微分几何复习题
一、填空题
1. 向量()(,3,)r t t t a = 具有固定方向，则a = 。
2. 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''= 的充要条件是 。
3. 若向量函数()r t 满足()()0r t r t '?= ，则()r t 具有固定 。
4. 曲线()r r t = 的正常点是指满足 的点.
5. 曲线3()(2,,)t r t t t e = 在任意点的切向量为 。
6. 曲线()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at = 在0t =点的切向量为 。
7. 曲线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt = 在0t =点的切向量为 。
8. 设曲线在P 点的切向量为α ，主法向量为β ，则过P 由,αβ 确定的平面
是曲线在P 点的 。
9. 若0()r t 是曲线()r r t = 的正则点，则曲线()r r t = 在0()r t 的密切平面方程
是 。
10. 曲线()r r t = 在点0()r t 的单位切向量是α ，则曲线在0()r t 点的法平面方
程是 。
11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ= 。
12. 曲线()r r t = 在t = 1点处有2γβ= ，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率
(1)τ= 。
13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线方程是 。
14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。
15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。
16. 曲线()r r t = 的曲率是 。
17. 曲线()r r t = 的挠率是 。
18. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。
19. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是 。
20. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 。
21. 设有曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为 。
22. 曲线()r r t = 在点0()r t 的单位切向量是α ，则曲线在0()r t 点的向量式法
平面方程是 。
23. 曲线()r r t = 在0()P t 点的主法向量是β ，则曲线在P 点的从切平面方程
是 。
24. 设曲线()r r s = ，其中s 为曲线的自然参数，则()r
s = 。 25. 半径为1的圆的挠率τ= 。
26. 曲线在P 点的挠率τ0 时，表明曲线由下往上经过P 点时成右旋曲
线.
27. 向量函数r =r (t )对任意t 有r ′(t )⊥r (t )的充要条件是 。
28. 已知曲线r =r (t )在P 点的单位切向量为α
=(0,1,0)，单位主法向量
β =(0,0,1)，则曲线在P 点的单位副法向量r = 。 29. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的 的
不变量。
31. 若点(u 0, v 0)为曲面的正则点，则u v r r ? 在(u 0, v 0)满足 。
32. 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是 。
33. 如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网
为 。
34. 已知曲面(,)r r u v = 的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du :dv 与:u v
δδ垂直的充要条件是 。
35. 对曲面(,)r r u v = 有22243dr du dv =+ ,则曲面上曲线u =u (t ),v =v (t )从0t 到t
(t >0t )的弧长s = 。
36. 若曲面(,)r r u v = 在(0，1)点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在(0，
1)点处，u u r n ?= 。其中n
为曲面的单位法向量。 37. 已知曲面(,)r r u v = 的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微
分方程是 。
38. 挠率 的曲线其副法向量是常向量。
39. 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是
40. 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线
为 。
41. 半径为R 的球面的高斯曲率K = 。
42．在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系 。
43．曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是 。
44．曲面上的曲纹坐标网为正交网的充要条件是 。
45．极小曲面是指 的曲面。
46．曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的 的最大值和最
小值.
47．两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是 。
48．设曲面在点P 处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点
是曲面的 。
49．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最
大值和最小值的方向是曲面的 方向.
