2019-2020年高考数学二轮复习立体几何专题教案
一、本章知识结构：
二、重点知识回顾
1、空间几何体的结构特征
（1）棱柱、棱锥、棱台和多面体
棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
棱锥是由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体．棱锥具有以下性质：①底面是多边形；②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比．截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方．
棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．由棱台定义可知，所有侧棱的延长线交于一点，继而将棱台还原成棱锥．
多面体是由若干个多边形围成的几何体．多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体．（2）圆柱、圆锥、圆台、球
分别以矩形的一边，直角三角形的一直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球
圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时，可以得到圆锥．
2、空间几何体的侧面积、表面积
（1）棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和．
因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别
为长和宽的矩形．如果设直棱柱底面周长为c，高为h，则侧面积S ch
=
侧．
若长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则其表面积
2() S ab bc ca
=++
表．
（2）圆柱的侧面展开图是一个矩形．矩形的宽是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面
周长．如果设圆柱母线的长为l，底面半径为r，那么圆柱的侧面积
2π
S rl
=
侧，此时圆柱
底面面积
2
π
S r
=
底.所以圆柱的表面积
2
22π2π2π()
S S S rl r r r l
=+=+=+
侧底．
（3）圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形．如果设圆锥底面半径为r，母线长
为l，则侧面积
π
S rl
=
侧，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即为2
πππ()
S S S rl r r r l
=+=+=+
侧底．
（4）正棱锥的侧面展开图是n个全等的等腰三角形．如果正棱锥的周长为c，斜高为h'，
则它的侧面积
1
2
S ch'
=
侧
．
（5）正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和．如果设正棱台的上、下底面的周长是
c c'
，，斜高是h'，那么它的侧面积是
1
2
S ch'
=
侧
．
（6）圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环．如果设圆台的上、下底面半径分别为r r
'，，母线长为l，那么它
的侧面积是
π()S r r l
'=+侧．
圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面积的和， 即
2222π()πππ()
S S S S r r l r r r r r l rl ''''=++=+++=+++侧上底下底．
（7）球的表面积2
4πS R =，即球的表面积等于其大圆面积的四倍． 3、空间几何体的体积
（1）柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即V Sh
=柱体．其中
底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是
2πV r h
=圆柱．
（2）如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S ，高是h ，那么它的体积是13V Sh
=锥体．其中底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是21
π3V r h
=圆锥，就是说，锥体的体积是与其同底等高柱体体积的1
3．
（3）如果台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别是S S '，，高是h ，那么它的体积
是1
()3V S S h
=+台体．其中上、下底半径分别是r R ，，高是h 的圆台的体积是221
π()3V r Rr R h
=++圆台．
（4）球的体积公式：
3
34R V π=
.
4、中心投影和平行投影
（1）中心投影：投射线均通过投影中心的投影。 （2）平行投影：投射线相互平行的投影。 （3）三视图的位置关系与投影规律
三视图的位置关系为：俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方． 三视图之间的投影规律为：
主、俯视图———长对正；主、左视图———高平齐；俯、左视图———宽相等． 5、直观图画法
斜二测画法的规则：
（1）在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O 点，再取z 轴，使xOz ∠=90°，且yOz ∠=90°．
（2）画直观图时把它们画成对应的x '轴、y '轴和z '轴，它们相交于O '，并使x O y '''∠=45°，x O z '''∠= 90°。
（3）已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴、y '
轴和z '轴的线段．
（4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中长度相等；平行于y 轴的线段，
长度取一半． 6．平面
（1）对平面的理解
平面是一个不加定义、只须理解的最基本的原始概念．
立体几何中的平面是理想的、绝对平且无限延展的模型，平面是无大小、厚薄之分的．类似于我们以前学的直线，它可以无限延伸，它是不可度量的． （2）对公理的剖析
1）公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，公理1的条件“线上不重合的两点在平面内”是公理的必要条件，结论是“线上所有点都在面内”．这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内；二是直线上所有点在平面内．
其作用是：可判定直线是否在平面内、点是否在平面内．
2）公理2中的“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两方面．这个术语今后也会常常出现，要理解好． 其作用是：一是确定平面；二是证明点、线共面．
3）公理3的内容反映了平面与平面的位置关系,它的条件简而言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线唯一”．对于本公理应强调对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线．
其作用是：其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可以判定点在直线上，点是两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上． 7. 空间直线.
（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。
（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
8. 直线与平面平行、直线与平面垂直.
（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）
（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）
（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 9. 平面平行与平面垂直.
