《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》习题1
1．设A ，B ，C 均为非零二阶矩阵，则下列各式正确的是 （ ）
A 、AB=BA
B 、(AB)C=A(BC)
C 、若AB=0，则A=0或B=0
D 、若AB=C 则B=CA —1
2．若二元一次方程组200x y x y λ+=??-=?
有非零解，则λ= （ ） A 、1 B 、—1 C 、2 D 、—2
3．已知二元一次方程组AX=B ，A=1 00 2??????，B=21??????
，从几何变换角度研究方程组解的意义是 （ ）
A 、一个点横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向拉伸为原来2倍，得到（2，1）
B 、一个点横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向压缩为原来12
倍，得到（2，1）
C 、一个点纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向拉伸为原来2倍，得到（2，1）
D 、一个点纵坐标保持不变，横坐标沿x 轴方向压缩为原来12倍，得到（2，1）
4．设矩阵A= 4 3-3 4??????，B= b c d a ??????，若AB=E ，则b c += 。 5．设
A=1212??????，则6A 的逆矩阵是 。 6．判断矩阵M= ???12 ??
?56是否存在逆矩阵，若存在试求出其逆矩阵 7．设矩阵A= 2 03 1??????，P= 2 15 3??????
，试计算下列各题。 （1）求1P -；（2）求1P -AP
8．用矩阵方法求二元一次方程组28452
x y x y +=??
-=?。
答案
1．答案：B 。解析：由矩阵乘法的运算法则知。
2．答案：D 。解析：若λ≠—2，则方程组的解为00
x y =??=?且惟一。 3．答案：A 。解析：由矩阵A 表示的几何变换知。
4．答案：0。解析：由已知B=1A -，故33,2525b c -=
=，从而b c +=0。 5． 答案： 1 00 -1-???
???。解析：6A = 1 00 -1-??????其逆矩阵为自身。 6．答案：∵12 56=2×5-1×6=4≠0 ∴M= ???12 ??
?56存在逆矩阵M -1 M -1 =?????-4145 ?????-4246=?????-4145 ????
?-2123 。 7．（1）求1P -；（2）求1P -AP
答案：（1）∵1 3 -123151,-5 2P -???-?=∴=?
???； （2）1P -AP= 3 -1 2 0 2 1 3 -1 2 1 1 0-5 2 3 1 5 3-4 2 5 3 2 2????????????==????????????????????????
。 8． 答案：原方程组可以写成 2 184 -52x y ??????=?
???????????，记M= 2 14 -5??????， 其行列式2 1
2(5)141404 -5=?--?=-≠，∴1151 831414,2122 -77x M M y --??????????=∴==????????????????????， 即方程组的解为32x y =??
=?。
行列式跟矩阵的关系 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。 矩阵由数组成，或更一般的，由某元素组成。就是m×n 矩阵就是mn个数排成m个横行n个竖列的阵式。n×n矩阵的行列式是通过一个定义，得到跟这个矩阵对应的一个数，具体定义可以去看书。注意，矩阵是一个阵式，方阵的行列式是跟一个方阵对应一个数。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。 也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
n 阶行列式的计算方法 徐亮 （西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ） 摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运． 关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1． 定义法 应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．
知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数
二阶行列式与逆矩阵 【学习目标】了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵； 【教材解读】 一、 行列式与矩阵 1. 行列式:我们把a b A c d ??=????两边的“??????”改为“”，于是，我们把a b c d 称为二阶行列式，并称它为矩阵a b A c d ??=???? 2. 3. 矩阵与行列式的区别：矩阵a b A c d ??= ???? 表示一个数表，而行列式a b A c d =是一个数值. 二、 利用行列式求逆矩阵 设a b A c d ??= ???? ，记||a b A ad bc c d ==-.则 1. 矩阵 A 2. 当0A ≠时，1||||||||d b d b A A ad bc ad bc A c a c a A A ad bc ad bc --??-??????--??==??--????????--?? ?? 【典例剖析】 例1． 设4112A -??= ????，判断A 是否是可逆矩阵，若可逆，求出1A -. 例2． 判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求出逆矩阵 （1） 1111A -??= ???? （2）101b B ??=???? （3）1111A ??=???? 例3． 已知矩阵234b A ??= ???? 可逆，求实数b 的范围.
