一次函数与几何综合（一）（讲义） ? 课前预习 1. 若一次函数经过点 A (2，-1)和点 B (4，3)，则该一次函数的表达式为 ． 2. 若直线 l 平行于直线 y =-2x -1，且过点(1，4)，则直线 l 的表 达式为 ． 3. 如图，一次函数的图象经过点 A ，且与正比例函数 y =-x 的图象交于点 B ，则该一次函数的表达式为 ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，点 A 在直线 l 1：y =3x 上，且点 A 在第一象限，过点 A 作 y 轴的平行线交直线 l 2：y =x 于点 B ． （1） 设点 A 的横坐标为 t ，则点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，线段 AB 的长为 ；（用含 t 的式子表示） （2） 若 AB =4，则点 A 的坐标是 ． ? 知识点睛 1. 一次函数与几何综合的处理思路： 从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题． 2. 函数与几何综合问题中常见转化方式： （1） 借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段 长，结合几何特征利用线段长列方程； （2） 研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表 达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程． 表达线段长： 横平线段长，横坐标相减，右减左； 竖直线段长，纵坐标相减，上减下．
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? 精讲精练 1. 如图，直线 y = - 3 x + 3 与 x 轴、y 轴交于 A ，B 两点，点 C 4 是 y 轴负半轴上一点，若 BA =BC ，则直线 AC 的表达式为 ． 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与 x 轴相交于点 B ，与正比例函数 y =3x 的图象交于点 C ，点 C 的横坐标为 1，则△OBC 的面积为 ． 3. 如图，直线l ：y = 3 x + 6 与 y 轴相交于点 N ，直线l ：y = kx -3 1 4 2 与直线l 1 相交于点 P ，与 y 轴相交于点 M ，若△PMN 的面积为 18，则直线l 2的表达式为 ． 4. 如图，一次函数 y = 1 x + 2 的图象与 y 轴交于点 A ，与正比例 3 函数 y =kx 的图象交于第二象限内的点 B ，若 AB =OB ，则 k 的值为 ．
一次函数与几何综合（一）（讲义） ?课前预习 1.小明认为，在一次函数y=kx+b中，x每增加1，kx+b就增加了k，y也就增加了 k．因此要想求出一次函数表达式中的k，只需要知道x每增加1个单位长度，y增加的单位长度即可．例如：在如图所示的一次函数图象中，x从1变到2时，y的值由3变到5，即x每增加1个单位长度，y就增加2个单位长度，因此k的值就是2．再结合b为函数图象与y轴交点纵坐标，可得b=1．故容易求出一次函数表达式为y=2x+1．请你用待定系数法验证小明的说法． x 请根据小明的思路，直接写出下图中一次函数的表达式． ?知识点睛 1.一次函数表达式：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
①k 高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM ____________，则=AM k BM ． ②b是截距，表示直线与y轴交点的纵坐标． 2.设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0 ①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1_____l2； ②若k1·k2=_________，则直线l1_____l2． 3.一次函数与几何综合解题思路 坐标 几何图形 一次函数 ①要求坐标，______________________________________ ②要求函数表达式，________________________________ ③要研究几何图形，________________________________ ?精讲精练 1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，A，D是x轴上的两点，若四边形
ABCD是正方形，则k的值为________． 第1题图 2.如图，点A，B分别在直线y=kx和y=-4x上，C，D是x轴上的两点，若四边形 ABCD是长方形，且AB:AD=3:2，则k的值为________． 3.如图，已知直线l ：y x =+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿 直线l折叠，点O落在点C处，则直线AC的表达式为__________________． 第3题图第4题图 4.已知点A的坐标为(5，0)，直线y=x+b（b>0）与y轴交于点B，连接AB，∠ α=75°，则b的值为_________． 5.如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=-x+m与x轴交于点C， 则点C的坐标为__________．
