2013年加拿大数学奥林匹克
1、求所有实系数多项式()P x ，使得(1)(1)(1)()x P x x P x +---是常数。
2、12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列。已知112120,,,...,...n a a a a a a ++++除以1n +的余数两两不同，求所有可能的n 。
3、G 是直角ABC ?的重心，90ACB ∠=?。P 是射线AG 上一点，满足CPA CAB ∠=∠，
Q 是射线BG 上一点，满足CQB ABC ∠=∠。求证：,AQG BPG ??的外接圆有一个交点
在AB 上。
4、n 是一个正整数，对于任意正整数j 和正实数r ，{}()min ,min ,j j f r jr n n r
??=+????
，
{}()min ,min ,j j g r jr n n r ??
??=+??????
??????
。求证：对于任意正实数r ，都有2
1
1
()()n
n
j
j j j f
r n n g r ==≤+≤∑∑。
5、O 是锐角ABC ?的外心，P 在AB 上，并满足BOP ABC ∠=∠；Q 在AC 上，并满足
COQ ACB ∠=∠。求证：BC 关于PQ 的对称直线是APQ ?的外接圆的切线。
2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B
因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B
美国历届总统简介：第28任总统托马斯?伍德罗?威尔逊 Thomas Woodrow Wilson was the 28th President of the United States. He served two terms in office from 1913to 1921. He was born in Virginia in 1856. Wilson suffered from dyslexia and didn’t learn to read until hewas ten years old. He graduated from Princeton in 1879. He also studied law at the University of Virginia and in 1883 gained a PhD in history and political science from John Hopkins University. 托马斯·伍德罗·威尔逊是美国第28任总统。任职两届，任期为1913-1921.1856年，威尔逊出生于弗吉尼亚。小时，威尔逊患有阅读障碍症，十岁时才开始学习阅读。1879年，他毕业于普林斯顿大学。并在弗吉尼亚大学学习法律，1883年，在约翰霍普金斯大学获得历史学和政治科学博士学位。 Wilson advanced rapidly as a conservative young professor of political science and became president of Princeton in 1902. His growing national reputation led some Democrats to consider him Presidential material. He was nominated for President at the 1912 Democratic Convention. He won only 42 percent of the popular vote but got an overwhelming electoral vote to become President. 威尔逊迅速成为了政治科学专业的一名年轻教授，并在1902年成为普林斯顿校长。威尔逊在国内的声望愈来愈高，这使得民主党考虑让他成为总统。在1912年的民主大会上，他成为了总统候选人。虽然他仅仅获得了42%的选票，但是在总统选举中，他以压倒性的优势获胜。 Wilson passed bills for lower tariffs, a graduated income tax, the prohibition of child labor, 8-hour days for railroad workers, and more.
第36届国际数学奥林匹克试题 1．（保加利亚） 设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证：AM 、DN 和XY 三线共点。 证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以 ∠QMC=∠PZC=90° 进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。 同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。 这样，利用圆幂定理，可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ， Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。 所以，QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二* 如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ， 只需证明当P 确定时，S 也确定。 证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0）， ∠PCA=α， m 、y 0是定值。有2 0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α， 则.0 2 αtg y m x A -= 因此，AM 的方程为 ).(0 2 ααtg y m x ctg y ?+=
令0 2,0y m y x s ==得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证： .2 3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a ， 有.0=++γβα于是， ) (4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++= 112 111121111211)()()(------------+++++++++++=b a b a c c b c b c b γαβα 21112 1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a .6132)111(23=?≥++≥abc c b a ∴原不等式成立。 背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法？—— 由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。 题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证： .3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+ （第6届IMO 试题） 证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则 + ++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222