（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.
（2）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
（3）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）
（4）两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）
（5）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. 10. 空间向量.
（1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
（2）空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使
c
z b y a x p ++=.
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使
z y x ++=(这里隐含x+y+z≠1).
（3）a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a1,a2,a3),),,(321b b b =，则
)
,,(332211b a b a b a b a ±±±=+，
)
)(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ，
3
32211b a b a b a b a ++=? ，
∥)(,,332211R b a b a b a ∈===?λλλλ3
3
2211b a b a b a ==?
。
332211=++?⊥b a b a b a b a 。
2
22321a a a ++==(用到常用的向量模与向量之间的转化：
a a =??=)
O
A
B
C
D
空间两个向量的夹角公式23
22212322213
32211|
|||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++?++++=
??>=<
（a ＝
123(,,)
a a a ，
b ＝
123(,,)
b b b ）。
②空间两点的距离公式：
2
12212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.
b.法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.
c.用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射
线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为
.
②.异面直线间的距离
||
||CD n d n ?=
(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是
12
,l l 上任一点，d 为
12
,l l 间的距离).
③.点B 到平面α的距离
||
||AB n d n ?=
（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，
A α∈）.
④直线AB 与平面所成角
sin
||||AB m
arc AB m β?=(m 为平面α的法向量).
⑤利用法向量求二面角的平面角定理：设2
1,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向
量，则
2
1,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（2
1,n n 方向相同，则为补角，
2
1,n n 反方，则为其夹角）.
二面角l αβ--的平面角cos
||||m n arc m n θ?=或cos
||||m n
arc m n π?-（m ，n 为平面α，β
的法向量）.
三、考点剖析
考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图
【内容解读】了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的
立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。
空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，能通过观察几何体的模型和实物，总结出柱、锥、台、球等几何体的结构特征；能识别三视图所表示的空间几何体，会用材料制作模型，培养动手能力。
【命题规律】柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征在旧教材中出现过，而三视图为新增内容，一般情况下，新增内容会重点考查，从2007年、2008年广东、山东、海南的高考题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，也有出现在解答题里，如2007年广东高考就出现在解答题里，属中等偏易题。
例１、（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A
B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A
点评：本题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。 例2、（2008江苏模拟）由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是
解：以俯视图为主，
因为主视图左边有两层，表示俯视图中左边最多有两个木块，
再看左视图，可得木块数如右图所示，因此这个几何体的正方体木块数的个数为5个。
点评：从三视图到确定几何体，应根据主视图和俯视图情况分析，再结合左视图的情况定出几何体，最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。 考点二：空间几何体的表面积和体积
【内容解读】理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。
E F
D
I
A H G
B
C E
F D A
B C
侧视 图1
图2 B
E
A ．
B
E
B ． B
E
C ．
B
E
D ．
主视图 左视图 俯视图
把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。
【命题规律】柱、锥、台、球的表面积和体积以公式为主，按照新课标的要求，体积公式不要求记忆，只要掌握表面积的计算方法和体积的计算方法即可。因此，题目从难度上讲属于中档偏易题。 例3、（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD 。
(1) ()1
86464
3V =???=
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为
1h ==, 另两个侧面VAB. VCD 也是全等的等腰三角形,
AB 边上的高为
25
h ==
因此
11
2(685)4022S =????=+点评：在课改地区的高考题中，求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在
一起，综合考查。 例4、（2008山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
A ．9π
B ．10π
C ．11π
D ．12π 解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体，
其表面及为：
22411221312.S ππππ=?+??+??=，故选D 。
点评：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。既要能识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的计算方法。
例5、（湖北卷3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）
A. 38π
B.
328π C. π28 D. 332π
俯视图
正(主)视图 侧(左)视图
解：截面面积为π?截面圆半径为1，又与球心距离为1?
