第 二 章 第 6 节：函数的微分
教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算 教学重点：微分的计算
教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算 教学内容：
1. 微分的定义
计算函数增量()()00x f x x f y -?+=?是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似
计算方法。 先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的薄片的面积改
影响，其边长由0x 变到x x ?+0（图2-1），问此变了多少？
设此薄片的边长为x ，面积为A ，则A 是x 的函数：2x A =。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变
量x 自0x 取得增量x ?时，函数A 相应的增量A ?，即
()()202
0202x x x x x x A ?+?=-?+=?。
从上式可以看出，A ?分成两部分，第一部分A x ?02是A ?的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分()2x ?在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当0→?x 时，第二部分()2x ?是比x ?高阶的无穷小，即()()x x ?=?02。由此可见，如果边长改变很微小，即x ?很小时，面积的改变量A ?可近似地用第一部分来代替。
一般地，如果函数()x f y =满足一定条件，则函数的增量y ?可表示为
()x x A y ?+?=?0，
其中A 是不依赖于x ?的常数，因此x A ?是x ?的线性函数，且它与y ?之差
()x x A y ?=?-?0，
是比x ?高阶的无穷小。所以，当0≠A ，且x ?很小时，我们就可近似地用x A ?来代替y ?。
定义 设函数()x f y =在某区间内有定义，x x ?+0及x 0在这区间内，如果函数的增量
图2-1
可表示为 ()x x A y ?+?=?0， ① 其中A 是不依赖于x ?的常数，而()x ?0是比x ?高阶的无穷小，那么称函数()x f y =在点0x 是
可微的，而x A ?叫做函数()x f y =在点0x 相应于自变量增量x ?的微分，记作dy ，即
x A dy ?=。
定理1 函数()x f 在点0x 可微的充分必要条件是函数()x f 在点0x 可导，且当()x f 在点0
x 可微时，其微分一定是
()x x f dy ?'=0。
设函数()x f y =在点0x 可微，则按定义有①式成立。①式两边除以x ?，得
()x
x A x y ??+=??0。 于是，当0→?x 时，由上式就得到
()00lim
x f x
y
A x '=??=→?。 因此，如果函数()x f 在点0x 可微，则()x f 在点0x 也一定可导（即()0x f '存在），且()0x f A '=。
反之，如果()x f y =在点0x 可导，即 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成
()α+'=??0x f x
y
， 其中0→α（当0→?x ）。由此又有
()x x x f y ?+?'=?α0。
因()x x ?=?0α，且不依赖于x ?，故上式相当于①式，所以()x f 在点0x 也是可微的。
由此可见，函数()x f 在点0x 可微的充分必要条件是函数()x f 在点0x 可导，且当()x f 在点
0x 可微时，其微分一定是
()x x f dy ?'=0。 ②
例1 设x e y x cos =，求dy 解：
x e x e dx
dy
x x sin cos -=
微分在近似计算中的应用：在()00≠'x f 的条件下，以微分()x x f dy ?'=0近似代替增量
()()00x f x x f y -?+=?时，相对误差当0→?x 时趋于零。因此，在x ?很小时，有精确度较
好的近似等式
dy y ≈?。
即()()()x x f x f x x f ?'+≈?+000 或x x f x f x f ?'+≈)()()(00
特别地，当x x ,00=很小时，有x f f x f )( )()(00'+≈ （3） （3）式是计算零点附近的函数值 当x ?很小时，有下列近似计算公式： 例 证明：x n
x n 111+≈+。（当x ?很小时） 令 n x x f +=1)( 因为n
x n f f x n 11101
0011
=+='==-|)()()(
由x f f x f )()()(00'+≈ 故，当x ?很小时，x n
x n 111+≈+
例2 一个充好气的气体，4=r m ，升空后，因外面气压降低，气球半径r 增大了10cm ，求体积增加了多少？
解：因为33
4r V π=
所以x r x r dv V ?=??'=≈?2343
4ππ)( 例3 求24.的近似值．
解 设x x f =)(,取2040.,=?=x x ，则 所以 0524244424.).)(()(.=-'+≈f f 或者： 2. 微分的几何意义
为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。
在直角坐标系中，函数()x f y =的图形是一条曲线。对于某一固定的0x 值，曲线上有一时，就得到曲线
个确定点()00y x M ，当自变量x 有微小增量x ?上另一点()y y x x N ?+?+00，.从图2-2可知：
x MQ ?=， y QN ?=。
过M 点作曲线的切线,它的倾角为α，则
()0tan x f x MQ QP '??=?=α，
即 QP dy =。
由此可见，当y ?是曲线()x f y =上的M 点的纵坐标的增量时，dy 就是曲线的切线上M 点的纵坐标的相应增量。当x ?很小时，dy y -?比x ?小得多。因此在点M 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。 3. 微分运算法则及微分公式表
由()dx x f dy '=，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当v u 、都可导）：
()dv du v u d ±=±， ()Cdu Cu d =， ()udv vdu v u d +=?， 2
v udv
vdu v u d -=??
