第9章非正弦交流电路
学习指导与题解
一、基本要求
1．建立几个频率为整数倍的正弦波可以合成为一非正弦周期的概念。明确一个非正弦周期波可以分解为一系列频率为整数倍正弦波之和的概念（即谐波分析）、谐波中的基波与高次谐波的含义。了解谐波分析中傅里叶级数的应用。
2．掌握波形对称性与所含谐波分量的关系。能根据波形的特点判断所含谐波的情况。了解波形原点选择对所含谐波的影响。
3．掌握非正弦周期电压和电流的平均值（即直流分量）和有效值的计算。能根据给定波形计算出直流分量。能根据非正弦周期波的直流分量和各次谐波分量，计算出它的有效值。
4．掌握运用叠加定理和谐波分析计算非正弦交流电路中的电压和电流的方法。
5．建立同频率的正弦电压和电流才能形成平均功率的概念。掌握运用叠加定理和谐波分量计算非正弦交流电路中和平均功率。
二、学习指导
在电工技术中，电路除了激励和响应是直流和正弦交流电和情况外，也还遇到有非正弦周期函数电量的情况。如当电路中有几个不同频率的正弦量激励时，响应是非正弦周期函数；含有非线性元件的电路中，正弦激励下的响应也是非线性的；在电子、计算机等电路中应用的脉冲信号波形，都是非正弦周期函数。因此，研究非正弦交流电路的分析，具有重要和理论和实际意义。
本章的教学内容可分为如下三部分：
1．非正弦周期波由谐波合成的概念；
2．非正弦周期波的谐波分析；
3．非正弦交流电路的计算。
着重讨论非正弦周期波谐波分析的概念，非正弦周期量的有效值和运用叠加定理计算非正弦交流电路的方法。
现就教学内容中的几个问题分述如下。
（一）关于非正弦周期波的谐波的概念
非正弦周期波是随时间作周期性变化的非正弦函数。如周期性变化的方波、三角波等。这类波形，与正弦波相比，都有变化的周期T和频率f，不同的是波形而已。
f t，可
几个频率为整数倍的正弦波，合成是一个非正弦波。反之，一个非正弦周期波()
以分解为含直流分量（或不含直流分量）和一系列频率为整数倍的正弦波。这些一系列频率为整数倍的正弦波，就称为非正弦周期波的谐波。其中频率与非正弦周期波相同的正弦波，称为基波或一次谐波；频率是基波频率2倍的正弦，就称为二次谐波；频率是基波频率3倍的正弦波，称为三次谐波；频率是基波频率k 倍的正弦波，称为k 次谐波，k 为正整数。
人们通常将二次及二次以上的谐波，统称为高次谐波。 （二）关于谐波分析的方法
在电路分析中，将非正弦周期波的分解，应用傅里叶级数展开的方法，分解为直流分量（或不含有）和频率为整数倍的一系列正弦波之和，称为傅里叶分析，又称为谐波分析。
一人周期为T 的函数()f t ，如果满足狄里赫利条件﹡，则()f t 可以展开为如下三角级数：
01
()(cos sin )k k k f t A A k t B k t ωω∞
==++∑
这是一个无穷级数，由法国人傅里叶（Fourier ）提出来的，故称为傅里叶级数。式中0A ，
k A ，k B 称为傅里叶系数，由如下公式计算得出：
00
00
1
()()
2
()cos 2
()sin T
T
k T
k A f t dt
T A f t k tdt
T B f t k tdt
T ωω===???直流分量
0A 是()f t 一周期时间内的平均值，称直流分量。1k =的正弦波，称为基波；2k =的正弦波，称为二次谐波；k n =的正弦波，称为n 次谐波。当k 为奇数时，称为奇次谐波；
k 为偶数时，称为偶次谐波。
非正弦周期波的傅里叶级数展开，关键是计算傅里叶系数的问题。
在电工技术中，遇到的非正弦周期波，都满足狄里赫利条件的，均可展开为傅里叶级数。常见的非正弦周期波的傅里叶级数展开式，已在手册及教材中列出，如下表所示，以供查用。
常见非正弦周期波的傅里叶级数展开式
﹡ 狄利赫利条件：
()f t 在〔2T -
，2
T 〕 或〔0，T 〕区间，（1）除有限个第一类间断点外，其余各点
连续；（2）只有有限个极点。
（三）关于波形对称性与所含谐波分量的关系
在电工技术中遇到的非正弦周期波，许多具有某种对称性。在对称波形中，傅里叶级数中，有些谐波分量（包括直流分量。因直流分量是0k =的零次谐波分量）不存在。因此，利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。
1．波形对称性与谐波分量的关系 有如下几个对称性与谐波分量的关系
有如下几个对称性波形及其傅里叶系数情况。 （1）偶函数 ()f t 波形对称于纵坐标，满足()f t =()f t -条件，如图9-1所示。则0k B =，傅里叶级数
中只含0A 和cos k A k t ω∑
项，k =1，2，3，…。亦即
这类对称性非正弦周期波，只含直流分量和一系列余弦 函数的谐波分量。
（2）奇函数 ()f t 波形对称于坐标原点，满足 图9-1 偶函数波形举例
()()f t f t =--条件，如图9-2所示。则00A =，k A
=0，傅里叶级数中，只含
sin k
B k t ω∑项，k =1，2，3，…。亦即这类对称性非正弦周期
波，只含一系列正弦函数的谐波分量。
（3）奇半波对称函数 若()f t 波形移动半周()2T ±与 原波形成镜像，即对横轴对称，满足()()2
T
f t f t =-±条
件。如图9-3所示，()f t 波形不对称于纵轴和原点，故它
图9-2 奇函数举例 不是偶函数和奇函数，只
是移动()2
T
±
与原波形对称于 横轴，则傅里叶系数中，00A =，k A 和k B 中k 为奇数，即k =1，3，5，…。这类非正弦周期波只含奇次谐波。所以，这类奇半波对称函数()f t ，称
为奇谐波函数。
以上是三种对称波形及其谐波分量情况，下面
再介绍半波重叠波和四种双重对称性波形及其谐波 分量情况。
（4）半波重叠函数 若()f t 波形移动半波()2
T ± 与原波形重叠，满足()()2
T
f t f t =±
条件。如图9-4 所示，()f t 不对称于纵轴和原点，故它不是偶函数和 奇函数，只是移动2
T
±
与原波形重叠。则傅里叶系数 图 9-3 奇半波对称波形举例
k A 和k B 中k 为偶数，即k =0，2，4，6，…。这类非正弦周期波只含偶次谐波。所以，这
类半波重叠函数，称为偶偕波函数。
图 9-4 半波重叠函数波形举例 图 9-5 奇函数且半波对称波形举例
（5）奇函数且奇半波对称 若()f t 波形满足()()f t f t =--和()()2
T
f t f t =-±两个条件。如图9-5所示，()f t 波形对称于原点，是奇函数，且移动2
T
±
与原波形对横轴成镜像对称，又是奇半波对称函数。则傅里叶系数中00A =，0k A =，k B 中k 为奇数，即k =1，3，5…。傅里叶级数中只含
sin k
B k t ω∑项的奇次谐波。所以，这类奇函数且半波对称波，
只含正弦函数的奇次谐波。
(6) 偶函数且奇半波对称 ()f t 波形满足()f t
=()f t -和()()2
T
f t f t =-±
两个条件。如图9-6所示，()f t 波形对称于纵坐标，是偶函数，且移动2
T
±与原波形
对横轴成镜像对称，又是奇半波对称函数。则傅里叶系
000k A B ==，k A 中k 为奇数，即k =1，3，5…。傅
里叶级数中只含
cos k
A k t ω∑项的奇次谐波。所以，
这
类偶函数且奇半波对称对称波，只含余弦函数的奇次谐波。
（7）偶函数且半波重叠 ()f t 波形满足()()f t f t =-和()()2
T
f t f t =±两个条件。如图9-7所示，()f t 波形对称于纵轴，是偶函数，且移动2
T
±
与原波形重叠，又是半波重叠函数。则傅里叶系数中，0k B =，k A 中k 为偶函数，即k =0，2，4，6，…。傅里叶级数中只含0A 和
cos k
A k t ω∑项的偶次谐波。所以，这类偶函数且半波重叠波，只含余弦函
数的偶次谐波，包含直流分量。
（8）奇函数且半波重叠 ()f t 波形满足()()f t f t =--和()()2
T
f t f t =±
两个条件，
如图9-8所示。()f t 波形对称于原点，是奇函数，且移动2
T
±
与原波形重叠，又是半波重叠函数。则傅里叶系数中，00A =，0k A =，k B 中的k 为偶数，即k =2，4，6，…。傅里叶级数中只含
sin k
B k t ω∑项的偶次谐波。所以，这类奇函数且半波重叠波，只含正弦函
数的偶次谐波。
图9-7 偶函数且半波重叠波形举例 图 9-8 奇函数且半波重叠波形举例
﹡2。非对称性非正弦周期波谐波分析的简化计算
（1）非对称性非正弦周期波()f t ，可以分解为偶部()e
f t 和奇部0
()f t 之和。偶部()e
f t 是对称于纵轴的偶函数，奇部0
()f t 是对称于原点的奇函数。即 0
()()()e
f t f t f t =+
1
()[()()]2e f t f t f t =+-
01
()[()()]2
f t f t f t =--
图9-9 非对称性非正弦周期波()u t 及其偶部()e
u
t 和奇部0()u t 波形图
然后，利用波形的对称性来简化傅里叶系数的计算。
例如，如图9-9（a ）所示的非对称性非正弦周期电压波()u t ，它的偶部()e
u t 为如图9-9（b ）所示，是偶函数且半波重叠波，从上述波形对称性可知，它的傅里叶级数只含0A 和cos k
A k t ω∑项的偶次谐波。即
2111
()[cos 2cos 4cos6]31535
e m
m
U U u t t t t ωωωπ
π=
+
---- 奇部0
()u t 如图9-9(c )所示，它是一正弦函数，即
01
()sin 2
m u t U t ω=
故非对称性非正弦周期波()u t 的傅里叶级数展开式为
0()()()
21
sin [cos 22311
cos 4cos 6]1535
e m m m u t u t u t U U U t t t t ωωππωω=+=++----
（2）将非对称性非正弦周期波移动坐标原点位置，便可提到对称性波形，从而可以简化傅里叶级数展开式的计算。
例如9-9 (a )所示非对称性非正弦周期电压波()u t ,移动4
T
-
得出如图9-10所示的波形,它对称于纵轴，是偶函数，傅里叶系数中0k B =，只含0A 和k A ，傅里叶级数展开式为
2111
()cos (cos 2cos 4cos6)231535
m
m m U U U u t t t t t ωωωωπ
π'=
+
+-+-
图9-10 偶函数()u t '波形图
今若求图9-9（a ）所示非对称性非正弦周期电压波()u t 的傅里叶级数展开式，可将图9-10()u t '波形移动4T 便可得到。因此，将上式中的t 以4T t ??
