例7.2.1试用最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，做出拟合曲线。 (1)做散点图 x=[-2.5,-1.7,-1.1,-0.8,0,0.1,1.5,2.7,3.6]; y=[-192.9,-85.50,-36.15,-26.52,-9.10,-8.43,-13.12,6.50,68.04]; plot(x,y,'r*') legend('实验数据(xi,yi)') xlabel('x'),ylabel('y') title('例7.2.1的数据点(xi,yi)的散点图') 2.CFTOOL工具箱使用 Shift+enter:换行输入 Gaussian：高斯曲线 Interpolant：最小二乘法差值 Polynomial：多项式 3.y1=polyfit(x,y,3) 拟合多项式的阶数为3 4.matlab绘制三维曲面图已知曲线关系方程 以二元函数图z = xexp(-x^2-y^2) 为例讲解基本操作， （1）首先需要利用meshgrid函数生成X-Y平面的网格数据，如下所示： % 生成二维网格数据 xa = [-2,0.2,2]; ya =[-1,0.15,1.5]; [x,y] = meshgrid(xa,ya); （2）此外，需要计算纵轴数据(z轴），如下所示： % calculate z data z = x.*exp(-x.^2 - y.^2); （3）在计算出(x,y,z)数据后，就可以使用三维绘图函数mesh绘制三维曲面图，如下所示：mesh(x,y,z); 4（2）、另一种方法： [x,y] = meshgrid(-2:0.2:2,-1:0.15:1.5); z = x.*exp(-x.^2 - y.^2); mesh(x,y,z); 5.由三组散点图绘制曲面（网格划分） xyz=[40 2 1.4 40 5 2.5 40 7 1.4 40 9 0.9 70 8 5.6 ]; tri = delaunay(xyz(:,1), xyz(:,2));
问题： 给定一组坐标(,,)g g g x y z ，1,2,g =…,n ，表示有n 个点。要求用以下二元多项式函数对所给的坐标进行拟合： ,1 1 111,1 11 (,)p q p q i j i j ij ij ij i j f x y a x y a x y ----==== =∑∑∑ 即 2111121312121222321 112 111231 112 11 123(,)q q q q i i i i q i i i iq p p p p q p p p pq a a y a y a y f x y a x a xy a xy a xy a x a x y a x y a x y a x a x y a x y a x y ------------++++= +++++++++++++++L L M L M L 设 1112121222221211,,q q p p pq p q a a a x y a a a x y a a a x y ???? ?????? ????????????=== ?????? ?????? ?? ?????????? x y A L L M M O M M M L 则函数又可表示为(,)T f =x y x Ay ，拟合的目标就是求出系数矩阵A 。 最小二乘法： 构造关于系数ij a 的多元函数： 2 112111 1 11 (,,)[(,)]()p q n n i j pq g g g g g ij g g g i j s a a f x y z a x y z ωω--=====-=-∑∑∑∑L 点（11a ，…，pq a ）是多元函数11(,,)pq s a a L 的极小点，其中g ω为权函数，默认为1，所以点（11a ，…，pq a ）必须满足方程组 0ij s a ?=? 在1g ω=的情况下，有
多项式函数对所给的坐标进行拟合: 构造关于系数a j 的多元函数: n 2 s( a i 1，L ， a pq ) g [ f(x g ，y g ) Z g ] g 1 点（311，…，a pq ）是多元函数s （a 11,L ,a pq ）的极小点，其中 g 为权函数，默 认为1,所以点（811，…，a pq ）必须满足方程组 s 3 ij f(x,y) i 1 j 3j x y ij 1,1 1 a i i 1 j 1 i 1 j 1 i X y f (x, y) a 11 a 12y 2 a 13y L q 1 a 21x a 22xy 2 a 23xy L q 1 a 2q xy M 1 i 1 i 1 2 L i 1 q 1 a i1x y 33X y a iq X y q M p 1 p 1 p 1 2 L p 1 q a p1X a p2X y a p3X y a pq X y p,q p q 即 1 x 2 x x M x p ,y y 2 y M y q ,A a 12 L a 1q a 22 L a 2q M O M a p2 L a pq a ii a 21 M a p1 则函数又可表示为 f (x, y) x T Ay ,拟合的目标就是求出系数矩阵 A 。 给定一组坐标(x g ’y g ’Z g ) , g 1,2,…,n , 表示有 n 个点。要求用以下二元 p q / i 1 j 1 g ( a j X y i 1 j 1 z g )2
在g 1的情况下，有
