b )关于x 轴对称的点的坐标上(a ,-b );关于y 轴对称的点的坐标是(-a ,b );关于原点对称的点的坐标是(-a ,-b );关于一、三象限角平分线对称的点的坐标是(b ,a );关于二、四象限角平分线对称的点的坐标是(-b,-a ). 例4:点(-1,4)关于原点对称的点的坐标是( ) A 、(-1,-4) B 、(1,-4) C 、(1,4) D 、(4,-1) 五、平行于坐标轴的直线上的点 平行于x 轴的直线上点的纵坐标相同,平行于y 轴的直线上点的横坐标相同。 例5:点A(4,y)和点B (x ,-3),过A 、B 的直线平 行于x 轴,且AB=5,则x=____,y=_____.
坐标法解立体几何解答题 教学目的:1、熟练掌握空间向量的有关知识; 2、能灵活运用坐标法解决立体几何解答题的有关问题; 3、进一步提高学生的空间想象能力和运算能力。 教学重点:1、建立适当的空间直角坐标系; 2、正确写出点的坐标; 3、求平面的法向量; 4、灵活运用坐标法解决空间角、空间距离等问题 教学难点:求平面的法向量 授课类型:专题复习 教学方法:启发引导式 教具准备:幻灯片20张 教学过程: 一、复习引入: 空间向量解决立体几何问题主要有两个基本方法:坐标法与基底法。本节课着重研究利 用坐标法解决立体几何解答题。 1、空间向量的有关知识:(幻灯片投影) (1)设点)z ,y ,B(x )z ,y ,A(x 222111、,则),,(121212z z y y x x AB ---=→ ; (2)设向量),,(),,,(222111z y x b z y x a ==→ →,则 ① 212121z z y y x x b a ++=?→ →; ② →a ∥),,(),,(222111z y x z y x b a b λλ=??=?→ →→; ③ 0212121=++=??⊥→ →→→z z y y x x b a b a ; (3)设向量),,(z y x a =→ ,则222z y x a ++= → ; (4)→ →→ →→ →→→?>=
l (3)解决问题:(幻灯片投影) (一)求空间角问题: 空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;二面角。 ① 求异面直线所成的角: 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos | ||||| a b a b 。 ② 求线面角: 设l 是斜线l 的方向向量,n 是平面α的法向量, 则斜线l 与平面α所成的角 2 ,,2 π π θ- ><><-= → →→→n l n l 或 ③ 求二面角: 法一:在α内a l ⊥,在β内b l ⊥,其方向如图, 则二面角l αβ--的平面角=α法二:设m n 、 是二面角l αβ--的两个半平面的 法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧, 则二面角l αβ--的平面角=α (二)求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法。 设n 是平面α的法向量,在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ?== 二、例题讲解: 例1、四棱锥ABCD S -中,0 90=∠=∠ABC DAB ,⊥SA 平面ABCD ,a AD 2=, a BC AB SA ===。 (1)求证:平面⊥SAC 平面SCD ;(2)求A 到平面SCD 的距离;
建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ,(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量, 则由方程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量.