+ ??
?代入便得出()u t 波形的傅里
叶级数的展开式为
()()
421cos ()[cos 2()243411cos 4()cos 6()]15435421
cos()[cos(2)22311
cos(42)cos(63)]1535211
sin [cos 2cos 423151
cos 635
m m m m m m m m m T
u t u t U U U T T t t T T
t t U U U t t t t U U U t t t t ωωππωωπωωπππωπωπωωωππω'=+=++++-+++-=++++-+++-=++---]- 这一结果，与()u t 分解为偶部()e
u t 和奇部0
()u t 之和的方法分析结果是相同的。从而可以了解利用波形对称性分析非对称性非正弦周期波谐波的方法。还应指出，坐标原点位置的移动，即可沿横轴移动，也可沿纵轴移动，以获得对称性波形为准。
（四）关于频谱的概念 上述傅里叶级数()f t 中，将
cos k
A k t ω∑和sin k
B k t ω∑合并为一正弦函数形式为
10101
()(c o s s i n )
(s i n c o s c o s
s i n )
s i n ()
k
k
k k k k
k k k k
k f t A A k t B k t A C k C k t C C k t ωω?ω?ωω?∞
=∞
=∞
==++=+?
+?=++∑∑∑ 式中 00C A =
sin cos k k k k k k k k
k k
A C
B
C C A arctg
B ???===
=
上式就是傅里叶级数三角函数第二种形式。当然，也可以将
cos k A k t ω和sin k B k t ω合并为一余弦函数，得出第三种傅
里叶级数的三角形式，即
1
()cos()k k k f t C C k t ω?∞
='''=++∑
(a) 振幅频谱
(b) 相位频谱
图9-12 振幅频谱图和相位频谱图
为了方便而又直观地表示一个周期信号包含有哪些谐波分量，各谐波分量所占的比重及它们相互的关系，可以作出频谱图来表示和分析。根据上述第二种或第三种傅里叶级数三角函数形式，作出振幅频谱和相位频谱两种频谱图。
振幅频谱，是将非正弦周期函数中各次谐波振幅值k C 按角频率依次分布的图形，纵坐标表示振幅k C ，横坐标则表示角频率k ω，振幅频谱图如图9-12（a ）所示。以各次谐波的相位k ?为纵坐标，以角频率k ω为横坐标，作出相位频谱图，如图9-12（b ）。在频谱图中，对应于某一角频率的表示振幅大小和相位的垂直横坐标的线段，称为谱线。每条谱线的高度表示一个谐波分量的振幅值和初相位。
周期函数的频谱具有如下的特性：
（1）频谱是由一系列不连续的谱线组成，称为不连续频谱或离散频谱。频谱的这种性质，称为离散性。
（2）每条谱线只出现在基波角频率ω及其整数倍角频率k ω上，相邻谱线间的间隔等于基波角频率。频谱的这种性质，称为谱波性。
（3）振幅频谱中，各条谱线的高度，随角频率的增加而减小，当角频率无限增大时，谱线的高度就无限减小，频谱逐渐收敛。振幅频谱的这种性质，称为收敛性。 周期函数信号的频谱，在信号的分析中，具有重要的理论与实际的意义。 （五）关于非正弦周期波的直流分量与有效值 1．直流分量
非正弦周期波()f t 的直流分量，就是在一个周期T 时间内，()f t 的平均值，即
00
1
()T
A f t dt T =?
（1）对称于原点的非正弦周期波，没有直流分量。即()f t 在一个周期中，正、负半周所包含的面积相等，上式积分为零，00A =。这类非正弦周期函数有：奇函数波、奇半波对称的奇谐波函数波、偶函数且奇半波对称波和奇函数且半波重叠波等。
（2）偶函数波、半波重叠偶谐波和偶函数且半波重叠波等，上式积分不为零，00A ≠，均有直流分量。0A 可以通过在一个周期中正、负半周所包含面积之差来进行计算。
2．有效值
周期函数()f t 的有效值定义式为
F =
设非正弦周期电流为 01
sin()km
k k i I I
k t ω?∞
==+
+∑ 代入上式，得()f t 的有效值为
I =
（1） 将上式展开的几项积分为
22
000
1T
I dt I T =? 222
1101sin ()T
km k k k k I k t dt I T ω?∞
∞
==+=∑∑?
式中，k I =
k 次谐波分量的有效值。
00
112sin()0T
km k k I I k t dt T
ω?∞
=+=∑? 10
1
1
sin()sin()0T
km qm k q k q k q
I I k t q t dt T ω?ω?∞
==≠+?-=∑?
将上述结果代入（1）式中，便得非正弦周期电流i 的有效值为
I = 上式导出中，应用了如下三角数组的正交性，即式
2sin 0
1,2,3,
sin sin 0
,,1,2,3,sin 1,2,3,
I kxdx k kx qdx k q k q kxdx k πππ
ππ
π
π
-
-
-====≠===??
?