，
所以根据球的体积公式知
3433R V π==
球，故B 为正确答案． 点评：本题考查球的一些相关概念，球的体积公式的运用。
考点三：点、线、面的位置关系
【内容解读】理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。
通过大量图形的观察、实验，实现平面图形到立体图形的飞跃，培养空间想象能力。会用平面的基本性质证明共点、共线、共面的问题。
【命题规律】主要考查平面的基本性质、空间两条直线的位置关系，多以选择题、填空题为主，难度不大。
例6、如图1，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD
的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝2
3，则
（ ）
（A ）EF 与GH 互相平行 （B ）EF 与GH 异面
（C ）EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上
（D ）EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上
解：依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，由公理2可知，
E 、
F 、
G 、
H 共面，因为EH ＝12BD ，FG BD ＝2
3，故EH ≠FG ，所以，EFGH 是梯形，EF 与GH
必相交，设交点为M ，因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上，同理，点M 在平面ACD 上，即点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，而AC 是这两个平面的交线，由公理3可知，点M 一定在平面ACB 与平面ACD 的交线AC 上。 选（D ）。
点评：本题主要考查公理2和公理3的应用，证明共线问题。利用四个公理来证明共点、共线的问题是立体几何中的一个难点。
例7、（2008全国二10）已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）
A ．13
B
．3 C
．3 D ．23
解：连接AC 、BD 交于O ，连接OE ，因OE ∥SD.所以∠AEO 为异面直线SD 与AE 所成的角。设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO 中，OE ＝1,AO ＝2，AE=3122
=
-，
图1
于是
33
3
11
32)2(1)3(cos 2
22=
=
??-+=
∠AEO ，故选C 。
点评：求异面直线所成的角，一般是平移异面直线中的一条与另一条相交构成三角形，再用三角函数的方法或正、余弦定理求解。
考点四：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
【内容解读】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。
通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。
【命题规律】主要考查线线、面面平行的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线面平行、面面平行为主，属中档题。
例8、（2008安徽）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，
4ABC π
∠=
, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，
N 为BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线MN OCD
平面‖；
（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。 方法一：（1）证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE
ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖
又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖
MN OCD ∴平面‖
（2）
CD ‖AB,
MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作,AP CD P ⊥于连接MP
⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP
,4
ADP π
∠=
∵∴DP =
MD ==1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π
∠=
=∠=∠=∴
N
B
所以 AB 与MD 所成角的大小为3π
（3）AB 平面∵∴‖OCD,
点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP ,过点A 作 AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥
⊥⊥平面∵∴
∴
又 ,AQ
OP AQ OCD ⊥
⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离
2OP ==
==∵，AP DP ==
2
2
232OA AP AQ OP ===∴，所以点B 到平面OCD
的距离为23
方法二
(向量法)
作AP CD
⊥于点P ,如图,分别以
AB,AP ,AO 所在直线为,,x
y z 轴建立坐标系
(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M
N ,
(1)
2222(1,,1),(0,,2),(2)44222MN OP OD =-
-=-=--
设平面OCD 的法向量为(,
,)n x y
z =,则
0,0n OP n OD ==
即
2020
y z x y z -=?
?+-=??
取z =
,解得n =
22
(1,,1)(0,4,2)044
MN n =-
-
=∵
MN OCD ∴平面‖
(2)设AB 与MD 所成的角为θ,
(1,0,0),(1)22AB MD ==-
-∵
1c o s ,23
AB MD AB MD
π
θθ=
=
=?∴∴ , AB 与MD
所成角的大小为3π
(3)设点B 到平面OCD 的交流为d ,则d 为OB 在向量(0,n =上的投影的绝对值,
由 (1,0,2)OB =-, 得
23
OB n d n
?=
=
.所以点B 到平面OCD 的距离为2
3
点评：线面平行的证明、异面直线所成的角，点到直线的距离，既可以用综合方法求解，也可以用向量方法求解，后者较简便，但新课标地区文科没学空间向量。 例9、（2008江苏模拟）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点
. （1）求证：;AC GN ⊥
（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP//平面FMC,并给出证明.
证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF,DF=AD=DC (1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC ⊥DN 又FD ⊥AD FD ⊥CD ， ∴FD ⊥面ABCD ∴FD ⊥AC
∴AC ⊥面FDN FDN GN 面? ∴GN ⊥AC
（2）点P 在A 点处
证明：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA G 是DF 的中点，∴GS//FC,AS//CM ∴面GSA//面FMC
GSA GA 面?
∴GA//面FMC 即GP//面FMC
点评：证明线面平行，在平面内找一条直线与平面外的直线平行，是证明线面平行的关键。 考点五：直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
【内容解读】掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。
通过线面垂直、面面垂直的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推
理的能力。
【命题规律】主要考查线线、面面垂直的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线线垂直、线面垂直、面面垂直为主，属中档题。 例10、（2008广东五校联考）正方体ABCD —A1B1C1D1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB1的中点，求证：
（1）D1O//平面A1BC1; （2）D1O ⊥平面MAC. 证明: (1)连结
11
,BD B D 分别交
11
,AC A C 于
1
,O O
在正方体
1111ABCD A B C D -中,对角面
11BB D D
为矩形
1
,O O 分别是
11
,BD B D 的中点
11
//BO D O ∴
∴四边形11BO D O 为平行四边形11//BO D O ∴
1D O ?
