第13讲动力学图像问题
基础复习
1．常见的动力学图像
v-t图像、a-t图像、F-t图像、F-a图像等。
2．动力学图像问题的类型
3．解题策略
(1)问题实质是力与运动的关系，解题的关键在于弄清图像斜率、截距、交点、拐点、面积的物理意义。
(2)应用物理规律列出与图像对应的函数方程式，进而明确“图像与公式”“图像与物体”间的关系，以便对有关物理问题作出准确判断。
4．解决图象综合问题的关键
(1)分清图象的类别：即分清横、纵坐标所代表的物理量，明确其物理意义，掌握物理图象所反映的物理过程，会分析临界点。
(2)注意图线中的一些特殊点所表示的物理意义：图线与横、纵坐标的交点，图线的转折点，两图线的交点等。
(3)明确能从图象中获得哪些信息：把图象与具体的题意、情境结合起来，再结合斜率、特殊点、面积等的物理意义，确定从图象中反馈出来的有用信息，这些信息往往是解题的突破口或关键点。
【特别提醒】
分析图象问题时常见的误区
(1)没有看清横、纵坐标所表示的物理量及单位。
(2)没有注意坐标原点是否从零开始。
(3)不清楚图线的点、斜率、面积等的物理意义。
(4)忽视对物体的受力情况和运动情况的分析。
考点解析
例1-1 如图甲所示，光滑水平面上的O处有一质量为m＝2 kg的物体。物体同时受到两个水平力的作用，F1＝4 N，方向向右，F2的方向向左，大小如图乙所示。物体从静止
开始运动，此时开始计时。求：
(1)当t＝0.5 s时物体的加速度大小；
(2)物体在t＝0至t＝2 s何时物体的加速度最大？最大值为多少？
(3)物体在t＝0至t＝2 s何时物体的速度最大？最大值为多少？
例1-2 一个物块放置在粗糙的水平地面上，受到的水平拉力F随时间t变化的关系如图甲所示，速度v随时间t变化的关系如图乙所示，重力加速度g＝10 m/s2，则由图息可判定( )
A．0～2 s物块所受摩擦力F f＝8 N
B．物块的质量为4 kg
C．物块在前6 s的平均速度为3 m/s
D．物块与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.4
练习1-1 物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间的变化规律
如图所示，取开始时的运动方向为正方向，则物体运动的v–t图象是
A．
B．
C． D．
练习1-2 如图甲所示，物体原来静止在水平地面上，用一水平力F拉物体，在F从0开始逐渐增大的过程中，物体先静止后做变加速运动，其加速度
a随外力F变化的图象如图乙所示，最大静摩擦力与滑动摩擦力
不相等，重力加速度g取10 m/s2.根据题目提供的信息，下列判
断正确的是( )
A．物体的质量m＝2 kg
B．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.6
F＝12 N
C．物体与水平面的最大静摩擦力
f
m ax
D．在F为10 N时，物体的加速度a＝2.5 m/s2
练习1-3 若货物随升降机运动的v－t图象如图所示(竖直向上为正)，则货物受到升降机的支持力F与时间t关系的图象可能是( )
练习1-4 如图所示，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板，其上叠放一质量为m2的木板．假设木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等．现给木块施加一随时间t增大的水平力F＝kt(k是常量)，木板和木块加速度的大小分
别为a1和a2.下列反映a1和a2变化的图线中正确的是( )
例2-1 (多选)如图甲所示，倾角为θ的足够长的传送带以恒定的速率v0沿逆时针方向运行。t＝0时，将质量m＝1 g的物体(可视为质点)轻放在传送带上，物体相对地面的v－t图象如图乙所示。设沿传送带向下为正方向，重力加速度g取10 m/s2。则( ) A．传送带的速率v 0＝10 m/s
B．传送带的倾角θ＝30°
C．物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5
D．0～2 s摩擦力对物体做功W＝－24 J
例2-2 (多选)如图甲所示，粗糙斜面与水平面的夹角为30°，质量为0.3 g 的小物块静止在A 点，现有一沿斜面向上的恒定推力F 作用在小物块上，作用一段时间后撤去推力F ，小物块能达到的最高位置为C 点，小物块从A 到C 的v －t 图象如图乙所示，g 取10 m/s 2
，则下列说确的是( )
A ．小物块到C 点后将沿斜面下滑
B ．小物块加速时的加速度是减速时加速度的1
3
C ．小物块与斜面间的动摩擦因数为33
D ．推力F 的大小为4 N
练习2-1 (多选) 如图所示，水平传送带以速度v 1匀速运动，小物体P 、Q 由通过定滑轮且不可伸长的轻绳相连，t ＝0时刻P 在传送带左端具有速度v 2，P 与定滑轮间的绳水平，t ＝t 0时刻P 离开传送带．不计定滑轮质量和滑轮与绳之间的摩擦，绳足够长．正确描述小物体P 的速度随时间变化的图象可能是( )
练习2-2 (多选)如图甲，一物块在t ＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v －t 图线如图乙所示。若重力加速度及图中的v 0、v 1、t 1均为已知量，则可求出( )
