【精选】人教版七年级上册数学 有理数中考真题汇编[解析版]

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．同学们都知道表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：

（1）求 ________．

（2）找出所有符合条件的整数，使得．满足条件的所有整数值有________

（3）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最大值或最小值？如果有最大值或最小值是多少？有最________（填“最大”或“最小”）值是________．

【答案】（1）7

（2）-3，-2，-1，0，1，2;

（3）最小；3

【解析】【解答】（1）原式=|5+2|=7.

故答案为: 7;（2）令x+3=0或x-2=0时，则x=-3或x=2.

当x<-3时，- (x+3) - (x-2) =5 ,

-x-3-x+2=5，解得x=-3(范围内不成立)

当-3≤x≤2时，(x+3) - (x-2) = 5,

x+3-x+1=4，0x=0，x为任意数,

则整数x=-3，-2，-1, 0，1，

当x>2时，(x+3) + (x-2) = 5，

x=2(范围内不成立) .

综上所述，符合条件的整数x有: -3, -2, -1, 0，1，2.

故答案为:-3，-2，-1，0，1，2;(3) 由(2) 的探索猜想,对于任何有理数x，有最小值为3,

令x-3=0或x-6=0时,则x=3，x=6

当x＜3时，-(x-3)-(x-6)=-2x+3﹥3

当3≤x≤6时，x-3-(x-6)=3,

当x＞6时，x-3+x-6=2x-9＞3

∴对于任何有理数x，有最小值为3

【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去掉绝对值就可以了；（2）要求x的整数值可以进行分段计算，令x+3=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值.（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值.

2．如图，数轴的单位长度为1，点，，，是数轴上的四个点，其中点，表示的数是互为相反数.

（1）请在数轴上确定原点“O”的位置，并用点表示；

（2）点表示的数是________，点表示的数是________，，两点间的距离是________；

（3）将点先向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度到达点，点表示的数是________，在数轴上距离点3个单位长度的点表示的数是________.

【答案】（1）解：距离A点和B点的距离相等的点即AB的中点，点 .如图所示，点即为所求.

（2）；5；9

（3）；或1

【解析】【解答】解：（2）点表示的数是，点表示的数是5，所以，两点间的距离是 .

故答案为9.

（ 3 ）如图，将点先向右移动4个单位长度是0，再向左移动2个单位长度到达点，

得点表示的数是 .

到点距离3个单位长度的点表示的数是-2-3= 或-2+3=1.

故答案为，或1.

【分析】（1）由点A和点B表示的数互为相反数，因此原点到点A和点B的距离相等，可得到原点的位置。

（2）先再数轴上标出数，可得到点M和点N表示的数，再求出点M，N之间的距离。（3）利用数轴上点的平移规律：左减右加，可得到点C表示的数，与点C距离3个单位长度表示的数为-2±3，计算可求解。

3．如图，已知A、B两地在数轴上相距20米，A地在数轴上表示的点为-8，小乌龟从A地出发沿数轴往B地方向前进，第一次前进1米，第二次后退2米，第三次再前进3米，第四次又后退4米，……，按此规律行进，（数轴的一个单位长度等于1米）

（1）求B地在数轴上表示的数；

（2）若B地在原点的左侧，经过第五次行进后小乌龟到达点P，第六次行进后到达点Q，则点P和点Q到点A的距离相等吗？请说明理由；

（3）若B地在原点的右侧，那么经过30次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少米？

【答案】（1）解：， .

答：地在数轴上表示的数是12或

（2）解：令小乌龟从A地出发，前进为“+”，后退为“-”，则：

第五次行进后相对A的位置为：，

第六次行进后相对A的位置为：，

因为点、与点的距离都是3米，

所以点、点到地的距离相等

（3）解：若地在原点的右侧，前进为“+”，后退为“-”，

则当为100时，它在数轴上表示的数为：

，

∵B点表示的为12.