平面
11A BC ,
1BO ?
平面
11A BC 1//
D O ∴平面
11
A BC
（2）连结MO ,设正方体1111
ABCD A B C D -的棱长为a ,
在正方体1111ABCD A B C D -中,对角面
11BB D D
为矩形且
1,BB a BD ==
,O M 分别是1,BD BB 的中点
,22a BM BO OD a
∴=== 12B M B O O D D D ∴== 1ODD Rt MBO Rt ??? 1B O M D D O
∴∠=∠
在1ODD Rt ?中，1190DD O D OD ∠+∠= 190
B O M D O D ∴∠+∠
=，即
1D O M O
⊥
在正方体1111
ABCD A B C D -中
1DD ⊥平面ABCD
1D D A C ∴⊥
又AC BD ⊥，1
DD BD D
= AC ∴⊥平面
11BB D D
1D O ?
平面
11BB D D
1A C D O
∴⊥
又AC
MO O = 1D O ∴⊥平面MAC
点评：证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，由线线垂直推出线面垂直，证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理． A
B
C
D E
P
例11、（2008广东中山模拟）如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点． (I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ； (II) 求证：BE//平面PAD ．
证明：（1）由PA ⊥平面ABCD
????
?
?
=?⊥⊥A
AD PA CD PA ）AD （CD 已知
???
?
?⊥PAD CD PAD CD 面面
?平面PDC ⊥平面PAD ；
（2）取PD 中点为F ，连结EF 、AF ，由E 为PC 中点， 得EF 为△PDC 的中位线，则EF//CD ，CD=2EF ． 又CD=2AB ，则EF=AB ．由AB//CD ，则EF ∥AB ． 所以四边形ABEF 为平行四边形，则EF//AF ． 由AF ?面PAD ，则EF//面PAD ．
点评：证明面面垂直，先证明线面垂直，要证线面垂直，先证明线线垂直．
例12、（2008广东深圳模拟）如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SA 底面ABCD ，
E 是SC 上一点．
（1）求证：平面⊥EBD 平面SAC ；
（2）设4=SA ，2=AB ，求点A 到平面SBD 的距离； (1)证明： ⊥SA 底面ABCD BD SA ⊥∴ 且AC BD ⊥ ∴S A C 平面⊥BD
∴平面⊥EBD 平面SAC
(2)解：因为
ABD
-S SBD -A V V =，且
232221
S SBD
??=?，
可求得点A 到平面SBD 的距离为34
点评：求点到面的距离，经常采用等体积法，利用同一个几何体，体积相等，体现了转化思想．
考点六：空间向量
E
D C
B
A
S
A B C
D
E
P F
【内容解读】用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹我有等问题（进行向量运算）；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归几何问题）．
【命题规律】空间向量的问题一般出现在立体几何的解答题中，难度为中等偏难． 例１３、如图1，直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，
90BCA ∠=°，棱12AA M N =，，分别是111A B A A ，的中点．
求BN 的长； 求
11
cos BA CB ，的值．
解：如图1，建立空间直角坐标系O xyz -． （1）依题意，
得(010)(101)B N ，，，，，
，(1BN ==∴ （2）依题意，得11(102)(010)(000)(012)A B C B ，，，，，，，，，，，， 11(112)(012)
BA CB =-=，，，，，∴．
1111365BA CB BA CB ===，，∴·
111111
30
cos BA CB BA CB BA CB =
=，·∴．
点评：本题主要考查了空间向量的概念及坐标运算的基本知识，考查了空间两向量的夹角、长度的计算公式．解题的关键是恰当地建立空间直角坐标系和准确地表示点的坐标 例１４、如图2，在四棱锥-P
ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE EC ⊥．已知
1
2
2PD CD AE ===
，．
求：（1）异面直线PD 与EC 的距离；
（2）二面角E PC D --的大小．
解：以D 为坐标原点，DA
DC DP ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系， 并设DA a =
，则
1(00)(20)(020)(000)(0002A a B a C D P E a ??
?