50．距离单位球面球心距离为d (0 为 ，法曲率为 。 51．在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足 , 把第二类基 本量L =M =N =0的脐点称为 。 52．法曲率的最大值和最小值正好是 , 使法曲率达到最大值和 最小值的方向是 方向. 53．平面(,,0)r u v = 的第一基本形式为 。 54．悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r u v u v u = 的第一类形式是 。 55．正螺面(cos ,sin ,)r u v u v bv = 的第一基本形式是 。 56．函数N λ是主曲率的充要条件是 。 57．方向(d)d :d u v =是主方向的充要条件是 。 58．根据罗德里格定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则 ， 其中n k λ=-是曲面沿方向(d )的法曲率。 59．若曲面S 为平面,则其第二基本形式Ⅱ= 。 60．曲面(,)r r u v = 上使 的点叫做曲面上的正常点. 61．曲面之间的一个变换，如果使两曲面间对应曲线的交角相等，则称这个 变换为 。 62．若曲面(,)r r u v = 在(0, 1)点处的第二基本形式Ⅱ=d u 2+3d v 2, n 为曲面的 单位法向量，则在(0, 1)点处，u u r n ? = 。 二、单项选择题 1．曲率和挠率均为非零常数的曲线是 ( ) A. 直线； B. 圆； C. 圆柱螺线； D. 平面曲线 2．曲线的下列各量中, 不是容许参数变换下的不变量的是是 ( ) A. 曲率； B. 挠率； C. 弧长； D. 切向量 3．过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π， 当Q 沿曲线趋于点P 时，平面π的极限位置是曲线在P 点的 ( ) A. 法平面； B. 密切平面； C. 从切平面； D. 切线面 4. 圆柱螺线cos ,sin ,x t y t z t ===在点()1,0,0的切线为 ( ) A ． 1011 x y z -==； B. 0y z +=； C. 1100 x y z -==； D.0y z -=。 5. 圆柱螺线(cos ,sin ,)r t t t = 的切线与z 轴 ( ) Ａ. 平行； Ｂ. 垂直； Ｃ. 有固定夹角4π； Ｄ. 有固定夹角3 π。 6. 设有平面曲线:()C r r s = ，s 为自然参数，,αβ 是曲线的基本向量．下列 叙述错误的是 ( ) Ａ. α 为单位向量； Ｂ. αα ⊥ ； Ｃ. k α β=- ； Ｄ. k βα=- 。 7. 直线的曲率k 为 ( ) Ａ. –１； Ｂ. ０； Ｃ.１； Ｄ.２。 8. 关于平面曲线的曲率:()C r r s = ,s 为自然参数, 不正确的是 ( ) Ａ. ()()k s s α= ； Ｂ. ()()k s s ?=，?为()s α 的旋转角； Ｃ. ()k s αβ=-? ； Ｄ. ()|())|k s r s = 。 9. 设曲线()r r s = 在P (s )点的基本向量是,,αβγ ,则下列论述不正确的是( ) Ａ. ,,αβγ 均为单位向量； Ｂ. αβ⊥ ； Ｃ. βγ⊥ ； Ｄ. αβ 。 10. 曲线2sin 4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2 π=t 的切线与z 轴关系为 ( ) Ａ. 垂直； Ｂ. 平行； Ｃ. 成3π的角； Ｄ. 成4 π的角。 11. 曲线()r r s = 在P (s )点的基本向量是,,αβγ ，曲率k (s )，挠率()s τ，则下 式 ( )不正确。 A. k αβ=- ； B. k βατγ=-+ ； C. k αβ= ； D. γτβ=- 。 12. 平面曲线的密切平面与曲线所在平面 （ ） A. 相交； B. 平行； C. 重合； D. 垂直。 13. 下面曲线中是一般螺线的是 （ ） A. 平面曲线； B. 圆柱螺线； C. 直线； D. 球面曲线。 14. 曲线()r r t = 在P (t )点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子( )不正确。 A. 2r r k r '''?=' ； B. 3r r k r '''?=' ； C. k r = ； D. ()() 2r r r r r τ''''''='''? 。 15. 对于向量函数)(t r ，若)(t r ⊥)(t r '，则( ) A ．()r t 是定长向量； B. ()r t ' 定长向量； C ．()r t 是定向向量； D. ()r t ' 是定向向量。 16. 空间曲线的形状由( )决定 A ． 由曲率和挠率； B. 仅由曲率； C ． 仅由挠率； D. 由参数的选取. 17. 曲率等于零的曲线 ( ) A ． 一定是直线； B. 一定是圆； C ． 一定是球面上的曲线； D. 一定是平面曲线.. 18. 圆柱螺线(cos ,sin ,)r a t a t bt = 在任一点的切线与z 轴的夹角α( ) A ．为 90； B. 0； C. 与t 有关； D. 与b 有关。 19. 曲线()r r s = 在P 点的基本向量为,,αβγ ；在P 点的曲率k (s )，挠率为τ(s )， 则k (s )是 ( ) A. αβ? ； B. αβ-? ； C. α β? ； D. αβ-? 。 20. 曲面的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是 （ ）． A. 0E =； B. 0F =； C. 0G =； D. 0M =。 21. 曲面上一点处的两个主方向之间的夹角θ为 ( ) A. 0θ=； B. 2π θ=； C. θπ=； D. 不确定。 22. 设曲面的第一、二基本形式分别为22I d d ,E u G v =+22II d d ,L u N v =+ 则 曲面的两个主曲率分别是 ( ) A. 12,L N k k E G ==； B. 12,E G k k L N ==； C. 12k k == D. 12k k ==。 23. 曲面的坐标网是正交网的充要条件是 ( ) A. M = 0； B. L = N = 0； C. M = F = 0； D. F = 0。 24. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 ( ) A. 脐点处，任何方向都是主方向； B. 非脐点处，主方向垂直； C. 脐点处，无主方向； D. 非脐点处，有且仅有两个主方向。 25. 在选取曲率线网作为参数曲线网时，曲面的两个主曲率k 1, k 2为 （ ） A. 12,E G k k L N ==； B. 12,L N k k E G ==； C. 12,G E k k L N ==； D. 12,N L k k E G ==。 26. 设曲面:(,),(,)S r r u v u v D =∈ 的第一、二类基本量为,,E F G 和,,L M N ， 则曲面的面积为 ( ) A. D σ=； B. D σ=； C. D σ=； D. D σ= 27. 在椭圆点处，曲面的第二类基本量满足 ( ) A. 20LN M ->； B. 20LN M -<； C. 20LN M -=； D. L M M N =。 28. 在不含脐点的曲面上，坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是（ ） A. M = 0； B. L = N = 0； C. M = F = 0； D. F = 0。 29. 反映法曲率随方向而变化的变化规律的欧拉(Euler)公式是 （ ） A. 2212cos sin n k k k θθ=+； B. 2222212cos sin n k k k θθ=+； C. 12cos sin n k k k θθ=+； D. 222212 cos sin n k k k θθ=+。 30. 对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++- ( )。 