∴AB的距离为（米 .

答：小乌龟到达的点与点之间的距离是70米

【解析】【分析】（1）由已知A，B两地在数轴上的距离为20米，且A地在数轴上表示的数为-8，可得到B地可能在A地的左边，也可能在A地的右边，然后列式可求出B地在数轴上表示的数。

（2）根据题意分别列式求出第5次和第6次行进后相对A的位置，由此可得到第P和点Q到A的距离，即可作出判断。

（3）根据点B在原点的右侧，列式可求出n=100时，可得到点A在数轴上表示的数，再根据点B表示的数，就可求出AB的距离。

4．如图，在数轴上，点A表示﹣5，点B表示10．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒：

（1）当t为________秒时，P、Q两点相遇，求出相遇点所对应的数________；

（2）当t为何值时，P、Q两点的距离为3个单位长度，并求出此时点P对应的数．

【答案】（1）5；0

（2）解：若P、Q两点相遇前距离为3，则有

t+2t+3=10-(-5)，

解得：t=4，

此时P点对应的数为：-5+t=-5+4=-1；

若P、Q两点相遇后距离为3，则有

t+2t-3=10-(-5)，

解得：t=6，

此时P点对应的数为：-5+t=-5+6=1；

综上可知，当t为4或6时，P，Q两点的距离为3个单位长度，此时点P对应的数分别为

-1或1.

【解析】【解答】（1）解：由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t；

若P，Q两点相遇，则有

-5+t=10-2t，

解得：t=5，

-5+t=-5+5=0，

即相遇点所对应的数为0，

故答案为5；相遇点所对应的数为0；

【分析】（1）由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t，若P、Q相遇，则P、Q两点表示的数相等，由此可得关于t的方程，解方程即可求得答案；（2）分相遇前相距3个单位长度与相遇后相距3个单位长度两种情况分别求解即可得.

5．已知数轴上有A，B，C三个点，对应的数分别为﹣36，﹣12，12；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设运动时间为t秒

（1）若点P到A点的距离是到点B距离的2倍，求点P的对应数；

（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A.在点Q开始运动后第几秒时，P、Q 两点之间的距离为4？请说明理由.

【答案】（1）解：当P在A、B之间，PA+PB＝AB，因为点P到A点的距离是到点B距离的2倍，所以PA＝2PB，

故2PB+PB＝AB，

代数可得PB＝8，

故P点对应数为﹣12﹣8＝﹣20；

当P在B、C之间，PA﹣PB＝AB，

所以2PB﹣PB＝AB，

故PB＝AB＝24，

故P点对应数为﹣12+24＝12，与点C重合.

（2）解：分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度.PA﹣QA＝4，设时间为t1， AB+t1×1﹣3t1＝4，故24+t1×1﹣3t1＝4，则t1＝10；

第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度.QA﹣PA＝4，设时间为t2，

3t2﹣(t2+AB)＝4，

故3t2﹣(t2+24)＝4，

则t2＝14；

第三种情况：当Q从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度.设时间为t3，

3t3+t3+4+AB＝2AC，

故3t3+t3+4+24＝2×48，

则t3＝17；

第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.设时间为t4，

3t4+t4+AB＝2AC+4，

故3t4+t4+24＝2×48+4，

则t4＝19.

【解析】【分析】(1)P从A运动到C，存在两种情况：1.P在A、B之间2.P在B、C之间，后计算发现此点与C重合；(2)分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度. 第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度. 第三种情况：当Q 从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度，第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.

6．已知数轴上A，B两点对应数分别为-2和5，P为数轴上一点，对应数为x.

（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数.

（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明理由.

（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？【答案】（1）解：因数轴上A、B两点对应的数分别是﹣2和5，所以AB=7，又因P为线

段AB的三等分点，所以 AP=7÷3= 或AP=7÷3×2= ，所以P点对应的数为或

（2）解：若P在A点左侧，则﹣2﹣x+5﹣x=10，解得：x=﹣；

若P在A点、B中间.