??，，，，，，，，，，，，，，，． （1）PE CE ⊥∵，0PE
CE =∴·
，解得a =
．
0D E C E =∴·
，即DE CE ⊥， 又DE PD ⊥，故DE 是异面直线PD 与EC 的公垂线． 而
1
DE =，即异面直线PD 与EC 的距离为1．
（2）作DG PC ⊥，并设(0)G y z ，，，
(0)(2)D G
y z
P C ==，，，，，∵，且0DG PC =·，
则z =，∴
可取(0DG =．
再作EF PC ⊥于F ，并设(0)F m n ，，，
12EF m n ??=-- ? ???，∵，且0EF PC
=·
，则2n =-， ∴
又取
12EF ?=- ??，． 由DG PC ⊥，EF PC ⊥，可知DG 与EF 的夹角就是所求二面角θ的大小，
2
c o s D G E F D
G E F θ=
=
·∴，即所求二面角为π
4．
点评：向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不但是传统方法的有力补充，而且还可以另辟溪径，解决传统方法难以解决的求二面角问题．向量法求二面角通常有以下三种转化方
式：①先作、证二面角的平面角AOB ∠，再求得二面角的大小为
arccos
OA OB OA OB
·；②先求二
面角两个半平面的法向量12，n n （注意法向量的方向要分布在二面角的内外），再求得二面
角的大小为12
12
arccos
n n n n ·或其补角；③先分别在二面角两个半平面内作棱的垂线（垂足不重
合），又可转化为求两条异面直线的夹角．
例１５、 如图，已知正三棱柱111-ABC A B C ，D 是AC 的中点，求证：1AB ∥平面1DBC ．
证明：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设正三棱柱的底面边长为a ，侧棱长为b
，
则11(000)0(0)00222a a a A B B b C a b D ?????? ?????????，，，，，，，，，，，，，，， 132a AB b ??= ????，，∴，130002a BD a DC b ????=-= ? ? ?????，，，，，．
设平面1DBC 的一个法向量为n ()x y z =，，， 则13
002BD a DC y bz ?=-=???
?=+=??，，··n n 所以0.2x a z y b =???=-??，
不妨令2y b =，则n (02)b a =-，
，． 由于1AB ·n 0ab ab =-=，得1AB ⊥n ．
又1AB ?平面1DBC ，1AB ∴∥平面1DBC ．
点评：
平面的法向量是空间向量的一个重要概念，它在解决立体几何的许多问题中都有很好
的应用.
四、方法总结与2009年高考预测
（一）方法总结 1．位置关系：
（1）两条异面直线相互垂直
证明方法：①证明两条异面直线所成角为90o；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。
（2）直线和平面相互平行
证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。（3）直线和平面垂直
证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。
（4）平面和平面相互垂直
证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。
2．求距离：
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
（1）两条异面直线的距离
求法：利用公式法。
（2）点到平面的距离
求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。3．求角
（1）两条异面直线所成的角
求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直
线所成角得范围是
]
2
,0(
π
，向量所成的角范围是
]
,0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成
相应的锐角。
（2）直线和平面所成的角
求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②向量法，先求直线的方向量
于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为
α
π
-
2或2
π
α-
。
（3）平面与平面所成的角
求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。
（二）2009年高考预测
从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是一个解答题，1至3个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解．高考试题中，立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力 . 近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题。
高考对立体几何的考查侧重以下几个方面：
1．从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变 . 除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题
形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合。
2．从内容上来看，主要是：①考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；③求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；④简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；⑤体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用。⑥三视图，辨认空间几何体的三视图，三视图与表面积、体积内容相结合。
3．从能力上来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力。
五、复习建议
1、三视图是新课标新增的内容，2007、2008年课改区的高考题都有体现，因此，三视图的内容应重点训练。
2．证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.
3．空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°。
4．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用
5．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.
2019年高考数学试题带答案 一、选择题 1．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与 c 所成的角的大小为（ ） A ．120° B ．90° C ．60° D ．30° 2．设集合(){} 2log 10M x x =-<，集合{ } 2N x x =≥-，则M N ?=（ ） A ．{} 22x x -≤< B ．{} 2x x ≥- C ．{}2x x < D ．{} 12x x ≤< 3．如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A ．由两个圆锥组合成的 B ．由两个圆柱组合成的 C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5 y x =± D ．53 y x =± 6．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ． 53 B ． 35 C ． 37 D ． 57 7．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A 2B 3 C ．22 D ．328．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．
B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；
计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1.