同理，非正弦交流电压u 的有效值则为
U =
表明：非正弦周期量的有效值，是直流分量和各次谐波分量有效值平方和的开方。
（6）关于非正弦周期电流电路中电压和电流的计算
非正弦交流电源激励的线性电路中，电压和电流的分析，可按如下步骤进行计算。 （1）将非正弦周期激励电压或电流，应用傅里叶级数分解为直流分量（或不含有）和各次谐波分量之和。由于电工技术中所遇到的非正弦周期量，一般都可以展开为傅里叶级数形式，而且傅里叶级数都是收敛的，频率越高的谐波振幅越小，因此，较高次谐波因振幅很小而可以忽略不计。所以，对非正弦周期函数电量进行傅里叶级数展开时，一般只取接近基波分量的前几项，所取的项数多少，应视所要求的准确度而定。
（2）分别计算出直流分量和各次谐波分量单独作用时，电路中的电压和电流分量。直流分量单独作用时，电路中各次谐波分量均置零，作出直流稳态电路，这时电感相当于短路，电容相当于开路。按直流电阻电路分析方法进行计算，求出待求支路中的电压和电流分量。
每一谐波分量单独作用时，按正弦交流电路分析的相量法进行计算。这时对于k 次谐波，相量模型中，感抗是Lk X k L ω=，容抗是1
Ck X k C
ω=
。最后应将分析计算所得的待求支路相量形式的电压和电流分量，变换时域正弦量的瞬时值表达式。
（3）应用叠加定理将各分量单独作用时，所计算的结果进行叠加，求它们的代数和，便求出线性电路在非正弦周期函数电源激励下所求支路的电压和电流。
应该注意的是，叠加时应按瞬时值表示式不进行。因各次谐波的频率不同，故不能用相量进行叠加。
（七）关于非正弦交流电路平均功率的计算
若一个二端网络，端口的非正弦周期电压和电流分别为
01
()sin()k uk k u t U k t ω?∞
==++
01
()sin()k ik k i t I k t ω?∞
==++
则二端网络吸收的平均功率为
00111222333001cos cos cos cos k k k
k P U I U I U I U I U I U I ????∞
==++++=+
∑
式中，k uk ik ???=-
表明：（1）非正弦交流电路的平均功率，等于直流分量功率和各次谐波平均功率之和。非正弦交流电路中，不同频率的各次谐波平均功率满足叠加性，而在直流电路和单一频率多电源正弦交流电路的有功功率不满足叠加性。
（2）非正弦交流电路中，同次谐波电压和电流形成平均功率，而不同次谐波电压和电流不形成平均功率。这是由于三角函数的正交性所决定的。
本章学习的重点内容是，非正弦周期波谐波分析的概念，非正弦周期量有效值的计算和非正弦交流电路中电压和电流以及平均功率的计算。
三、解 题 指 导
（一）例题分析
〔例9-1〕 波形对称性与所含谐波分量情况的分析。如图9-12（a ）所示仅为非正弦周期波的
4
T
的波形，试分别给出如下函数一个完整周期的波形。 （1） ()f t 为偶函数且只含奇次谐波； （2） ()f t 为奇函数且只含偶次谐波；
()a ()b ()c
图 9-13 例9-1 波形图
解 〔解题思路〕 利用波形的对称性与所含谐波的关系，偶函数波形对称于纵轴；奇函数波形对称于原点；奇谐波函数的波形必是奇半波对称，即波形移动2
T
±与原波形成镜像对称；满足()()2
T
f t f t =-±
的条件；偶偕波函数的波形必是半波重叠函数，即波形移动2T ±与波形重叠，满足()()2
T
f t f t =±的条件。根据以上波形对称性与所含偕波的关系，
便可在给出4
T
波形条件下，绘出整个一周期的波形。
〔解题方法〕 （1）()f t 为偶函数且只含奇次谐波。第一步，在坐标图上先作出如图11-13（a ）所示的(0
)4T 区间的4
T
波形；第二步，根据()f t 是偶函数，作出对称于纵轴(0)4T -
区间的4T
波形；第三步，根据()f t 只含奇次谐波是奇半波对称，对已作出的波形移动2
T
±与横轴成镜像对称，作出整个周期的波形，如图9-13（b ）所示。
（2）()f t 为奇函数且只含偶次谐波。第一步，在坐标图上作出如图9-12（a ）所示(0)
4
T
区间的4T 周期的波形；第二步，根据()f t 是奇函数，作出对称于原点(0)4T -区间的4T
波
形；第三步，()f t 只含偶次谐波是半波重叠函数，对已作出的波形移动2
T
±，与原波形重
叠作出整个周期的波形，如图9-13（c ）所示。 〔例9-2〕非正弦周期电流电路的计算。如图9-14所示电路，++=t t u 10sin 18045)(
t t 50sin 3030sin 60+ V 。求电流()i t 及其有效值I 和
电路吸收的平均功率P 。
解〔解题思路〕（1）首先，运用叠加定理，分别 计算出输入电压各谐波分量单独作用时的电流分量。然 后，在时域进行叠加，求出输入电流()i t ；（2）按非正 弦函数由谐波分量计算有效值的公式，计算出()i t
的有
效值I ；（3）按相同次数谐波电压和电流及其相位差计 图9-14
算出各次谐波的平均功率，最后叠加得出电路吸收的平 均功率。
〔解题方法〕（1）计算输入电流()i t
①当直流分量电压单独作用时，电路的导纳为
01113
S 31030
Y =+=
故输入直流分量电流为
00013
4519.5A 30
I Y U ==
?= ②基波电压分量单独作用时，电路导纳为
()3611j +j101010103j4
0.10.120.160.010.220.15
Y j j j ω-=+??+=+-+=-
?18.3-∠
S
0.266=
故基波电流为
1()47.88sin(1018.3)A i t t =-?
③三次谐波电压单独作用时
,电路的导纳为
故三次谐波电流为
3()10.81sin(30 3.2)i A t A =+?
④五次谐波电压单独作用时
,电路的导纳为
5() 3.39sin(5021)A i t t =+?
⑤进行叠加求出端口输入电流为
()19.547.88sin(1018.3)10.81sin(30 3.2) 3.39sin(5021)A i t t t t =+-?++?++? (2)计算电流()i t 的有效值为
38.85A
I ====
(3)计算电路吸收的平均功率
00111333555
cos cos cos 11
4519.5(18047.88)cos18.3(6010.81)221
cos( 3.2)(30 3.39)cos(21)
2
P U I U I U I U I ???=+++=?+??+?-?+?-?
877.54093.74323.8147.15=+++
5342.2W =
(二) 部分练习题解答
练习题 11-2 图9-1 (a )所示方波，如果把纵轴向右平移至0.5s t =处，波形如图9-5所示。试利用图9-2，写出该方波的傅里叶级数。
解 利用图9-2，可写出图9-1 (a )所示方波的傅里叶级数为
411
()sin sin 3sin 535f t t t t ππππ??
=
+++ ???
现将图9-1 (a )所示方波的纵坐标向右平移至0.5s t =处，得出如图9-5所示方波。因周期2s T =，故0.5s t =处是2
π
，以()2t π+代入上式便得出图9-5所示方波的傅里叶级数
为
411()sin sin 3sin 535411sin()sin 3()sin 5()23252411
sin (90)sin (3270)sin (590)3541cos cos3cos55f t t t t t t t t t t t t t ππππππππππππππππππ??
=
+++ ?????
=++++++????
??
=+++?+++???
?
??
=
-+- ??
?
或 1
1
(1)()cos(21)21k k f t k t k π+∞
=-=--∑ 练习题9-5 试说明图9-13所示三角波原点分别选在a ，b ，
c 三点所含谐波成分有何不同？ 解 （1）三角波原点选在a 点，波形对称于纵轴，是偶函数，则0k B =；且波形移动2
T
±
，与原波形成镜像，又是奇半波对称，只含奇次谐波。因此，三角波是cos k A k t ω∑项的奇次谐波。
（2）三角波原点选在b 点，波形不对称于纵轴，也不对称于原点，不是偶函数也不是奇函数。而波形移动2
T
±
，与原波形成镜像对称，故它是奇半波对称，这时三角波是含cos k
A k t ω∑和sin k
B k t ω∑的奇次谐波，即k =1，3，5，…。
（3）三角波原点选在c 点，波形对称于原点，是奇函数，则0k A =；且波形移动2
T ±
，与原波形成镜像对称，又是奇半波对称函数，只含奇次谐波。因此，三角波是只含
sin k
B k t ω∑项的奇次谐波。
练习题 9-7 施加以二端口网络的电压ab ()100100cos 30cos3V u t t t ωω=++，流入a 端口的电流()50cos(45)10sin(360)20cos5A i t t t t ωωω=-?+-?+。求：（1）ab u 的有效值；（2）ab i 的有效值；（3）平均功率P 。
解 （1
）ab 124.3V U == （2
）ab 38.73A I == （3）11
(10050)cos 45(3010)cos1501637.86W 22
P =
??+??= （三）部分习题解答
9.11
5．方波电压的峰谷值为20 V ，若滤去其三次谐波。试绘出波形图，问所得波形的峰谷值是多少？
解 如图9-1（a ）所示方波电压，峰谷值为20 V ，它的傅里叶级数为
140
1
()sin V k u t k t k
ωπ∞
==
∑ 三次谐波电压为
340
()sin 3 4.24sin 3V 3u t t t ωωπ
=
=
滤去3()u t 后，电压波形表达式为
3140
1
()()()sin 4.24sin 3k u t u t u t k t t k
ωωπ∞
='=-=
-∑作出波形图，如图9-15所示。从图中可见，()u t '的峰谷值为28.28V 。
9.12．电路图如图题9-4所示，1()cos V s u t t =，2()cos 2V s u t t =。
（1）计算电路中的电流()i t ； （2）电流()i t 的有效值是多少； （3）计算电阻消耗的平均功率；
（4）计算1()s u t 单独作用时电阻消耗的平均功率； （5）计算2()s u t 单独作用时电阻消耗的平均功率； （6）由（3），（4），（5）的计算结果，能得出什么结论？ 解 （1）计算电路中的电流()i t
①当1()s u t 单独作用时，1/s rad ω=，1()i t 的振幅相量为
1()0.277cos(33.77)A i t t =-?
图9-15 习题9.11第5题波形图
②当2()s u t 单独作用时，2/s rad ω=，2()i t 的振幅相量为
2()0.2cos(253.13)A
i t t
=-?
③解出
()0.277cos(33.77)0.2cos(253.13)A
i t t t
=-?+-?（2）计算电流()
i t的有效值为
0.2415A
I==
（3）计算电阻消耗的平均功率
()2
20.241530.175W
P I R
==?=
（4）
1()
s
u t单独作用时电阻消耗的平均功率为
2
2
11
30.115W
P I R
==?=
（5）
2
()
s
u t单独作用时电阻消耗的平均功率为
2
2
22
30.06W
P I R
==?=
（6）从（4），（5）两项计算的平均功率
1
P与
2
P之和为
12
0.1150.060.175W
P P P
'=+=+=
与（3）计算的平均功率P相等，即P P
'=。故可得出结果：非正弦交流电路中，电路吸收的平均功率，等于相同频率的个次谐波电压与电流形成的平均功率之和。因此，符合叠加定理。
9.14．R L C串联电路，外施电源电压波形如图9-6所示，500/s
rad
ω=，1
R=Ω，5mH
L=，88.8F
Cμ
=，输出电压()
u t取自电阻R两端，试绘出输出电压的频谱图。
解（1）写出图题11-6所示三角波的傅里叶级数。从教材图9—18（b）三角波的傅里叶级数
2
811
()(cos cos3cos5)
925
A
f t t t t
ωωω
π
=+++
现本题图题9-6所示三角波电压()
s
u t是直流分量与对称纵轴偶函数三角波各谐波分量之和。直流分量是
71
3.5V
2
s
u
?
