【最新整理,下载后即可编辑】
作业习题
1、求下列函数的导数。
(1)223)1(-=x x y ; (2)x
x y sin =; (3)bx e y ax sin =;
(4))ln(22a x x y ++=;(5)11arctan -+=x x y ;(6)x
x
x y )1(
+=。 2、求下列隐函数的导数。 (1)0)cos(sin =+-y x x y ;(2)已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程??
?-=-=)
cos 1()
sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy
与二
阶导数22dx
y d 。
4、求下列函数的高阶导数。
(1),αx y =求)(n y ; (2),2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。
(1))0(,>=x x y x ; (2)2
1arcsin x
x y -=
。
6、求双曲线122
22=-b
y a x ,在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。
7、用定义求)0(f ',其中?????=,
0,1sin )(2
x
x x f .0,
0=≠x x 并讨论导函数的连续性。
作业习题参考答案: 1、(1)解:])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-=
)37)(1(222--=x x x 。
(2)解:2
sin cos )sin (x x
x x x x y -=
'='。 (3)解:bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='='
)cos sin (bx b bx a e ax +=。
(4)解:][1
])[ln(222
222'++++=
'++='a x x a x x a x x y
])(21
1[1222
222'+++++=a x a x a x x
]2211[12
22
2x a
x a
x x ?++++=
]1[1
2
2
2
2
a x x
a
x x ++
++=
2
2
1
a x +=。
(5)解:)11
()
1
1(11)1
1
(arctan 2'-+-++='-+='x x x x x x y 1
1
)1()1()1()1(2)1(2
222+-=-+--?+-=x x x x x x 。
(6)解:)(])1[(1ln '='+='+x x
x x
e x
x y ]1ln )1()1()1([)1(2x x x x x x x x x x x +-+-+?++= )1ln 11()1(x
x x x x x +-++=。
2、(1)解:两边直接关于x 求导得
0)1)(sin(cos sin ='++++'y y x x y x y
)
sin(sin )sin(cos y x x y x x y y ++++-='。
(2)解:将0=x 代入原方程解得,1=y
原方程两边直接关于x 求导得 0='++'y x y y e y ,
上方程两边关于x 再次求导得 ,02)(2=''+'+''+'y x y y e y e y y 将0=x ,,1=y 代入上边第一个方程得1)0(--='e y , 将0=x ,,1=y 1)0(--='e y 代入上边第二个方程得2)0(-=''e y 。 3、解:
),cos 1(t a dt dx -=t a dt dy sin =; 2
cot )cos 1(sin t t a t a dt dx dt dy dx dy =-==; 2csc
41)cos 1(1)212csc ()(4222t a t a t dx
dt dx dy dt d dx y d -=-?-=?=。
4、(1)解:1-='ααx y ;2)1(--=''αααx y ;……
依此类推)1(,)1()1()(≥+--=-n x n y n n αααα 。 (2)解:设,,2sin 2x v x u ==
则)50,,2,1)(2
2sin(2)
( =?+=k k x u k k π
,
),50,,4,3(0,2,2)( ===''='k v v x v k
代入萊布尼茨公式,得
2)2
482sin(2!249502)2
492sin(250)2502sin(2)2sin (4849250)
50(2)50(??+??+
??+?+??+==π
π
πx x x x x x x y )2sin 2
1225
2cos 502sin (2250x x x x x ++-=。
5、(1)解:),1(ln )(ln +='='x x e y x x x dx x x dy x )1(ln +=.
(2)解:]122arcsin 111
[
112
22
2x
x x x x x y --?