? ??。 微分公式表：
()
dx x x d 1-=μμμ，
()xdx x d cos sin =， ()xdx x d sin cos -=， ()xdx x d 2sec tan =，
图2-2
()xdx x d 2csc cot -=，
()xdx x x d tan sec sec =， ()xdx x x d cot csc csc -=， ()
adx a a d x x ln =， ()
dx e e d x x =，
()dx a
x x d a ln 1
log =， ()dx x
x d 1
ln =
， ()dx x
x d 2
11arcsin -=
，
()dx x
x d 2
11arccos --
=，
()dx x x d 2
11
arctan +=
， ()dx x
x arc d 2
11
cot +-=。 注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如：
x d dx x
21=，
x d dx x
1
12
-=， ()b ax d a dx +=1
，
x x da a
dx a ln 1
=。
4. 复合函数微分法则
与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下： 设()u f y =及()x u ?=都可导，则复合函数()[]x f y ?=的微分为
()
()dx x u f dx y dy x ?''='=。 由于()du dx x ='?，所以，复合函数()[]x f y ?=的微分公式也可以写成
()du u f dy '=或du y dy u
'=。
由此可见，无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式()du u f dy '=保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时（即设u 为另一变量的任一可微函数时），微分形式()du u f dy '=并不改变。
例4 求y e x =sin 的微分
解 xdx e x d e e d dy x x x cos sin )(sin sin sin === 自我训练：（1）()x e y +=1ln ，求dy 。 （2）()
x a x y ++=22ln ，求0=x dy 。
（3）有一半径为R 的铁球，镀上0.01cm 厚的银，问大约用多少体积的银。
小结：本节讲述了微分的定义，练习了微分的运算和利用微分作近似计算
希望大家熟记微分公式，为以后学习积分大好基础
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族
? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m
常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020
常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3
习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：
dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du
微分方程中的几个基础概念 微分方程—基础 微分方程(Differential equation, DFQ)是一种用来描述函数与其导数之间关系的数学方程。与之前所接触初等数学代数方程的解不同，它的解不是数，而是符合方程关系的函数。 微分方程的起源约在十七世纪末，为了解决自然科学发展中遇到物理及天文学问题而产生，随着微积分的诞生与在各个科学领域中的广泛应用，很多问题被归化为某类微分方程的问题。 在微分方程分支中，存在很多各种各样已知类型的微分方程。实事上，提高对微分方程的理解的最好的方法之一是首先处理基本的分类系统。为什么？因为你可能永远不会遇到完全陌生的微分方程。大多数微分方程已经被解决了，因此，普遍适用的解决方法很可能已经存在。 除了描述方程本身的性质外，对微分方程进行分类和识别的真正附加值来自于为跳转点提供一张导图。求解微分方程的诀窍不是创造原始解法，而是对已证明的解法进行分类和应用；有时，可能需要几步把一类方程转换为另一类等效方程，以获得可实现的广义解。 最常用于描述微分方程的四个属性是： ?常微分与偏微分 ?线性与非线性 ?齐次与非齐次
?微分阶数 虽然这个列表并非详尽无遗，但是它是我们学习首先要掌握的知识，通常在微分方程学期课程的前几周会进行回顾；通过快速回顾每一个类别，我们将会配备基本的入门工具包来处理常见的微分方程问题。 常微分与偏微分 首先，我们在自然中所发现的微分方程最常见的分类来源于从我们手边的问题中所发现的导数类型;简单地说，方程是否包含偏导数？ 如果不包含，那么它是一个常微分方程（, Ordinary differential equation）。如果包含，那么它是一个偏微分方程（, Partial differential equation）。 常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程，其微分基于该单一的自变量，通常是时间。一个常微分方程有一组离散的（有限的）变量；它们通常是一维动力系统的模型，例如：钟摆随时间的摆动。 另一方面，偏微分方程相当复杂，因为它们通常涉及多个自变量，其多种多样的偏微分方程可能基于也可能并不基于一个已知的自变量。偏微分方程常被用来描述自然界中各种各样的现象，例如：热，空间中的流体速度，或电动力学。这些似乎完全不同的物理现象被化为偏微分方程；它们在随机偏微分方程中得到推广。 下面的这些例子有助于我们分辨微分方程的导数类型包括：
常微分方程期末复习提要 中央电大 顾静相 常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习． 一、复习要求和重点 第一章 初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分??+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。 （2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d ) ()(d )()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法． 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得x u u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u u g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ?=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ?=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为： 0)(d d =+y x p x y 通解为：?=-x x p C y d )(e 。 （2）一阶线性非齐次微分方程为： )()(d d x f y x p x y =+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。 （3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y n ，
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。 [教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步
推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题. 4.2 简单的单步法及基本概念 4.2.1 Euler法、后退Euler法与梯形法 求初值问题(4.1.1)的一种最简单方法是将节点的导数用差商 代替，于是(4.1.1)的方程可近似写成 (4.2.1) 从出发，由(4.2.1)求得再将 代入(4.2.1)右端，得到的近似，一般写成 (4.2.2) 称为解初值问题的Euler法. Euler法的几何意义如图4-1所示.初值问题(4.1.1)的解曲线y=y(x)过点，从出发，以为斜率作一段直线，与直线交点于，显然有 ，再从出发，以为斜率作直线推进到上一点，其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线.
