（通用版）高考数学复习专题四数列4.1数列基础题练习理
命题角度1求数列的通项公式
高考真题体验·对方向
1.(2016浙江·13)设数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则
a1=,S5=.
答案1121
解析由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,
所以a1=1,a2=3.
再由a n+1=2S n+1,a n=2S n-1+1(n≥2),
得a n+1-a n=2a n,即a n+1=3a n(n≥2).
又因为a2=3a1,所以数列{a n}是以1为首项,3为公比的等比数列.
所以S5==121.
2.(2015全国Ⅱ·16)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=.
答案-
解析由a n+1=S n+1-S n=S n S n+1,得=1,即=-1,则为等差数列,首项为=-1,公差为d=-1,∴=-n,∴S n=-.
典题演练提能·刷高分
1.(2019四川广元万达中学、八二一中学高一下学期期中考试)设数列{a n}中,已知
a1=1,a n=1+(n>1),则a3=()
A. B. C. D.2
答案 C
解析因为a1=1,a n=1+(n>1),所以a2=1+=2,a3=1+.故选C.
2.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2+n,则a5=.
答案14
解析由题意得a5=S5-S4=×52+-×42+2=14.
3.已知S n是数列{a n}的前n项和,且log3S n+1=n+1,则数列{a n}的通项公式为. 答案a n=
解析由log3(S n+1)=n+1,得S n+1=3n+1,
当n=1时,a1=S1=8;
当n≥2时,a n=S n-S n-1=2×3n,
所以数列{a n}的通项公式为a n=
4.已知数列{a n}前n项和为S n,若S n=2a n-2n,则S n=.
答案n·2n
解析∵S n=2a n-2n=2(S n-S n-1)-2n,整理得S n-2S n-1=2n,
等式两边同时除以2n有=1,
又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2,
所以数列b n=可看作以1为首项,1为公差的等差数列,所以=n,所以S n=n·2n.
5.已知数列{a n}的前n项和是S n,且a n+S n=3n-1,则数列{a n}的通项公式a n=. 答案3-n-2
解析由题得a n+S n=3n-1①,
a n-1+S n-1=3n-4②,
两式相减得a n=a n-1+,
∴a n-3=(a n-1-3),
∴{a n-3}是一个等比数列,
所以a n-3=(a1-3)n-1=(1-3)n-1,
∴a n=3-n-2.
故填3-n-2.
命题角度2等差数列基本量的运算高考真题体验·对方向
1.(2019全国Ⅰ·9)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()
A.a n=2n-5
B.a n=3n-10
C.S n=2n2-8n
D.S n=n2-2n
答案 A
解析由题意可知,解得故a n=2n-5,S n=n2-4n,故选A.
2.(2018全国Ⅰ·4)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()
A.-12
B.-10
C.10
D.12
答案 B
解析因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.
3.(2017全国Ⅰ·4)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()
A.1
B.2
C.4
D.8
答案 C
解析设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得
①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.
4.(2017全国Ⅲ·9)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()
A.-24
B.-3
C.3
D.8
答案 A
解析设等差数列的公差为d,则d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24,故选A.
5.(2019全国Ⅲ·14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=. 答案 4
解析设等差数列{a n}的公差为d.
∵a1≠0,a2=3a1,
∴a1+d=3a1,即d=2a1.
∴=4.
典题演练提能·刷高分
1.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=7,S3=12,则a10=()
A.10
B.28
C.30
D.145
答案 B
解析由题意,设等差数列的首项为a1,公差为d,则解得所以a10=a1+9d=1+9×3=28,故选B.
2.(2019四川百校高三模拟冲刺)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S7=28,则a4=()
A.4
B.7
C.8
D.14
答案 A
解析S7==7a4=28,故a4=4.故选A.
3.我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少
钱?”(“钱”是古代一种重量单位).这个问题中,等差数列的通项公式为()
A.-n+(n∈N*,n≤5)
B.n+(n∈N*,n≤5)
C.n+(n∈N*,n≤5)
D.-n+(n∈N*,n≤5)
答案 D
解析依题意甲、乙、丙、丁、戊所分得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,
由题意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,
所以a=-6d,
又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,所以a=1,
所以此等差数列首项为,公差为-,故通项公式为a n=-n+(n∈N*,n≤5),故选D.
4.在等差数列{a n}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以S n表示{a n}的前n项和,则使S n达到最大值的n是()
A.21
B.20
C.19
D.18
答案 B
解析因为a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,所以a3=35,a4=33,
从而d=-2,a1=39,S n=39n+n(n-1)(-2)=-n2+40n,
所以当n=20时,S n取最大值,故选B.
5.(2019广东潮州高三二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:“今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.”意思是:“现有一根金锤,长5尺,头部1尺,重4斤,尾部1尺,重2斤”,若该金锤从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,该金锤共重多少斤?()
A.6斤
B.7斤
C.9斤
D.15斤
答案 D
解析因为每一尺的重量构成等差数列{a n},a1=4,a5=2,∴a1+a5=6,数列的前5项和为
S5=5×=5×3=15.即金锤共重15斤,故选D.