==
谐波之和是上式中 3.5
A=的傅里叶级数。为
1
11
cos 2.837cos cos3cos5
925
k
k
A k t t t t k
ωωωω
∞
=
??
=+++=
?
??
∑1，3，5，7，…
（2）计算电阻两端的输出电压()u t
①直流分量电压0U ：由于直流稳态时，电容相当于开路，电路中的电流0I =，故
00U =。
②基波电压1()u t ：应用相量法按分压关系计算出1()u t 的振幅相量为
1()0.1418cos(87.14)V u t t ω=+?
③三次谐波电压3()u t ：其振幅相量为
3()0.315cos3V u t t ω=
④五次谐波电压5()u t ：其振幅相量为
()5()0.014cos 582.87V u t t ω=-?
⑤故解出输出电压为
()()0.142cos 87.140.315cos30.014cos(582.87)V
u t t t
t ωωω=+?++-?
（3）作出振幅频谱图，如图9-16所示。
9.16．已知图题9-8（a ）所示三角波()g t 的傅里叶级 数为
2811
()(sin sin 3sin 5)
925
11
sin sin 3sin 5925
A
f x x x x x x x π=
-+-=-+
-
2x t T
π
=
。试求图题9-8（b ）所示三角波()g t 的傅里叶级 图9-16 三角波振幅频谱
数。
解 从图题9-8（a ），（b ）可见，()f x 和()g t 的周期均为
2s T π=
角频率为 221/s 2rad T ππ
ωπ
===
将()f x 波形沿横轴向左平移6
π
，便提到1A =的()g t 的波形图。因此，()g t 的傅里叶级数是以()6
t π
-
代入x 式的t ，即
22()()()6266
x t t t T ππππππ=
-=-=- 代入()f x 式中且1A =，()g t 的傅里叶级数为
()()()()()2228111()sin sin 3sin 5696256811
sin 30sin 390sin 5150925811
sin 30cos3sin 5150925g t t t t t t t t t t ππππππ?????????=
---+-- ? ? ?????????????
=-?--?+-?-????
??
=
-?-+-?-???
?
本 章 小 结
（1）非正弦周期电流、电压可以利用傅里叶级数展开式分解为直流分量和各次谐波分量之和；
（2）可以用傅里叶级数的系数公式，或者用查表的方法，确定非正弦周期电流、电压的直流分量和各次谐波。
（3）应用线性电路的叠加原理，分别求直流分量与各次谐波的电路响应分量。然后将这些响应分量的瞬时值表达式叠加为电路总的响应。各次谐波分量的计算可应用相量法。
（4）非正弦周期电流、电压的有效值等于直流分量与各次谐波分量有效值的平方和的平方根。
非正弦周期电流、电压的平均值（一般指整流平均值）等于它们的绝对值在一个周期
)
sin()
sin(1
)(1
)(uk k km o t ik k km o t t k U U u t k I I i ?ω?ω++=++=∑∑∞
=∞
=∑∑∞=∞
=+=+=1
2
21
2
20
K K
O
k K
U U U I I I
正弦交流电练习题 一．选择题 1．下列表达式正确的是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 2．一台直流电动机，端电压为555 V ，通过电动机绕组的电流为 A ，此电动机运行3小时消耗的电能约为（ ）kW·h。 A ．4500 B ．450 C ．45 D ． 3．某一负载上写着额定电压220V ，这是指（ ）。 A ．最大值 B ．瞬时值 C ．有效值 D ．平均值 4．在正弦交流电路中，设的初相角为，的初相角为，则当时，与的相位关系为（ ）。 A ．同相 B ．反相 C ．超前 D ．滞后 5 在RLC 串联电路中，当电源电压大小不变，而频率从其谐振频率逐渐减小时，电路中的电流将（ ）。 A ．保持某一定值不变 B ．从某一最小值逐渐变大 C ．从某一最大值逐渐变小 D ．不能判定 6．如图所示，已知电流表的读数为11A ，的读数为6A ，则的读数为（ ）A 。 在正弦量波形图中，描述其在t =0时刻的相位是（ ）。 A ．最大值 B ．初相 C ．频率 D ．相位 8．图中（ ）属于直流电压的波形图。 A ． B ． C ． D ． 9．一正弦交流电压，它的有效值为（ ）。 A ． B ． C ． D ． 10．（ ）反映了电感或电容与电源之间发生能量交换。 A ．有功功率 B ．无功功率 C ．视在功率 D ．瞬时功率 11．在RLC 串联交流电路中，当电流与端电压同相时，则（ ）。 A ． B ． C ． D ． 12．正弦交流电路中，有功功率、无功功率和视在功率之间的关系是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 13．RLC 串联电路发生谐振的条件是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 14．一个耐压为250 V 的电容器接入正弦交流电路中使用，加在电容器上的交流电压有效值可以是（ ）。 A ．200 V B ．250 V C ．150 V D ．177 V 15．在R-L-C 串联的正弦交流电路中，当端电压与电流同相时，频率与参数的关系满足_____。 a)ωL 2C 2=1 b)ω2LC=1 c)ωLC=1 d)ω=L 2C 16．在R-L-C 串联的正弦交流电路中，调节其中电容C 时，电路性质变化 的趋势为____。 a)调大电容，电路的感性增强 b)调大电容，电路的容性增强 c)调小电容，电路的感性增强 d)调小电容，电路的容性增强 17．如右图所示为正弦交流电路，电压表V 1、V 2、V 读数分别是U 1、U 2、U ， 当满足U=U 1+U 2时，框中的元件应该是______。 a)电感性 b)电容性 c)电阻性 d)条件不够，无法确定 18．如左下图所示电路在开关S 断开时谐振频率为f 0，当S 合上时，电路谐振频率为___ 。 a)021f b)03 1f c)03f d)0f 19．上题图中，已知开关S 打开时，电路发生谐振，当把开关合上时，电路呈现____。 a)阻性 b)感性 c)容性 20．如下中图所示电路，当此电路发生谐振时，V 表读数为____。 a)s U b)大于0且小于s U c)等于0
第9章非正弦交流电路 学习指导与题解 一、基本要求 1．建立几个频率为整数倍的正弦波可以合成为一非正弦周期的概念。明确一个非正弦周期波可以分解为一系列频率为整数倍正弦波之和的概念（即谐波分析）、谐波中的基波与高次谐波的含义。了解谐波分析中傅里叶级数的应用。 2．掌握波形对称性与所含谐波分量的关系。能根据波形的特点判断所含谐波的情况。了解波形原点选择对所含谐波的影响。 3．掌握非正弦周期电压和电流的平均值（即直流分量）和有效值的计算。能根据给定波形计算出直流分量。能根据非正弦周期波的直流分量和各次谐波分量，计算出它的有效值。 4．掌握运用叠加定理和谐波分析计算非正弦交流电路中的电压和电流的方法。 5．建立同频率的正弦电压和电流才能形成平均功率的概念。掌握运用叠加定理和谐波分量计算非正弦交流电路中和平均功率。 二、学习指导 在电工技术中，电路除了激励和响应是直流和正弦交流电和情况外，也还遇到有非正弦周期函数电量的情况。如当电路中有几个不同频率的正弦量激励时，响应是非正弦周期函数；含有非线性元件的电路中，正弦激励下的响应也是非线性的；在电子、计算机等电路中应用的脉冲信号波形，都是非正弦周期函数。因此，研究非正弦交流电路的分析，具有重要和理论和实际意义。 本章的教学内容可分为如下三部分： 1．非正弦周期波由谐波合成的概念； 2．非正弦周期波的谐波分析； 3．非正弦交流电路的计算。 着重讨论非正弦周期波谐波分析的概念，非正弦周期量的有效值和运用叠加定理计算非正弦交流电路的方法。 现就教学内容中的几个问题分述如下。 （一）关于非正弦周期波的谐波的概念 非正弦周期波是随时间作周期性变化的非正弦函数。如周期性变化的方波、三角波等。这类波形，与正弦波相比，都有变化的周期T和频率f，不同的是波形而已。 f t，可 几个频率为整数倍的正弦波，合成是一个非正弦波。反之，一个非正弦周期波()
第十二章(非正弦周期电流电路)习题解答 一、选择题 1． 在图12—1所示电路中，已知)]cos(2512[1t u s ω+=V ， )240cos(2502+ω=t u s V 。设电压表指示有效值，则电压表的读数为 B V 。 A ．12； B ．13； Ｃ．13.93 解：设u 如图12—1所示，根据KVL 得 )240cos(25)cos(2512021+ω+ω+=+=t t u u u s s 即 )120cos(25)cos(25120-ω+ω+=t t u =)60cos(25120-ω+t 根据 2 )1(2 )0(U U U += 得1351222=+=U A 2．在图12—2所示的电路中，已知)100cos(2t u s = V ， )]60100cos(243[0-+=t i s A ，则s u 发出的平均功率为 A W 。 A ．2； B ．4； C ．5 解：由平均功率的计算公式得 )600cos(0 )1()1()0()0(++=I U I U P =2)60cos(41300 =?+?W 3．欲测一周期性非正弦量的有效值，应用 A 仪表。 A ．电磁系； B ．整流系； C ．磁电系 4．在图12—3所示的电路中，Ω=20R ，Ω=ω5L ， Ω=ω451 C ， )]3cos(100)cos(276100[t t u s ω+ω+=V ，现欲使电流i 中含有尽可大的基波分量，Z 应 是 C 元件。 A ．电阻； B ．电感； C ．电容