2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析 1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．（1）∠BFE的度数是； （2）如果＝，那么＝； （3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明． 2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC． （1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF； （2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明． 3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD． （1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB的数量关系； （2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明． 4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G． （1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；
（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF ＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论． 5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF． （1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数； （2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长； （3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？ 若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由． 6．如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P为△ABC的自相似点． （1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点； （2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C． ①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数． 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，
几何体的展开与折叠（讲义） ? 课前预习 1. 正方体的11种展开图： ①（1，4，1）型共_____种； ②（2，3，1）型共_____种； ③（3，3）型共______种； ④（2，2，2）型共_____种． 从上述的四种类型中各选一种，画出展开图，并用相同的符号标注相对面． 2. 一个正方体盒子的表面展开图如图所示，动手操作把它折叠成一个正方体，那么 与点A 重合的点是__________，与点B 重合的点是__________． A B D E F G H C N P Q M ? 知识点睛 1. 研究几何体特征的思考顺序：
先研究_______________，再研究__________和__________． 2.正方体展开与折叠： ①一个面与_____个面相邻，与_____个面相对； ②一条棱与_____个面相连，一条棱被剪开成为_____条边； ③一个顶点连着_____条棱，一个点属于______个面． 3.利用三视图求几何体的表面积： ①_____________________；②_________________________． ?精讲精练 1.下图是某些几何体的表面展开图，请说出这些几何体的名称： ①②③ ④⑤⑥ ①____________；②____________；③____________； ④____________；⑤____________；⑥____________． 2.如图是一个三棱柱，下列图形中，能通过折叠围成这个三棱柱的是（）
A．B．C．D． 3.下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（） A．B．C．D． 4.如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”， 沿图中粗线将其剪开展成平面图形，这个平面图形是 （） M M M M A．B．C．D． 5.如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有图形“○”， 沿图中粗线将其剪开展成平面图形，这个平面图形是 （） A．B．C．D． 6.下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，则其中两个正方体各 面图案完全一样，它们是（） ++ ※ ×※ × ×× ※※ + ++ +++ ①②③④ A．①与③B．②与③C．①与④D．③与④ 7.如图是一个正方体纸盒的表面展开图，下图能由它折叠而成的是（）