A. 0>； B. 0<； C. 0≤； D. 0≥。 31. 曲面上每一点处的主方向 ( ) A. 只有一个； B. 至少两个； C. 只有两个； D. 也可能不存在。 32. 曲面(,)r r u v = 的第一、第二基本形式分别为,I II ，曲面上曲线(C)在P 点的曲率k 、沿切方向dr 的法曲率为n k ，(C )在P 点的主法向量与曲面的单位法 向量n 的夹角为θ，则下面正确的是 ( ) A. n k II =±I ； B. cos n k k θ=；C. ||n k II =I ； D. sin n k k θ=。 33. 若在曲面上一点20LN M -<, 则曲面在该点的高斯曲率K ( ) A. >0； B. < 0； C. = 0； D. 符号不确定。 34. 曲面(,),r r u v n = 是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，不正确 的是 ( ) A. 2uv M r n =? ； B. uv M r n =-? ； C. u v M r n =? ； D. u v M r n =-? 。 35. 下列选项中不是曲面的内蕴量的是 ( ) A. 两曲线的夹角； B.曲线的弧长； C. 曲面域的面积； D.在一点沿一方向的法曲率。 36. 若在曲面上某点处有E ∶F ∶G =L ∶M ∶N ，且L 、M 、N 不全为零，则 这点叫曲面的 ( ) A. 抛物点； B. 平点； C. 圆点； D. 双曲点。 37. F =M =0的充要条件是曲纹坐标网为 ( ) A. 正交网； B. 共轭网； C. 曲率线网； D. 渐近网。 38. 若在曲面上一点处有G N F M E L ==，则这点是曲面的 ( ) A. 椭圆点； B. 平点； C. 圆点； D. 脐点。 三、判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 1. 曲线上的正常点是指曲率不为零的点。 ( ) 2. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状. ( ) 3. 向量函数()r t 平行于固定平面的充要条件是()()0.r t r t '?= ( ) 4. 在几何上副法向量总是指向曲线的凹侧. ( ) 5. 曲线的主法向量正向总是指向曲线的凹侧. ( ) 6. 曲线r =r (s)为一般螺线的充要条件为(,,)0r r r = . ( ) 7. 一般螺线的主法线与固定直线一定垂直. ( ) 8. 空间曲线穿过密切平面和从切平面, 不穿过法平面. ( ) 9. 空间曲线总穿过法平面和密切平面, 但从不穿过从切平面. ( ) 10. 空间曲线穿过法平面和从切平面, 不穿过密切平面. ( ) 11. 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数. ( ) 12. 平面曲线的曲率一定为零. ( ) 13. 圆的曲率和挠率特征是k =常数，τ=0. ( ) 14. 球面曲线的法平面通过球的中心. ( ) 15. 平面曲线的密切平面一定存在唯一. ( ) 16. 在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一. ( ) 17. 若曲线的主法线与固定方向成定角,则该曲线为一般螺线. ( ) 18. 只有一个密切平面的曲线是挠率等于零的曲线. ( ) 19. 密切面固定的曲线是挠率等于零的曲线. ( ) 20. 在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一. ( ) 21. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状. ( ) 22. 平面曲线挠率特征为τ=0。 ( ) 23. 一般螺线的主法线与固定直线一定垂直. ( ) 24. 在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一. ( ) 25. 曲面上的曲纹坐标网为曲率线网的充要条件为F =M =0. ( ) 26. 曲面上的曲纹坐标网为渐进网的充要条件为L =N =0. ( ) 27. 在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向. ( ) 28. 在曲面的非脐点处，恰有二个渐近方向. ( ) 29. 在曲面的脐点处，最多有二个主方向. ( ) 30. 在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向. ( ) 31. 曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L =N =0. ( ) 32. 如果曲面上有直线，则它一定是曲面的渐近线. ( ) 33. 如果曲面上有直线，则它一定是曲面的曲率线. ( ) 34. 曲面的第一基本型是正定的. ( ) 33. 设曲面的第一基本形式为I=Edu 2+Gdv 2，则u 曲线和v 曲线的位置关系 为正交. ( ) 34. I=2du 2+6dudv +3dv 2可以作为曲面的第一基本形式. ( ) 35. 设曲面的第一基本形式为I=2d u 2+5d v 2，则曲纹坐标网为共轭网. ( ) 36. 设曲面:(,)S r r u v = , 如果G :F :E N :M :L =，则曲面上的所有曲线都 是曲率线. ( ) 四、解答题 1. 求圆柱螺线cos x t =,sin y t =,z t =在(1,0,0)的切线和法平面。 2. 将圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt = 化为自然参数表示. 3. 求圆柱螺线x =a t cos , y =a t sin ,z = b t 在任意点的密切平面的方程。 4. 计算正螺面(,)(cos ,sin ,)r u v u v u v bv = 的第一、第二基本量． 6.设曲面的第二基本形式为2 I I =+, 求此曲面上的渐近曲线。 7. 确定螺旋面r ={u v cos , u v sin , bv }上的曲率线. 五、计算题 1. 求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长． 2. 求圆柱螺线(cos ,sin ,)r a a b θθθ= ，()θ-∞<<∞的曲率与挠率。 六、证明题 1. 证明圆柱螺线(cos ,sin ,)r a a b θθθ= 的切线和z 轴作固定角。 2. 证明曲线x =1+3t +22t ,y =2-2t +52t ,z =1-2t 为平面曲线，并求出它所在的平面方程 。 3. 证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点． 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则 微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0 二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。装。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。订。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。线。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 济宁学院继续教育学院《微分几何》考试试卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 1、 曲面上的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是 . 2、平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络面是 . 3、N M L ,,是曲面的第二类基本量，则02=-M LN 的点是曲面上的 . 