∵AB=7，∴不存在这样的点P；

若P在B点右侧，则x﹣5+x+2=10，解得：x=

（3）解：设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x，①当P为AB的中点，则

5﹣6x+（﹣2﹣x）=2×（﹣3x），解得：x=3；

②当A为BP中点时，则

2×（﹣2﹣x）=5﹣6x﹣3x，解得：x= ；

③当B为AP中点时，则

2×（5﹣6x）=﹣2﹣x﹣3x，解得：x= .

答：第分钟时，A为BP的中点；第分钟时，B为AP的中点；第3分钟时，P为AB的中点.

【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式得出AB=7，又因P为线段AB的三等分

点，所以 AP 或，进而再根据数轴上两点间的距离公式即可求出点P所表示的数；（2）分类讨论：若P在A点左侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值；若P在A点、B中间，由于PA+PB=AB=7,故不存在这样的点P；若P在B点右侧，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值，综上所述即可得出答案；

（3）设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x ，然后分类讨论：①当P为AB的中点，②当A为BP中点时，③当B为AP中点时三种情况根据线段的中点性质列出方程，求解即可。

7．如图，在数轴上点A表示数?20，点C表示数30，我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记.

比如，点A与点B之间的距离记作AB，点B与点C之间的距离记作BC…

（1）点A与点C之间的距离记作AC，则AC的长为________；若数轴上有一点D满足CD=AD，则D点表示的数为________；

（2）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A、C在数轴上运动，点A、C 的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒.

①若点A向右运动，点C向左运动，AB=BC，求t的值________；

②若点A向左运动，点C向右运动，2AB?m×BC的值不随时间t的变化而改变，则2AB?m×BC的值为________(直接写出答案).

【答案】（1）50；5

（2）10或；-45．

【解析】【解答】（1）解：∵A表示的数为-20，C表示的数为30，

∴AC=30-（-20）=50；

∵CD=AD

∴点D为AC的中点

∴D所表示的数为 =5，

故答案为50；5（2）解：①根据题意，A所表示的数为-20+2t，C所表示的数为30-3t，B 所表示的数为1+t，

AB=|-20+2t-（1+t）|=|-21+t|，

BC=|30-3t-（1+t）|=|29-4t|，

∵AB=BC

∴|-21+t|=|29-4t|，

-21+t=29-4t，

解得t=10，

-21+t=4t-29

解得t= ．

∴当AB=BC时，t=10或．

②根据题意，A所表示的数为-20-2t，B所表示的数为1+t，C所表示的数为30+3t，

AB=1+t-（-20-2t）=21+3t，

BC=30+3t-（1+t）=29+2t，

∴2AB-m×BC=2（21+3t）-m×（29+2t）=42+6t-29m-2mt，

∵2AB-m×BC的值不随时间t的变化而改变，

∴6t-2mt=0，

∴m=3，

∴42+6t-29m-2mt=-45，

∴2AB-m×BC=-45．

故答案为-45．

【分析】（1）在数轴上表示两点所组成的线段长度用右边点所表示的数减去左边点所表示的数即可．（2）当数轴上想表示两个点之间的距离，根据绝对值的意义可用绝对值进行处理．动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离．

8．阅读材料:

在数轴上，点 A 在原点 0 的左边，距离原点 4 个单位长度，点 B 在原点的右边，点 A 和点B 之间的距离为 14个单位长度.

（1）点 A 表示的数是________，点 B 表示的数是________;

（2）点 A、B 同时出发沿数轴向左移动，速度分别为 1 个单位长度/秒，3 个单位长度/秒，经过多少秒，点 A 与点 B重合?

（3）点 M、N 分别从点 A、B 出发沿数轴向右移动，速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒,点 P 为 ON 的中点，设 OP-AM 的值为 y,在移动过程中，y 值是否发生变化?若不变，求出 y 值;若变化，说明理由.