解：由图12—3可见，此电路对基波的阻抗为 j 45j545520j 1 j j 1 j -?++=ω+ωω?ω++=Z C L C L Z R Z i =8 45 j 20++Z 欲使电流i 中含有尽可大的基波分量就是要使i Z 的模最小，因此Z 应为电容。 二、填空题 1．图12—4所示电路处于稳态。已知Ω=50R ，Ω=ω5L ， Ω=ω451 C ，)]3cos(100200[t u s ω+=V ，则电压表的读数为 70.7 V ，电流表的读数为 4 A 。 解：由题目所给的条件可知，L 、C 并联电路对三次谐波谐振，L 对直流相当于短路。 因此，电压表的读数为 7.702 100=V ，而电流表的读数为 450 200 =A 。 2． 图12—5所示电路中，当)cos(2200?+ω=t u V 时，测得10=I A ；当 )]3cos(2)cos(2[2211?+ω+?+ω=t U t U u V 时，测得200=U V ，6=I A 。则83.1051=U V ，71.1692=U V 。 解：由题意得 2010200==ωL ， 22 221200=+U U 及22 22 163=?? ? ??ω+??? ??ωL U L U
欢迎阅读 欢迎阅读 习 题 2.1 电流π10sin 100π3i t ?? =- ?? ? ，问它的三要素各为多少？在交流电路中，有两个负载，已知它们的 电压分别为1π60sin 3146u t ??=- ?? ? V ，2π80sin 3143u t ??=+ ?? ? V ，求总电压u 的瞬时值表达式，并说明u 、 u 1、u 2三者的相位关系。 解：(1)最大值为10（V ），角频率为100πrad/s ，初相角为-60°。 （2） 1U 则= m U 100=u 2.2 （1）i 1（2）i 1（3）i 1（4）i 1解：（1（2）I （3）=I （4）设+=1I I I 2.12=I 2.3 （1）u =t V （2）5i =-sin(314t – 60o) A 解：(1)U =10/0o (V) (2)m I =－5/－60o =5/180o －60o=5/120o (A) 2.4 已知工频正弦电压u ab 的最大值为311V ，初相位为–60°，其有效值为多少？写出其瞬时值 表达式；当t =0.0025s 时，U ab 的值为多少？ 解：∵U U ab abm 2=
欢迎阅读 ∴有效值2203112 1 21=?== U U abm ab (V) 瞬时值表达式为 ()?-=60314sin 311t u ab (V) 当t =0.0025S 时，5.8012sin(31130025.0100sin 311-=-=??? ? ? -??=πππU ab (V) 2.5 题 解：（ 所以U a 由图b 所以U a 2.6 （1（2（3解：（2=P U R == R U I （2）P （32.7 把L =51mH 的线圈（线圈电阻极小，可忽略不计），接在u t +60o) V 的交流电源上，试计算： （1）X L 。 （2）电路中的电流i 。 （3）画出电压、电流相量图。 解：（1）16105131423=??==-fL X L π(Ω)
电工技术基础与技能 第十章 三相正弦交流电路 练习题 班别：高二（ ） 姓名： 学号： 成绩： 一、是非题 1、三相对称电源输出的线电压与中性线无关，它总是对称的，也不因负载是否对称而变化。 （ ） 2、三相四线制中性线上的电流是三相电流之和，因此中性线上的电流一定大于每根相线上的 电流。 （ ） 3、两根相线之间的电压称为相电压。 （ ） 4、如果三相负载的阻抗值相等，即︱Z 1︱=︱Z 2︱=︱Z 3︱，则它们是三相对称负载。 （ ） 5、三相负载作星形联结时，无论负载对称与否，线电流必定等于对应负载的相电流。 （ ） 6、三相负载作三角形联结时，无论负载对称与否，线电流必定是负载相电流的倍。 （ ） 7、三相电源线电压与三相负载的连接方式无关，所以线电流也与三相负载的连接方式无关。 （ ） 8、相线上的电流称为线电流。 （ ） 9、一台三相电动机，每个绕组的额定电压是220V ，三相电源的线电压是380V ，则这台电动机 的绕组应作星形联结。 （ ） 10、照明灯开关一定要接在相线上。 （ ） 二、选择题 1、三相对称电动势正确的说法是（ ）。 A.它们同时达到最大值 B.它们达到最大值的时间依次落后1/3周期 C.它们的周期相同，相位也相同 D.它们因为空间位置不同，所以最大值也不同 2、在三相对称电动势中，若e 1的有效值为100V ，初相为0，角频率为ω，则e 2、e 3可分别表 示为( )。 A. tV e tV e ωωsin 100,sin 10032== B. V t e V t e ）（）?+=?-=120sin 100,120sin(10032ωω C. V t e V t e ）（）?+=?-=120sin 2100,120sin(210032ωω D. V t e V t e ）（）?-=?+=120sin 2100,120sin(210032ωω 3、三相动力供电线路的电压是380V ，则任意两根相线之间的电压称为（ ）。 A.相电压，有效值为380V B.线电压，有效值为220V C.线电压，有效值为380V D.相电压，有效值为220V 4、对称三相四线制供电线路，若端线上的一根熔体熔断，则熔体两端的电压为（ ）。 A. 线电压 B. 相电压 C. 相电压+线电压 D. 线电压的一半 5、某三相电路中的三个线电流分别为A t i ）?+=30sin(181ω A t i ）?-=90sin(182ω A t i ）?+=150sin(183ω ，当t=7s 时，这三个电流之和i=i 1+i 2+i 3为( )。 218 C. 318 A 6、在三相四线制线路上，连接三个相同的白炽灯，它们都正常发光，如果中性线断开，则（ ）。 A.三个灯都将变暗 B.灯将因过亮而烧毁 C.仍能正常发光 D.立即熄灭 7、在上题中，若中性线断开且又有一相断路，则未断路的其他两相中的灯( )。 A.将变暗 B.因过亮而烧毁 C.仍能正常发光 D.立即熄灭 8、在第（6）题中，若中性线断开且又有一相短路，则其他两相中的灯（ ）。 A.将变暗 B.因过亮而烧毁 C.仍能正常发光 D.立即熄灭 9、三相对称负载作三角形联结，接于线电压为380V 的三相电源上，若第一相负载处因故发生 断路，则第二相和第三相负载的电压分别为（ ）。 、220V 、380V 、220V 、190V 10、在相同的线电压作用下，同一台三相异步电动机作三角形联结所取用的功率是作星形联结 所取用功率的( )。 A. 倍3 3 C. 3/1 倍 三、填充题 1、三相交流电源是三个单相电源一定方式进行的组合，这三个单相交流电源的 、 、 。 2、三相四线制是由 和 所组成的供电体系，其中相电压是指
习 题 电流π10sin 100π3i t ??=- ?? ?，问它的三要素各为多少？在交流电路中，有两个负载，已知它们的电压分别为1π60sin 3146u t ??=- ???V ，2π80sin 3143u t ??=+ ?? ?V ，求总电压u 的瞬时值表达式，并说明u 、u 1、u 2三者的相位关系。 解：(1)最大值为10（V ），角频率为100πrad/s ，初相角为-60°。 （2）?-=30/601m U &（V ）?=60/802m U &（V ） 则?=?+?-=+=1.23/10060/8030/6021m m m U U U &&&（V ） )1.23314sin(100?+=t u （V ）u 滞后u 2，而超前u 1。 两个频率相同的正弦交流电流，它们的有效值是I 1=8A ，I 2=6A ，求在下面各种情况下，合成电流的有效值。 （1）i 1与i 2同相。 （2）i 1与i 2反相。 （3）i 1超前i 2 90o 角度。 （4）i 1滞后i 2 60o 角度。 解：（1）146821=+=+=I I I （A ） （2）6821+=-=I I I （A ） （3）1068222221=+=+=I I I （A ） （4）设?=0/81I &（A ）则?=60/62 I &（A ） ?=?+?=+=3.25/2.1260/60/82 1I I I &&&（A ） 2.12=I （A ） 把下列正弦量的时间函数用相量表示。 （1）u =t V （2）5i =-sin(314t – 60o) A 解：(1)U &=10/0o (V) (2)m I &=－5/－60o =5/180o －60o=5/120o (A) 已知工频正弦电压u ab 的最大值为311V ，初相位为–60°，其有效值为多少？写出其瞬时值表达式；当t =时，U ab 的值为多少？ 解：∵U U ab abm 2= ∴有效值2203112 121=?==U U abm ab (V) 瞬时值表达式为 ()?-=60314sin 311t u ab (V) 当t =时，5.80)12sin(31130025.0100sin 311-=-=??? ? ?-??=πππU ab (V) 题图所示正弦交流电路，已知u 1sin314t V ，u 2t –120o) V ，试用相量表示法求电压u a 和u b 。 题图 解：（1）由图a 知，21u u u a +=