2 [f (X g ,y g ) Z g ] g i 2[f (X g ,y g ) i 1 j 1 Z g ]X g y g g i n 2 g i 因此可得 n n i 1 j 1 i 1 j 1 X g y g f(X g ,y g ) X g y g Z g g 1 g 1 n p q n i X g 1 y g 1 1 a X g y g 1 i 1 j X g Y g 1 Z g g 1 1 1 g 1 n p,q n i X g 1 y g 1 1 1 a X g y g i 1 j 1 X g y g z g g 1 1,1 g 1 p,q n n a i 1 j (x g y g X g y g 1 、 i 1 X y g 1z g 1,1 g 1 g 1 p,q a u (i, j) v(i, j) (i, j) (1,1),…,(p,q) 1,1 上式实际共有p q 个等式，可将这 比1(1,1) L U pq (1,1) an M O M M Un(p,q) L U pq (p,q) a pq 也就是U*a=V 的形式，其中 Un(1,1) L U pq (1,1) U M O M Un(P,q) L U pq (p,q) p q 个等式写成矩阵的形式有: v(1,1) M v( p, q) an v(1,1) a M ，V M a pq v(p,q) 2[f(X g ,y g ) 叩石If")] a ij a ij x g 1 y g 1 f (x g ,y g ) x g+g z u (i, j) n (X g g 1 1 y g 1 i 1 X g y g 1 ), v(i,j) n i 1 j 1 X g y g Z g g 1
基于曲面拟合的图像分割算法 作者：禹建东孔月萍 来源：《现代电子技术》2008年第22期 摘要：传统分割方法，在光照不均匀情况下，很难得到理想的分割结果。针对这种情况，提出一种基于曲面拟合的阈值曲面分割方法。首先利用偏离项和光顺项构造拟合曲面方程，然后使用在统一的大光顺项因子条件下求解的拟合结果，来构造自适应的偏离因子与光顺因子，最后利用这些自适应因子第二次精确拟合阈值曲面。实验表明，该方法对于照度不均匀的图像，分割结果明显优于传统全局阈值法。 关键词：图像分割；拟合；阈值曲面；B样条 中图分类号：TP391文献标识码：B 文章编号：1004-373X(2008)22-106-02 Image Segmentation Based on Surface Fitting YU Jiandong,KONG Yueping (School of Information and Control,Xi′an University of Architecture,Xi′an,710055,Chi na) Abstract：The traditional segmentation method cannot get the ideal result under the non-uniform illumination.With regard to this situation,a segmentation method using threshold surface based on surface fitting is proposed.Firstly,using deflection item and fairing item to construct the equation of fitting surface.Secondly,In order to construct the adaptive weight factors,using the result of fitting surface with more heavy fairing item,then fit the threshold surface exactly again.The experimental result shows that the method has better than traditional method. Keywords：image segmentation;fitting;threshold surface;B-spline 1 引言 图像分割是计算机视觉领域中极为重要的一环，是实现图像内容识别之前首先要完成的工作。分割效果的好坏，决定了识别正确率的高低。 传统的全局阈值法，只有在对双峰特征的图像时才有较好的效果。而当图像中存在照度不均匀、或者背景灰度变化等情况，则往往达不到令人满意的分割结果。因此自适应阈值分割技术应运而生，它主要利用图像的局部特征，根据不同的区域自适应地选取相应阈值，构造一个用于分割的阈值曲面。其中分割效果比较好的如近些年出现的基于变分的图像分割，它利用图
Matlab 曲面插值和拟合数值求导 Q：v=[ ]；t=0:0.05:4;如 何求出dv/dt;是要先拟合出曲线在求导函数吗？ A：数值计算有误差的.简单可以那么做 diff(v)./diff(t) 拟合最好了.用cftool工具做做看呢 用polyfit拟合也可以 插值和拟合都是数据优化的一种方法，当实验数据不够多时经常需要用到这种方法来画图。在matlab中都有特定的函数来完成这些功能。这两种方法的确别在于： 当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值； 当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。 插值： 对于一维曲线的插值，一般用到的函数yi=interp1(X,Y,xi,method)，其中method包括nearst，linear，spline，cubic。 对于二维曲面的插值，一般用到的函数zi=interp2(X,Y,Z,xi,yi,method)，其中method也和上面一样，常用的是cubic。 拟合： 对于一维曲线的拟合，一般用到的函数p=polyfit(x,y,n)和 yi=polyval(p,xi)，这个是最常用的最小二乘法的拟合方法。 对于二维曲面的拟合，有很多方法可以实现，但是我这里自己用的是Spline Toolbox里面的函数功能。具体使用方法可以看后面的例子。 对于一维曲线的插值和拟合相对比较简单，这里就不多说了，对于二维曲面的插值和拟合还是比较有意思的，而且正好胖子有些数据想让我帮忙处理一下，就这个机会好好把二维曲面的插值和拟合总结归纳一下，下面给出实例和讲解。 原始数据 x=[1:1:15]; y=[1:1:5];