A ．斜面的倾角
B ．物块的质量
C ．物块与斜面间的动摩擦因数
D ．物块沿斜面向上滑行的最大高度
练习2-3 滑板运动是一项陆地上的“冲浪运动”，
如图甲所示；OAB 是同一竖直平面上的滑行轨道，其中OA 段是长27 m 的水平轨道，AB 段是倾角θ＝37°足够长的斜直轨道，OA 与AB 在A 点平滑连接．已知滑板及运动员总质量为60 kg ，运动员从水平轨道向左滑向斜直轨道，滑到O 点开始计时，其后一段时间的运动图象如图乙所示．将滑板及运动员视为质点．滑过拐角时速度大小不变，在水平和斜直轨道上滑板和接触面间的动摩擦因数相同．(取g ＝10 m/s 2
，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，忽略空气阻力)求：
(1)滑板与接触面间的动摩擦因数； (2)运动员到达坡底A 点时速度大小；
(3)运动员沿坡上滑的最大距离．(保留三位有效数字)
基础过关
1.如图甲，水平地面上有一静止平板车，车上放一物
块，物块与平板车的动摩擦因数为0.2，t=0时，车开始沿水
平面做直线运动，其v﹣t图象如图乙所示，g取10 m/s2，
若平板车足够长，关于物块的运动，以下描述正确的是
A．0~6 s加速，加速度大小为2 m/s2，6~12 s减速，加速度大小为2 m/s2
B．0~8 s加速，加速度大小为2 m/s2，8~12 s减速，加速度大小为4 m/s2
C．0~8 s加速，加速度大小为2 m/s2，8~16 s减速，加速度大小为2 m/s2
D．0~12 s加速，加速度大小为1.5 m/s2，12~16 s减速，加速度大小为4 m/s2
2．将一只小球竖直向上抛出，小球运动时受到空气阻力的大小与速度大小成正比，下列描绘小球在上升过程中的加速度大小a及速度大小v与时间t关系的图象，可能正确的是
A． B．
C． D．
3．如图所示，质量为M的薄木板静止在粗糙水平桌面上，木板上放置一质量为m的木块。已知m与M之间的动摩擦因数为μ，m、M与桌面间的动摩擦因数均为2μ。现对M施一水平恒力F，将M从m下方拉出，而m恰好没滑出桌面，则在上述过程中
A ．水平恒力F 一定大于3μ(m +M )g
B ．m 在M 上滑动的时间和在桌面上滑动的时间相等
C ．m 在M 上滑动的时间是在桌面上滑动的时间的2倍
D ．若增大水平恒力F ，木块有可能滑出桌面
4．在光滑水平面上，a 、b 两球沿水平面相向运动。当两球间距小于或等于L 时，受到大小相等、相互排斥的水平恒力作用；当两球间距大于L 时，则相互作用力为零。两球在相互作用区间运动时始终未接触， 两球运动的v –t 图象如图所示，则 A ．a 球质量小于b 球质量 B ．t 1 时刻两球间距最小 C ．0~t 2 时间，两球间距逐渐减小
D ．0~t 3 时间，b 球所受排斥力方向始终与运动方向相反
5．质量不同、半径相同的甲乙两个小球从高空中某处由静止开始下落，且甲球质量比乙球质量大。设它们所受空气阻力f 与下落速度v 的关系为f =kv ，k 为定值。则下列四个运动图象哪一个与两小球运动相符
A ．
B ．
C ．
D ．
6．一轻弹簧B 端固定，另一端C 与细绳一端共同拉着一个质量为m 的小球，细绳的另一端A 也固定，且AC 、BC 与竖直方向夹角分别为θ1=30°和θ2=60°，重力加速度为
g 。则烧断细绳的瞬间，小球的加速度为
A ．g ，竖直向下
B ．g /2，水平向右
C ．
，水平向右 3
g
D
．
，向右下与水平成60°角 7．如图甲所示，在水平地面上有一长木板B ，其上叠放木块A 。假定木板与地面之间、木块和木板之间的最大静摩擦力都和滑动摩擦力相等。用一水平力F 作用于B ，A 、B 的加速度与F 的关系如图乙所示，重力加速度g 取10 m/s 2
，则下列说确的是( )
A ．A 的质量为0.25 g
B ．B 的质量为1.25 g
C ．B 与地面间的动摩擦因数为0.2
D ．A 、B 间的动摩擦因数为0.2
8.一物块静止在粗糙的水平桌面上。从某时
刻开始，物块受到一方向不变的水平拉力作用。假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以a 表示物块的加速度大小，F 表示水平拉力的大小。能正确描述F 与a 之间的关系的图象是( )
9．某物体同时受到两个在同一直线上的力F 1、F 2的作用，物体由静止开始做直线运动，其位移与力F 1、F 2的关系图象如图所示，在这4 m ，物体具有最大动能时的位移是( )
A ．1 m
B ．2 m
C ．3 m
D ．4 m
能力提高
10．如图甲所示，小物块从足够长的光滑斜面顶端由静止自由滑下。下滑位移x 时的速度为v ，其x －v 2图象如图乙所示，取g =10 m/s 2，则斜面倾角θ为
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75° 11．静止于粗糙水平面上的物体，受到方向恒定的水平拉力F 的作用，拉力F 的大小随时间变化如图甲所示。在拉力F 从0逐渐
增大的过程中，物体的加速度随时间变化如图乙所示，g 取10 m/s 2。则下列说法中错误的
3
2
g
是
A．物体与水平面间的摩擦力先增大，后减小至某一值并保持不变
B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.1