反比例函数与几何综合（讲义） ?课前预习 前期学习一次函数与几何综合问题时，解决思路是将坐标、几何图形和一次函数综合起来分析、转化．如：坐标与线段长互转，由坐标求解表达式，根据函数表达式计算坐标等，请尝试解决下列问题，并体会整个解决问题的过程： 如图，已知直线l1：y =2 x + 8 与直线l2：y=-2x+16 相交于点 3 3 C，直线l1，l2 分别交x 轴于A，B 两点，矩形DEFG 的顶点D，E 分别在l1，l2 上，顶点F，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG:S△ABC = ． 解决一次函数与几何综合问题的核心在于：找坐标，转线段长，借助几何或函数特征建等式求解．
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?知识点睛 反比例函数与几何综合的处理思路： 1 .从关键点入手．“关键点”是信息汇聚点，通常是和的．通过和 的互相转化可将与综合在一起进行研究． 2.梳理题干中的函数和几何信息，依次转化． 3.借助或列方程求解． 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． 结论：S 矩形ABCO = 2S △ABO =| k | 结论：S △OCD =S 梯形ABCD 结论：AB=CD 结论：BD∥CE 函数几何特征常见转化作法： 1.函数→坐标→几何 ①借助表达式设出点坐标； ②将点坐标转化为横平竖直线段长； ③结合几何特征利用线段长列方程． 2.几何→坐标→函数 ①研究几何特征，考虑线段间关系； ②通过设线段长进而表达点坐标； ③将点坐标代入函数表达式列方程．若(x1，y1)，(x2，y2)是同一反比例函 数上的点，则： ①当x1，y1，x2，y2 都用同一字母表达出来时，往往利用x1y1=x2y2=k 列方程求解． ②当两点的横坐标有比例关系时，对应的纵坐标也有比例关系．这样的比例关系常通过横平竖直的线段放在相似三角形中使用． 如： x 1 = y 2 x 2 y 1
一次函数与几何综合（一）（讲义） 课前预习 1. 若一次函数经过点A (2，-1)和点B (4，3)，则该一次函数的表达式为____________．2.如图，一次函数的图象经过点A ，且与正比例函数y =-x 的图 象交于点B ，则该一次函数的表达式为____________． 第2题图 第3题图3.如图，直线334y x =- +与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点C 是y 轴负半轴上一点，若BA =BC ，则直线AC 的表达式为__________． 4.如图，点A 在直线l 1：y =3x 上，且点A 在第一象限，过点A 作y 轴的平行线交直线l 2：y =x 于点B ． （1）设点A 的横坐标为t ，则点A 的坐标为_________，点B 的坐标为_________，线段AB 的长为__________；（用含t 的式子表示） （2）若AB =4，则点A 的坐标是__________．
知识点睛 1.一次函数与几何综合的处理思路： 从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题．2.函数与几何综合问题中常见转化方式： （1）借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段长，结合几何特征利用线段长列方程； （2）研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程． 精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y =3x 的图象交于点C ，点C 的横坐标为1，则△OBC 的面积为_______ ． 第1题图 第2题图2.如图，直线l 1：364 y x =+与y 轴相交于点N ，直线l 2：y =kx -3与直线l 1相交于点P ，与y 轴相交于点M ，若△PMN 的面积 为18，则直线l 2的表达式为______________．3.如图，一次函数123 y x =+的图象与y 轴交于点A ，与正比例函数y =kx 的图象交于第二象限内的点B ，若AB =OB ，则k 的值为__________ ． 表达线段长：横平线段长，横坐标相减，右减左；竖直线段长，纵坐标相减，上减下．
几何最值及路径长（讲义） ?课前预习 1.如图，A，B 为定点，P 为直线l 上一动点，若点P 恰好使 AP+BP 最短，请画出点P 的位 置．提示： ①分析定点（A，B），动点（P 在直线l 上动），不变特征 ②以l 为对称轴利用轴对称进行转化 ③由“两点之间，线段最短”确定位置 2.如图，A，B 为定点，MN 为直线l 上一可以移动的线段，且 MN 长度固定，若点M 恰好使AM+MN+BN 最短，请画出点 M 的位置． 提示： ①分析定点（A，B），动点（M，N 在l 上动，且MN 长度固 定），不变特征 ②先平移BN，使平移后的点N 与M 重合，将其转化为问题 1 ③以l 为对称轴，利用轴对称进行转化 ④由“两点之间，线段最短”确定位置 3.如图，∠AOB=60°，点P 在∠AOB 的平分线上，OP=10 cm， 点E，F 分别是∠AOB 两边OA，OB 上的动点，当△PEF 的 周长最小时，点P 到EF 的距离是． 提示： ①分析定点（P），动点（E 在OA 上动，F 在OB 上动），不 变特征 ②分别以OA，OB 为对称轴，将P 对称过去，得到P1，P2 ③连接P1P2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求 解P 到EF 的距离．