4、球面{}θ?θ?θsin ,sin cos ,cos cos R R R r =→ 的第二基本形式为 . 5、圆柱螺线{}bt t a t a r ,sin ,cos =→ 的自然参数表示式为 . 二、选择题（每小题2分，共20分） 6、下列属于曲面内蕴量的是 （ ） A 、主方向 B 、共轭方向 C 、高斯曲率 D 、渐近方向 7、空间曲线在一点的密切平面上的投影近似于 （ ） A 、直线 B 、半立方抛物线 C 、立方抛物线 D 、抛物线 8、空间曲面在抛物点邻近的形状近似于 （ ） A 、双曲抛物面 B 、立方抛物线 C 、椭圆抛物面 D 、圆锥面 9、曲线()r r t =r r 在点()P t 处的挠率 （ ） A 、可正可负 B 、一定为负 C 、不可为负 D 、 一定为正 10、下列概念中,能刻画曲面上一点在某一方向上的弯曲性的是 （ ） A 、高斯曲率 B 、曲率 C 、挠率 D 、法曲率 11、曲面在一点处的高斯曲率a K =,平均曲率)(2a b b H ≥=,则曲面在该点处的主曲率为 ( ) A 、a b b -+2 B 、a b b --2 C 、a b b -+2, a b b --2 D 、无法知道 12、下列不是曲面的第一类基本量的是 （ ） A 、u u r r E →→?= B 、v u r r F →→?= C 、v v r r F →→?= D 、uv r n M → →?= 13、曲面(,)r r u v =r r 的曲纹坐标网的微分方程是 （ ） A 、0du dv -= B 、0du dv += C 、0dudv = D 、220du dv -= 14、单位向量函数)(t r → 关于t 的旋转速度等于 （ ） A 、)(t r →' B 、)(t r →' C 、)(t r → D 、)(t r → 15、过2C 类空间曲线上一点最贴近曲线的平面是 （ ） A 、切平面 B 、从切平面 C 、密切平面 D 、法面 三、计算题（每小题10分，共20分） 微分几何复 习题 一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是 。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足 的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量 为 。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为 。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为 。 8. 设曲线在P 点的切向量 为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面 是曲线在P 点的 。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方 程是 。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量 是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方 程是 。 11. 一曲线的副 法向量是常 向量，则这曲线的 挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点 处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线 方程是 。 14. 曲线的主法 向量的正向 总是指向 。 15. 空间曲线为 一般螺线的 充要条件是 它的副法向 量 。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是 正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是 。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是 。 19. 一般螺线的 曲率和挠率 的关系是 。 20. 曲率为0的 曲线是 , 挠率为0的 曲线是 。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为 。 1、等距变换一定是保角变换 （×） 2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （√） 3、二阶微分方程 22 A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （×） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 （×） 5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量 （√） 6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( × ) 8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( √ ) 9、LN-M 2不是内蕴量。 ( × ) 10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( √ ) 11、曲线→ r =→ r (s)为一般螺线的充要条件为(r &&ρ,r &&&ρ,....r ρ)=0 （√） 12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。（√） 13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。（×） 14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。（× ） 15、每一个可展曲面或是柱面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。（√ ） 16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。( × ) 17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. ( √ ) 18、球面曲线的主法线必过球心 （×） 19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. ( × ) 20、曲面上的渐进网一定存在. （×） 21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。 ( √ ) 22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0。 ( × ) 23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 24、高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量。 ( × ) 25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。 ( × ) 26、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ ) 27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ ) 28、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 ( ╳ ) 《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k 一， 填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满 足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。 