C．物体的质量为6 kg
D．4 s末物体的速度为4 m/s
12．沿固定斜面下滑的物体受到与斜面平行向上的拉力F的作
用，其下滑的速度–时间图线如图所示。已知物体与斜面之间的动摩擦因数为常数，在0~5 s、5~10 s、10~15 s F的大小分别为F 1、F2和F3，则
A．F1
C．F1>F3 D．F1=F3
高考真题
1．(2015)一颗子弹以水平速度穿透一块在光滑水平面上迎面滑来的木块后，二者运动方向均不变。设子弹与木块间相互作用力恒定，木块最后速度为v ，则
A ．越大，v 越大
B ．越小，v 越大
C ．子弹质量越大，v 越大
D ．木块质量越小，v 越大
2．(2013)如图所示，水平木板上有质量m ＝1.0 kg 的物块，受到随时间t 变化的水平拉力F 作用，用力传感器测出相应时刻物块所受摩擦力F f 的大小．取重力加速度g ＝10 m/s 2
，下列判断正确的是( )
A ．5 s 拉力对物块做功为零
B ．4 s 末物块所受合力大小为4.0 N
C ．物块与木板之间的动摩擦因数为0.4
D ．6～9 s 物块的加速度大小为2.0 m/s 2
0v 0v 0
v
高考真题
1．(2015)一颗子弹以水平速度穿透一块在光滑水平面上迎面滑来的木块后，二者运动方向均不变。设子弹与木块间相互作用力恒定，木块最后速度为v ，则
A ．越大，v 越大
B ．越小，v 越大
C ．子弹质量越大，v 越大
D ．木块质量越小，v 越大
2．(2013)如图所示，水平木板上有质量m ＝1.0 kg 的物块，受到随时间t 变化的水平拉力F 作用，用力传感器测出相应时刻物块所受摩擦力F f 的大小．取重力加速度g ＝10 m/s 2
，下列判断正确的是( )
A ．5 s 拉力对物块做功为零
B ．4 s 末物块所受合力大小为4.0 N
C ．物块与木板之间的动摩擦因数为0.4
D ．6～9 s 物块的加速度大小为2.0 m/s 2
0v 0v 0
v
参考答案
第10章 结构动力学 习 题 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其 端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3) 121233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ( )3 (322) 1393 t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l + += 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (20111) 0333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l + +=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为 c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 解：
FBFr 第十章 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其 端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3) 121233 I M m l a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： () 3 (322) 1393 t q l ka m a l l c a l ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (20111) 0333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l + +=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为 c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。 从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。 2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求 (a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。
2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。如果体系在初始条件 in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。假设：(a) c=0（无阻 尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。 2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。
同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为 c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。
