微分方程（时域数学模型）与传递函数（复域数学模型）的相通性
实验四 基于Simulink 进行系统仿真（微 分方程、传递函数） 一．实验目的 1) 熟悉Simulink 的工作环境； 2) 掌握Simulink 数学工具箱的使用； 3) 掌握在Simulink 的工作环境中建立系统仿真模型。 二．实验内容 系统微分方程：)(10)(10) (10) (83322t u t y dt t dy dt t y d =++ 系统传递函数：8328 101010)()()(++==s s s U s Y s G 1)(=t u ，)314sin()(t t u =，)90314sin()(o t t u += 模型 微分方程时的过程 Ut=1时
t u 时)(t 314 ) sin(
t t u+ =时 )(o ) sin( 90 314 传递函数时的过程
u时 t )(= 1 t u=时 )(t sin( 314 )
t t )(o =时 u+ ) sin( 90 314 结论及感想 从两种种不同方法的仿真结果，我们可以看出分别用微分方程和传递函数在Simulink中，仿真出来的结果没有很明显的区别，说明两种方法的精度都差不多。但是，不同的电压源得出的仿真结果不一样，阶跃电源开始时震荡，后来幅度逐渐变小，趋近于1；正弦电源，初相不同时，初始时刻的结果也不相同，有初相时开始震荡会更剧烈，但最后都会变为稳态值，即为正弦值。通过本次实验，我认识到了建模与仿真的一般性方法，收获甚多，也更进一步了解了
Matlab,Matlab不仅仅在平时的编程方面功能强大，在仿真方面也熠熠生辉。
第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？ （1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； （2）倾角的直线； （3）双曲线。 解设，则 因此 （1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。 （3）因，故，在平面上对应的图形为：直线 。 例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有 特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。
证令变点，则 从而（沿正实轴） 而沿第一象限的平分角线，时，。 故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。 证因。故 但
在时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性，并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求 之值。 解设，则
由代入得 解得：，从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简
由系统阶跃响应辨识传递函数的Matlab 实现方法 典型二阶系统传递函数为： 1 21 )(2 2++=Ts s T s G ξ 工业生产过程中，大多数系统的阶跃响应曲线是临界阻尼或过阻尼的，即ξ≥1。只要求出T 和ξ就能确定系统的传递函数。 G(s)可以分解为：))((1 )(212ωω++=s s T s G 其中， [] [] 1 1 1 1 2221--=-+=ξξωξξωT T 1ω、2ω都是实数且均大于零。 则有： 211 ωω= T ，2 12 12ωωωωξ+= 传递函数进一步化为：) )(()(212 1ωωωω++=s s s G 因此，辨识传递函数就转化为求解1ω、2ω。 当输入为单位阶跃函数时，对上式进行拉普拉斯反变换，得
系统时域下的单位阶跃响应为： t t e e t y 21 2111 221)(ωωωωωωωω---+ -- =， 即 t t e e t y 21 2111 22 )(1ωωωωωωωω---- -= - 令1ω=2ωk )1(>k ，得 t k t e k e k k t y 221 11)(1ωω-----=- ?? ????--=---t k t e k e k k 2)1(2111ωω 对上式两边取以e 为底的对数得 []??? ???-+--=---t k e k t k k t y 2)1(211ln 1ln )(1ln ωω 当∞→t 时，?? ? ???---t k e k 2)1(11ln ω0→，则上式化简为 []t k k t y 21 ln )(1ln ω--=-，该式的形式满足直线方程 b at t y +=)(* 其中，)(* t y =[])(1ln t y -，1 ln ,2-=-=k k b a ω)1(>k 通过最小二乘算法实现直线的拟合，得到a ，b 的值，即可得
2-1 习 题 2-1 试求图示电路的微分方程和传递函数。 2-2 ur 为输入量，电动机的转速ω为输 出量，试绘制系统的方框图，并求系统的传递函数 ) () ( ,)( )(s M s s U s L r ΩΩ。（ML 为负载转矩，J 为电动机的转动惯量，f 为粘性摩擦系数，Ra 和La 分别为电枢回路的总电阻和总电感，Kf 为测速发动机的反馈系数）。 2-3 图示电路，二极管是一个非线性元件，其电流d i 和电压d u 之间的关系为)1(10026 .0/6-=-d u d e i ，假设系统 工作在u 0=2.39V ，i 0=2.19×10-3A 平衡点，试求在工作点 （u 0,i 0）附近d i ＝f (d u )的线性化方程。 2-4 试求图示网络的传递函数，并讨论负载效应问题。
2-2 2-5 求图示运算放大器构成的网络的传递函数。 2-6 已知系统方框图如图所示，试根据方框图简化规则，求闭环传递函数。 2-7 分别求图示系统的传递函数 )()(11s R s C 、)()(12s R s C 、)()(21s R s C 、) () (22s R s C 2-8 绘出图示系统的信号流图，并求传递函数)(/)()(s R s C s G
2-3 2-9 试绘出图示系统的信号流图，求系统输出C (s )。 2-10 求图示系统的传递函数C (s )/R (s )。 2-11 已知单位负反馈系统的开环传递函数 ] 4)4)[(1(2 34)(22 23++++++=s s s s s s s G 1. 试用MA TLAB 求取系统的闭环模型； 2. 试用MA TLAB 求取系统的开环模和闭环零极点。 2-12 如图所示系统 1. 试用MA TLAB 化简结构图，并计算系统的闭环传递函数；