《微积分几何》复习题 本科 第一部分:练习题库及答案 一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (－1,－1,-1)、 3、过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z ＝０ 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5、计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k 、 6、设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9、已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 1０.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11、已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12、已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13、曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 1４、曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15、曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b 一、 填空题：（每小题2分） ⒈ 向量{}(),3,r t t t a =v 具有固定方向，则a =_______________。 ⒉ 非零向量()r t v 满足(),,0r r r '''=v v v 的充要条件是__________________。 ⒊ 设曲线在P 点的切向量为αu r ，主法向量为βu r ，则过P 由,αβu r u r 确定的平面 是曲线在P 点的_______________________。 ⒋ 曲线()r r t =v v 在点0()r t v 的单位切向量是αu r ，则曲线在0()r t v 点的法平面方 程是__________________________。 ⒌ 曲线()r r t =v v 在t = 1点处有2γβ=r v &，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ=___________________。 ⒏ 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ?θ?θψ=v 中，____________________ 是旋转曲面的经线。 ⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。 ⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r =v ______________________。 11、向量函数()r r t =r r 使(,,)0r r r '''=r r r 的充要条件是()r r t =r r 。 12、若0()r t r 是曲线()r r t =r r 的正则点，则曲线()r r t =r r 在0()r t r 的密切平面方程是 。 13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。 15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是 16、已知曲面(,)r r u v =r r 的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u v δδ垂 直的充要条件是 。 17、对曲面(,)r r u v =r r 有22243dr du dv =+r ，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0 t 到t （t >0t ）的弧长s = 。 18、若曲面(,)r r u v =r r 在（0，1）点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在 （0，1）点处，u u r n ?=r r 。其中n r 为曲面的单位法向量。 19、已知曲面(,)r r u v =r r 的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微分 方程是 。 20、若曲面(,)r r u v =r r 的第一基本形式为222ds Edu Gdv =+，曲面在一点的切 二.单项选择题 1.0()P t 就是曲线r r =()r t r 上一点,1P 就是曲线上P 点附近的一点,S ?为弧?1PP 的长,??为曲线在P 点与1P 点的切向量的夹角,k(s) 就是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2.曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率 k(s),挠率为()s τ,则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则γr &= 、 ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4、 曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则下式 不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ α r &βr ④ γr &βr 6.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。则下式 不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr > 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． (单选题)1.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: C (单选题)2.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: B (单选题)3.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: C (单选题)4.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: D (单选题)5.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: D (单选题)6.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: D (单选题)7.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: C (单选题)8.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: C (单选题)9.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: D (单选题)10.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: A (单选题)11.高斯曲率为零的曲面称为（）A: 极小曲面 B: 球面 C: 常高斯曲率曲面 D: 平面 正确答案: A (单选题)12.对于空间曲线C，挠率为零是曲线是直线的（）A: 充分不必要条件 B: 必要不充分条件 C: 既不充分又不必要条件 D: 充要条件 正确答案: B (单选题)13.