习 题 电流π10sin 100π3i t ?? =- ?? ? ，问它的三要素各为多少在交流电路中，有两个 负载，已知它们的电压分别为1π60sin 3146u t ??=- ?? ? V ，2π80sin 3143u t ??=+ ?? ? V ，求总 电压u 的瞬时值表达式，并说明u 、u 1、u 2三者的相位关系。 解：(1)最大值为10（V ），角频率为100πrad/s ，初相角为-60°。 （2）?-=30/601m U （V ）?=60/802m U （V ） 则?=?+?-=+=1.23/10060/8030/6021m m m U U U （V ） )1.23314sin(100?+=t u （V ）u 滞后u 2，而超前u 1。 两个频率相同的正弦交流电流，它们的有效值是I 1=8A ，I 2=6A ，求在下面各种情况下，合成电流的有效值。 （1）i 1与i 2同相。 （2）i 1与i 2反相。 （3）i 1超前i 2 90o 角度。 （4）i 1滞后i 2 60o 角度。 解：（1）146821=+=+=I I I （A ） （2）6821+=-=I I I （A ） （3）1068222221=+=+=I I I （A ） （4）设?=0/81I （A ）则?=60/62I （A ） ?=?+?=+=3.25/2.1260/60/82 1I I I （A ） 2.12=I （A ） 把下列正弦量的时间函数用相量表示。 （1 ）u =t V （2）5i =-sin(314t – 60o) A 解：(1)U =10/0o (V) (2)m I =－5/－60o =5/180o －60o=5/120o (A) 已知工频正弦电压u ab 的最大值为311V ，初相位为–60°，其有效值为多少写出其瞬时值表达式；当t =时，U ab 的值为多少 解：∵U U ab abm 2= ∴有效值2203112 1 21=?= = U U abm ab (V) 瞬时值表达式为 ()?-=60314sin 311t u ab (V)
第９章非正弦交流电路 学习指导与题解 一、基本要求 １.建立几个频率为整数倍的正弦波可以合成为一非正弦周期的概念。明确一个非正弦周期波可以分解为一系列频率为整数倍正弦波之和的概念(即谐波分析）、谐波中的基波与高次谐波的含义。了解谐波分析中傅里叶级数的应用。 2.掌握波形对称性与所含谐波分量的关系。能根据波形的特点判断所含谐波的情况。了解波形原点选择对所含谐波的影响。 ３．掌握非正弦周期电压和电流的平均值（即直流分量）和有效值的计算。能根据给定波形计算出直流分量。能根据非正弦周期波的直流分量和各次谐波分量,计算出它的有效值。 ４.掌握运用叠加定理和谐波分析计算非正弦交流电路中的电压和电流的方法。 5.建立同频率的正弦电压和电流才能形成平均功率的概念。掌握运用叠加定理和谐波分量计算非正弦交流电路中和平均功率。 二、学习指导 在电工技术中,电路除了激励和响应是直流和正弦交流电和情况外,也还遇到有非正弦周期函数电量的情况。如当电路中有几个不同频率的正弦量激励时，响应是非正弦周期函数；含有非线性元件的电路中，正弦激励下的响应也是非线性的;在电子、计算机等电路中应用的脉冲信号波形,都是非正弦周期函数。因此,研究非正弦交流电路的分析，具有重要和理论和实际意义。 本章的教学内容可分为如下三部分： 1.非正弦周期波由谐波合成的概念； 2．非正弦周期波的谐波分析； ３．非正弦交流电路的计算。 着重讨论非正弦周期波谐波分析的概念,非正弦周期量的有效值和运用叠加定理计算非正弦交流电路的方法。 现就教学内容中的几个问题分述如下。 （一)关于非正弦周期波的谐波的概念 非正弦周期波是随时间作周期性变化的非正弦函数。如周期性变化的方波、三角波等。这类波形，与正弦波相比,都有变化的周期T和频率f,不同的是波形而已。
正选交流电路+三相交流电知识点整理（1） 1、正选交流电与直流电的区别 所谓正弦交流电路，是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。交流发电机中所产生的电动势和正弦信号发生器所输出的信号电压，都是随时间按正弦规律变化的。它们是常用的正弦电源。在生产上和日常生活中所用的交流电，一般都是指正弦交流电。因此，正弦交流电路是电工学中很重要的一个部分。 直流电路：除在换路瞬间，其中的电流和电压的大小与方向(或电压的极性)是不随时间而变化的，如下图所示： 正选交流电：正弦电压和电流是按照正弦规律周期性变化的，其波形如下图所示。正弦电压和电流的方向是周期性变化的。 正弦量：正弦电压和电流等物理量。正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，而它们分别由频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。所以频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的三要素。 2、周期T与频率f 周期T：正弦量变化一次所需的时间。单位：秒（s） 频率f：每秒内变化的次数。单位：赫兹（Hz） 两者关系：频率是周期的倒数 f=1/T
高频炉的频率是200- 300kHz；中频炉的频率是500-8000Hz；高速电动机的频率是150 -2000Hz; 通常收音机中波段的频率是530-1600kHz ，短波段是2.3-23MHz；移动通信的频率是900MHz和1800MHz; 在元线通信中使用的频率可高 300 GHz。 正弦量变化的其他表达方式：角频率 正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率ω来表示。因为一周期内 经历了 2π弧度(图 4.1.3) ，所以角频率为： 上式表示 T，f,ω三者之间的关系，只要知道其中之一，则其余均可求出。 3、幅值与有效值 正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母来表示，如 i ， U 及 e 分别表示电流、电压及电动势的瞬时值。瞬时值中最大的值称为幅值或最大值，用带下标 m 的大写字母来表示，如Im， Um 及 Em 分别表示电流、电压及电动势的幅值。 正弦电流的数学表达式： i= I msinωt u = Umsinwt 正弦电流、电压和电动势的大小往往不是用它们的幅值，而是常用有效值(均方根值)来计量的。 参考资料：有效值是从电流的热效应来规定的，因为在电工技术中，电流常表现出其热效应。不论是周期性变化的电流还是直流，只要它们在相等的时间内通过同一电阻而两者的热效应相等，就把它们的安[培]值看作是相等的。就是说，某-个周期电流 i 通过电阻 R (譬如电阻炉)在一个周期内产生的热量，和另一个直流 I 通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的热量相等，那么这个周期性变化的电流 i 的有效值在数值上就等于这个直流 I。 周期内电流的有效值:
一、实验目的 1．研究正弦稳态交流电路中电压、电流相量之间的关系。 2. 掌握日光灯线路的接线。 3. 理解改善电路功率因数的意义并掌握其方法。 二、原理说明 1. 在单相正弦交流电路中，用交流电流表测得 各支路的电流值，用交流电压表测得回路各元件两 端的电压值，它们之间的关系满足相量形式的基尔 霍夫定律，即。 图4-1 RC 串联电路 2. 图4-1所示的RC 串联电路，在正弦稳态信 号U 的激励下，U R 与U C 保持有90o的相位差，即当 R 阻值改变时，U R 的相量轨迹是一个半园。U 、U C 与 U R 三者形成一个直角形的电压三角形，如图4-2所 示。R 值改变时，可改变φ角的大小，从而达到 移相的目的。 3. 日光灯线路如图4-3所示，图中 A 是日光灯管，L 是镇流器， S 是启辉器，C 是补偿电容器，用以改善电路的功率因数（cos φ值）。有关日光灯的工作原理请自行翻阅有关资料。 图4-3 日光灯线路 序号 名称 数量 备注 1 电源控制屏（调压器、日光灯管） 1 DG01或GDS-01 2 交流电压表 1 D36或GDS-11 3 交流电流表 1 D35或GDS-12 4 三相负载 1 DG08或GDS-06B 5 荧光灯、可变电容 1 DG09或GDS-09 6 起辉器、镇流器、电容、电门插座 DG09或GDS-09 7 功率表 1 D34或GDS-13 220V L S A C R jXc Uc U R I U R U U c I φ
四、实验内容 1. 按图4-1接线。R为220V、15W的白炽灯泡，电容器为4.7μF/450V。经指导教师检查后，接通实验台电源，将自耦调压器输出(即U)调至220V。记录 U、U R 、U C 值，验证电压三角形关系。 2. 日光灯线路接线与测量。 图4-4 （1）按图4-4接线。 （2）经指导教师检查后接通实验台电源，调节自耦调压器的输出，使其输 出电压缓慢增大，直到日光灯刚刚启辉点亮为止，记下三表的指示值。 （3）将电压调至220V，测量功率P，电流I，电压U，U L ，U A 等值，验证电压、电流相量关系。 测量值P(W)CosφI(A)U(V)U L (V)U A (V)启辉值 正常工作值48.80.540.393237.7184.7102.1 3. 并联电路──电路功率因数的改善。 测量值计算值 U（V）U R （V）U C （V） U′（与U R ，U C 组成Rt△） （U′=2 2 C R U U ） △U = U′－U （V） △U/U（%）240.3234.151.4 239.6 0.62 0.26