常微分方程基本知识点 第一章 绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要） 例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题） 例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章 一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）； 例题：(1).经变换_____y c u os =___________后， 方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。
(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要） 第三章 一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题） 第四章 高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？ （习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。
期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解
《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。 面向对象：本科二年级或以上学生 教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0） （一）本章教学目的与要求： 要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方
向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 （二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法（4，2） （一）本章教学目的与要求： 要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。 （二）教学内容： １. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法 ３. 一阶线性微分方程（常数变易法） ４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）
第九章 微分方程 一、教学目标及基本要求 （1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3） 会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。 （4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 （6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的 特解和通解。 （7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(02?+=可微 3、212 22sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y 5、21)0(,1)0(,022- ='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足 ?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1)(10x f f x f da ax f 求可微+= ?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成ο45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？
求函数关系是数学中的重要问题。然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法. 微分方程的基本概念 下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念. 例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(y x 处 的切线的斜率为x 2，求曲线的方程. 解 由导数的几何意义可得 x dx dy 2= ① 此外，未知函数)(x y y =还应满足条件 1=x 时，2=y （或写成21==x y ） ② 在式①两端积分，得 C x y +=2 , ③ 其中C 为任意常数.将条件②代入式③中，得1=C ， 于是得所求曲线的方程为 ④ 12+=x y
我们知道式③表示一族曲线， 曲线族中的每一条曲线的函数 代入式①中都成为恒等式， 而式④仅表示是其中的一条，它是通过点()2,1的. 从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念. （一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n 阶微分方程的一般形式为 ()(,,,,,)0n F x y y y y '''=L ⑤ 如式①为一阶微分方程.
（二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解. 含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解. 若I x x y ∈=),(?为方程⑤的解，则有 ()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡L ， I x ∈. 方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数， 其通解有时用隐函数表达式 12(,,,,,)0n x y C C C Φ=L 表示. ⑥ 例如:式③为方程①的通解.
第一节 微分方程的基本概念 教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等 教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 教学难点：微分方程的通解概念的理解 教学内容： 1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函 数
)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。 微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- 是四阶微分方程。
第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-
第十三章 常微分方程简介 本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。 微分方程是包含未知函数及其导数的方程。由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。 由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。 本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。 §1 常微分方程的基本概念 像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。 两个实例 例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。 解 平面上的曲线可由一元函数来表示 设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dx dy 2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。 另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。 从而得到 12 (1.1)|2(1.2) x dy x dx y =ì??=?í??=??，。 为了解出)(x f y =，我们只要将的两端积分，得 ?+=+==C x C x xdx y 22 2 22， 我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程。 再由条件，将2|1==x y 代入C x y +=2，即
C +=2121=?C 。 故所求曲线的方程为12+=x y 。 再看一个例子： 例1.2 设质点以匀加速度a 作直线运动，且0=t 时0,0v v s ==。求质点运 动的位移与时间t 的关系。 解 这是一个物理上的运动问题。 设质点运动的位移与时间的关系为 )(t s s =。 则由二阶导数的物理意义，知a t d s d =22，这是一个含有二阶导数的方程。 再由题意000 |0 |t t s v v ==ì=??í ?=??，因此，)(t S S =应满足问题 22 000 (1.3)|0|(1.4)t t d s a dt s v v ==ì??=?í??==???，，。 要解这个问题，我们可以将两边连续积分两次，即 1C at dt ds +=， ??++=21C dt C tdt a s ，即 2122 C t C t a s ++=， 其中21,C C 为任意常数。 由条件，因为0|0==t s ，代入，得02=C ； 再由00|v v t ==，代入，得01v C =。 故得 t v t a s 02 2 += 为所求。 下面我们将通过分析这两个具体的例子，给出微分方程的一些基本概念。 微分方程的基本概念 总结所给出的两个具体的例子，我们看到： (1) 例的)1(式和例 的)1(式都是含有未知函数的导数的等式（例1含一阶导数，例2含二阶导数）； (2) 通过积分可以解出满足这等式的函数；