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?知识点睛 1.几何最值问题的处理思路 ①分析定点、动点，寻找不变特征； ②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题； 若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题． 转化原则： 尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标． 基本定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定） 过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦 常用模型、结构示例： ①轴对称最值模型 求PA+PB 的最小值，求|PA-PB|的最大值， 使点在线异侧使点在线同侧 固定长度线段MN 在直线l 上滑动，求AM+MN+BN 的最小值，需平移BN（或AM），转化为AM+MB′解决．
四边形中的几何结构 ? 知识点睛 1. 几何综合题的思考流程 （1） 标注条件，合理转化； （2） 组合特征，分析结构； （3） 由因导果，执果索因． 2. 特殊四边形中隐含条件 （1） 平行四边形中隐含条件：平行、中点； （2） 菱形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直； （3） 矩形中隐含条件：平行、中点、垂直； （4） 正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直． 3. 四边形中常见几何结构举例 （1） 中点结构：直角+中点，平行夹中点，多个中点； （2） 折叠结构：平行+角平分线； （3） 弦图结构：外弦图，内弦图； （4） 面积结构：三个“一半”，平行转化． S = S = 1 S S = 1 S S = S = 1 S 1 2 2 □ABCD △PBC 2 □ABCD 1 2 2 □ABCD ②平行转化 S △PBC = S △QBC S 1 = S 2 ①三个“一半”
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?精讲精练 1.如图，在平行四边形ABCD 中，BC=2AB，CE⊥AB 于点E，F 为AD 的中点，若∠AEF=54°，则∠B= ． 第1 题图第2 题图 2.如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E，F 分别是边AB，BC 的中点，若EP⊥CD 于点P，则∠FPC= ． 3.如图，在矩形ABCD 中，AB=15cm，点E 在AD 上，且AE=9cm， 连接EC，将长方形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C= ． 第3 题图第4 题图 4.将矩形纸片ABCD 按如图所示方式折叠，AE，EF 为折痕， ∠BAE=30°，BE=1，折叠后点C 落在AD 边上的C1 处，并且 点B 落在EC1 上的B1 处，则BC 的长为． 5.如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E，F 分 别在AD，BC 边上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 边上的一点H 处，点D 落在点G 处，则下列结论： ①四边形CFHE 是菱形；②CE 平分∠DCH；③当点H 与点 A 重合时，EF= 2 ．其中正确 的是．（填写序号） 5
一次函数与几何综合（一）（讲义）课前预习 1. 小明认为，在一次函数y=kx+b 中，x 每增加 1，kx+b 就增加了k ，y 也就增加了k．因此要想求出一次函数表达式中的k，只需要知道x 每增加1 个单位长度，y 增加的单位长度即可．例如：在如图所示的一次函数图象中，x 从1 变到 2 时，y 的值由3 变到 5，即x 每增加 1 个单位长度，y 就增加 2 个单位长度，因此k 的值就是 2．再结合b 为函数图象与y 轴交点纵坐标，可得b=1．故容易求出一次函数表达式为y=2x+1．请你用待定系数法验证小明的说法． 请根据小明的思路，直接写出下图中一次函数的表达式．
知识点睛 1. 一次函数表达式：y=kx+b（k，b 为常数，k≠0） ①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来 解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为，BM 即为，则 k = AM ． BM ②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标． 2. 设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0． ①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1l2； ②若k1·k2= ，则直线l1l2． 3. 一次函数与几何综合解题思路 坐标 一次函数几何图形 ①要求坐标，； ②要求函数表达式，； ③要研究几何图形，． 3 = 3
精讲精练 1. 如图，点 B ，C 分别在直线 y =2x 和 y =kx 上，A ，D 是 x 轴上的两点，若四边形 A BCD 是正方形，则 k 的值为 ． 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，点 A ，B 分别在直线 y =kx 和 y =-4x 上，C ，D 是 x 轴上的两点，若四边形 A BCD 是长方形，且 A B :AD =3:2，则 k 的值为 ． 3. 如图，已知直线 l ： y = - 3 x + 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴 3 交于点 B ，将△AOB 沿直线 l 折叠，点 O 落在点 C 处，则直线 A C 的表达式为 ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 已知点 A 的坐标为(5，0)，直线 y =x +b （b >0）与 y 轴交于点B ，连接 A B ，∠α=75°，则 b 的值为 ．
