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高考定积分分类汇总及答案

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第十四节 定积分与微积分基本定理(理)

一、选择题1.(2013·江西卷)若S 1=??12x 2d x ,S 2=??121

x d x ,S 3=??12e x d x ,则S 1,

S 2,S 3的大小关系为( )

A .S 1

B .S 2

C .S 2

D .S 3

S 1=??12x 2

d x =x 33|21=73. S 2=??1

21

x d x =ln x |21=ln 2-ln 1=ln 2.

S 3=??1

2e x d x =e x |21=e 2-e =e (e -1). 令e =2.7,∴S 3>3>S 1>S 2.故选B .

A .3

B .4

C .3.5

D .4.5

答案 C

3.如图所示,图中曲线方程为y =x 2-1,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )

A .??????0

2(x 2

-1)d x B .??02(x 2-1)d x C.??0

2|x 2-1|d x D .??01(x 2-1)d x +??0

2(x 2-1)d x 解析 面积S =??01(1-x 2)d x +??12(x 2-1)d x =??0

2|x 2-1|d x ,故选C.

4.(2012·湖北卷)已知二次函数y =f (x )的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为( )

A.

2π5 B.43 C.32 D.π

2

5.(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t )=7-3t +

25

1+t

(t 的单位:s ,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )

A .1+25ln5

B .8+25ln 11

3 C .4+25ln5

D .4+50ln2

解析 令v (t )=0,7-3t +

25

1+t

=0 ∴3t 2-4t -32=0,∴t =4,则汽车行驶的距离为??04v (t )d t =??04? ?

???7-3t +251+t d t

????

??7t -32t 2+25ln (1+t )|40=7×4-32×42

+25ln5-0=4+25ln5,故选C.

6.(2014·武汉调研)如图,设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域,E 是D 内位于函数y =1

x (x >0)图象下方的区域(阴影部分),从D 内随机取一个点M ,则点M 取自E 内的概率为( )

A.ln22

B.1-ln22

C.

1+ln22

D.

2-ln22

二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 7.(2013·湖南卷)若??0T x 2d x =9,则常数T 的值为________.

解析 ∵??0

T x 2

d x =x 33|T 0=T 3

3=9,∴T =3.答案 3

8.(2014·厦门市质检)计算:??01(x 2+1-x 2)d x =______.

解析 ??01(x 2

+1-x 2

)d x =??01x 2

d x +??0

1

1-x 2

d x =x 3310+14π=13+π

4.

9.已知函数y =f (x )的图象是折线段ABC ,其中A (0,0)、B ? ????

12,5、C (1,0).函

数y =xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________.

解析 设直线为y =kx +b ,代入A ,B 两点,得y =10x . 代入B ,C 两点,则?????

5=12

k +b ,

0=k +b ,

∴k =-10,b =10.

∴f (x )=

?????

10x , 0≤x ≤12,-10x +10, 12<x ≤1.

∴y =xf (x )=

?????

10x 2

, 0≤x ≤12,-10x 2+10x , 12<x ≤1.

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)

10.若f (x )是一次函数,且??01f (x )d x =5,??01xf (x )d x =176,求??12f (x )

x d x 的值.

解 ∵f (x )是一次函数,∴设f (x )=ax +b (a ≠0). 由??0

1

(ax +b )d x =5,得? ????12ax 2+bx |10=1

2a +b =5.①

由??01xf (x )d x =176,得??01(ax 2+bx )d x =17

6. 即? ????1

3ax 3+12bx 2|10=176. ∴13a +12b =176.②

解①②,得a =4,b =3.∴f (x )=4x +3.

于是??12f (x )x d x =??124x +3x d x =??1

2(4+3

x )d x

=(4x +3ln x )|21=8+3ln2-4

=4+3ln2.

11.(2013·日照调研)如图,直线y =kx 分抛物线y =x -x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.

解 抛物线y =x -x 2与x 轴两交点的横坐标x 1=0,x 2=1, 所以抛物线与x 轴所围图形的面积

S =?

?0

1(x -x 2)d x =? ????x 22-x 3

3|10=12-13=1

6.

又可得抛物线y =x -x 2与y =kx 两交点的横坐标为x ′1=0,x ′2=1-k , 所以S 2=∫1-k 0(x -x 2

-kx )d x =? ????1-k 2x 2-x 33|1-k 0 =1

6(1-k )3.

又知S =16,所以(1-k )3

=12. 于是k =1- 312=1-

34

2.

12.设函数f (x )=x 3+ax 2+bx 在点x =1处有极值-2. (1)求常数a ,b 的值;

(2)求曲线y =f (x )与x 轴所围成的图形的面积.