z=[0.2 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 0.25 0.26 0.26 0.29 0.25 0.29; 0.27 0.31 0.3 0.3 0.26 0.28 0.29 0.26 0.26 0.26 0.26 0.29; 0.41 0.41 0.37 0.37 0.38 0.35 0.34 0.35 0.35 0.34 0.35 0.35; 0.41 0.42 0.42 0.41 0.4 0.39 0.39 0.38 0.36 0.36 0.36 0.36; 0.3 0.36 0.4 0.43 0.45 0.45 0.51 0.42 0.4 0.37 0.37 0.37]; z是一个5乘12的矩阵。 直接用原始数据画图如下： surf(x,y,z) title(’Original data Plot’); xlabel(’X'), ylabel(’Y'), zlabel(’Z'), colormap, colorbar; axis([0 15 0 6 0.15 0.55])
第六章 二次曲面的一般理论 教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 . 研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 . 教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 . 基本概念 二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程 2 2 2 a 11x a 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1) 所表示的曲面 . 虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号 F(x,y,z) F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14 F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 44 2 2 2 (x, y,z) a 11x 2 a 22 y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 1 (x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2 (x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z 2 a 11 x 22 a 22 y a 33 z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44
高程拟合的方法和原理(二次曲面拟合代码) By Kiseigo kiseigo https://www.doczj.com/doc/865516856.html,/lvyeqish 2011-01-06 22:37:14 '原理是用方程 h=b0+b1*x+b2*y+b3*x*x+b4*y*y+b5*x*y 来表达曲面,h指的是高程异常值，比如WGS84到bj54的高程差，然后根据6或者6个以上的公共点求出b0,b1……b5,然后如果要求某点的高程值，输入它的x,y就可以得到高程异常值h，然后利用WGS84的BLH中的H加上高程异常值就可以得到54的高程. '这个程序经过2011年01月上旬的实战精度比较高，不过存在一个弱点，就是如果北坐标比较大，如2333444.555，应该先人为的去掉最高位，这样矩阵运算才不会出异常。这是因为矩阵运算的算法不够完善。有空再解决它。 'Code By Kiseigo 2011.01.06 Option Explicit Private Sub cmdCalc_Click() Dim matA() As Double Dim matB() As Double ReDim matA(6, 5) As Double '7个已知点 ReDim matB(6, 0) As Double Call SetKnownValueAB(matA, matB) Dim arrPara() As Double 'b0,b1,b2……b6这6个参数 Call CalcB0toB6(matA, matB, arrPara) '计算b0,b1,b2……b6这6个参数