中考数学——几何综合（讲义） ? 知识点睛 1. 几何综合问题的处理思路 ①标注条件，合理转化 ②组合特征，分析结构 ③由因导果，执果索因 2. 常见的思考角度 304560 1 ??? ??? ???????????， ，同位角、内错角、同旁内角平行内角、外角、对顶角、余角、补角转化计算角圆心角、圆周角在圆中，由弧找角，由角看弧 直角互余、勾股定理、高、距离、直径特殊角等在直角三角形中，找边角关系（） 2 ??? ????? ?? ???? ????? ?? ??? ? ??、角平分线、垂直平分线轴对称性质 勾股定理 放在直角三角形中边角关系遇弦，作垂线 边、线段连半径转移边 放在圆中遇直径找直角遇切线连半径结合全等相似线段间比（例关系 ） 3 n ???? ??→?? ?????? ???→????倍长中线中位线 中点三线合一 特殊点斜边中线等于斜边的一半 相似等分点面积转化（） 4 ???? ??? →????????? ??? ???→???? 公式法相似规则图形转化法同底面积共高分割求和不规则图形割补法）补形作差（
3. 常见结构、常用模型 ?→??? →???? →?? ?→?? ? ?? ?? ?? ??????????? 中点结构中点的思考角度直角结构斜转直 常见结构旋转结构全等变换折叠结构轴对称的思考层次角平分线模型弦图模型常用模型相似基本模型三等角模型半角模型 ? 课前预习 1. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延 长线交AC 于点F ．若∠AEF =55°，则∠EAF=________． F E D C B A 提示：倍长中线，构造全等三角形转移条件． 具体操作：D 为中点，延长AD 到G 使DG =AD ，连接BG ．得到△ADC ≌△GDB ． 2. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC =90°，∠C =70°，点E 是BC 的中点，CD =CE ，则∠EAD 的度数为（ ） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° 提示：平行夹中点，构造全等三角形补全图形． A D C E B
二次函数与几何综合（讲义）?课前预习 1.如图，直线 1 1 2 y x =+经过点A(1，m)，B(4，n)，点C的坐标为(2，5)，则△ABC的面积为__________． 提示：利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补． 具体操作： ①过点C作CD∥y轴，交AB于点D； ②借助C，D坐标求解CD长； ③以CD为底，则A，B两点间的水平距离为高，即 1 () 2 ABC ADC DBC B A S S S CD x x =+=??- △△△ 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 3 3 4 y x =-+与x轴，y轴分别交于点A，B，点C的坐标 为(0，-2)．若点D在直线AB上运动，点E在直线AC上运动，当以O，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________． 提示： （1）分析定点（A，O），动点（D，E），属于两定两动的平行四边形存在性问题． （2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标； ②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标．（3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证．
? 知识点睛 1. “函数与几何综合”问题的处理原则：_________________， _____________________． 2. 研究背景图形： ①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________． ②___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3. 二次函数之面积问题的常见模型 ①割补法——铅垂法求面积： 1()2APB B A S PM x x =??-△ 1 () 2APB B A S PM x x =??-△ ②转化法——借助平行线转化： 若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ， 当P ，Q 在AB 同侧时， 当P ，Q 在AB 异侧时， PQ ∥AB ． AB 平分PQ ． ? 精讲精练 1. 如图，抛物线y =-x 2+2x +3经过A ，B ，C 三点．点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重 合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，连接MB ，MC ． （1）若设点M 的横坐标为m ，四边形OBMC 的面积为S ，则S 与m 的函数关系式为________________．