解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度 为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.. .. 3 1212 3 3 I M ml a l l m a l =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2 121233 t t q l l q l ?? = 由弹性恢复力所引起的弯矩为：. 2 133 la k l c a l ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ()3 .. . 3 2 2 13 9 3 t q l ka m a l l c a l + += 整理得：(). .. 33t q ka c a m a l l l ++ = 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程为： (). .. 2 1110 3 3 3 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα- ? -?- ?=? 则同样有：(). .. 33t q ka c a m a l l l + + = 。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 t )
1/35 结构动力学 教师：刘晶波助教：赵冬冬 清华大学土木工程系2010年秋 2/35 结构动力学教科书 ●刘晶波杜修力主编， 结构动力学，机械工业出版社，2005年1月第1版，2007重印。 3/35结构动力学参考书 ●A. K. Chopra, Dynamics of Structures, Prentice Hall, 1995, 2000. 4/35 结构动力学参考书 ●A. K. Chopra 著,谢礼立吕大刚等译结构动力学,高等教育出版社,2007.
5/35结构动力学参考书 ●R. W. Clough and J. Penzien, Dynamics of Structures, McGraw-Hill, 1993, 1995. 6/35 结构动力学参考书 ●R. 克拉夫J. 彭津著, 王光远等译校，结构动力学第二版(修订版)，高等教育出版社，2006。 7/35 结构动力学参考书 ●唐友刚著, 高等结构动力学，天津大学出版社，2002。●诸德超邢誉峰主编, 工程振动基础，北京航空航天大学出版社，2004。●张相庭王志培等编著, 结构振动力学，同济大学出版社，2005。 yyyyyy 8/35 结构动力学总成绩： ①平时成绩 作业＋读书报告②期中成绩③期末成绩 总成绩＝平时成绩×(30～40%) ＋期中成绩×(20%) ＋期末成绩×(40～50%)
9/35 课程内容简介 本课程将系统讲授结构动力学基础理论知识和基本计算分析方法。 通过单自由度体系、多自由度体系和无限自由度体系的系列教学，使学生系统掌握结构动力学的基本理论和分析方法通过结构动力问题分析中的数值分析方法、离散化分析和随机振动分析的系列教学使学生具备分析和解决理论研究和实际工程问题的能力 通过介绍若干重要的前沿研究成果，使学生能较迅速接触到结构动力学研究领域的前沿 结构动力分析的基础理论知识 解决科研和工程中动力问题的技能和方法了解和掌握与结构动力学相关的科学前沿问题 10/35 结构动力学 第1 章概述 11/35 第1章概述 1.1结构动力分析的目的 12/35 1.1结构动力分析的目的 动力问题: 5地震作用下建筑结构、桥梁、大坝、地下结构的震动；5风荷载作用下大型桥梁、高层结构的振动； 5机器转动产生的不平衡力引起的大型机器基础的振动；5车辆运行中由于路面不平顺引起的车辆振动及车辆引起的路面振动； 5爆炸荷载作用下防护工事的冲击动力反应，???等等，量大而面广。动力破坏的特点: 突发性、毁灭性、波及面大。
10- 71 习 题 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) m m m m m m 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 EI m 1 m 2 EI EI EI 2EI m m
10- 72 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度 为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.. .. 3 1212 3 3 I M ml a l l m a l =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2 121233 t t q l l q l ?? = 由弹性恢复力所引起的弯矩为：. 2 133 la k l c a l ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ()3 .. . 3 2 2 13 9 3 t q l ka m a l l c a l + += 整理得：(). .. 