Dim Hout As Double Hout = calcHfit(11, 3, arrPara) '计算某位置的高程，这里刚好取已知点来验算 FrmMain.Caption = Format(Hout, "0.000") '结果得93.7,说明结果正确End Sub '求高程拟合(二次曲面拟合)的参数B0,B1,B2,B3,B4,B5,B6 By Kiseigo 2011.01.06 21:53 Helped by BluePan '输入matA(5,5) 最少6行，也就是最少6个已知高程点 '输入matB(5, 0) 最少6个点,这里是高程值,matB(0)是第一个点 '输出：B0toB6Out, 下标从0取起，一维数组，下标0-5 Public Function CalcB0toB6(matA() As Double, matB() As Double, B0toB6Out() As Double) '假设方程是 h=b0+b1*x+b2*y+b3*x*x+b4*y*y+b5*x*y; 方程由BluePan提供 Dim maxPt As Integer '公共点个数,要求>=6个.6表示6个点。 maxPt = UBound(matA, 1) + 1 '步骤1：加1空行,加1空列.因为矩阵运算是从1开始，麻烦 Call RedimMatrisAFrom1Nor0(matA) Call RedimMatrisAFrom1Nor0(matB) '步骤2：计算 AT * A 矩阵 Dim matAT() As Double 'A的转置矩阵 ReDim matAT(UBound(matA, 2), UBound(matA, 1)) Call MTrans(UBound(matAT, 1), UBound(matAT, 2), matA, matAT) '求A 的转置矩阵 Dim ATA() As Double 'A的转置*A ReDim ATA(UBound(matAT, 1), UBound(matA, 2)) '方阵 Call MMul(UBound(matAT, 1), UBound(matAT, 2), UBound(matA, 2), matAT, matA, ATA) '计算ATA(A的转置*A ) '步骤3：计算(A的转置*A) 的逆矩阵 Dim ATAinv() As Double 'A的转置*A 的逆矩阵 ReDim ATAinv(UBound(ATA, 1), UBound(ATA, 2)) Dim i As Integer Dim j As Integer For i = 0 To UBound(ATA, 1) For j = 0 To UBound(ATA, 2) ATAinv(i, j) = ATA(i, j) Next j
第六章 二次曲面的一般理论 教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类. 研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充. 教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念 二次曲面: 在空间,由三元二次方程 022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1） 所表示的曲面. 虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 ≡ ),,(z y x F 44 342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡ yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φ z a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φ
似水无痕 一、二次曲面移动拟合法内插DEM的原理 DEM内插就是根据参考点上的高程求出其他待定点上的高程,在数学上属于插值问题。任意一种内插方法都是基于邻近数据点之间存在很大的相关性,从而由邻近点的数据内插出待定点上的数据。移动曲面拟合法内插,是以每一待定点为中心,定义一个局部函数去拟合周围的数据点。该方法十分灵活,一般情况精度较高,计算相对简单,不需很大计算机内存,其过程如下: (1)根据实际内插要求,解算待定点P的平面坐标( xP , yp )。 (2)为了选取邻近的数据点,以待定点P为圆心,以R为半径作圆(如图1所示) ,凡落在圆内的数据点即被选用。在二次曲面内插时,考虑到计算方便,将坐标原点移至该DEM格网点P ( xP , yp ) 由于二次曲面系数个数为6,要求选用的数据点个数n > 6。当数据点i ( xi , yi )到待定点P ( xP , yp )的距离di = sqr(x i2 - .y i2 ) i < R时,该点即被选用。若选择的点数不够时,则应增大R的数值,直至数据点的个数n 满足要求。(3)选择二次曲面Z =Ax2 +B xy +Cy2 +Dx + Ey +F作为拟合面,则对应点的误差方程为 vi = Ax2 +B xy +Cy2 +Dx + Ey +F - Z i 由n个数据点列出的误差方程为v = MX - Z X = (M T PM) -1M T PZ 由于坐标原点移至该DEM格网点P ( xP , yp ) ,所以系数F就是待定点的内插高程值ZP 二、程序