整式的乘除及几何表示（讲义） ?课前预习 1.整式乘除运算法则： 单×单：_______乘以________，_________乘以________． 单×多：根据________________，转化为单×单． 多×多：握手原则． 单÷单：__________________，__________________． 多÷单：借用________________________． 2.两大公式： 平方差公式：___________________________； 完全平方公式：_________________________； _________________________． 口诀：_________________________． 3.动手操作：画出一个边长为(a+b)的正方形（a>0，b>0），则它的面积是 ________；再画两个正方形，他们的边长分别为a，b，则这两个正方形的面积之和为________；剪下来拼一拼，由此可以得到222 ++（填“>”， a b a b ()_____ “<”或“≠”）．
? 知识点睛 符号问题： 乘方看奇偶，公式辨符号； 去添括号看正负，整体处理加括号． 公式的几何表示： ①以两个多项式为边，构造长方形； ②由面积关系可知，特定几何图形的个数与计算结果中的各项系数对应相等． ? 精讲精练 1. 计算下列各式： （1）3 23322()(2)3()()a a a a a a ???--?-+--÷-??； （2）522323(2)(3)()(2)2a a a a a a ----+-?； （3）(2)(2)(2)y y x y x y x -?+-+-； （4）(32)(32)x y z x y z --++； （5）22(3)(32)m m n ---+；
几何综合（讲义） ?课前预习 1.回顾几何问题的处理思路： ①标注条件，合理转化 ②组合特征，分析结构 ③由因导果，执果索因 2.回顾以下特征及特征组合的思考角度： 直角相关的搭配和用法 ①直角+中点（直角三角形斜边中线等于斜边一半）； ②直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形）； ③直角+角平分线（等腰三角形三线合一）； ④直角三角形斜边上的高（母子型相似、射影定理）； ⑤弦图结构； ⑥三等角模型． 旋转的思考角度 ①全等变换：对应边；对应角． ②对应点：对应点到旋转中心的距离，对应点与旋 转中心的连线所成的角等于旋转角，并且这些旋转角都 ；对应点连线的垂直平分线都经过． ③旋转会产生． ④看到等线段共点要想到利用旋转思想解决问题．
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相似的思考角度 当碰到线段乘积、线段成比例等信息时，我们往往会考虑利用整合这些信息． 特殊角（三角函数值） 通常把这个角放在中研究，常利用 或两种方式进行处理．
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5 ?知识点睛 1.线段间的比例关系常常与相似三角形、三角函数组合起来使 用，是边角信息相互转化的一种常用手段． 注意：当背景图形中出现三边（比例）已知的三角形时，常考虑利用相似转移此三角形中的三边比例. 2.通过作高构造直角三角形，再利用勾股定理、三角函数以及 相似解直角三角形是一种解三角形的常用方式． ?精讲精练 1.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠CAB 交BC 于 点D，过点C 作CE⊥AD 于点E，CE 的延长线交AB 于点F，过点E 作EG∥BC 交AB 于点G．若AE·AD=16，AB= 4 ，则EG 的长为． 第1 题图第2 题图 2.如图，在直角梯形ABCD 中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD， E 为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC 绕点C 顺时针旋 转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF，连接EF，交CD 于点M．若BC=5，CF=3，则DM:MC 的值为． 3.如图，在△ABC 中，已知∠CAB=46°，∠C=100°，AD 是 ∠CAB 的平分线，点 E 在AC 上，AB=9，AD=6，AE=4，则∠CDE 的度数为． 3
几何结构之直角、平行（讲义） ? 知识点睛 1. 几何综合问题的处理思路 （1）标注条件，合理转化 （2）组合特征，分析结构 （3）由因导果，执果索因 一般遇到求线段比值的问题时，往往考虑利用相似来解决问题；借助“直角”“平行线”特征可以构造相似三角形． 2. （1）直角结构之“斜直角放正” E D C B A E D C B A 构造一线三等角 构造类“弦图”相似 得到△ADB ∽△BEC 得到△AEB ∽△BDC M N F E D C B A 构造旋转放缩，得到△EMD ∽△FND
（2）直角结构之“十字模型” F E D C B A H G F E D C B A 特征：①矩形；②BF ⊥CE 特征：①矩形；②EF ⊥GH 结论：BF AB CE BC = 结论：EF AB GH BC = G F E D C A B 特征：①平行四边形；②∠B +∠EGC =180° 结论：CF AB DE BC = 3. 平行结构之“作平行，得相似”（构造X 型、A 型） G E F D C B A
? 精讲精练 1. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3， CD =2，BC =7．若∠AED =90°，则CE =_____． A B C D 2. 如图，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD =2OA =6， AD :AB =3:1，则点C 的坐标是（） A ．(2，7) B ．(3，7) C ．(3，8) D ．(4， 8) 3. 如图，将三角板放在矩形ABCD 上，使三角板的一边恰好经过点B ，三角板 的直角顶点E 落在矩形对角线AC 上，另一边交CD 于点F ．若AB =3，BC =4， 则EF EB ________． A B C D E F E D C B A 第3题图第4题图 4. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =3，BC =5，将腰DC 绕 点D 逆时针方向旋转90°并缩短，恰好使DE =2 3 CD ，连接AE ，则△ADE 的 面积是________． 5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，将