【自我评价】 1. 展开下列行列式，并化简 （1）10937-- （2）121m m m m +++ （3）5779 2. 矩阵00a d 可逆的条件为 . 3. 行列式(,,,{1,1,2})a b a b c d c d ∈-的所有可能值中，最大的是 . 4. 若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-??=????对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵.
矩阵、行列式和算法（20131224） 成绩 一、填空题 1.行列式 cos sin 3 6 sin cos 3 6 π π π π 的值是 . 2.行列式 a b c d （,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 . 3.将方程组203253x y z x y =?? +=??+=? 写成系数矩阵形式为 . 4.若由命题A :“ 2 2031x x ”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值围是 ． 5.若方程组111 222a x b y c a x b y c +=??+=?的解为2,1==y x ，则方程组 ?? ?=++=++03520 352222 111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程21 24 1 013 9 x x ≤-的解集为 . 7.把 22111133 33 22 2 4 x y x y x y x y x y x y +- 表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ?的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----， 其面积为 .
9.在函数()211 1 2 x f x x x x x -=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 . 11.矩阵的一种运算,???? ??++=???? ??????? ??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵??? ? ??d c b a 的作用下 变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵??? ? ??11b a 的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 . 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n = 二.选择题 13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必 要条件 14.下列选项中错误的是（ ）. A. b d a c d b c a - = B. a b c d d b c a = C. d c d b c a 33++ d c b a = D. d c b a d b c a ----- =
【课堂例题】 例1.解关于,,x y z 的方程组：13x y mz x my z m x y z ++=?? ++=??-+=? 例2.已知行列式2 40 2 101 01 D -=--，写出第一列元素的代数余子式.
【知识再现】 1.设关于,,x y z 的三元线性方程组111122223 333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=?? ++=??++=?，其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3、c 1、 c 2、c 3不全为零. 若记1 11 2 223 3 3 a b c D a b c a b c =， x D = ， y D = ， z D = 当D ，方程组有唯一解：x = ，y = ，z = . 当0D =且,,x y z D D D 至少有一个不为零时，方程组 . 当0x y z D D D D ====时，方程组 . 【基础训练】 1.方程组273514223x y z x y x y -+=?? -=??-=? 的系数行列式为 ，系数行列式的值为 . 2.已知方程组10x my z x my z m mx y z ++=-?? -+=??++=? ， (1)该方程组有唯一解，则实数m 的取值范围是 . (2)若0m =，则该方程组解的情况为 . 3.关于,,x y z 的方程组1111 22223 333(1)a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=?? ++=??++=?中，若记111 2 2233 3 a b c D a b c a b c =，则“0D =” 是“方程组(1)有无穷多组解”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 4.任写两个关于,,x y z 的线性方程组，要求满足0x y z D D D D ====，但第一个方程组要求无解，第二个方程组要求有无穷多解. ， .
线性代数 第二节逆矩阵及其运算 一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵 四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵
线性代数 （或称的逆）；其中为的倒数， a 1 1 a a -=a , 1 1 1aa a a --==在数的运算中，对于数，有 是否存在一个矩阵,. 1 1 AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵A ，1 A -使得一、逆矩阵的概念和性质 0a ≠
线性代数 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得 则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。 , AB BA E ==例1设,01011010A B -????== ? ?-???? ,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。 定义1（可逆矩阵）
线性代数 例1 设,2110A ?? = ? -?? 解 设是A 的逆矩阵,a b B c d ?? = ? ??则2110a b AB c d ????= ???-????1001?? = ? ?? 221001a c b d a b ++?????= ? ?--????求A 的逆矩阵
线性代数 ,,,, 212001a c b d a b +=??+=??? -=??-=?, ,,. 0112a b c d =??=-??? =??=?又因为 ??? ??-01120112-?? ?????? ??-0112=0112-?? ???,1001?? = ??? 所以 .1 0112A --?? = ? ?? A B A B (待定系数法)
网上搜集的计算行列式方法总结, 还算可以. 计算n 阶行列式的若干方法举例 闵 兰 摘 要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。 关键词：n 阶行列式 计算方法 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100200 10 000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足