一. 传递函数辨识的时域法: 1.()1 s Ke G s Ts τ-=+ , 在S 型曲线的速率变化最快处做一切线, 分别与时间轴t 及阶跃响应渐近线()y ∞ 相交于(0,)τ和0(,())t y ∞ (1) ()()11y y y K u u e ∞∞-===- (2) 0T t τ=- 或: 21 21121212ln(1)ln(1) ln(1)ln(1) ln(1)ln(1) t t t y t y T y y y y τ----= = ------ 2. 1212(), ()(1)(1) s Ke G s T T T s T s τ-=>++ ()(0) y y K u ∞-= τ可以根据阶跃响应曲线脱离起始的毫无反应的阶段到开始变化的时刻来确定. 1 2121221 *()1t t T T T T y t e e T T T T --=---- 取两个点的数据[][]0.4,*(0.4),0.8,*(0.8)y y 12212 121212()/2.16 /() 1.74/0.55 T T t t TT T T t t +≈+??+≈-? 二. 线性系统的开环传递函数辨识 设开环输入信号为:()sin()d m y t A t ω= 输出:[]cos ()sin()sin cos sin f f f A y t A t t t A ?ω?ωω???=+=?????? 在时间域上取: 0,,2,,t h h nh = [] (0),(), ,()T Y y y h y n h = sin(0)sin()sin()cos(0)cos()cos()T h nh h nh ωωωψωωω?? =?? ?? 12cos sin t t c A c A ??== 根据最小二乘原理 : 11221??arctan ??T T f c c Y A c c ψψψ?-?? ????=== ????????? 开环系统相频和幅频为 : 21?arctan 20lg ?e m c M c ??? == ? ??? ? 三. 1.根据脉冲响应()g t 求脉冲传递函数1 ()G z - 11 12111()(1)(2)()1n k n n n b z b z G z g z g z g k z a z a z --------++==++++++
2-1试求图示电路的微分方程和传递函数。 题2?1图 2-2移恒速控制系统的原理图如图所示，给定电压ui ?为输入最，电动机的转速3为输 出 就，试绘制系统的方框图，并求系统的传递函数丄型，卫型。(ML 为负载转矩，J 为 匕($) M L (S ) 电动机的转动惯量，f 为粘性摩擦系数，Rn 和La 分别为电枢凹路的总电阻和总电感，Kf 为 测速发动机的反馈系数)。 和电压间的关系为仃=10-6(^/0026 - 1),假设系统 工作在M O =2.39V, /O =2.19X1O _3A 平衡点，试求在工作点 2-4试求图示网络的传递函数，并讨论负载效应问题。 题24图 2-3图示电路，二极管是一个非线性元件，其电流i (w ()Jo )附近匚=/(叫)的线性化方程。 题2-3图 Cl Ci Ko
2-5求图示运算放大器构成的网络的传递函数。 题2-5图 2-6已知系统方框图如图所示，试根据方框图简化规则,求闭环传递函数。 题2-6图 2-8绘出图示系统的信号流图，并求传递函数 G(s) = C($)//?(s) 2 7 分别求图示系统的传递函数If 、xf C]($) C2") /?2($)、心⑴ (O (4) C($) RM (b)
艮3 题2-7图题2-8图2-9试绘出图示系统的信号流图，求系统输出C(5)o 题2?9图 2-10求图示系统的传递函数C(s)/R(s)o 2 题2?10图 2-11已知单位负反馈系统的开环传递函数 +4疋+3$ + 2 52（5 + 1）[（5 + 4）2+4] 1.试用MATLAB求取系统的闭环模型； 2.试用MATLAB求取系统的开环模和闭环零极点。 2-12如图所示系统 1.试川MATLAB化简结构图，并计算系统的闭坏传递函数;
求解微分方程可求出系统的输出响应，但如果方程阶次较高，则计算非常繁琐，因此对系统的设计分析不便，所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算，可使问题分析大大简化。 一、传递函数的概念及意义 （1）传递函数的定义： 线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。 线性定常系统微分方程的一般表达式: 其中x c为系统输出量，x r为系统输入量 在初始情况为零时，两端取拉氏变换： 移项后得： 上式中Xc(s)输出量的拉氏变换；Xr(s)输入量的拉氏变换；W(s) 为系统或环节的传递系数。 （2）传递函数的两种表达形式 a.传递函数的零极点表示形式 b.传递函数的时间常数表示形式
（3）关于传递函数的几点说明 a.传递函数的概念只适应于线性定常系统。 b.传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。 c.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。 d.传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。 二、典型环节的传递函数及其暂态特性 无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。 （1）比例环节（放大环节/无惯性环节） 特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系（见下图）。 （2）惯性环节 特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟（见下图）。
（3）积分环节 特点：输出量随时间成正比地无限增加（见下图）。 (4）振荡环节 特点：振荡的程度与阻尼系数有关（见下图）。 （5）微分环节 特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趁势（见下图）。实践中，理想的微分环节难以实现。