美国历届总统简介：第5任总统詹姆斯门罗 James Monroe was born in Virginia in 1758. He was America's fifth President and the last who was a Founding Father of the U.S.A. He inherited his father's plantation and fortune when he was 16. In 1776 Monroe dropped out of college to join the Army. He returned to academic life from 1780 to 1783 to study law under Thomas Jefferson. He felt a legal career would offer him "the most immediate rewards". 詹姆斯·门罗于1758年出生在弗吉尼亚州。他是美国第五任总统，同时也是美国最后一位开国元勋。他16岁时继承了父亲的农场和财富。1776年，门罗辍学从军。1780年至1783年，他又重返学术生活，在托马斯·杰斐逊的门下学习法律。他认为律师职业能给予他“最直接的回报”。 In 1782, Monroe was elected to the Virginia House of Delegates and served in the Continental Congress between 1783 and 1786. As a youthful politician, he joined the anti-Federalists in the Virginia Convention which ratified the Constitution. In 1790, he was elected as a United States Senator. He served as Minister to France from 1794 to 1796 and helped negotiate the Louisiana Purchase. 1782年，门罗被选为弗吉尼亚州众议院代表，1783年至1786年，他任职于美国大陆会议。在弗吉尼亚州大会上，他加入了反联邦党人一派，当时他还是位年轻的政治家。1790年，他被选为美国参议员。1794年至1796年，他担任驻法公使，并协助谈判路易斯安那购买案。 His ambition and energy, together with the backing of President Madison, made him the Republican choice for the Presidency in 1816 and he was easily elected with little opposition. The Federalist opposition collapsed in
I N T ER N A T I ON A L CO N T E S T-GA M E M A TH KA N GA RO O C A N A DA, 2017 INSTRUCTIONS GRADE 5-6 1.You have 75 minutes to solve 30 multiple choice problems. For each problem, circle only one of the proposed five choices. If you circle more than one choice, your response will be marked as wrong. 2.Record your answers in the response form. Remember that this is the only sheet that is marked, so make sure you have all your answers transferred here by the end of the contest. 3.The problems are arranged in three groups. A correct answer of the first 10 problems is worth 3 points. A correct answer of problems 11-20 is worth 4 points. A correct answer of problems 21-30 is worth 5 points. For each incorrect answer, one point is deducted from your score. Each unanswered question is worth 0 points. To avoid negative scores, you start from 30 points. The maximum score possible is 150. 4.Calculators and graph paper are not permitted. You are allowed to use rough paper for draft work. 5.The figures are not drawn to scale. They should be used only for illustration. 6.Remember, you have about 2-3 minutes for each problem; hence, if a problem appears to be too difficult, save it for later and move on to the other problems. 7.At the end of the allotted time, please submit the response form to the contest supervisor. Please do not forget to pick up your Certificate of Participation! Good luck! Canadian Math Kangaroo Contest team 2017 CMKC locations: Algoma University; Bishop's University; Brandon University; Brock University; Carlton University; Concordia University; Concordia University of Edmonton; Coquitlam City Library; Dalhousie University; Evergreen Park School; F.H. Sherman Recreation & Learning Centre; GAD Elementary School; Grande Prairie Regional College; Humber College; Lakehead University (Orillia and Thunder Bay); Laurentian University; MacEwan University; Memorial University of Newfoundland; Mount Allison University; Mount Royal University; Nipissing University; St. Mary’s University (Calgary); St. Peter’s College; The Renert School at Royal Vista; Trent University; University of Alberta-Augustana Campus; University of British Columbia (Okanagan); University of Guelph; University of Lethbridge; University of New Brunswick; University of Prince Edward Island; University of Quebec at Chicoutimi; University of Quebec at Rimouski; University of Regina; University of Toronto Mississauga; University of Toronto Scarborough; University of Toronto St. George; University of Windsor; The University of Western Ontario; University of Winnipeg; Vancouver Island University; Walter Murray Collegiate, Wilfrid Laurier University; YES Education Centre; York University; Yukon College. 2017 CMKC supporters: Laurentian University; Canadian Mathematical Society; IEEE; PIMS.
2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？
8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在