解 (1)由题意知,f ′(x )=3x 2+2ax +b ,f (1)=-2,且f ′(1)=0, 即??? 1+a +b =-2,3+2a +b =0,解得???

a =0,

b =-3.

(2)由(1)可知,f(x)=x3-3x.

作出曲线y=x3-3x的草图如图,

所求面积为阴影部分的面积,由x3-3x=0得曲线y=x3-3x与x轴的交点坐标是(-3,0),(0,0)和(3,0),而y=x3-3x是R上的奇函数,所以函数图象关于原点成中心对称.

所以所求图形的面积为

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据

定积分与微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a2,c =??0 2sinxdx =-cosx|02 =1-cos2∈(1,2), ∴c

定积分典型例题20例答案(供参考)

定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?. 例2 0 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=, 故321(1)3f x x -= ,令3126x -=得3x =,所以1(26)27 f =.

最新高考-高考数学定积分 精品

§6.3定积分 【复习目标】 (1)通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背 景;借助几何直观体会定积分的基本思想,了解定积分的概念;会求简单的定积分。 (2)通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基 本定理的含义。 【重点难点】 定积分的几何意义;利用定积分性质化简被积函数;求定积分值。 【知识梳理】 (1)概念 设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0

高中数学~定积分和微积分基本原理

高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结:大概知道解题方向了,但没有解出来,请老师分析 考查知识点: ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程: 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为(4,2), 因此曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为: 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案:C 规律方法: 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点,确定出积分区间和被积函数,然后利用导数和积分的关 系求解. 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx (0≤x ≤π)与直线y=?围成的封闭图形面积是? 问题症结:找不到突破口,请老师帮我理一下思路 考查知识点: ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程:

规律方法: 利用定积分的知识求解。 知识点:定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点: [导数及其应用] 包含次级知识点: 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解,不能死记硬背。只有理解了定积分的概念,才能理解定积分的几何意义。

定积分高考试题

定积分与微积分 一、知识回顾: 1.用定义求定积分的一般方法是: ①分割:n 等分区间[],a b ; ②近似代替:取点[]1,i i i x x ξ-∈; ③求和: 1 ()n i i b a f n ξ=-∑; ④取极限: () 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑? 2.曲边图形面积:()b a S f x dx =?; 变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =? ; 变力做功 ()b a W F r dr = ? . 3.定积分有如下性质: 性质1 =?b a dx 1 性质2 =? b a dx x kf )( (其中k 是不为0的常数) (定积分的线性性质) 性质3 ?=±b a dx x f x f )]()([2 1 (定积分的线性性质) 性质4 ??? +=c a b c b a dx x f dx x f dx x f )()()( 其中(b c a <<) 4.定积分的计算(微积分基本定理) (1)(牛顿——莱布尼兹公式)若)(x f 是区间],[b a 上的连续函数,并且)()(x f x F =',那么有 二、常考题型: 一选择题 1.由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( ) A 、 B 、1 C 、 D 、 2.由曲线y=x 2 ,y=x 3 围成的封闭图形面积为( ) A 、 B 、 C 、 D 、 ? -==b a b a a F b F x F dx x f ) ()()()(

3.由曲线y=,直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A 、 B 、4 C 、 D 、6 4. ? +1 )2(dx x e x 等于( ) A 、1 B 、e ﹣1 C 、e D 、e 2 +1 5. ? 4 2 1 dx x dx 等于( ) A 、﹣2ln2 B 、2ln2 C 、﹣ln2 D 、ln2 6. dx x ?--2 2 )cos 1(π π等于( ) A 、π B 、2 C 、π﹣2 D 、π+2 7. 已知则? -= a a xdx 2 1 cos (a >0),则?a xdx 0cos =( ) A 、2 B 、1 C 、 D 、 8. 下列计算错误的是( ) A 、 ?- =π π 0sin xdx B 、 ? = 1 32dx x C 、 ?? -=22 2 cos 2cos π ππ xdx xdx D 、 ?- =π π0sin 2 xdx 9 计算dx x ? -2 24的结果是( ) A 、4π B 、2π C 、π D 、 10. 若 0)32(0 2=-? dx x x k ,则k 等于( ) A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对 11.下列结论中成立的个数是( ) ①∑?=?= n i n n i dx x 133 1 031;②∑?=?-=n i n n i dx x 131031)1( ;③∑?=∞→?=n i n n n i dx x 1331031lim 。 A .0 B .1 C .2 D .3 12.根据定积分的定义,?202 dx x =( ) A . ∑=?-n i n n i 1 21)1( B . ∑=∞→?-n i n n n i 121)1(lim C . ∑=?n i n n i 122)2( D . ∑=∞→?n i n n n i 122 )2(lim 13.变速直线运动的物体的速度为v(t),初始t=0时所在位置为0s ,则当1t 秒末它所在的位置 为 ( ) A . ? 1 )(t dt t v B .dt t v s t ? + 1 0)( C .00 1 )(s dt t v t -? D .dt t v s t ?-1 0)(