2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题四立体几何第 一讲空间几何体课时作业文 1.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，则它的正视图为( ) 解析：根据题中侧视图和俯视图的形状，判断出该几何体是在一个正方体的上表面上放置一个四棱锥(其中四棱锥的底面是边长与正方体棱长相等的正方形、顶点在底面上的射影是底面一边的中点)，因此结合选项知，它的正视图为B. 答案：B 2．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A．2πB．π C．2 D．1 解析：所得圆柱体的底面半径为1，母线长为1，所以其侧面积S＝2π×1×1＝2π，故选A. 答案：A 3．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为( )
解析：三棱柱一定有两个侧面垂直，故只能是选项C中的图形． 答案：C 4．(2016·郑州质量预测)已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于( ) A．1 B.2 C．2 D．22 解析：由题意知，所求正视图是底边长为2，腰长为2的正方形，其面积与侧视图面积相等为2. 答案：C 5．(2016·河北五校联考)某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( ) A．2 B．22 C. 3 D．23 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1-BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2,22，22，23，故选D. 答案：D 6.(2016·郑州模拟)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为( )
一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){} 2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----. (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况． (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展 1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ()()U U A B A B U ?=??=痧 . 3．奇数集：{}{}{} 21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数
第一部分 一 13(文) 一、选择题 1．(2015·东北三校二模)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m [答案] B [解析] 当l 、m 是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A 的条件，故A 错误；对于C ，过l 作平面与平面α相交于直线l 1，则l ∥l 1，在α内作直线m 与l 1相交，满足C 的条件，但l 与m 不平行，故C 错误；对于D ，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l 、m ，满足D 的条件，故D 错误；对于B ，由线面垂直的性质定理知B 正确． 2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 [答案] C [解析] 若α、β换成直线a 、b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ?b ⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ?b ⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a 、b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α?a ⊥b ”，此命题为真命题，故选C. 3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.1 3＋2π B.13π 6 C.7π3 D.5π2 [答案] B [解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1，
2019年高考数学第二轮备考指导及复习建 议 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习？也就是高考数学复习通常要分三轮（有的还是分四轮）完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢？第一轮复习的目的是 将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法
运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法！是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间（我们学校是3月中旬到4月底）。如何做到有条不紊地复习呢？现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。
2019-2020 年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一） x 2 y2 2 的直线与 12 1.设 F ， F为椭圆的左、右焦点，动点P 的坐标为 ( －1,m)，过点 F 4 3 椭圆交于 A， B 两点 . （1）求 F1，F 2的坐标； （2）若直线 PA， PF 2， PB 的斜率之和为 0，求 m 的所有 整数值 . x2 2 2.已知椭圆y 1，P是椭圆的上顶点.过P作斜率为 4 k（k≠0）的直线l 交椭圆于另一点A，设点 A 关于原点的 对称点为 B. （1）求△PAB 面积的最大值； （2）设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内 部，求斜率 k 的取值范围 . 2 2 5 x y = 1 a > b > 0 ) 的离心率为，定点 M ( 2,0 ) ，椭圆短轴的端点是 3.已知椭圆 C : 2 + 2 a b ( 3 B1， B2，且MB1 MB 2. （1）求椭圆C的方程； （2）设过点M且斜率不为0 的直线交椭圆C于 A, B 两点，试问 x 轴上是否存在定点P ，使 PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.
x2 y2 4.已知椭圆C 的标准方程为 1 ，点 E(0,1) ． 16 12 （1 ）经过点 E 且倾斜角为3π 的直线 l 与椭圆 C 交于A、B两点，求 | AB | ．4 （2 ）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、 N 且 | ME | | NE | ，若存在，求出直线p 斜率 的取值范围；若不存在说明理由． 5.椭圆 C1与 C2的中心在原点，焦点分别在x 轴与y轴上，它们有相同的离心率e= 2 ，并 2 且 C2的短轴为 C1的长轴， C1与 C2的四个焦点构成的四边形面积是2 2 . (1)求椭圆 C1与 C2的方程； (2) 设P是椭圆 C2上非顶点的动点，P 与椭圆C1长轴两个顶点 A ， B 的连线 PA ， PB 分别与椭圆 C1交于E，F点 . (i)求证：直线 PA ， PB 斜率之积为常数； (ii) 直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.