美国历届总统简介：第21任总统切斯特?艾伦?阿瑟 Chester Alan Arthur was born in Vermont in 1829. He was the 21st President of the United States, becoming President after the assassination of President James A. Garfield. His father was a preacher who had emigrated from Northern Ireland. He graduated from Union College in 1848 and was admitted to the bar. He startedpractising law in New York City before joining the Army to fight in the Civil War. 1829年，切斯特·艾伦·阿瑟出生于佛蒙特州。詹姆斯·A·加菲尔德总统遇刺之后，阿瑟成为了美国第21任总统。他的父亲是一名从北爱尔兰移民的牧师。1848年，阿瑟毕业于联合学院，并获得律师资格。他开始在纽约从事律师行业，之后参加了美国内战。 In 1871, Arthur was appointed by President Ulysses S. Grant to the politically powerful post of Collector of the Port of New York. He spent the next decade as a pawn in power struggles between different presidents. He was removed from his post by President Rutherford B. Hayes. In 1880, Arthur was nominated to run forthe Vice Presidency. He assumed office as Vice President in March 1881. 1871年，U·S·格兰总总统特任命他为纽约海关税收官，这是一个拥有政治权力的职位。在以后的十年中，他成为了两名总统之间的得益者。海斯上任后将他免职。1880年，阿瑟成为了副总统候选人。1881年三月，他就任美国副总统。 During his brief tenure as Vice President, Arthur stood firmly beside President Garfield in internal struggles within the Republican Party. But when Arthur succeeded to the Presidency, he was eager to prove himself above his party’s political squabbling. In 1883 he passed an act that
41st IMO2000 Problem1.AB is tangent to the circles CAMN and NMBD.M lies between C and D on the line CD,and CD is parallel to AB.The chords NA and CM meet at P;the chords NB and MD meet at Q.The rays CA and DB meet at E.Prove that P E=QE. Problem2.A,B,C are positive reals with product1.Prove that(A?1+ 1 B )(B?1+1 C )(C?1+1 A )≤1. Problem3.k is a positive real.N is an integer greater than1.N points are placed on a line,not all coincident.A move is carried out as follows. Pick any two points A and B which are not coincident.Suppose that A lies to the right of B.Replace B by another point B to the right of A such that AB =kBA.For what values of k can we move the points arbitrarily far to the right by repeated moves? Problem4.100cards are numbered1to100(each card di?erent)and placed in3boxes(at least one card in each box).How many ways can this be done so that if two boxes are selected and a card is taken from each,then the knowledge of their sum alone is always su?cient to identify the third box? Problem5.Can we?nd N divisible by just2000di?erent primes,so that N divides2N+1?[N may be divisible by a prime power.] Problem6.A1A2A3is an acute-angled triangle.The foot of the altitude from A i is K i and the incircle touches the side opposite A i at L i.The line K1K2is re?ected in the line L1L2.Similarly,the line K2K3is re?ected in L2L3and K3K1is re?ected in L3L1.Show that the three new lines form a triangle with vertices on the incircle. 1
2015中国女子数学奥林匹克 第一天 2015年8月12日 上午8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学 1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点． 以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ．求证：EM = MF ．（郑焕供题） 2．设(0,1)a ∈，且 323 2 ()(14)(51)(35),()(1)(2)(31). f x ax a x a x a g x a x x a x a =+-+-+-=--+--+ 求证：对于任意实数x ， ()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．（李胜宏供题） 3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格．试求黑色单位方格个数的最小值．（梁应德供题） 4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数： 1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈L ； 2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．（王彬供题） 中国女子数学奥林匹克 第二天 2015年8月13日 上午8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学 O M F E D C B A
5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的）（林常供题） 6．如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D ．设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G ．求证： MF MG =． （付云皓供题） 7．设12,,,(0,1)n x x x ∈L ，2n ≥．求证： 1212n n x x x < L L ．（王新茂供题） 8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B I 和A B U ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．（朱华伟供题） 试题解答 1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ． 过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ． 求证：EM = MF ． Γ2 Γ1 M G F E D C B A 图1