二次函数与几何综合（讲义） 课前预习 1. 如图，直线1 12 y x = +经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，则△ABC 的面积为__________． C O A B x y 提示：利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补． 具体操作： ①过点C 作CD ∥y 轴，交AB 于点D ； ②借助C ，D 坐标求解CD 长； ③以CD 为底，则A ，B 两点间的水平距离为高，即 1 ()2 ABC ADC DBC B A S S S CD x x =+=??-△△△． 扫一扫 看视频 对答案
2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3 34 y x =-+与x 轴， y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，-2)．若点D 在直 线AB 上运动，点E 在直线AC 上运动，当以O ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时，点D 的坐标为__________． y x C B A O 提示： （1）分析定点（A ，O ），动点（D ，E ），属于两定两动的平行四边形存在性问题． （2）连接两定点得定线段，考虑：①若定线段作为平行四边形的边，则通过平移确定点的坐标；②若定线段作为平行四边形的对角线，则绕定线段中点旋转，利用中点坐标公式确定点的坐标． （3）利用函数特征和几何特征求解后，结合图形进行验证．
知识点睛 1. “函数与几何综合”问题的处理原则：_________________， _____________________． 2. 研究背景图形： ①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________． ②___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3. 二次函数之面积问题的常见模型 ①割补法——铅垂法求面积： x B -x A x B -x A B A M P P M A B 1()2APB B A S PM x x =??-△ 1 () 2APB B A S PM x x =??-△ ②转化法——借助平行线转化： P A B Q Q B A P 若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ， 当P ，Q 在AB 同侧时， 当P ，Q 在AB 异侧时， PQ ∥AB ． AB 平分PQ ．
几何最值及路径长（讲义） 一、知识点睛 1. 解决几何最值问题的通常思路 ①分析定点、动点，寻找不变特征； ②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题； 若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题． 转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢． 理论依据： 两点之间，线段最短（已知两个定点） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线） 三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定） 过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦 常用模型、结构示例： ①奶站模型 P A B l B' B' l B A P 求P A +PB 的最小值， 求|P A -PB |的最大值， 使点在线异侧 使点在线同侧 ②天桥模型 N M B' l B A 固定长度线段MN 在直线l 上滑动，求AM +MN +BN 的最小值，需平移BN （或AM ），转化为奶站模型解决
③折叠求最值结构 A M A' N B C 求BA ′的最小值，转化为求BA ′+A ′N +NC 的最小值（利用A ′N +NC 为定值） 2. 解决路径长问题的思路 ①分析定点、动点，寻找不变特征； ②猜测、验证，确定运动路径； 猜测常通过“起点、终点、特殊点”， 结合不变特征验证． ③设计方案，求出路径长． 二、精讲精练 1. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3)，点C 的坐标为 (1 2 ，0)，点P 为斜边OB 上一动点，则PA +PC 的最小值 为___________． y x P C B A O Q P E D C B A 第1题图 第2题图 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，E 为CD 边的中点．若 P ，Q 为BC 边上的两动点，且PQ =2，则当BP =_______时，四边形APQE 的周长最小．