第2章 正弦交流电路 判断题 2.1 正弦交流电的基本概念 1．若电路的电压为)30sin(?+=t U u m ω，电流为)45sin(?-=t I i m ω， 则u 超前i 的相位角为75°。 [ ] 答案:V 2．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90100sin(282?+=t i Ａ，则电流相量分别是 ?=0/61I &Ａ，?=90/82I &Ａ。所以二者的电流相量和为：2 1I I I &&&+= [ ] 答案:V 3．若电路的电压为u ＝I m sin(ωt+30°)，电流为i =I m sin(ωt-45°)，则u 超前i 的相位角为15°。 [ ] 答案:X 4．正弦量的三要素是指其最大值、角频率和相位。 [ ] 答案:X 5．正弦量可以用相量表示，因此可以说，相量等于正弦量。 [ ] 答案:X 6．任何交流电流的最大值都是有效值的2倍。 [ ] 答案:X 7．正弦电路中，相量不仅表示正弦量，而且等于正弦量。 [ ] 答案:X 2.2 正弦量的相量表示法 1．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90200sin(282?+=t i Ａ，则电流相量分别是 ?=0/61I &Ａ，?=90/82I &Ａ。所以二者的电流相量和为：2 1I I I &&&+= 。[ ] 答案:X 2.3 单一参数的正弦交流电路 1．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。 [ ] 答案:X
2．在电感元件的电路中，电压相位超前于电流90o，所以电路中总是先有电压后有电流。 [ ] 答案:X 3．电感元件的感抗是电感电压与电流的瞬时值之比。 [ ] 答案:X 4．电感元件的感抗是电感电压与电流的有效值之比。 [ ] 答案:V 5．直流电路中，电容元件的容抗为零，相当于短路。 [ ] 答案:X 6．直流电路中，电感元件的感抗为无限大，相当于开路。 [ ] 答案:X 7．直流电路中，电容元件的容抗为无限大，相当于开路。 [ ] 答案:V 8．直流电路中，电感元件的感抗为零，相当于短路。 [ ] 答案:V 9．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当X L＞X C时电路呈电容性，则电流与电压同相。[ ]答案:X 10．电感元件电压相位超前于电流π/2 (rad)，所以电路中总是先有电压后有电流。[ ] 答案:X 11．正弦交流电路中，电源频率越高，电路中的感抗越大，而电路中的容抗越小。[ ] 答案:V 12．正弦电流通过电感或电容元件时，当电流为零时，则电压的绝对值为最大，当电流为最大值时，则电压为零。 [ ] 答案:V 13．正弦电流通过电感或电容元件时，当电流为零时，则电压的绝对值为最小。 [ ]答案:X 14．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。 [ ] 答案:X 15．电容元件的容抗是电容电压与电流的有效值之比。 [ ] 答案:V 16．单一电感元件的正弦交流电路中，消耗的有功功率比较小。 [ ] 答案:X 17．电容元件的交流电路中，电压比电流超前90°。 [ ] 答案:X 18．电容元件的交流电路中，电流比电压超前90°。[ ] 答案:V 19．电感元件的有功功率为零。 [ ] 答案:V 20．电容元件的有功功率为零。 [ ] 答案:V
第7章 非正弦周期交流电路 7.1非正弦周期交流电路习题 一、填空题 1．非正弦周期信号可以分解成________________________________________________，用数学中的——————————————————级数表示。 2．非正弦周期信号的谐波成分可能有直流分量（零次谐波）、奇次谐波及——————谐波。 3．电话中使用的电信号是——————（填正弦或非正弦）周期信号。 4．非正弦周期信号频谱的含义是——————————————————————————。 5．非正弦周期信号的频谱有————————————————————————————等特点。 6．频谱知识在——————————————————————领域中要用到频谱可以用仪器来测量，该仪器的名称叫———————————————————————。 7．请画出半波整流波形的频谱————————————————————————————。 8、非正弦周期交流电的有效值与它的各次谐波有效值之间的关系是——————————。 9、非正弦周期交流电的平均值指的是——————————（填写数学平均值还是绝对平均值）。 10、非正弦周期交流电的有效值和平均值————————（填写是或不）相同的。 11、非正弦周期交流电的最大值指的是——————————————，最大值与有效值之间——————（填写有或者没有）√2 倍关系。 12、线性非正弦周期电路的分析计算方法叫————————，它的依据是————————。 13．用谐波分析法求出电路中的各次谐波的电流分量后，应将电流分量的——————值（填写瞬时、有效或者相量）进行叠加求电路的非正弦电流。 14．若三次谐波的3L X ＝9Ω、3C X ＝6Ω，则一次谐波的1L X ——————，1C X ——————。 15．非正弦周期交流电的平均功率的公式是————————，同次谐波的电流、电压之间——————（填写：能或不能）产生平均功率。 16、若流过R=10Ω电阻的电流 它的依据是——————————。 17．有一负载线圈 =(2十如时）A ，则电阻R 两端电压的有效 其对五次谐波的复阻抗乙 ，其对基波的复阻抗Zl=30+j20n ，则其对三次谐波的复 为O XLI 18．已知某非正弦周期交流电压作甭石几
第三章 正弦交流电路 一、填空题 1．交流电流是指电流的大小和____ 都随时间作周期变化，且在一个周期内其平均值为零的电流。 2．正弦交流电路是指电路中的电压、电流均随时间按____ 规律变化的电路。 3．正弦交流电的瞬时表达式为e =____________、i =____________。 4．角频率是指交流电在________时间内变化的电角度。 5．正弦交流电的三个基本要素是_____、_____和_____。 6．我国工业及生活中使用的交流电频率____，周期为____。 7． 已知V t t u )270100sin(4)(?+-=，m U = V ，ω= rad/s ，ψ = rad ，T= s ，f= Hz ，T t= 12 时，u(t)= 。 8．已知两个正弦交流电流A )90314sin(310A,)30314sin(100 20 1+=-=t i t i ，则21i i 和的相位差为_____，___超前___。 9．有一正弦交流电流，有效值为20A ，其最大值为____，平均值为____。 10．已知正弦交流电压V )30314sin(100 +=t u ，该电压有效值U=_____。 11．已知正弦交流电流A )60314sin(250 -=t i ，该电流有效值I=_____。 12．已知正弦交流电压() V 60314sin 22200 +=t u ，它的最大值为___，有效值为____， 角频率为____，相位为____，初相位为____。 13．正弦交流电的四种表示方法是相量图、曲线图、_____ 和_____ 。 14．正弦量的相量表示法，就是用复数的模数表示正弦量的_____，用复数的辐角表示正弦量的_______。 15．已知某正弦交流电压V t U u u m )sin(ψω-=，则其相量形式? U =______V 。 16．已知某正弦交流电流相量形式为0 i120e 50=? I A ，则其瞬时表达式i =__________A 。 17．已知Z 1=12+j9， Z 2=12+j16， 则Z 1·Z 2=________，Z 1/Z 2=_________。 18．已知11530Z =∠?，22020Z =∠?，则 Z 1?Z 2=_______，Z 1/Z 2=_________。 19．已知A )60sin(210,A )30sin(250 201+=+=t i t i ωω，由相量图得
第十二章(非正弦周期电流电路)习题解答 一、选择题 1． 在图12—1所示电路中，已知)]cos(2512[1t u s ω+=V ， )240cos(2502+ω=t u s V 。设电压表指示有效值，则电压表的读数为 B V 。 A ．12； B ．13； Ｃ． 解：设u 如图12—1所示，根据KVL 得 )240cos(25)cos(2512021+ω+ω+=+=t t u u u s s } 即 )120cos(25)cos(25120 -ω+ω+=t t u =)60cos(25120 -ω+t 根据 2 )1(2 )0(U U U += 得1351222=+=U A 2．在图12—2所示的电路中，已知)100cos(2t u s = V ， )]60100cos(243[0-+=t i s A ，则s u 发出的平均功率为 A W 。 A ．2； B ．4； C ．5 解：由平均功率的计算公式得 ~ )600cos(0 )1()1()0()0(++=I U I U P =2)60cos(41300 =?+?W 3．欲测一周期性非正弦量的有效值，应用 A 仪表。 A ．电磁系； B ．整流系； C ．磁电系 4．在图12—3所示的电路中，Ω=20R ，Ω=ω5L ， Ω=ω451 C ， )]3cos(100)cos(276100[t t u s ω+ω+=V ，现欲使电流i 中含有尽可大的基波分量，Z 应 是 C 元件。 A ．电阻； B ．电感； C ．电容