2019年高考数学二轮复习五大技巧 对于高考数学二轮复习，有哪些问题需要注意呢?小编为大家整理了2019年高考数学二轮复习策略，帮助考生制定高考二轮复习计划，提高高考数学成绩。 1、重点知识，落实到位 函数、导数、数列、向量、不等式、直线与平面的位置关系、直线与圆锥曲线、概率、数学思想方法等，这些既是高中数学教学的重要内容，又是高考的重点，而且常考常新，经久不衰。因此，在复习备考中，一定要围绕上述重点内容作重点复习，保证复习时间、狠下功夫、下足力气、练习到位、反思到位、效果到位。并将这些板块知识有机结合，形成知识链、方法群。如聚集立体几何与其他知识的整合，就包括它与方程、函数、三角、向量、排列组合、概率、解析几何等的整合，善于将已经完成过的题目做一次清理，整理出的解题通法和一般的策略，“在知识网络交汇点设计试题”是近几年高考命题改革反复强调的重要理念之一，在复习备考的过程中，要打破数学章节界限，把握好知识间的纵横联系与融合，形成有序的网络化知识体系。 2、新增内容，注重辐射 新增内容是新课程的活力和精髓，是近、现代数学在高中的渗透，且占整个高中教学内容的40%左右，而高考这部分内容的分值，远远超出其在教学中所占的比例。试题加大了对新教材中增加的线性规划、向量、概率、导数等知识的考查力度，对新增内容一一作了考查，分值达50多分，并保持了将概率内容作为应用题的格局。因此，复习
中要强化新增知识的学习，特别是新增数学知识与其它知识的结合。向量在解题中的作用明显加强，用导数做工具研究函数的单调性和证明不等式问题，导数亦成为高考解答题目的必考内容之一。 3、思想方法，重在体验 数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重。“突出方法永远是高考试题的特点”，这就要求我们在复习备考中应重视“通法”，重点抓方法渗透。 首先，我们应充分地重视数学思想方法的总结提炼，尽管数学思想方法的掌握是一个潜移默化的过程，但是我们认为，遵循“揭示—渗透”的原则，在复习备考中采取一些措施，对于数学思想方法以及数学基本方法的掌握是可以起到促进作用的，例如，在复习一些重点知识时，可以通过重新揭示其发生过程，适时渗透数学思想方法。 其次，要真正地重视“通法”，切实淡化“特技”，我们不应过分地追求特殊方法和特殊技巧，不必将力气花在钻偏题、怪题和过于繁琐、运算量太大的题目上，而应将主要精力放在基本方法的灵活运用和提高学生的思维层次上，另外，在复习中，还应充分重视解题回顾，借助于解题之后的反思、总结、引申和提炼来深化知识的理解和方法的领悟。 4、综合能力，强化训练 近年来高考数学试题，在加强基础知识考查的同时，突出能力立意。以能力立意，就是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查倾向于理解和应用，特别是知识的综合
2020年高考数学专题复习（立体几何） 1．如图，一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．323 π B ．16π C ．8π D ．4π 2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”. 已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积， 则该“堑堵”的体积为( ) A ． 2 3 B ．1 C ．2 D ．4 3．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图 的面积之和为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ） A ．4π B ．16π C ．36π D ． 643 π
3．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中， AC 与BD 相交于O .剪去AOB ?，将剩余部分沿 OC ，OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、 C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积为________. 6．一副直角三角板（如图1）拼接，将BCD ?折起，得到三棱锥A BCD -（如图2）. （1）若,E F 分别为,AB BC 的中点，求证：//EF 平面ACD ； （2）若平面ABC ⊥平面BCD ，求证：平面ABD ⊥平面ACD . 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点． （1）求证：； （2）求证：平面 ； （3）求三棱锥的体积．
2019年高考数学试题整体分析 1.试题突出特色： “突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力，综合运用数学思维方法 分析问题、解决问题的能力。”2019年高考数学卷一个突出的特点是，试题突出 学科素养导向，注重能力考查，全面覆盖基础知识，增强综合性、应用性，以反映 我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会 实际，在数学教育、评价中落实立德树人的根本任务。 2.试题考查目标： （1）素养导向，落实五育方针 2019年高考数学科结合学科特点，在学科考查中体现五育要求，整份试卷 站在落实“五育”方针的高度进行整体设计。理科Ⅰ卷第4题以著名的雕塑 “断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育。文 科Ⅰ 卷第17题以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡 导高质量的劳动成果。理科Ⅰ卷第（15）题引入了非常普及的篮球运动，以其 中普遍存在的比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题，要求考生应用数学 方法分析、解决体育问题。这些试题在考查学生数学知识的同时，引导学生加 强体育锻炼，体现了对学生的体育教育。（2）突出重点，灵活考查数学本质2019年高考数学试题，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基 础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和 逻辑推理能力。固本强基，夯实发展基础。理科（4）题源于北师大版必修五67页；理科（22）题源于北师大版4-4第53页；理科（16）和华师大附中五月押题卷（14）几乎一模一样。理科（21）题可视为2011清华大学七校联考自主招生考试 题的第15题改编。题稳中有变，助力破解应试教育。主观题在各部分内容的布局 和考查难度上进行动态设计，打破了过去压轴题的惯例。这些改革释放了一个明显 的信号：对重点内容的考查，在整体符合《考试大纲》和《考试说明》要求的前提下，在各部分内容的布局和考查难度上都可以进行调整和改变，这在一定程度上有 助于考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重 点知识和重点内容，同时有助于破解僵化的应试教育。 （3）情境真实，综合考查应用能力数学试题注重考查数学应用素养，体现综合性 和应用性的考查要求。试卷设置的情境真实、贴近生活，同时具有深厚的文化底蕴，体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用。 理科Ⅰ卷第（6）题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置 了排列组合试题，体现了中国古代的哲学思想。理科第（21）题情境结合社会现实，贴近生活，反映了数学应用的广阔领域，体现了数学的应用价值，有利于在中学数 学教育中激发学生学习数学的热情，提高对数学价值的认识，提升数学素养，对中 学的素质教育有很好的导向和促进作用。