6.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6>S7>S5,则满足S n S n+1<0的正整数n的值为()
A.10
B.11
C.12
D.13
答案 C
解析∵S6>S7>S5,
∴6a1+d>7a1+d>5a1+d,
∴a7<0,a6+a7>0,
∴S13==13a7<0,S12==6(a6+a7)>0,
∴满足S n S n+1<0的正整数n的值为12,故选C.
7.设等差数列{a n}满足a2=7,a4=3,S n是数列{a n}的前n项和,则使得S n>0的最大的自然数n是()
A.7
B.8
C.9
D.10
答案 C
解析解得
所以S n=9n+×(-2)=-n2+10n,
所以-n2+10n>0,所以0 8.已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a1=-1,S10=35,则a20=. 答案18 解析∵{a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a1=-1,S10=35,∴ ∴d=1,∴a20=a1+(20-1)×1=18. 9.已知递增的等差数列{a n}的前三项和为-6,前三项积为10,则前10项和S10=. 答案85 解析∵a1+a2+a3=-6,a1a2a3=10, ∴a2=-2,a1+a3=-4,a1a3=-5. ∴a1=-5,a3=1, ∴公差为3,S10=10×(-5)+×10×9×3=85. 命题角度3等比数列基本量的运算 高考真题体验·对方向 1.(2019全国Ⅲ·5)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=() A.16 B.8 C.4 D.2 答案 C 解析设等比数列{a n}的公比为q(q>0), 则解得 所以a3=a1q2=1×22=4.故选C. 2.(2017全国Ⅱ·3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯() A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 答案 B 解析设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381,可得 x=3,故选B. 3.(2019全国Ⅰ·14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1==a6,则S5=. 答案 解析设等比数列{a n}的公比为q, 则a4=a1q3=q3,a6=a1q5=q5. ∵=a6,∴q6=q5. ∵q≠0,∴q=3. ∴S5=. 4.(2017北京·10)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=. 答案 1 解析设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q, 由题意知-1+3d=-q3=8, 即解得 故=1. 典题演练提能·刷高分 1.S n是正项等比数列{a n}的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=() A.2 B.3 C.1 D.6 答案 A 解析由题得 ∴故选A. 2.等比数列{a n}中各项均为正数,S n是其前n项和,满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=() A.9 B.15 C.18 D.30 答案 D 解析设等比数列{a n}的公比为q(q>0). ∵2S3=8a1+3a2, ∴2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a3-a2-6a1=0. ∴2q2-q-6=0,∴q=2或q=-(舍去). ∵a4=16, ∴a1==2,∴S4==30.故选D. 3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请计算此人第二天走的路程”.该问题的计算结果为() A.24里 B.48里 C.96里 D.192里 答案 C 解析由题意得此人每天走的路程构成公比为的等比数列,且前6项的和为378,求该数列的第2项.设首项为a1,则有=378,解得a1=192,则a2=192×=96(里).故选C. 4.(2019河北保定高三第二次模拟考试)等比数列{a n}中,若a n>0,a2a4=1,a1+a2+a3=7,则公比q=() A. B. C.2 D.4 答案 B 解析设等比数列{a n}的首项为a1,公比为q,且q>0.由题意可得 解得q=.故选B. 5.已知公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S3=3a3,则S5=() A.1 B.5 C. D. 答案 D 解析由题意得=3a1q2,解得q=-,q=1(舍), 所以S5=,故选D. 6.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第一天,长为3尺;莞生长第一天,长为1尺.以 后蒲的生长长度逐天减半,莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等?”以下给出 了问题的4个解,其精确度最高的是(结果保留一位小数,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)() A.1.3日 B.1.5日 C.2.6日 D.3.0日 答案 C 解析由题意可知蒲的长度是首项为3,公比为的等比数列,莞的长度是首项为1,公比为2的等比数列,设n天后长度相等,由等比数列前n项和公式有:,解得 n=log26=≈2.6.故选C. 7.在数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和,若{S n+λ}为等比数列,则λ=() A.-1 B.1 C.-2 D.2 答案 B 解析由题意{a n}是等比数列,公比为2,∴S n=2n-1,S n+λ=2n-1+λ,{S n+λ}为等比数列,则-1+λ=0,即λ=1,故选B. 8.已知递减的等比数列{a n},各项均为正数,且满足则数列{a n}的公比q的值为 () A. B. C. D. 答案 B 解析因为数列是等比数列,故得到 = =, 化简得到a1a3=,a2=. 由a1+a2+a3=+a2+a2q?q+?q=. 9.已知等比数列{a n}的首项a1=2,前n项和为S n,若S5+4S3=5S4,则数列的最大项等于 () A.-11 B.- C. D.15 答案 D 解析由已知得S5-S4=4(S4-S3)?a5=4a4?q=4,a n=2×4n-1=22n-1,所以,由函数 y=的图象得到,当n=4时,数列的最大项等于15.故选D. 10.如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,…,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小正方形的边长为. 答案 解析由题意,正方形的边长构成以为首项,以为公比的等比数列,现已知共得到1023个正方形,则有1+2+…+2n-1=1023,则n=10,故最小正方形的边长为×9=. 命题角度4等差、等比数列性质的应用 高考真题体验·对方向 1.(2016全国Ⅰ·15)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为. 答案64 解析由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5, 两式相除得, 解得q=,a1=8, 所以a1a2…a n=8n·,抛物线f(n)=-n2+n的对称轴为n=-=3.5, 又n∈N*,所以当n=3或4时,a1a2…a n取最大值为=26=64. 2.