2020年全国高考数学·第15讲 定积分和微积分基本定理

2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主,其应用主要是求一个曲边梯形的面积,题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地,设函效()f x 在区间[a ,b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<<

高考数学定积分的定义

教案6:定积分的定义与性质 一、课前检测 1. 2 21(21)x x dx ++=? ; 2. 由抛物线2y x =与直线2y x =-围成的平面图形的面积 为 . 3. 用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N ,变力F 做的功W 为 J. 二、知识梳理 1.定积分的概念:设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义,将区间[,]a b 等分 成n 分小区间,每个小区间长度为x ?(x ?= ),在每个小区间上 取一点,依次为12,,,,i n x x x x ,作和n S = .如果x ?无限 趋近于0(亦即n 趋向于+∞)时,n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分,记为S = ,其 中 称为被积函数, 称为积分区间, 称为积分下限, 称为积分上限, 2.微积分基本定理:对于被积函数()f x ,如果()()F x f x '=,则 ()b a f x dx ?= . 3.定积分的运算性质:⑴()b a kf x dx ?= ; ⑵[()()]b a f x g x dx ±=? ;⑶()b a f x dx =? .()a c b << 4.定积分的几何意义:在区间[,]a b 上曲线与x 轴所围成图形面积的 (即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积); ⑴当()f x 在区间[,]a b 上大于0时,()b a f x dx ?表示由直线

,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积,这也是定积分的几何意义. ⑵当()f x 在区间[,]a b 上小于0时,()b a f x dx ?表示由直线 ,(),x a x b a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积的 . ⑶当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时,()b a f x dx ?表示介于直线 ,()x a x b a b ==≠之间x 轴之上、之下相应的曲边梯形的面积的 . 5.定积分在物理中的应用:⑴匀变速运动的路程公式,作变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数()v t 在时间区间[,]a b 上的定积分,即s = . ⑵变力做功公式,一物体在变力()F x (单位:N )的作用下作直线运动,如果物体沿着与F 相同的方向从x a =移动到()x b a b =<(单位:m ),则力F 所作的功为W = . 三、典型例题分析 例1.求定积分 ⑴21 ?(2x 2 -1x )d x ; ⑵32?(x +1x )2d x ; (3)30π?(sin x -sin2x )d x ; 变式训练:求定积分:222||x x dx --?;

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解教学内容

定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1. a =??02x d x ,b =??02e x d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a

定积分典型例题

定积分典型例题 例 1 求 Iim J 2(^n τ +Q2n 2 +H ∣ +V ∏3). n _.: ∏ 分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限?若对题目中被积函数难以想到, 可采取如下方法:先对区间[O, 1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 1 III 1 解 将区间[0, 1] n 等分,则每个小区间长为.汉=丄,然后把—=丄1的一个因子-乘入和式中 n n n n n 各项?于是将所求极限转化为求定积分?即 n i ?^贰+痢+山+疔)=曲(£ +£ +川+晋)=MdX=扌? 例 2 £ J 2x 一 X d X __________ . 解法1由定积分的几何意义知, °?2x -χ2dx 等于上半圆周(x_1) y =1 (y_0) 与X 轴所围成的图形的面积?故 2? 2^x 2dx = _ ? ■° 2 解法2本题也可直接用换元法求解?令 x_1 = sint (—巴

高中数学定积分知识点

数学选修2-2知识点总结 一、导数 1.函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或 0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;

6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导(可积),则有: f x,() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查/() f x在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如