采用平台：https://www.doczj.com/doc/865516856.html,,access数据库（存储已知点） 数据：10个点 程序代码： Imports System.Math Public Class Form1 Dim conn As OleDb.OleDbConnection = New OleDb.OleDbConnection Dim cmd As OleDb.OleDbCommand = New OleDb.OleDbCommand Dim adapter As OleDb.OleDbDataAdapter = New OleDb.OleDbDataAdapter Dim datareader As OleDb.OleDbDataReader '数据库连接 Dim xe As Double, ye As Double, d(9) As Double, X(9) As Double, Y(9) As Double, Z(9, 0) As Double Dim M(9, 5) As Double, P(9, 9) As Double Dim Xz(5, 0) As Double Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click
曲线拟合方法概述 工业设计 张静 1014201056 引言：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。现着重对最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS 三次曲线拟合法和基于RBF 曲线拟合法进行比较，论述这几种方法的原理及其算法，基于实例分析了上述几种拟合方法的特性，以分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。 1 曲线拟合的概念 在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。 曲线拟合(Curve Fitting)，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对(x i ,y i )，i =1，2，3…，m ，其中各x i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表 达式y =f(x)来反映量x 与y 之间的依赖关系。即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x)称作拟合函数，似的图像称作拟合曲线。 2 曲线拟合的方法 2.1最小二乘法 最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法 一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax 2+bx+c ，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小 即： δ=∑-=n i y x f i i 02) )(( 对上式求导，使其等于0，则可以求出f(x)的系数a,b,c ，从而求解出拟合函数。 2.2 移动最小二乘法 移动最小二乘法在最小二乘法的基础上进行了较大的改进，通过引入紧支概
%可用样条曲面拟合，最好对原数据整理一下，拟合的代码如下：x0=2.2:0.1:7;y0=10:5:30; z0 =[ 0.0121 0.0118 0.0129 0.1098 0.0103 0.0116 0.0116 0.0124 0.1007 0.0111 0.0110 0.0113 0.0120 0.0914 0.0119 0.0105 0.0111 0.0116 0.0820 0.0128 0.0099 0.0109 0.0112 0.0726 0.0136 0.0094 0.0107 0.0108 0.0635 0.0144 0.0090 0.0105 0.0105 0.0547 0.0151 0.0085 0.0104 0.0101 0.0465 0.0158 0.0081 0.0102 0.0098 0.0391 0.0164 0.0078 0.0101 0.0096 0.0325 0.0170 0.0075 0.0100 0.0094 0.0270 0.0174 0.0073 0.0099 0.0092 0.0228 0.0177 0.0072 0.0099 0.0091 0.0200 0.0179 0.0071 0.0098 0.0091 0.0187 0.0180 0.0071 0.0098 0.0091 0.0183 0.0180 0.0071 0.0098 0.0091 0.0179 0.0180 0.0071 0.0098 0.0091 0.0176 0.0180 0.0072 0.0099 0.0091 0.0172 0.0180 0.0072 0.0099 0.0091 0.0169 0.0180 0.0072 0.0099 0.0091 0.0165 0.0180 0.0072 0.0099 0.0091 0.0162 0.0180 0.0072 0.0099 0.0091 0.0159 0.0180 0.0073 0.0099 0.0091 0.0156 0.0179 0.0073 0.0100 0.0092 0.0154 0.0179 0.0074 0.0100 0.0092 0.0151 0.0178 0.0075 0.0101 0.0093 0.0149 0.0178 0.0076 0.0101 0.0093 0.0147 0.0177 0.0077 0.0102 0.0094 0.0144 0.0177 0.0078 0.0102 0.0095 0.0142 0.0176 0.0079 0.0103 0.0095 0.0140 0.0175 0.0081 0.0104 0.0096 0.0139 0.0174 0.0082 0.0105 0.0097 0.0137 0.0173 0.0084 0.0106 0.0099 0.0135 0.0171 0.0086 0.0107 0.0100 0.0134 0.0170 0.0089 0.0108 0.0101 0.0133 0.0168 0.0091 0.0109 0.0103 0.0131 0.0166 0.0094 0.0111 0.0105 0.0130 0.0164 0.0097 0.0112 0.0107 0.0129 0.0162 0.0100 0.0114 0.0109 0.0128 0.0160 0.0104 0.0115 0.0111 0.0128 0.0157 0.0108 0.0117 0.0114 0.0127 0.0155 0.0112 0.0119 0.0116 0.0126 0.0152