33t q ka c a m a l l l ++ = 2）力法 A () 21 3t q l α 13 l α13 l k αB C . l c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程为： (). .. 2 1110 3 3 3 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα- ? -?- ?=? 则同样有：(). .. 33t q ka c a m a l l l + + = 。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 a A c EI =∞ k B m a a a a E D C F k m k θ l 3 3 l 2 A q (t ) c EI =∞ k B C m
结构动力学习题 2.1 建立题2.1图所示的三个弹簧-质点体系的运动方程（要求从刚度的基本定义出发确定体系的等效刚度）。 题2.1图 2.2 建立题 2.2图所示梁框架结构的运动方程（集中质量位于梁中，框架分布质量和阻尼忽略不计）。
题2.2图 2.3 试建立题 2.3图所示体系的运动方程，给出体系的广义质量M、广义刚度K、广义阻尼C和广义荷载P(t)，其中位移坐标u(t)定义为无重刚杆左端点的竖向位移。 题2.3图 2.4 一总质量为m1、长为L的均匀刚性直杆在重力作用下摆动。一集中质量m2沿杆轴滑动并由一刚度为K2的无质量弹簧与摆轴相连，
见题 2.4图。设体系无摩擦，并考虑大摆角，用图中的广义坐标q1和q2建立体系的运动方程。弹簧k2的自由长度为b。 题2.4图 2.5 如题2.5图所示一质量为m1的质量块可水平运动，其右端与刚度为k的弹簧相连，左端与阻尼系数为c的阻尼器相连。摆锤m2以长为L的无重刚杆与滑块以铰相连，摆锤只能在图示铅垂面内摆动。建立以广义坐标u和θ表示的体系运动方程（坐标原点取静平衡位置）。
题2.5图 2.6如题2.6图所示一质量为m1的质量块可水平运动，其上部与一无重刚杆相连，无重刚杆与刚度为k2的弹簧及阻尼系数为c2的阻尼器相连，m1右端与刚度为k1的弹簧相连，左端与阻尼系数为c1的阻尼器相连。摆锤m2以长为L的无重刚杆与滑块以铰相连，摆锤只能在图示铅垂面内摆动。建立以广义坐标u和θ表示的体系运动方程（坐标原点取静平衡位置，假定系统作微幅振动，sinθ=tanθ=θ）。计算结果要求以刚度矩阵，质量矩阵，阻尼矩阵的形式给出。
结构力学 第6章 习题答案 6-1 试确定图示结构的超静定次数。 (a) (b) (d) (f) (g) 所有结点均为全铰结点 2次超静定 6次超静定 4次超静定 3次超静定 去掉复铰，可减去2（4-1）=6个约束，沿I-I 截面断开，减去三个约束，故为9次超静定 沿图示各截面断开，为21次超静定 刚片I 与大地组成静定结构，刚片II 只需通过一根链杆和一个铰与I 连接即可，故为4次超静定
(h) 6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？ 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出M 、F Q 图。 (a) 解： 上图= l 1M p M 01111=?+p X δ 其中： EI l l l l l l l EI l l l l EI 81142323326232323332113 11=??? ????+??+???+??? ??????=δEI l F l lF l lF EI l p p p p 8173323222632 31-=??? ???-??-?=? 0817******* =-EI l F X EI l p p F X 2 1 1= p M X M M +=11 l F p 6 1 l F p 6 1 2l 3 l 3 题目有错误，为可变体系。 + lF 2 1=1 M 图
p Q X Q Q +=11 p F 2 1 p F 2 (b) 解： 基本结构为： l 1M l l 2M l F p 2 1 p M l F p 3 1 ???? ?=?++=?++00 22 221211212111p p X X X X δδδδ p M X M X M M ++=2211 p Q X Q X Q Q ++=2211 6-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力图。 (a) l 2 l 2 l 2 l l 2 Q 图 12
结构力学 第 6 章 习题答案 刚片 I 与大地组成静定结构，刚片 II 只需通 过一根链杆和一个铰与 I 连接即可，故为 4 次超静定 (a) (b) 6-1 试确定图示结构的超静定次数。 (c) (d) (e) 2 次超静定 6 次超静定 (f) 4 次超静定 3 次超静定 去掉复铰， 可减去 2（4-1 ）=6个约束，沿 I-I 截面断开，减去三个约束，故为 9 次超静定 沿图示各截面断开，为 21 次超静定 (g)