反比例函数与几何综合（讲义） 一、 知识点睛 1．“反比例函数与几何综合”的思考流程： 注：“关键点”是信息汇聚点，通常是几何图形和函数图象的交点． 2．与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． C A ①B y=k x O y x D C A x y O y= k x B 结论：2ABO ABCO S S k ==△矩形 结论：OCD ABCD S S =△梯形 ②D x y O y=k x A B C O A B C D x y 结论：AB =CD ③y x O E D C B A y=k x 表达 分析 转 建等式 建等式
A B O C D x y l 二、 精讲精练 1. 如图，已知第一象限内的图象是反比例函数1 y x =图象的一个 分支，第二象限内的图象是反比例函数2 y x =-图象的一个分 支，在x 轴上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A ，B ，过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ．若四边形ACDB 的周长为8，且AB 圆中计算及综合训练（讲义） 课前预习 1.半径为r的圆的周长为__________，面积为__________． 2.如图，圆心角为n°的扇形的弧长为_______，面积为________． 3.已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为120°，则圆的 半径为____________． 4.默写圆周角定理的相关推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：________________________________________； _______________________________________________． 推论3：圆内接四边形对角互补． 5.我们知道扇形能够围成圆锥，如图，从半径为4的⊙O上剪下 一个圆心角度数为n的扇形，用其围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰好相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n的值为__________． 6.根据给出的圆锥的相关信息，画出圆锥的三视图，并标注相关 线段长． 知识点睛 主视图左视图 俯视图 1.圆中的计算公式 弧长公式：____________________． 扇形面积公式：①________________；②________________．圆锥的侧面积公式：_________________________________．圆锥的全面积公式：__________=__________+__________．扇形及其所围圆锥间的等量关系： ①________________________________________________； ②________________________________________________． 2.圆中处理问题，通常的思考方向有： ①找圆心、连半径； ②遇弦，作垂线，_____________配合___________建等式； ③遇直径找直角，由直角找______________；（此处直角为圆 周角） ④遇切线，____________； ⑤由弧找角，由角看弧． 精讲精练 n n n n n n n n n n n n n n n n 概率综合（讲义） ? 知识点睛 一、二项式定理 1. 基本概念 （1） 二项式定理 (a + b )n = C 0 a n + C 1 a n -1b + + C k a n -k b k + + C n b n ． （2） 通项 二项展开式中的C k a n -k b k 叫做二项展开式的通项，用T 表 n 示，即通项为展开式的第k +1 项： k +1 T k +1 = C k a n -k b k （ k = 0 ，1， ，n ）． （3） 二项式系数 在二项展开式中各项的系数C k （ k = 0 ，1， ，n ）叫做二项 展开式中各项的系数． 2. 性质 3. 各二项式系数的和 已知 (1+ x )n = C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + + C k x k + + C n x n （ n ∈ N * ）． 令 x = 1，得C 0 + C 1 + C 2 + + C k + + C n = 2n （ n ∈ N * ）． 二、概率 古典概型：P (A )= 几何概型：P(A)= ． 1 3 x x 2 ? ? 精讲精练 1. (2 - 1 )6 的展开式中的第四项是 ． ? 2. 在 - ? 2 2 ?6 ? ? 的二项展开式中， x 2 的系数为（ ） A ． - 15 4 B ． 15 4 C. - 3 8 D. 3 8 3. 计算下列各式的二项展开式中指定各项的系数： （1） (x + 2)6 的展开式中 x 3 的系数是 ； （2） ? 1 ? ?5 x - 2 y ? ? 的展开式中 x 2 y 3 的系数是 ； （3） ? x 2 - ? 2 ?5 x 3 ? 的展开式中的常数项是 ． 4. (x 2 + x + y )5 的展开式中， x 5 y 2 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 5. 计算下列各式的二项展开式中指定各项的系数： （1） ?1+ x + 1 ?10 ? 的展开式中 x 2 项的系数是 ； ? x 2015 ? x圆中计算及综合训练(讲义及答案)
概率综合(讲义及答案)
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