【答案】（1）-4；10

（2）解：由题意知，此时为速度问题里面的追击问题，则由速度差×相遇时间＝相距距离可知：

设经过x秒后重合，即x秒后AB相遇.

则(3-1)x=14

解得：x=7

故7秒后点A，B重合.

（3）解：y不发生变化，理由如下：

设运动时间为x秒，则AM=x

而OP=

则y=OP-AM=

故y为定值，不发生变化.

【解析】【解答】解：（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，由B 在原点右边且与点A距离14个单位长度可知，-4+14=10，则B点表示的数是10.

【分析】（1）由A在原点左边4个单位长度可知A点表示的数是-4，再根据B 在原点右边且与点A距离14个单位长度，可由-4+14=10可得B点表示的数.（2）把A，B看成距离为14个单位长度的追击问题，由速度差×相遇时间＝相距距离列出等式求解.（3）设移动时间为x秒，用含有x的代数式表示出OP与AM的长度，然后根据y= OP-AM列出关系式判断,若式中不含x项则不发生变化，含x项则发生变化.

9．阅读材料，回答下列问题：

数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题。例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；

在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3?1|=2；

在数轴上,有理数5与?2对应的两点之间的距离为|5?(?2)|=7；

在数轴上，有理数?2与3对应的两点之间的距离为|?2?3|=5；

在数轴上,有理数?8与?5对应的两点之间的距离为|?8?(?5)|=3；……

如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a?b|或|b?a|，记为|AB|=|a?b|=|b?a|.

（1）数轴上有理数?10与?5对应的两点之间的距离等于________；数轴上有理数x与?5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为________；若数轴上有理数x与?1对应的两点A，B之间的距离|AB|=2，则x等于________；

（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为?2，动点P表示的数为x.

①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x?4|=________；若|x+2|+|x?4|═10，则x=________；

②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x?2|+|x?4|的最小值等于________ .

【答案】（1）5；x+5；1或?3

（2）6；6或?4；8

【解析】【解答】(1)根据绝对值的定义：

数轴上有理数?10与?5对应的两点之间的距离等于5；

数轴上有理数x与?5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+5|；

A，B之间的距离|AB|=2，则x等于1或?3，(2)①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x?4|=6；

若|x+2|+|x?4|═10，则x=6或?4；

②|x+2|+|x|+|x?2|+|x?4|的最小值，

即x与4,2,0,?4之间距离和最小,这个最小值=4?(?4)=8.

故答案为：5，|x+5|，1或?3；6，6或?4，8.

【分析】（1）根据绝对值的定义：数轴上有理数-10与-5对应的两点之间的距离等于5；数轴上有理数x与-5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+5|；若数轴上有理数x 与-1对应的两点A，B之间的距离|AB|=2，则x等于1或-3；（2）①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x-4|=6；若|x+2|+|x-4|═10，则x=6或-4；

②|x+2|+|x|+|x-2|+|x-4|的最小值，这个最小值=4-（-2）=6．

10．已知数轴上的两点A、B所表示的数分别是a和b,O为数轴上的原点，如果有理数a,b 满足

（1）求a和b的值；

（2）若点P是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点P恰巧到达线段AB的三等分点？

（3）若点C是线段AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点C开始向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点N以每秒4个单位长度的速度从点B开始向左运动，点P与点M之间的距离表示为PM，点P与点N之间的距离表示为PN，是否存在某一时刻使得PM+PN=12？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：a=-8，b=22；