,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明 由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a =
矩阵与行列式的相似与不同 学校：长江大学 院系：信息与数学学院 专业：信息与计算科学 姓名：郑洲 辅导老师：谢老师
【摘要】:本文中主要讨论了高等代数中矩阵和行列式的概念，并且从概念，性质以及运算几个方面阐述了行列式与矩阵的相似与不同。 【关键词】:矩阵.行列式.相似与区别 矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。数学上,一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。其重要的作用是解线性方程组和表示线性变换。 行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是由若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵。行列式是一个函数，值是一个标量。其值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负取决于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是基数。 我们先看看矩阵和行列式有哪些相似。 1.形式上比较相似：矩阵和行列式看上去比较相似，主要表现在：它们中的元素都有顺序的排成行列表，表面上看起来很相似，导致很多初学者容易把行列式和矩阵弄混淆；其次，它们中的表示方法一致，比如说行列式和 矩阵中第i行第j列的元素都用a ij表示；并且，它们对行列的称呼一致，从 上到下依次称作第一行，第二行…第n行，记作r1，r2，…r n；从左到右依次称为第一列，第二列，…第n列，记作c1，c2…c n。 2.性质上有相同点：在一个不等于0的数乘行列式或矩阵的某一行或某一列时，等于该数乘以此行或此列的每一个元素；行列式和矩阵中把一个不为0的数乘行列式或矩阵的某一行或列后可以加到另一行或列对应的元素上，即某一行（列）的k倍可以加到另一行（列）上。 3.运算上具有相同点：（1）行列式和矩阵都满足叫法交换率和结合律。可以表示为 D1+D2=D2+D1（D1+D2）+D3=D1+(D2+D3) A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) (2)行列式和矩阵满足乘法结合律，即 D1D2D3=(D1D2)D3 A（BC）=（AB）C (3)行列式适合乘法分配率，矩阵适合乘法左分配率和右分配率，也就是说 D1（D2+D3）=D1D2+D1D3（D2+D3）D1=D2D1+D3D1 A(B + C) = AB + AC (B + C)A=BA + CA 矩阵和行列式虽然说有很多相同点，但它们始终是两个不同的概念，那么矩阵和行列式有什么区别呢。 1.先从概念上可以看出:（1）n阶行列式D n是n2个数按一定顺序排列成的n行n列的方阵，其实际上是一个数，行列式在数表两端加||；而矩阵是m ×n个数按一定方式排列的m行n列数表，归根结底是一个数表，矩阵在数表两端加（）或[]。行列式是方形数表中定义，对不上方形的数表，不能讨论任何行列式的问题，而矩阵无此限制（2）行列式和矩阵行列之间存在差
沪教版(上海) 高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行 列式初步本章复习题 一、填空题 (★) 1. 二元一次方程组的增广矩阵是___________． (★) 2. 方程的实数解是________． (★★) 3. 若的三个顶点坐标为，其面积为________． (★★) 4. 设，计算：________． (★★) 5. 若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ______ ． (★★) 6. 将表示成一个三阶行列式为________． (★★) 7. 函数的最大值是_________． (★★) 8. 计算：__________． 二、双空题 (★★) 9. 若，，，，则______，______． (★★)10. 已知矩阵，矩阵，向量经过矩阵A变换为向量_______，变换后的向量与原向量关于直线__________对称． 三、单选题 (★★★) 11. 三阶行列式的两行成比例的是这个行列式的值为零的（） A．充分条件B．充要条件C．必要条件D．非充分非必要条件(★★) 12. 若，则 x的值是（）． A．1B．C．D．
(★) 13. 已知，则（）． A．B．C．D． (★) 14. 已知是阶矩阵，，则下列结论中错误的是（）． A．B． C．D． 四、解答题 (★★) 15. 已知矩阵，，，计算： （1）； （2）； （3）． (★★★) 16. 关于的二元一次方程组有唯一一组正解，求实数 a的取值范围．(★★) 17. 用矩阵变换的方法解方程组：. (★★) 18. 已知矩阵，定义其转置矩阵．若 ，写出 A的转置矩阵，并求行列式与．说明两者有什么关系． (★★★) 19. 已知．求证：三点共线的充要条件是 ．
计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式 例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++． 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑
矩阵与行列式知识梳理 一、矩阵的概念 1 将mn 个实数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的矩形数表(通常用圆括号把数表括起来)： ?? ? ? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211称为一个m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵，用______表示. 简记为_____.数ij a 称为矩阵的元素. 几种特殊类型的矩阵：行矩阵、列矩阵、方阵、单位矩阵、零矩阵. 2 对于关于y x ,的线性方程组?? ?=+=+222111c y b x a c y b x a ，则矩阵??? ? ??2211 b a b a 称为该线性方程组的系数矩阵. 矩阵??? ? ??22 2 111 c b a c b a 称为该线性方程组的增广矩阵. 3 矩阵的三种变换： (1) (2) (3) 4 矩阵变换的目的是将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，其增广矩阵的最后一列就是方程组的解. 二、二阶行列式 1 定义：我们用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -，即 12212 2 11b a b a b a b a -=，记号 2 2 11b a b a 叫做行列式，因为它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式. 1221b a b a -叫做行列式 2 2 11b a b a 的展开式，其计算结果叫做 2 2 11b a b a 的值.1a 、2a 、1b 、2b 都叫做行列式 2 2 11b a b a 的元素. 2 对角线法则：二阶行列式的展开式是主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积. 3作为判别式的二阶行列式：关于x 、y 的二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a ①其中1a 、2a 、 1b 、2b 不全为零，行列式2 2 11b a b a D = 叫做方程组①的系数行列式. 设2 2 11b c b c D x = ，