(h) 6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？ 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出 M 、 F Q 图。 (a) 其中： M 1X 1 M p F p l M 图 1 1 6F p l 题目有错误，为可变体系。 解： A 2EI C 2l 3 11X 1 1p 11 EI 1p 2 l 3 6EI 14l 3 X 1 81EI X 1 12 F p lll 7F p l 3 81EI 33 2 3lF p 2 l 3 2 6EI 2 3lF p 7F p l 3 81EI l l2 3 14l 3 81EI F P 上图= EI B EI B 2 M p M 1
1 (b) 解： Q 1 X 1 Q p 11X1 21X1 Q图 B E C D EI=常数F l l l l 2 2 2 2 F P X1 X2 l 3 F P l 基本结构 为： 12F p l 12X2 1p 22X 2 2 p M1 M2 M M1X1 M 2X2 M p Q Q1X1 Q2 X2 Q p 6-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力 图 (a)
一、填空题 1、消能减震技术包括：速度相关型消能减震装置，位移相关型消能减震装置，其他相关型消能减震装置 2、调频减震技术包括：有调谐质量阻尼器(TMD)和调谐液体阻尼器（TLD) 、调谐液柱式阻尼器（TLCD) 振动控制系统 3、地震动三要素：振幅、频谱、持时 4、结构的固有特性：频率、振型，阻尼 5、实验测量阻尼比的方法：对数衰减率法、共振放大法、半功率法 6、逐步积分法的四个标准：收敛性、计算精度、稳定性、计算效率 7、结构离散化方法：集中质量法、广义坐标法、有限元法 8、基本力学原理及运动方程的建立：D’Alembert原理、虚功原理、哈密顿原理、拉格朗日方程、牛顿定理 9、结构抗震试验方法：伪静力试验方法或低周反复加载、地震模拟振动台试验方法、伪动力试验方法或计算机联机试验 10、等效阻尼比用在：等效线性化分析过程中 11、常用的阻尼有：粘性阻尼、摩擦阻尼、滞变阻尼、流体阻尼 12、测量振动量的仪器：加速度计、位移计、速度计 13、单自由度体系对任意荷载的反应分析方法：时域分析法（杜哈梅积分计算）、频域分析法（傅里叶变换法计算）——适用于处理线弹性结构的动力反应问题 14、常用的时域逐步积分法有：分段解析法、中心差分法、平均常加速度法、线性加速度法、Newmark-β法、Wilson-θ法 15、常用的恢复力模型：当伯格-奥斯左德模型、克拉夫退化双线性模型、武田模型 16、振型的归一化方法：特定坐标的归一化方法、最大位移的归一化方法、正交归一法 17、恢复力曲线模型三个组成部分：骨架曲线、滞回特性、刚度退化规律 18、确定恢复力曲线的方法：试验拟合法、系统识别法、理论计算法 二、简答题 1.结构动力学的广义研究内容、目的是什么？ 内容：结构动力学是研究结构体系的动力特性几起在动力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科 目的：是确定动力荷载作用下结构的内力和变形，并通过动力分析确定结构的动力特性，为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。 2.结构动力计算方法的分类，都有什么样的特点？ 集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他位置上没有质量。质量集中后结构杆件仍具有可变性性质； 广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中也可采用相同的方法求解。这是广义坐标的理论基础。所假设的形状函数数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间分布质量的影响(形状函数)，一般来说对于一个给定自由度数目的动力分析，用理想化形状函数比集中质量法更精确； 有限元法：有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，且形函数是定义在分片区域上的。在有限元中形函数被称为插值函数。有限元综合了集中质量和广义坐标的特点
第十章 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.... 3121233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ( ) 3 (3221393) t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (2) 01110333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