二次曲面的分类 在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成 222111222333121213132323141242343442222220a x a x a x a x x a x x a x x a x a x a x a +++++++++=即 ()1112 1311232122232141242343443132 333,,2220a a a x x x x a a a x a x a x a x a a a a x ???? ???++++= ??? ??????? ， 其中，ij ji a a =. 记123x X x x ?? ?= ? ???，那么实二次型()1112131123123212223231 32333(,,),,a a a x x x x x x x a a a x a a a x ???? ???Φ= ??? ???????的矩阵为111213212223313233a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???，通过正交线性替换X TY =，其中123y Y y y ?? ?= ? ??? ，有 122221122333(,,)''(')'x y z X AX Y T AT Y Y Y y y y λλλλλλ?? ?Φ====++ ? ?? ?， 其中123,,λλλ是实对称矩阵A 的全部特征值，它们与正交矩阵T 无关，由矩阵A 唯一确定. 这样，在上述正交线性替换X TY =下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 222112233141242343442220y y y b y b y b y a λλλ++++++=. 最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面： （一）假设123,,λλλ都非零，即0A ≠，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去 一次项后可以变为2221122330z z z d λλλ+++=的形式。进而得到： 1. 椭圆面 2223122221z z z a b c ++=； 2. 虚椭圆面 2223122221z z z a b c ++=-；
应用MATLAB 绘制二次曲面图 1、用surf 工mesh 函数绘图 Surf 函数绘制的是三维表面图，mesh 函数绘制的是三维网格图，当二次曲面方程是标准方程时，原方程式可化为),(),,(),,(x z f y z y f x y x f z ===时，我们就用这两种函数完成绘图。 例1、绘曲面①11694222=++z y x ②11694222=-+z y x ③4 9422z y x =+在区域 44,33,22≤≤-≤≤-≤≤-z y x 上的图像。 解：以上三个方程化为：941422y x z --±=、19 4422-+±=y x z 、9422y x z +=； 2、用plot3或contour3函数绘图 plot3函数绘制的是三维直角坐标曲线图，contour3函数绘制的是三维等高曲线图。 x=-2:0.1:2;y=-3:0.1:3; [x,y]=meshgrid(x,y); z1=4.*sqrt(1-(x.^2)./4-(y.^2)./9); z2=-4.*sqrt(1-(x.^2)./4-(y.^2)./9); subplot(2,3,1); plot3(x,y,z1); hold on ; plot3(x,y,z2) grid on 3、用ezsurf 或ezmesh 函数绘图 Ezsurf 函数和ezmesh 函数主要针对参数方程的三维作图函数，它们是专业作图函数，ezsurf 绘制三维表面图，ezmesh 绘制三维网格图，当二次曲面可化为参数方程时，就可以用这两种函数完成绘图。 椭球方程的参数方程为：?? ???===ββαβαsin 4cos sin 3cos cos 2z y x （ 22, *20pi pi pi ≤≤-≤≤βα） 双曲方程的参数方程为：?????-±===14sin 3cos 22t z t y t x αα （1, *20≥≤≤t pi α或1≤t ）