（2）解：5t=10时，t=2；5t=20时，t=4；

（3）解：存在

理由：设运动的时间为x秒，

点C对应的数为7，

点P对应的数为?8＋5x，

点M对应的数为 7＋3x，

点N对应的数为22?4x，

则PM＝|（?8＋5x）?（7＋3x）|＝|?15＋2x|，PN＝|（?8＋5x）?（22?4x）|＝|?30＋9x|．

由PM＋PN＝12得|?15＋2x|＋|?30＋9x|＝12．

①当0＜x≤ 时，15?2x＋30?9x=12，解得：x=3 ，

此时P对应的数为-8+5x=7；

②当＜x≤ 时，15?2x-30+9x=12，解得：x= 且＜≤ ，

此时P对应的数为-8+5x= ；

③当＜x时，-15+2x-30+9x=12，解得：x= 且＜，舍去；

综上可知，当运动的时间为3秒或秒时，会使得PM＋PN＝12，

此时点P对应的数为 7或 .

【解析】【分析】（1）根据绝对值以及偶次方的非负性得出a，b的值；（2）根据点P 运动的速度、结合AP：BP＝1：2或AP：BP＝2：1找出点P的运动时间，设点Q的运动速度为x单位长度/秒，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即

可得出结论；（3）分三种情况：①0＜x≤ ；② ＜x≤ ；③ ＜x时. 结合两点间的距离公式列出相应的方程进行解答即可．

11．已知多项式，次数是b，3a与b互为相反数，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b．

（1）数轴上A、B之间的距离记作，定义：设点C在数轴上

对应的数为x，当时，直接写出x的值．

（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照如此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，求点P所对应的有理数．

（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2单位长度秒的速度也向左运动，一同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．

【答案】（1）解：由多项式的次数是6可知，又3a和b互为相反数，故．

①当C在A左侧时，，

，；

②C在A和B之间时，，

点C不存在；

③点C在B点右侧时，，

，

；

故答案为或8．

（2）解：依题意得：

．

点P对应的有理数为．

（3）解：①甲、乙两小蚂蚁均向左运动，即时，此时，，

，

解得，；

甲向左运动，乙向右运动时，即时，

此时，，

依题意得，，

解得，．

答：甲、乙两小蚂蚁到原点的距离相等时经历的时间是秒或8秒．

【解析】【分析】（1）根据题意可得，；（2）对点C的位置进行分

类讨论，并用x表示出和的长度，利用“ ”列出方程即可求出答案；（3）对乙蚂蚁运动的方向进行分类讨论，根据到原点距离相等列出方程求解即可．

12．已知表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离请试着探索：

（1）找出所有符合条件的整数，使，这样的整数是________；（2）利用数轴找出，当时，的值是________；

（3）利用数轴找出，当取最小值时，的范围是________．

【答案】（1）-4，-3，-2，-1，0，1，2

（2）-5或4

（3）

【解析】【解答】解：（1）∵ = 表示x与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，

又∵表示2与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离为6，

∴当数轴上表示x的点在表示-4的点的左侧时，，不符合题意，当数轴上表示x的点在表示2的点的右侧时，，不符合题意，

当数轴上表示x的点在表示-4的点与表示2的点之间（包括表示-4与2的点）时，

，符合题意，

∴，

∴使，整数是-4，-3，-2，-1，0，1，2．

故答案是：-4，-3，-2，-1，0，1，2；（2）∵ = 表示x与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，

∴当x=-5时，表示-5与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离为2，表示-5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7，即：，

∴x=-5符合题意，

当x=4时，表示4与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7，表示4与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为2，即：，

∴x=4符合题意，

综上所述：当时，的值是：-5或4．

故答案是：-5或4；（3）∵ = 表示x与-7两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，

∴当数轴上表示x的点在表示-7的点的左侧时，，

当数轴上表示x的点在表示4的点的右侧时，，

当数轴上表示x的点在表示-7的点与表示4的点之间（包括表示-7与4的点）时，

，

∴当取最小值时，．

故答案是：．

【分析】（1）根据绝对值的几何意义，得表示x与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，结合条件，即可求解；（2）根据绝对值的几何意义，得表示x与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，结合条件，即可求解；（3）根据绝对值的几何意义，得表示x与-7两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，结合条件，即可求解．