2020年福建省中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）3的相反数是（）
A．﹣3 B．﹣C．D．3
2．（4分）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
3．（4分）用科学记数法表示136 000，其结果是（）
A．0.136×106B．1.36×105C．136×103D．136×106
4．（4分）化简（2x）2的结果是（）
A．x4B．2x2C．4x2D．4x
5．（4分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
6．（4分）不等式组：的解集是（）
A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x≥2 D．x＜﹣3
7．（4分）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）
A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15
8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
9．（4分）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n的值可以是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（4分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）
A．1区B．2区C．3区D．4区
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算|﹣2|﹣30= ．
12．（4分）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE=3，则线段BC的长等于．
13．（4分）一个箱子装有除颜色外都相同的 2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的 1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是．14．（4分）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是．
15．（4分）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一
个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．
16．（4分）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）?，其中a=﹣1．18．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．
19．（8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
20．（8分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”
其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P 在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求的长；
（Ⅱ）若=，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．
22．（10分）小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
23．（10分）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随
用的共享单车．某运营商为提高其经营的 A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：
使用次数0 1 2 3 4 5（含5次
以上）
累计车
费
0 0.5 0.9 a b 1.5
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
使用次
数
0 1 2 3 4 5
人数 5 15 10 30 25 15
（Ⅰ）写出a，b的值；
（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．
24．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）若AP=，求CF的长．
25．（14分）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M （1，0），且a＜b．
（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；
（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；
（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．
（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；
（ⅱ）求△QMN面积的最小值．
2020年福建省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）（2020?长春）3的相反数是（）
A．﹣3 B．﹣C．D．3
【分析】根据相反数的定义即可求出3的相反数．
【解答】解：3的相反数是﹣3
故选A．
【点评】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
2．（4分）（2020?福建）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
【分析】直接利用三视图的画法，从左边观察，即可得出选项．
【解答】解：图形的左视图为：，
故选B．
【点评】此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．
3．（4分）（2020?福建）用科学记数法表示136 000，其结果是（）A．0.136×106B．1.36×105C．136×103D．136×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：用科学记数法表示136 000，其结果是1.36×105，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）（2020?福建）化简（2x）2的结果是（）
A．x4B．2x2C．4x2D．4x
【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【解答】解：（2x）2=4x2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了积的乘方，关键是掌握计算法则．
5．（4分）（2020?福建）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；
B、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、线段是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D、菱形是中心对称图形，是轴对称图形，故D符合题意；
故选：A．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（4分）（2020?福建）不等式组：的解集是（）
A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x≥2 D．x＜﹣3
【分析】求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，
【解答】解：
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
故选A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
7．（4分）（2020?福建）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）
A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20，
最中间的数是15，
则这组数据的中位数是15；
15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15．
故选：D．
【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
8．（4分）（2020?福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
【分析】由圆周角定理得出∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，得出∠ACD+∠BAD=90°，即可得出答案．
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理；熟记圆周角定理是解决问题的关键．
9．（4分）（2020?福建）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n的值可以是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据题意列方程组得到k=n﹣4，由于0＜k＜2，于是得到0＜n﹣4＜2，即可得到结论．
【解答】解：依题意得：，
∴k=n﹣4，
∵0＜k＜2，
∴0＜n﹣4＜2，
∴4＜n＜6，
故选C．
【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系，注重考察学生思维的严谨性，易错题，难度中等．
10．（4分）（2020?福建）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'
和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）
A．1区B．2区C．3区D．4区
【分析】根据旋转的性质连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而得出线段AB和点P是绕着同一个该点逆时针旋转90°，据此可得答案．
【解答】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，
由图可知，线段AB和点P绕着同一个该点逆时针旋转90°，
∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区，
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质得出图形的旋转中心及旋转方向是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）（2020?福建）计算|﹣2|﹣30= 1 ．
【分析】首先利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=2﹣1
=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（4分）（2020?福建）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE=3，则线段BC的长等于 6 ．
【分析】直接根据三角形的中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∵DE=3，
∴BC=2DE=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
13．（4分）（2020?福建）一个箱子装有除颜色外都相同的 2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的 1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是
红球．
【分析】根据已知条件即可得到结论．
【解答】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，
∴这三种颜色的球的个数相等，
∴添加的球是红球，
故答案为：红球．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．
14．（4分）（2020?福建）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C
在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是7 ．
【分析】先利用点A、B表示的数计算出AB，再计算出BC，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数．
【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，
∴AB=3﹣1=2，
∵BC=2AB=4，
∴OC=OA+AB+BC=1+2+4=7，
∴点C表示的数是7．
故答案为7．
【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
15．（4分）（2020?福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于108 度．
【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：如图，
由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，
∠5=∠6=180°﹣108°=72°，
∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．
∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，
故答案为：108．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得
出每个内角是解题关键．
16．（4分）（2020?福建）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．
【分析】先根据点A在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2，），再根据B（，2），D（﹣，﹣2），运用两点间距离公式求得AB和AD的长，即可得到矩形ABCD的面积．
【解答】解：如图所示，根据点A在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2，），
根据矩形和双曲线的对称性可得，B（，2），D（﹣，﹣2），
由两点间距离公式可得，AB==，
AD==，
∴矩形ABCD的面积=AB×AD=×=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形
的性质的综合应用，解决问题的关键是画出图形，依据两点间距离公式求得矩形的边长．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）（2020?福建）先化简，再求值：（1﹣）?，其中a=﹣1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当a=﹣1时
原式=?
=
=
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．（8分）（2020?福建）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．
【分析】证明BC=EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得．
【解答】证明：如图，∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠A=∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等常用的方法是证明所在的三角形全等．
19．（8分）（2020?福建）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°．
再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结