第六章二次曲面的一般理论 教学目的：本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念，从不同角度对二次曲面进行了分类? 研究了二次曲面的几何性质，并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式化二次曲面的一般方程为规范方程，对二次曲面进行了分类和判定，是二次曲面理论的推 广和扩充? 教学重难点：通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规 范方程,既是重点又是难点? 基本概念 二次曲面：在空间，由三元二次方程 2 2 2 a11x a22y - a33z 2a12xy - 2a13xz 2a23yz 2a14x 2a24y 2a34z a44= 0（1） 所表示的曲面? 虚元素:空间中，有序三复数组（x,y,z）叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 F（x,y,z）二 a11x2 a22y2a33Z22a12xy 2a13xz 2a23yz 2 a14x 2a24y 2 a34z a44 F1（x, y,z）=印必a^y a^z a^ F2（x,y,z）二盹乂a23y a?3Z a?4 F3（x,y,z）三33X a23y a33Z a34 F4（x,y,z）三a^x a?4y a34Z a44 ：：」（x, y,z）二印必2 a22y2 a33Z2 Za^xy Za^xz 2a23yz :：J1（x,y, z）= aux a12y a^z :：J2（x, y, z）= a^x *22 y a?3z
?：」3(x, y, z)三 a^x a 23y a 33Z ?：」4(x, y, z)三 a i4x a 24y a 34Z 即有恒等式成立:F (x, y, z) = xF 1(x, y, z) yF 2(x, y, z) zF 3(x, y,z) F 4(x, y, z) :：J (x, y, z) = x ：：、(x, y,z) y ：：」2 (x, y,z) z^(x,y, z) 缶 a i2 a i3 a i4 ' 二次曲面F(x,y,z)的系数矩阵 A = a i2 a 22 a 23 a 24 a i3 a 23 a 33 a 34 014 a 24 a 34 a 44 J 2ii a i2 a i3 而由①(x, y,z)的系数矩阵为 A* = a i2 a 22 a 23 l a i3 a 23 a 33 J 二次曲面(1)的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是F j (x,y,z), a ii a i2 a i3 a ii a i2 a ii a i3 a 22 a 23 i = aii + 822+ a 33 I 2 = + + 13 = a )2 a 22 a 23 a i2 a 22 a i3 a 33 a 23 a 33 a i3 a 23 a 33 § 6.1二次曲面与直线的相关位置 2 2 2 F(x, y,z)三 a 11x a 22y a 33z 2a 12xy 2a 13xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44 (1) x = x 0 Xt 与过点(X o , y o , z o )的直线 y = y ° Yt (2) z = Zo Zt 将⑵代入(1)得 ：：」(X,Y,Z)t 2 2〔XF i (x °, y o ,z o ) YF 2(x °, y °, zj ZF 3(x °, y °,z g )t F(x o ,y °,z °) = 0 (3) a ii a i2 a i4 a ii a i3 a i4 a 22 a 23 a 24 a i2 a 22 a 24 + a i3 a 33 a 34 + a 23 a 33 a 34 a i4 a 24 a 44 a i4 a 34 a 44 a 24 a 34 a 44 K 2 F 2(x, y,z)，F 3(x, y, z)， F 4(x, y,z)的系数。 a ii a i2 a i3 a i4 a i2 a 22 a 23 a 24 a i3 a 23 a 33 a 34 a i4 a 24 a 34 a 44 a ii a i4 + a 22 a 24 + a 33 a 34 a i4 a 44 a 24 a 44 a 34 a 44 K i
一、螺旋线 1.静态螺旋线 a=0:0.1:20*pi; h=plot3(a.*cos(a),a.*sin(a),2.*a,'b','linewidth',2); axis([-50,50,-50,50,0,150]); grid on set(h,'erasemode','none','markersize',22); xlabel('x轴');ylabel('y轴');zlabel('z轴'); title('静态螺旋线'); 2.动态螺旋线 t=0:0.1:10*pi; i=1; h=plot3(sin(t(i)),cos(t(i)),t(i),'*','erasemode','none'); grid on axis([-2 2 -2 2 0 35]) for i=2:length(t) set(h,'xdata',sin(t(i)),'ydata',cos(t(i)),'zdata',t(i)); drawnow pause(0.01) end title('动态螺旋线'); (图略)
3.圆柱螺旋线 t=0:0.1:10*pi; x=r.*cos(t); y=r.*sin(t); z=t; plot3(x,y,z,'h','linewidth',2); grid on axis('square') xlabel('x轴');ylabel('y轴');zlabel('z轴'); title('圆柱螺旋线') 二、旋转抛物面 b=0:0.2:2*pi; [X,Y]=meshgrid(-6:0.1:6); Z=(X.^2+Y.^2)./4; meshc(X,Y,Z); axis('square') xlabel('x轴');ylabel('y轴');zlabel('z轴'); shading flat; title('旋转抛物面')