(2015广东·10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=. 答案10 解析根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5. 又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10. 典题演练提能·刷高分 1.在等差数列{a n}中,前n项和S n满足S7-S2=45,则a5=() A.7 B.9 C.14 D.18 答案 B 解析S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9,故选B. 2.(2019东北三省三校高三第三次模拟)等比数列{a n}的各项均为正数,a1=1,a1+a2+a3=7,则 a3+a4+a5=() A.14 B.21 C.28 D.63 答案 C 解析设等比数列的公比为q.∵a1=1,a1+a2+a3=7,∴a1(1+q+q2)=1+q+q2=7,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.又a n>0,∴q=2.∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4×7=28.故选C. 3.已知等比数列{a n}中,a5=2,a6a8=8,则=() A.2 B.4 C.6 D.8 答案 A 解析∵数列{a n}是等比数列,∴a6a8==8,∴a7=2(与a5同号),∴q2=,从而=q4=()2=2.故选A. 4.(2019吉林长春高三质量监测四)设S n是各项均不为0的等差数列{a n}的前n项和,且S13=13S7,则等于() A.1 B.3 C.7 D.13 答案 C 解析因为S n是各项均不为0的等差数列{a n}的前n项和,且S13=13S7, 所以=13×,即a7=7a4,所以=7.故选C. 5.(2019四川绵阳高三下学期第三次诊断性考试)已知{a n}是正项等比数列,且a1a8=4a5,a4与2a6的等差中项为18,则a5=() A.2 B.4 C.8 D.16 答案 C 解析设正项等比数列{a n}的公比为q,且q>0, ∵a1a8=4a5,a4与2a6的等差中项为18, ∴ 即解得 则a5=a1q4=8.故选C. 6.已知等比数列{a n}中,a2a5a8=-8,S3=a2+3a1,则a1=() A. B.- C.- D.- 答案 B 解析因为a2a5a8=-8,所以=-8,a5=-2,因为S3=a2+3a1,所以a1+a2+a3=a2+3a1,所以a3=2a1,所以q2=2,因此a5=a1q4=-2,a1==-.故选B. 7.(2019福建厦门外国语学校高三最后一模)已知公差d≠0的等差数列{a n}满足a1=1,且a2,a4-2,a6成等比数列,若正整数m,n满足m-n=10,则a m-a n=() A.30 B.20 C.10 D.5或40 答案 A 解析设等差数列的公差为d.因为a2,a4-2,a6成等比数列,所以=a2a6,即 =(a1+d)(a1+5d),即(3d-1)2=(1+d)(1+5d),解得d=0或d=3.因为公差d≠0,所以d=3.所以a m-a n=a1+(m-1)d-a1-(n-1)d=(m-n)d=10d=30.故选A. 8.(2019内蒙古高三一模)《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%.今共有粮m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为() A.20%369 B.80%369 C.40%360 D.60%365 答案 A 解析设“衰分比”为a,甲衰分得b石.由题意得解得 故选A. 9.在等差数列{a n}中,已知S8=100,S16=392,则S24=. 答案876 解析∵在等差数列中,S8=100,S16=392, ∴S8,S16-S8,S24-S16成等差数列,即2(S16-S8)=S8+(S24-S16), ∴2(392-100)=100+(S24-392),则S24=876,故答案为876. 10.(2019吉林长春北师大附中高三第四次模拟考试)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,满足 a1=1,S3=3,则S n=. 答案或n 解析由题意知,当q≠1时,S3==3,解得q=-2,此时S n=;当q=1时,a1=1,S3=3,满足题意,则此时S n=n.综上,S n=或S n=n. 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模） 已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． { 、 ~ 、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。 关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以 使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 例题： 已知tanα=4 3 ,求sinα,cosα的值 分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 4 3= α αcos sin ， 且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tanα=4 3 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=2516 cosα=5 4 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于tana=4 3,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =5 4 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 高三《一题多解 一题多变》题目 一题多解 一题多变（一） 原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0≤，得4≥m 变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0<，得4>m 变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数， ∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0?m < 40≤≤∴m 变3：182 23++=x n x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911 82 2,∈+++=x n x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++?mn y n m y - ∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 5==n m ∴ 当m y =时，08 ==m n x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m 一 题 多 解- 解不等式523<<3-x 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解 （1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-< 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a2020高考数学专题复习----立体几何专题
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