精选高中数学数列分类典型试题及答案
【典型例题】
（一）研究等差等比数列的有关性质
1. 研究通项的性质
例题1. 已知数列}{n a 满足
1
111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；
（2）证明：
31
2n n a -=
. 解：（1）
21231,314,3413a a a =∴=+==+=.
（2）证明：由已知1
13--=-n n n a a ，故
)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---
1
2
1313
3
312n n n a ---+=++
++=
， 所以证得
31
2n n a -=.
例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又
112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .
解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，
两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，
又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列
∴1
3n n a -=
（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，
由题意可得2
(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1)
3222n n n T n n n -=+
?=+
例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且
212322...a a a +++
128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{
}n
n b b -+1是等差数列.
⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.
点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前
n
项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的
取值情况.
解：（1）已知2
12322
a a a +++…12n n a -+8n =(n ∈*N ）①
2n ≥时，212322a a a +++ (2)
128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
①－②得，1
28n n a -=，求得42n n a -=，
在①中令1n =，可得得41
182a -==，
所以42n
n a -=(n ∈N*）.
由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n n b b +-=2
)1(4?-+-n 26n =-，
121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+
+-
(4)(2)(28)n =-+-+
+-2714n n =-+(n ∈*N ）. （2）k k b a -=2714k k -+-42k -，
当4k ≥时，
277
()()24f k k =-+-42k
-单调递增，且(4)1f =，
所以4k ≥时，
2
()714f k k k =-+-421k -≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，
所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.
例题 4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n
解： 依题意得：
2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②
∵ a n 、b n 为正数， 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ， 代入①并同除以1+n b 得： 212+++=n n n b b b ， ∴ }{n b 为等差数列
∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，
29
,22122=
=b b b a 则 ，
∴
2)1(),1(22)229)(1(22
+=
∴+=--+=n b n n b n n ， ∴当n ≥2时，2)
1(1+=
=-n n b b a n n n ，
又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=
n n a n
2. 研究前n 项和的性质
例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为
2n
n S a b =?+，且13a =. （1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；
（2）设
n n
n b a =
，求数列}{n b 的前n 项和n T .
解：（1）2≥n 时，
a S S a n n n n ?=-=--1
12.而}{n a 为等比数列，得a a a =?=-1112，
又31=a ，得3=a ，从而1
23-?=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-.
（2）
1
32n n n n n b a -=
=?， 21123(1)322
2n n n
T -=++++
231111231(23222
22n n n n n
T --=++++
+） ，得2111111(1)
2
32222n n n n
T -=+++
+
-，
1
1
1(1)2412[
](1)13232212n n n n n n n T +?-=-=---.
例题6. 数列{}n a 是首项为
1000，公比为1
10的等比数列，数列{b }n 满
足
121
(lg lg lg )
k k b a a a k =++
+
*
()N k ∈， （1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '.
解：（1）由题意：410n
n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为
3，公差为1-的等差数列，
∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-
，∴1(1)7[3]22n n n n
b n n --=-=
由
10
0n n b b +≥??
≤?，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为
67212S S ==
.
（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <， ∴当7n ≤时，212731132(
)244n n n
S b b b n n n -+'=++
+==-+
当7n >时，
12789n n S b b b b b b '=++
+---
-2712113
2()21
44n S b b b n n =-++
+=-+
∴22113
(7)4
411321(7)44n n n n S n n n ?-+≤??'=??-+>??.
例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，
4a 的等差中项.
（1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12
log n n n
b a a =，12n n S b b b =+++求
使1230n n S n ++?>成立的n 的最小值. 解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由 a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，
q =12
（舍）
∴a n =2·2（n －1）=2n
（2） ∵12log 2n
n n n b a a n ==-?，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ）
∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2，
若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.
例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，
*1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.
（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足
1
(3)[()2]n n b n f a =
++，记数列{}n b 的前
n 项和