解：由图12—3可见，此电路对基波的阻抗为~ j45 j5 45 5 20 j 1 j j 1 j - ? + + = ω + ω ω ? ω + + =Z C L C L Z R Z i = 8 45 j 20+ +Z 欲使电流i中含有尽可大的基波分量就是要使i Z的模最小，因此Z应为电容。 二、填空题 1．图12—4所示电路处于稳态。已知Ω =50 R，Ω = ω5 L，Ω = ω 45 1 C ， )] 3 cos( 100 200 [t u s ω + =V，则电压表的读数为V，电流表的读数为4 A 。 解：由题目所给的条件可知，L、C并联电路对三次谐波谐振，L对直流相当于短路。因此，电压表的读数为7. 70 2 100 =V，而电流表的读数为4 50 200 =A。 2．图12—5所示电路中，当) cos( 2 200? + ω =t u V时，测得10 = I A；当 )] 3 cos( 2 ) cos( 2 [ 2 2 1 1 ? + ω + ? + ω =t U t U u V时，测得200 = U V，6 = I A。则 83 . 105 1 = U V，71 . 169 2 = U V。 ； 解：由题意得
第六章非正弦周期性电路 学习目标： 1 ．了解非正弦周期量的产生 2 ．熟悉掌握非正弦周期交流信号的分解方法 3 ．掌握非正弦周期交流信号的平均值、有效值、平均功率的计算 4 ．熟悉非正弦周期交流电路的分析和计算 重点：非正弦周期交流信号的平均值、有效值、平均功率的计算 难点：非正弦周期交流信号的分解方法 一、非正弦周期量的产生 1 ．基本概念：若电路中的电压电流不按正弦规律变化，但还是按照周期性变化的电路称为非正弦周 期性电路。 2 ．常见的非正弦周期性波形，如图 6-1 所示。 图 6-1 常见的非正弦周期性波形
3 ．非正弦周期量的产生： （ 1 ）实验室的信号发生器产生非正弦信号； （ 2 ）电子技术中的非线性元件的作用； （ 3 ）非电量电测技术中的非正弦信号； （ 4 ）各种语音、图象信号等。 二、非正弦周期交流信号的分解 图 6-2 1 ．按照傅里叶级数展开法，任何一个满足狄里赫利 (Dirichlet) 条件的非正弦周期信号( 函数 ) 都可以分解为一个恒定分量与无穷多个频率为非正弦周期信号频率的整数倍、不同幅值的正弦分量的和，如图 6- 2 所示，即周期函数 ，称为直流分量 ，
，称为第 K 次谐波分量的振幅。，称为第 K 次谐波分量的初相角。例 6-1 ：周期性方波的分解：，分解波形如图 6-3 所示。 图 6-3 方波波形的分解 例 6-2 ：锯齿波信号的分解 例 6-3 ：三角波信号的分解 三、有效值、平均值、功率 1 ．有效值：
（ 1 ）周期量有效值的定义： 注意：对于非正弦周期信号，其最大值与有效值之间并无关系。 （ 2 ）非正弦周期量： 函数 则有效值为： 利用三角函数的正交性得： 同理非正弦周期电流的有效值为： 结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。 2 ．平均值： 非正弦周期性函数的平均值为直流分量： 显然正弦周期性函数的平均值为 0 3 ．功率： 如图 6-4 所示，所示一端口 N 的端口电压u ( t ) 和电流i ( t ) 的关联参考方向下，一端 口电路吸收的瞬时功率和平均功率为 图 6-4
正弦交流电路练习题 一、 填空题： 1. 交流电的三要素为 、 、 。 2. 3． 图示波形，已知f=50HZ ，则I m = ， I= ，ω= ，φ= ，电流 的解析式为i= ，电流的 相量形式为=?I 。 4．已知交流电压u=100Sin(314t-45o)V ，则该交流电压的最大值U m = ，有效值U= ，角频率ω= ，频率f= ，周期T= ，初相φ= ，当t=0.1s 时，交流电压的瞬时值为 。 5．市用照明电的电压为220V ，这是指电压的 ，接入一个标有“220V ，100W”的灯泡后，灯丝上通过的电流的有效值是 ，电流的最大值是 。 6．一个电感为100mH ，电阻可不计的线圈接在“220V ，50Hz”的交流电上，线圈的感抗是 ，线圈中的电流是 。 7．已知电压)30314sin(210 +=t u V ，电流)60314sin(220 -=t i A ，则?=U _________，=?I ___________。 8． 已知某一交流电路，电源电压)30sin(2100 -=t u ωV ，电路中通过的电流)90sin(2 -=t i ωA ，则电压和电流之间的相位差为__________. 9．在纯电阻电路中，电流与电压的相位_________；在纯电容电路中，电压 ________电流 90；在纯电感电路中，电压__________电流 90。 10.已知 A )90sin(25,A )30sin(250201+ω=+ω=t i t i ，得??+21I I =_________，所以21i i +=___________。 11.流入节点的各支路电流 的代数和恒等于零，是基尔霍夫 定律得相量形式。 12. 在正弦交流电路中，已知流过纯电感元件的电流I=5A,电压
第二章 正弦交流电路 习题参考答案 把下列正弦量的时间函数用相量表示： (1) u ＝102sin314t V (2) i ＝－5sin(314t －60o) A 解：(1)U =10/0o (V) (2)m I =－5/－60o =5/180o －60o=5/120o (A) 已知工频正弦电压u ab 的最大值为311V ，初相位为－60°，其有效值为多少写出其瞬时 值表达式；当t =时，U ab 的值为多少 解：∵U U ab abm 2 ∴有效值2203112 1 21 U U abm ab (V) 瞬时值表达式为 60314sin 311t u ab (V) 当t =时，5.80)12 sin(31130025.0100sin 311 U ab (V) 用下列各式表示RC 串联电路中的电压、电流，哪些是对的，哪些是错的 （1） i =Z u （2） I=C X R U （3） I = C j R U （4） I=Z U （5） U=U R +U C （6） U =R U +C U （7）I =－j C U （8）I = j C U 解：在R 、C 串联电路中，总阻抗c j R X j R Z C 1 而 X R Z C 2 2 Z U I R I U R X I U C C R U U U U U U C R 222 所以 （1）、（2）、（3）、（5）、（7）、（8）均是错的，（4）、（6）是对的。 图中，U 1=40V ，U 2=30V ，i =10sin314t A ，则U 为多少并写出其瞬时值表达式。 解：由电路图可知，电压u 1与电流i 同方向，而电压u 2超前电流i 90o ，所以 504030222 221 U U U (V) ∵电压u 超前电流i 的电度角 9.364 3 arctan arctan 21U U ∴)9.364.31sin(250 t u (V) 图所示电路中，已知u ＝100sin(314t +30o)伏，i ＝(314t +安， i 2＝10sin(314t +安，试求：
实验十三 正弦稳态交流电路相量的研究 专业 学号 姓名 实验日期 一、实验目的 1.研究正弦稳态交流电路中电压、电流相量之间的关系 2.掌握日光灯线路的接线。 3.理解改善电路功率因数的意义并掌握其方法。 二、原理说明 1.在单相正弦交流电路中,用交流电流表则得各支中的电流值,用交流电压表测得回路各元件两端的电压值,它们之间的关系满足相量形式的基尔霍夫定律,即 i =∑0 和 &U =∑02.如图13-1 所示的RC 串联电路,在正弦稳态信号的激励下,与保持有90°&U R U &&U C 的相位差,即当阻值Ｒ改变时,的相量轨迹是一个半圆,、与三者形成一个直角 &U R &U &U C &U R 形的电压三角形。Ｒ值改变时,可改变φ角的大小,从而达到移相的目的。 图 13-1 3.日光灯线路如图13-2 所示,图中Ａ是日光灯管,Ｌ是镇流器,Ｓ是启辉器,Ｃ是补偿电容 器,用以改善电路的功率因数（cos φ值）。 图 13-2 有关日光灯的工作原理请自行翻阅有关资料。
三、实验设备 序号名称型号与规格数量备注 1单相交流电源0~220V 12三相自耦调压器13交流电压表14交流电流表15功率因数表1 DGJ-076白炽灯组15W/220V 2DGJ-047镇流器与30W 灯管配用 1 DGJ-048电容器 1uf,2.2uf, 4.7μf/450V DGJ-04 9启辉器与30W 灯管配用 1DGJ-0410日光灯灯管30W 1DGJ-0411电门插座 3 DGJ-04 四、实验内容 (1)用两只15W /220V 的白炽灯泡和4.7μf/450V 电容器组成加图13-1所示的实验电路,经指导老师检查后，接通市电220V 电源，将自藕调压器输出调至220V 。记录U 、U R 、U C 值 ,验证电压三角形关系。 测量值 计算值 白炽灯盏数 U(V) U R (V) U C (V) U’(V) φ2 220 200 84 217 22.8 1 220 213 45 218 11.9 (2)日光灯线路接线与测量 图 13-3 按图13-3组成线路,经指导教师检查后按下闭合按钮开关,调节自耦调压器的输出,使其