高三数学二轮复习计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三
微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．
1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值．
快戳！数学6大必考题型全总结！掌握好轻松考到140+！ 高考数学大题必考题型及解题技巧分析 1 排列组合篇 1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。 4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
5. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6. 了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 7. 了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 2 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立体几何中的计算型问题，而解答题着重考查立
体几何中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2. 判定两个平面平行的方法： (1)根据定义--证明两平面没有公共点;
D C B A F E A B C A 1 O B 1 C 1 1 2015届高三二轮复习立体几何专题训练 1．如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠= ． （1）求证：平面//BCF 面AED ； （2）若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积． 2．如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ， 将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （1）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （2）求证：BD ⊥1A F ； （3）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由. 3．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面M ABCD ,和N 分别是AD 和BC 的中点。 （1）求证：MN PM ⊥； （2）求证：平面PMN ⊥平面PBC ； （3）在PA 上是否存在点Q ，使得平面//QMN 平面PCD ？若在求出Q 点位置，并证明；若不存在，请说明理由。 4．如图，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN \是矩形，平面⊥MADN 平面ABCD ，F E ,分别为DC MA ,的中点，求证： （1）//EF 平面MNCB ； （2）平面MAC ⊥平面BND ． 5．如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=?,//CD AB ,1 22 AD CD AB == =, 点E 为AC 中点.将ADC ?沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. （1）在CD 上找一点F ,使//AD 平面EFB ; （2）求点C 到平面ABD 的距离. 6．如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面0 90,=∠BCA ABC ，BC AC AA ==1. （1）求证：1AC ⊥平面BC A 1; （2）若21=AA ，求三棱锥AB A C 1-的高的大小． 7．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）//1O C 面11AB D ； （2）1A C ⊥面11AB D ． （3）平面//11D AB 平面BD C 1 A B C D 图2 E B A C D 图1 E 1 图
2019年高考数学试题分类汇编 集合部分(共12道试题) 试题编号2019001 (2019北京文1)(共20题的第1题 8道选择题第1题 150分占5分) 已知集合{}12A x x =-<<，{}1B x x =>，则A B =U ( ) A.()1,1- B.()1,2 C.()1,-+∞ D.()1,+∞ 答案：C 解：因为{}12A x x =-<<，{}1B x x =>，所以{}1A B x x =>-U ， 故选C 。 试题编号2019002 (2019全国卷Ⅱ文1)(共23题的第1题 12道选择题第1题 150分占5分) 已知集合{}=1A x x >-，{}2B x x =<，则A B =I ( ) A.()1,-+∞ B.(),2-∞ C.()1,2- D.? 答案：C 解：{}{}{}=1212A B x x x x x x >-<=-<江苏省高考数学二轮复习 专题10 数列(Ⅱ)
江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ) 回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题. 预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝9 10 ， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25 . a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50 2 (a 1＋a 99)＝502×25 ＝10.
答案：10 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－30 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝ S 1＋S 2＋…＋S n n ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理 想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________． 解析：根据理想数的意义有， 2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 500， ∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 501 ＝ 501×12＋2 004×500 501 ＝2 012. 答案：2 012 4．函数y ＝x 2 (x >0)的图象在点(a k ，a 2 k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数， a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 解析：函数y ＝x 2 (x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2 ＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：21 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．