第 九 章 矩阵和行列式初步 格致中学 王国伟 第一课时 9.1 矩阵的概念（1） [教学目标] 1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题； 2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念； 3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念； 4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。 [教学重点] 1、与矩阵有关的概念； 2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。 [教学难点] 学习矩阵的目的。 [教学过程] 一、情境设置、引入： 引例1：已知向量()1,3OP =，如果把的坐标排成一列，可简记为13?? ??? ； 引例2：2008 我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128?? ? ? ??? ； 引例3：将方程组231 324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为 2332441m n ?? ?- ? ? -?? ；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ?? ? - ? ?-??。 二、概念讲解：
1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ? -? ?这样的矩形数表 叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数 组成的向量12 n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵， m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ? ? ? ?? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第 j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为一个23 ?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列）， 可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个 n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余 元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ???为2阶单位矩阵，矩阵100010001?? ? ? ? ?? 为 3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1定义法 (1) 2利用行列式的性质 (23) 化三角形行列式 (3) 4行列式按一行（列）展开 (4) 5 升阶法 (5) 6 递推法 (6) 7 范德蒙德行列式 (7) 8 拉普拉斯定理 (7) 9 析因法 (8) 小结 (10) 参考文献 (11)
n阶行列式的计算方法 学生姓名:孙中文学号：20120401217 数学与计算机科学系数学与应用数学专业 指导老师:王改霞职称：讲师 摘要：行列式是高等代数中最基本也是最重要的内容之一，是高等代数学习中的一个难点.本文主要探讨一般n阶行列式的计算方法和一些特殊的行列式求值方法.如：化三角形法、拉普拉斯定理法、升阶法等.总结了每种方法的行列式特征. 关键词：行列式；定义；计算方法 Abstract: Determinant is one of higher algebra the most fundamental and important content, is a difficult point in Higher Algebra Learning. This paper mainly discusses the general order determinant of calculation method and some special determinant evaluation method. Such as: triangle method, method of Laplace theorem, ascending order method. This paper summarizes the determinant of the characteristics of each method. Keywords: Determinant ;Definition ;Calculation method 引言 行列式是高等代数的一个非常重要的内容，同时它也是非常复杂的.它的计算方法多种多样.在我们本科学习中只解决了一些基本的有规律的行列式.当遇到低阶行列式时，我们可以根据行列式的性质及其定义便能计算得出结果.但对于一些阶数较大的n阶行列式来说，用定义法就行不通了，本文根据各行列式的特征总结了一些对应方法. 1定义法 n阶行列式计算的定义：
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
第9章 矩阵和行列式初步 一、 矩阵 9.1 矩阵的概念 矩阵及其相关的概念 1、矩形数表叫做矩阵 矩阵中的每个数叫做矩阵的元素 由个数排成的行列的数表 n m ?m n ()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==mn m m n n a a a a a a a a a 21 2222111211称为矩阵. n m ?记作?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2122221 11211n m ij a ?=)( 2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。? ?? ? ??-1321它是2行2列的矩阵，记为 2 2?A ，矩阵 可简记为A n m A ?注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”. 列元素。 行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 。 等，或者必要时可记为n m ij n m n m a B A ???)(,
说明： 通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有 下列三种： （1）互换矩阵的两行 （2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数 （3）某行乘以一个数加到另一行 通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。