----=
'
2
322)
1(arcsin 1x x x x -+-=
;
=
'=dx y dy dx x x x x 2
322)
1(arcsin 1-+-。
6、解:首先把点
)
3,2(b a 代入方程左边得
1343422
222222=-=-=-b
b a a b y a x ,即点)3,2(b a 是切点。 对双曲线用隐函数求导得,,0222222y
a x
b y b y y a x ='?='-
过点)3,2(b a 的切线的斜率为,3232)3,2(2
2a
b b
a a
b b a y =
='
故过点)3,2(b a 的切线方程为)2(323a x a
b b y -=
-;
过点)3,
2(b a 的法线方程为)2(233a x b a
b y --
=-。 7、解:,01sin 1sin
0)0()()0(lim lim lim
200===--='+++
→→→+x x x x x x f x f f x x x 同理0)0(='-f ;故0)0(='f 。
显然x
x
x x
x x x
x x f 1
cos 1sin 211cos 1sin 2)(22-=?-='在0≠x 点连续,因
此只需考查)(x f '在0=x 点的连续性即可。但已知x
1cos 在0=x 点不连续,由连续函数的四则运算性质知)(x f '在0=x 点不连续。
讨论习题:
1、 设,)3()(-=x x x x f 求)(x f '。
2、 求和n n x n x x x S 2322232++++= 。
3、 设函数)(x f 在]1,1[-上有定义,且满足,11,)(3≤≤-+≤≤x x x x f x
证明)0(f '存在,且1)0(='f 。 讨论习题参考答案: 1、解:因为
??
?
??---=),3(),3(),3()(222x x x x x x x f
.
0,30,
3<<≤≥x x x
易知)(x f 在开区间),3()3,0()0,(+∞??-∞内都是可导的;又 对于分段点0=x ,3=x ,有
00
)3(0)0()()0(20
0lim lim
=--=--='++
→→+x x x x f x f f x x ,
00)3(0)0()()0(20
0lim lim
=--=--='--
→→-x x x x f x f f x x ,即0)0(='f ;
930
)3()3(2323lim lim ==---='+
+→→+x x x x f x x ,
9)(30
)3()3(2323lim lim -=-=---='-
-→→-x x x x f x x ,即)3(f '不存在;
所以除3=x 之外)(x f 在区间),3()3,(+∞?-∞內均可导,且有
??
?
??--=',36,0,
63)(22x x x x x f
).
3,0(,0),
,3()0,(∈=+∞?-∞∈x x x
2、解:因为x
x x x x n n
--=+++++1111
2
,
2
12)1()1(1)1(x nx x n x x x n n n
-++-=
'++++?+ , 2
11
2)1()1(1321x nx x n nx
x x n n n -++-=
++++?+- ;
]1)1()122([)
1(])1()1([})
1()1(1[])321([)32()321(32212223
2
2
12
1
123212132223222--++-+--='-++-='-++-?='++++='++++=++++=++++=?+++++---x x n x n n x n x x x nx x n x x x nx x n x x nx x x x x nx x x x x x n x x x x n x x x S n n n n n n n n n n n n
3、证:由,11,)(3≤≤-+≤≤x x x x f x 可知当0=x 时,0)0(0≤≤f ,
即0)0(=f 。又
)0,11(,0)0()()(3≠≤≤-+≤--=≤x x x
x x x f x f x x f x x ; 已知130
0lim lim =+=→→x x
x x x x x ,由两边夹定理可得 10)
0()()0(lim 0
=--='→x f x f f x 。
思考题:
1、 若)(u f 在0u 不可导,)(x g u =在0x 可导,且)(00x g u =,则 )]([x g f 在0x 处( ) (1) 必可导,(2)必不可导,(3)不一定可导。
2、 设)(x g '连续,且)()()(2x g a x x f -=,求)(a f ''。 思考题参考答案:
1、 解:正确选择是(3)
例如:u u f =)(在0=u 处不可导;若取x x g u sin )(==在0=x 处可导,则x x g f sin )]([=在0=x 处不可导;即(1)不正确。又若取
4)(x x g u ==在0=x 处可导,则有44)]([x x x g f ==在0=x 处可导。
即(2)也不正确。
2、 解:因为)(x g 可导,所以)()()()(2)(2x g a x x g a x x f '-+-='
又因为)(x g ''不一定存在,故用定义求)(a f '',
)
(2)]
()()(2[)
()
0)(()
()()(lim lim lim
a g x g a x x g a
x x f a f a
x a f x f a f a
x a x a
x ='-+=-'=='-'-'=''→→→