美国历届总统简介：第10任总统约翰泰勒 John Tyler was the tenth President of the United States, serving between 1841 and 1845. He was dubbed "His Accidency" by his opponents because he was the first Vice-President to be elevated to the office of President by the death of his predecessor. Tyler was born in Virginia in 1790 on his father's plantation. He studied law and was admitted to the bar at the age of 19, against bar regulations. 约翰·泰勒是美国第10任总统，任期自1841年至1845年。他是美国历史上第一位因在任总统逝世而以副总统继任总统的人，因此他被反对派戏称为“继任总统”。1790年，泰勒出生在弗吉尼亚他父亲的种植园里。他学过法律，并在19岁时被法院破格录用。 Tyler started his political career at an early age. At the age of 21, he was elected to the Virginia House of Delegates, where he served five successive one-year terms. He then went on to sit in the House of Representatives from 1816 to 1821. Tyler voted against most nationalist legislation. As a Senator he reluctantly supported Jackson for President as a choice between several evils. 泰勒很早便开始从政。21岁时，他入选弗吉尼亚议会，该职务任期为一年，他连任了五届。1816年至1821年，泰勒服务于美国众议院。他曾投票反对种族主义立法。身为参议员，他不愿支持杰克逊担任美国总统之职，他认为这是不利的选择。 The Whigs nominated Tyler for Vice President in 1840, hoping for support from southern states. Suddenly, incumbent President Harrison was dead after just 30 days in office and Tyler was in the White House. He insisted
第41届国际数学奥林匹克解答 问题 1.圆Γ1和圆Γ2 相交于点M和N.设L是圆Γ 1 和圆Γ2的两条公切线中距离 M较近的那条公切线.L与圆 Γ1相切于点A，与圆Γ2相切 于点 B.设经过点M且与L平 行的直线与圆Γ1还相交于点 C，与圆Γ2还相交于点 D.直 线C A和D B相交于点E；直线 A N和C D相交于点P；直线 B N 和C D相交于点Q. 证明：E P=E Q. 解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有 , . 这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q. 问题 2.设a,b,c是正实数，且满足a b c=1.证明： . 解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0 2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠ 5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。 加拿大的數學競賽 (1)加拿大公開數學挑戰賽 加拿大公開數學挑戰賽Canadian Open Mathematics Challenge (COMC):一般在每年的11月份舉行。學生在這個競賽裏獲得高分可以得到邀請去參加一些更高級別的競賽，比如加拿大數學奧林匹克(CMO),亞太數學奧林匹克(APMO),美國數學奧林匹克(USAMO)和國際數學奧林匹克(IMO)。 11月COMC活動可以提高學生的學習興趣，激發他們的”鬥志”。一旦他們能主動地學習，那就什麼困難都不在話下。其次，競賽對學生沒有壓力;因為考不好沒關係，而考好了就有關係：它對你進入好的大學，好的高中都有幫助。第三，有的競賽(如COMC, IMC等)還直接發獎金給優勝者。也會有單位邀請你去參加夏令營。 此項競賽有兩個目的：(1) 為秋季學期提供一項數學課外活動，對那些想豐富自己數學知識的學生大有幫助。(2) 為加拿大數學奧林匹克(CMO)選拔人才。此外，有的問題是對十年級數學課程的檢驗。 誰能參加這個競賽?(1)19歲以下;(2)加拿大公民或永久居民，並在公/私立中學註冊;(3)未在大學註冊;(4)未參加過PUTNAM數學競賽。 評獎：(1)大約50名優勝者會被邀請參加CMO;(2)每個省或地區的第一名會獲得一塊匾，他/她所在的學校也會獲得一塊匾;(3)每個省或地區的前九名獲得金牌，(4)前25%獲得證書。 考試時間為2.5小時，滿分40分。A部分8道題，每題5分;解答過程部分正確也可得一些分。B部分4道題，每題10分;即使答案正確但表述不清，也會被扣分。考試中不得使用計算器。考試內容大致如下：(1)EUCLID幾何，(2)解析幾何，(3)三角學，(4)函數，(5)方程組，(6)多項式，(7)數列與求和，(8)計數，(9)初等數論。 如何準備競賽?你可以去WWW.CEMC.UWATERLOO.CA找以前的考題做.有的較難，比如遊戲題, 它要求你會把遊戲問題數學化，知道如何找序列的規律，如何把特例推廣到一般情況。如果沒有接觸過這種問題，是很難在兩個小時內給出必勝的策略來。另外還要明白已考過的題近期內是不會重複的;再次，問題是永遠做不完的，關鍵在於掌握解題方法與技巧;而任何解題方法與技巧又代替不了INGENUITY(獨創性)和INSIGHT(洞察力)。事實上，競賽的目的也正是為了培養這兩種能力。 相關網站-》http://cemc.math.uwaterloo.ca/ 美国历届总统美国总统美国历届总统名单一览表 2007/04/29 11:29 A.M. 01、George Washington 乔治·华盛顿：1789-1797 02、John Adams 约翰·亚当斯：1797-1801 03、Thomas Jefferson托马斯·杰斐逊：1801-1809 04、James Madison 詹姆斯·麦迪逊：1809-1817 05、James Monroe 詹姆斯·门罗：1817-1825 06、John Quincy Adams约翰昆西·亚当斯：1825-1829 07、Andrew Jackson 安德鲁·杰克逊：1829-1837 08、Martin van Buren 马丁·范布伦：1837-1841 09、William Henry Harrison 威廉亨利·哈里森：1841-1841 10、John Tyler 约翰·泰勒：1841-1845 11、James K. Polk 詹姆斯·波尔克：1845-1849 12、Zachary Taylor 扎卡里·泰勒：1849-1850 13、Millard Fillmore 米勒德·菲尔莫尔：1850-1853 14、Franklin Pierce 富兰克林·皮尔斯：1853-1857 15、James Buchanan 詹姆斯·布坎南：1857-1861 16、Abraham Lincoln 亚伯拉罕·林肯：1861-1865 17、Andrew Johnson 安德鲁·约翰逊：1865-1869 18、Ulysses S. Grant 尤利塞斯·格兰特：1869-1877 19、Rutherford B. Hayes 拉塞福德·海斯：1877-1881 20、James A. Garfield 詹姆斯·加菲尔德：1881-1881 21、Chester A. Arthur 切斯特·阿瑟：1881-1885 22、Grover Cleveland 格罗弗·克利夫兰：1885-18892016女子数学奥林匹克试题
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