9.2 矩阵的运算 矩阵 列的矩形表，称为一个行排列成一个个数由n m n m n j m i a n m ij ?==?) ,,2,1;,2,1( 11 12121 2221 2 .....................n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? 记为列元素。 行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 ,()m n m n ij A B a ??必要时可记为等，或者A=。 0m n O O ?所有元素均为的矩阵，称为零矩阵，记作或定义1一、复习 定义2若两个矩阵A ，B 有相同的行数与相同的列数，并且对 应的位置上的元素相等，则称矩阵A 与矩阵B 相等。记为：A=B n m ij n m ij b B a A ??==)(,)(即如果,(1,2,...,;1,2,...,) ij ij a b i m j n ===且则A=B 。 ...)3,2,1,...;3,2,1(===j i b a ij ij 二、矩阵的运算 （一）矩阵的加（减）法和数与矩阵的乘法 3(),()ij ij m n A a B b m n A B ==定义两个行列矩阵对应位置元素相加(或相减）得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和（差）。A-B A B +记为或（）。 A B ±即 ()()ij m n ij m n a b ??=±()ij ij m n a b ?=± 定义4以实数乘矩阵A 中的每一个元素所得到的矩阵，称为实数与矩阵A 的乘积矩阵．记做A A α即 ()ij m n a α?=()ij m n a α?=的负矩阵的元素变号，称为的乘积使与A A A 1-A -记作n m ij a A ?-=-)(即 α)(ij a =αα1A 1A A 2A B A B αααααα=+=+注意：（）矩阵与实数相乘满足如下交换率和分配律：（）（）（）
二阶行列式与逆矩阵 【教学目标】 了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵 【教学重难点】 1．掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵 2．运用行列式求逆矩阵 【教学过程】 一、行列式与矩阵 行列式：我们把a b A c d ??=????两边的“??????”改为“”，于是，我们把a b c d 称为二阶行列式， 并称它为矩阵a b A c d ??=????的行列式，它的结果是一个数值，记为||det()a b A A ad bc c d ===-。 计算方法：主对角线上两数之积减去副对角线上两数之积。 矩阵与行列式的区别：矩阵a b A c d ??=? ???表示一个数表，而行列式a b A c d =是一个数值。 二、利用行列式求逆矩阵 设a b A c d ??=????，记||a b A ad bc c d ==-。则 矩阵A 可逆的充要条件：||0a b A ad bc c d ==-≠。 当0A ≠时，1||||||||d b d b A A ad bc ad bc A c a c a A A ad bc ad bc --??-??????--??==??--???????? --???? 三、典例剖析 设4112A -??=???? ，判断A 是否是可逆矩阵，若可逆，求出1A -。 判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求出逆矩阵
（1） 1111A -??=???? （2）101b B ??=???? （3）1111A ??=???? 已知矩阵234b A ??=? ???可逆，求实数b 的范围。 四、课堂练习 展开下列行列式，并化简 （1） 10937-- （2）121m m m m +++ （3）5779 矩阵 00a d 可逆的条件为 。 行列式(,,,{1,1,2})a b a b c d c d ∈-的所有可能值中，最大的是 。 若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-??=???? 对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩
n阶行列式的计算方法 姓名： 学号： 学院： 专业： 指导老师： 完成时间：
n阶行列式的计算方法 【摘要】 本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了几种计算行列式的常用方法。例如：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，数学归纳法与递推法，加边法，利用多项式性质法，拉普拉斯定理的应用。但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的.一个行列式可能有几种解法，或者在同一个行列式的计算中将同时用到几种方法以简便计算。这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。 【关键词】 n阶行列式行列式的性质数学归纳法递推法加边法
Some methods of an n-order determinant calculation 【Abstract】In this paper, considering the characteristics of determinant, it provides several commonly used methods to calculate the determinant by applying the properties of the determinant . For example ：The direct method of calculation by using the determinant definition . The method of changing the determinant into a triangular determinant According to the properties of the determinant. The method of expanding the determinant by line (column) .using the known formula , the mathematical induction, recursive Method , adding the edge method, using the properties of polynomial , the application of Laplace theorem. These methods are not independent of each other ,but interrelated. There is probably that a determinant has several solutions, or in the calculation of the same determinant there will be used several methods to calculate simply. This requires us to grasp several solution of the determinant，and to find the easiest ways after, so simplify complex issues . 【Key words】n-order determinant the property of the determinant the mathematical induction adding the edge method