对于曲线，曲率恒等于0是曲线是直线的（）A: 充分不必要条件 B: 必要不充分条件 C: 既不充分又不必要条件 D: 充要条件 正确答案: D (单选题)14.球面上的大圆不可能是球面上的（） A: 测地线 B: 曲率线 C: 法截线 D: 渐近线 正确答案: D (单选题)15.曲线在每一点的主方向（） A: 至少两个 B: 只有一个 C: 只有两个 D: 可能没有 正确答案: A (单选题)16.曲线C是一般螺线，以下命题不正确的是（）A: 切线与固定方向成固定角 B: 副法线与固定方向成固定角 C: 主法线与固定方向垂直 D: 副法线与固定方向垂直 正确答案: D (单选题)17.题面见图片： A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 《微积分几何》复习题 本科 第一部分:练习题库及答案 一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1). 3.过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5.计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k . 6.设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9.已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 10.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11.已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12.已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13.曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14.曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15.曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b ( )2 211 22222222221212u u 2222221u u 1.I I du sinh udv ,u=v u=v I du sinh udu =+sinh u du =cos h udu ,u=v A(u ),B(u )u 求曲率和挠率.（1）题1=解:求，，，，，，，，，/()（2）题2 ={}{ }{ }1212223123322112212222 ).r ),r r (1+t ),r 6a 0,6a ,(r r r )=216a k 1/[3a(1+t )],=k;(3).r a cos ,asin ,b k,;,,.r r r absin ,ab cos ,a ,r r k a /(a b ), =b /(a τθθθταβγθθτ?=?==-?=?=?=-?=?=++解：...，，，题3求圆柱螺线=的解：...{ }{ }{}1 2 1 1 12121 112121112b );=r /r -asin ,a cos ,b ,=(r r )/r r bsin ,b cos ,a =[(r r )r -(r r )r ]/[r r r ]cos ,-sin ,0. αθθγαβ θθβθθ=??=?=-????=-切向量, 主法u 222u u u uu u u uu u 3.(1) 1.r {(u)cos ,(u)sin ,(u)},(u)0,r ,r E=r r ='+',F=r r =0,G=r r r ,r ,r n [r r ]/L=n r =-[''''M=n r 0,N=n r [']/θθθθθθθθθθθ?θ?θψ??ψ??ψ?ψ?ψ =>?? ??== ?=? ?-?=?=题求的高斯曲率和平均曲率.解：求求23/2121222212xOz x=(z)z (u)u L=-M 0,N=F=M 0k L/E ''/[(1')],k N/G 1/[k k k -''/[(1')];H k +k '''(?ψ???????????==? ====-+==?==+-取平面上最初的曲线为得因为，所以旋转面的坐标曲线为曲率线，并且主曲率为高斯曲率平均曲率为=[1/2]()=[1+]/[223/222N T N N N N 222222*********')(2).r ucosv usinv bv k ,K,H.E=1,F=0,G=u +b ;L=0,L k E,M k F;M k F,N k G]0K b /[u +b ],K b /[u +b ];K K K b /[(u +b )],H [1/2](K +K )0..?+----=== -==- ==]. 题2 求正螺面={,,}的解:由题意得代入主曲率公式[解得（3）题3确定抛222200000T N N 12z a x +y .p ax q ay,r a,s 0,t a p q ,r a,s 0,t a E=1+p =1,F=pq=0,G=1+q 1,L=r /a M=s /N=t /a a-k ,0;0,a-k ]0K K ======?=====物面=()在（0,0）的主曲率解:由题意得=2,=222在(0,0)处=0,=022；2，，2代入主曲率公式得[22解得2a.“求主曲率，高斯曲率和平均曲率” 4.k 0k r 0,r =0r =a(),r a b,b =0r =0,r =a()s ττγαγγγ?? ?? ? ? ≡≡=≡+≡???证明的曲线是直线;0的曲线是平面曲线.证：已知因而，由此得到常向量再积分=其中也是常向量，即得证;若0,则是固定向量,但是我们已知，因而有积分后得常数，所以曲线在一个平面上。 § 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲 线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s == 《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案 一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长） 第一章 1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5．计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ． 6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t t t e =++g i j ，求0 lim(()())t t t →?=f g 0 ． 7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2 t u =，t v sin =，则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =?，2 t =θ，则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9．已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ，6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ，求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b 10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 2 12 t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-． 第二章 13．曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b微分几何练习题库及参考答案(已修改)
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