信号与系统复习题
1、描述某系统的微分方程为 y ”(t) + 5y ’(t) + 6y(t) = f (t)
y(0_)=2，y ’(0_)= -1 y(0_)= 1，y ’(0_)=0 求系统的零输入响应。 求系统的冲击相应
求系统的单位阶跃响应。 解：
2、系统方程 y (k)+ 4y (k – 1) + 4y (k – 2) = f (k)
已知初始条件y (0)=0，y (1)= – 1；激励k
k f 2)(=，k ≥0。求方程的解。 解：特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解 y h(k )=(C 1k +C 2) (– 2)k 特解为 y p(k )=P (2)k , k ≥0
代入差分方程得 P (2)k +4P (2)k –1+4P (2)k –2= f (k ) = 2k ， 解得 P =1/4
所以得特解： y p(k )=2k –2 , k ≥0
故全解为 y (k )= y h+y p = (C 1k +C 2) (– 2)k + 2k –2 , k ≥0 代入初始条件解得 C 1=1 , C 2= – 1/4
3、系统方程为 y (k) + 3y (k –1) + 2y (k –2) = f (k)
已知激励k
k f 2)(=, k ≥0，初始状态y (–1)=0, y (–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：：（1）y zi(k )满足方程
y zi(k ) + 3y zi(k –1)+ 2y zi(k –2)= 0
y zi(–1)= y (–1)= 0, y zi(–2) = y (–2) = 1/2 首先递推求出初始值y zi(0), y zi(1),
y zi(k )= – 3y zi(k –1) –2y zi(k –2) y zi(0)= –3y zi(–1) –2y zi(–2)= –1 y zi(1)= –3y zi(0) –2y zi(–1)=3 特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2
解为 y zi(k )=C zi1(– 1)k + C zi2(–2)k 将初始值代入 并解得 C zi1=1 , C zi2= – 2
y zi(k )=(– 1)k – 2(– 2)k , k ≥0
（2）零状态响应y zs(k ) 满足：y zs(k ) + 3y zs(k –1) + 2y zs(k –2) = f (k ) y zs(–1)= y zs(–2) = 0 递推求初始值 y zs(0), y zs(1)，
y zs(k ) = – 3y zs(k –1) – 2y zs(k –2) + 2k , k ≥0 y zs(0) = – 3y zs(–1) – 2y zs(–2) + 1 = 1 y zs(1) = – 3y zs(0) – 2y zs(–1) + 2 = – 1
分别求出齐次解和特解，得
y zs(k ) = C zs1(–1)k + C zs2(–2)k + y p(k )
= C zs1(– 1)k + C zs2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得
C zs1= – 1/3 , C zs2=1
y zs(k )= – (– 1)k /3+ (– 2)k + (1/3)2k ，k ≥0 4、系统的方程:
()()()()()12213 -+=-+-+k f k f k y k y k y
()()()
()()0102==-=y y k k f k ε
求系统的零输入响应。 解：
5、已知单位阶跃函数的傅里叶变换：ω
ωπδεj t 1)()(+
=←→ 求下面矩形脉冲 (门函数）的傅里叶变换，并画出其频谱图。
)2
Sa(
)2
sin(
2)(j ωτ
τω
ωτ
ω==
F
解：
6、求函数)()(t e t f t
εα=，α >0的傅里叶变换，并画出其频谱图。 7、已知矩形脉冲()t g τ的傅里叶变换如为()??
?
???=2j ωττωτSa G ，其中τ为脉冲宽度。 求信号()()()t t g t f 0cos ωτ=的傅里叶变换。 8、已知系统的微分方程为y ′(t) + 2y (t) = f (t)， 求系统的频率响应函数)(ωj H 。 求)()(t e t f t
ε-=时零状态响应y (t)。
解 ：由H (j w )的定义
则有：
则解的 ()[()]()j H j F h t h e
d ωτ
ωττ∞
--∞==?)()(2)(3)()(2ωωωωωωj F j Y j Y j j Y j f f f =++)
()
()(ωωωj F j Y j H f =2
)(3)(12
++=ωωj j
9、如图电路，R =1Ω，C =1F ，以)(t u c 为输出，求冲击相应h (t)。
u C (t)
u S (t)
C
R
解：取Uc(t)为输出，则网络函数为H （s ）=Uo(s)/Ui （s ）=1/sc/R+1/sc=1/RC*1/S+1/RC S= —1/RC
则电路的冲击响应为：U （s ）=1/sc/R+1/sc=1/RC*1/S+1/RC
若取Ic(t)为输出时，则网络函数为：H(s)=Ic(s)/Ui(s)=1/R+1/SC=1/R*S/S+1/RC
电路的零输入响应：Us=Uc （0-）/S*Ｒ/Ｒ＋１/ＳＣ＝Ｕｃ（０—）/Ｓ＋１/ＲＣ
10、求下面信号的单边拉氏变换
)cos(t ω；)sin(t ω；)()sin(t t e t εωα-；)()cos(t t e t εωα-
??