定积分和微积分基本定理

第三节定积分和微积分基本定理 考纲解读 1?了解定积分的实际背景、基本思想及概念 ? 2?了解微积分基本定理的含义 . 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主, 其应用主要是求一个曲边梯形的面积, 题型主要为选择题和填空 题? 知识点精讲 一、基本概念 1.定积分的极念 一般地,设函效 f (x )在区间[a , b ]上连续.用分点a = x 0 < x 2< L < x — < x b - a < L < X n 二b 将区间[a,b ]等分成n 个小区间,每个小区间长度为 D x ( D x = ), n n 在每个小区间[X i -^X i ]上任取一点\ i =1,2J||,n ,作和式:S^v f(i)C x =: i 二 n b _a f ( i ),当D x 无限接近于0 (亦即n —; ? ?)时,上述和式S n 无限趋近于常数 S , i i n b 那么称该常数S 为函数f (x)在区间[a,b ]上的定积分?记为: S 二 f (x)dx , f (x)为 * a 被积函数,X 为积分变量, 需要注意以下几点: [a, b ]为积分区间,b 为积分上限,a 为积分下限. b (1) 定积分 f(x)dx 是一个常数,即S n 无限趋近的常数S (n 时),称为 a b f (x)dx ,而不是 S n . a (2) 用定义求定积分的一般方法 . b n ? b -^a a f(x)dx 二[imj f i -" a - i n b t 2 b (3)曲边图形面积:S = f x dx ;变速运动路程s 二 v(t)dt ;变力做功S = F(x) dx 2 ?定积分的几何意义 b 从几何上看,如果在区间[a ,b ]上函数f (x )连续且恒有f(x)_0,那么定积分a f x dx 表 示由直线 X =a,x =b(a =b), y =0和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影 ①分割:n 等分区间[a ,b ];②近似代替:取点 n b — a i ?〔x 」,X i 丨;③求和:、? 口 f(i ); ◎ n ④取极限:

(完整版)定积分典型例题精讲

定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?. 例2 0 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?,2 1 2 x e dx ?,1 2 (1)x dx +?. 分析 对于定积分的大小比较,可以先算出定积分的值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小. 解法1 在[1,2]上,有2 x x e e ≤.而令()(1)x f x e x =-+,则()1x f x e '=-.当0x >时,()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)f x f >,可知在[1,2]上,有1x e x >+.又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?,从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???. 解法2 在[1,2]上,有2 x x e e ≤.由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+.注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?.因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??. 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值. 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值.

专题13 定积分与微积分基本定理知识点

考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0

()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . (2)在 ()d b a f x x ? 中,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数()f x 叫做被 积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. 4.定积分的性质 (1)()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数); (2)[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??; (3) ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++. 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?. 例2 2 20 2x x dx -? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故220 2x x dx -? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=,

定积分在高考中的常见题型

定积分在高考中的常见题 型 Last revision on 21 December 2020

定积分在高考中的常见题型解法 贵州省印江一中(555200) 王代鸿 定积分作为导数的后续课程,与导数运算互为逆运算,也是微积分基本概念之一,同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看,定积分是高考命题的一种新方向,在高考复习中要求学生了解定积分的定义,几何意义,掌握解决问题的方法。 一、利用微积分基本定理求定积分 1、微积分基本定理:一般地,如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数,并且)()(x f x F =',那么?-=b a b F a F dx X f )()()(.这个结论叫做微积分基本定理(又叫牛顿-莱布尼兹公式)。 2、例题讲义 例1、计算?+e dx x x 1)21( 解:因为 x x x x 21 )ln 2+='+( 所以?+e dx x x 1)21(=22212)11(ln )(ln |ln e e e x x e =+-+=+)( 【解题关键】:计算?b a dx X f )(的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数)(x F 。 跟踪训练:1计算?+2 0)cos (π dx x e x 二、利用定积分的几何意义求定积分。 1、定积分的几何意义 :设函数y=f(x)在 []b a ,上y=f(x)非负、连续,由直线x=a,x=b, y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积 S=?b a dx X f )(

2、例题讲义: 例2、求由曲线12+=x y ,直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积S 等于=___________ 解: 联立方程组 (如图所示) ? ??-=+=11x y x y 解得???==34y x S =BCD OBCE AOB S S S 曲边梯形曲边梯形++? =dx x x dx x )1(11112 14210--++++????)()( = 412231023|)22 132(|)3221x x x x x +-+++( =3 8 【解题关键】:将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形,再求面积 和 例3、求dx x ?+402)2-4( 的值 解:令)0()2(42≥+-=y x y 则有)0()2(42 2≥+-=y x y 及)()(04222≥=++y y x 右图所以π221)2-1402==+?A S dx x 圆( 【解题关键】:将被积函数转化为熟悉的曲线方程,利用曲线图形的特点 求其定积分。 练习:由直线21=x ,x=2,曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为( ) A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 三、利用变换被积函数求定积分

(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解()

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解 一、选择题 1.(2010·山东日照模考)a =??0 2x d x ,b =??02e x d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 2,c =? ?0 2sin x d x =-cos x |02=1 -cos2∈(1,2), ∴c

微积分公式与定积分计算练习大全

微积分公式与定积分计算练习(附加三角函数公式) 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 (1)()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? (2)()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? (3)()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? (4) ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1) ()() ! n n x n = (2) ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则

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