?≤≤=；其它
；如果001)(τ
t t f 解：
同理：
()0220e cos ()t s t t s αα
ωεαω-+?++R e []s α
>-Re[]s α>-0
022
sin()()t t s ωωεω?
+)(21sin jwt jwt e e j
wt --=22]11[21][sin )(w s w jw s jw s j wt LT s F +=+--==)(2
1cos jwt
jwt e e wt -+=2
2]11[
21][cos )(w s s
jw s jw s wt LT s F +=++-==][21)(21sin )()(t jw a t jw a jwt jwt at at e e j
e e j e
wt e +-------=-=2
2)(])(1)(1[21]sin [)(w a s w
jw a s jw a s j wt e LT s F at ++=++--+==-02
2
0cos()()s t t s ωεω?+
11、描述某LTI 系统的微分方程为
y "(t ) + 5y '(t ) + 6y (t ) = 2f '(t)+ 6 f (t) 求系统函数H （s ）
已知初始状态y(0-) = 1，y'(0-)= -1，求零输入响应 求)()(t e
t f t
εα-=时系统的零状态响应
解： 方程取拉氏变换：)0()0()(,
2----y sy s Y s
)(6)(2s F s sF +=
整理得：
12
F
请画出系统在s 域的框图。 求系统函数H(s)。
求系统的冲击响应。∑
解：解 画出s 域框图，设最右边积分器输出为X(s)
s2X(s) = F(s) – 3sX(s) – 2X(s)
Y(s) = 4X(s) + s2X(s)
微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = f "(t)+ 4f (t) 方程取拉氏变换： 整理得：Y （s ）= 13、如图所示的系统
)]0()([5--+y s sY )(6s Y +)(65)
3(265)0(5)0(')0()(2
2s F s s s s s y y sy s Y ++++++++=---)(2
31
)(2s F s s s X ++=)(234
2
2s F s s s +++=1()0022
0e sin()()t
t t s αωωεαω-?++
其中11
1+=
s H ，2
11+=s H ，)()(3t t h ε=，)()(24t e t h t
ε-= 求复合系统的冲击相应h(t)。
16、已知某系统的差分方程为
y(k) – y(k – 1) – 2y(k – 2)= f (k)+2f (k – 2)
已知y( –1)=2，y(– 2)= – 1/2，f (k)= ε(k)。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。
解：方程取单边z 变换 ：Y (z)-[z-1Y (z)+y(-1)]-2[z-2Y (z)+y(-2)+y(-1)z-1]=F (z)+2z-2F (z)
得到：
17、已知一个连续系统的信号流图如下
写出系统输入输出对应的微分方程。 求系统函数
)(1s H
)(2s H
)(3s h
)(4s h
∑
f(t)
y(t)
+
-
1
2224)(212121)2(2)1()21()(2222212211---++--+=--++---+-+=------z z
z z z z z z z z F z z z z z y y z z Y )
(])1()2(2[)(122)1)(2(4)(2k k y z z
z z z z z z z Y k k zi zi ε--=→+-+-=+-+=)(]2
3
)1(212[)(12312122)(1k k y z z z z z z z Y k k zs zs ε--+=→--++-=+
写出系统的状态方程
解：由图知其微分方程为：y "(t) + 3 y '(t) + 2y(t) = 2 f '(t) +8 f (t)
由微分方程可得到：
设状态变量x 1(t)、 x 2(t)，由后一个积分器，有：
由前一个积分器，有：
则系统输出端，有 y(t) =8 x 1+2 x 2
2
3)
4(2)(2
+++=s s s s H 2
1x x = f x x x
+--=21232