结构动力学Dynamics of Structures 第六章分布参数体系 Chapter 6 Continuous Systems 华南理工大学土木工程系 马海涛/陈太聪 结构动力学第六章分布参数体系0of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系本章主要目的及内容 目的: 了解具有分布质量弹性连续体的动力分析方法; 初步掌握一维结构的运动方程的建立和简单问题求解.内容: ?梁的偏微分运动方程 ?梁的自振频率和振型 ?振型的正交性 ?用振型叠加法计算梁的动力反应 结构动力学第六章分布参数体系1of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1 梁的偏微分运动方程剪切变形-Euler梁、Timoshenko梁转动惯量 阻尼影响 §6.1.1 弯曲梁（欧拉梁）的横向振动方程 结构动力学第六章分布参数体系2of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1 梁的偏微分运动方程 Euler梁静力平衡方程:? 2?x2??u(x,t)??EI(x)?=P(x,t)2?x??2 惯性力－分布强度: ?u(x,t)fI(x)=m(x)2?t2 Euler梁动力平衡方程: ? 2?x 结构动力学2??u(x,t)??u(x,t)?EI(x)?=P(x,t)?m(x)22?x?t??223of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系
第六章分布参数体系 §6.1 梁的偏微分运动方程 等截面梁的运动方程: ?u(x,t)?u(x,t)m+EI=P(x,t)24?t?x24 运动方程: 2??u(x,t)??u(x,t)?m(x)+2?EI(x)?=P(x,t)22?t?x??x?22 Euler梁动力平衡方程: ? 2?x 结构动力学2??u(x,t)??u(x,t)?EI(x)?=P(x,t)?m(x)22?x?t??224of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系第六章分布参数体系 §6.1 梁的偏微分运动方程 等截面梁的运动方程: ?u(x,t)?u(x,t)m+EI=P(x,t)24?t?x24 四阶偏微分方程 （A fourth order partial differential equation） (1) 比较静力情形:du(x)EI=P(x)4dx4 (2) 假设条件: Euler梁理论 忽略转动惯量影响 结构动力学第六章分布参数体系?ux,t() P(x,t)=P(x)?m(x)2?t25of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系 §6.1.5考虑阻尼影响
中国海洋大学本科生课程大纲 一、课程介绍 1.课程描述： 结构动力学是研究工程结构在循环荷载作用下的动力响应，与弹性动力学和机械振动具有相同的理论体系，只因他们的研究对象和/或研究内容不同而分为三门独立的课程。弹性动力的研究对象为三维弹性体，与弹性力学的研究对象相同，而结构动力学的研究对象为特殊的三维弹性体，即弹性体的某一维尺寸远远大于（杆、梁）或小于（板）其它两维尺寸，因此，与结构力学的研究对象相同。弹性动力学的研究内容是弹性波在弹性体中的传播，并不涉及弹性体的变形（位移），而结构动力学则研究结构在动力作用下的变形，包括位移及相应的速度和加速度，而不涉及波的传播问题。机械振动的研究对象是机械装置和机构，研究内容与结构动力学相同。因此，从理论方法上来说，结构动力学与机械振动两门课程是相同的。 2.设计思路： 结构动力学是船舶与海洋工程专业选修课，通过该课程学习使学生掌握结构动力学的基本理论及分析计算方法，为后续的海洋工程结构动力分析和结构振动测试技术等课程以及毕业设计打下良好的基础。其基本要求为：掌握线性系统的单自由度系统、多自由度系统的动力特性和动力相应的分析计算方法，了解分布参数系统的分析计算 - 2 -
方法，了解非线性系统振动和随机振动的基本概念和基本方法。能够运用所学知识进行工程结构的动力分析计算。 3. 课程与其他课程的关系 结构动力学中的一些基本概念与结构力学是不同的，一个最简单的例子是关于自由度的概念，也就是说静力自由度和动力自由度是两个完全不同的概念。众所周知，一个结构的静力自由度必须是小于或等于零的，即所谓的静定和超静定结构，否则就不是结构而是机构。也就是说，结构力学中的自由度（静力自由度）是刚体自由度。而结构动力学中所说的自由度（动力自由度）是不包括结构刚体自由度在内的弹性体变形自由度，它是描述弹性体振动的参数。刚体自由度是由结构的约束条件唯一确定的，而动力自由度则是由结构的质量分布唯一确定的。 二、课程目标 结构动力学课程的教学目标是使学生了解结构动力学的研究对象；了解结构动力学能够解决的问题及适用范围；了解结构动力学基本方法的创立和发展过程；掌握结构动力学的基本概念及方法；熟悉结构动力学的计算机方法，能够熟练地求解结构动力学的一般问题。 三、学习要求 课前预习即将讲授的内容，课堂上积极思考、主动发问，课后根据课堂理解和掌握情况阅读教材和参考书，并通过书后的习题演练加深对当堂课的理解，巩固所学内容所涉及结构动力学基本概念、基本理论及方法。 四、教学内容 - 2 -
FBFr 第十章 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其 端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3) 121233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ( )3 (322) 1393 t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (20111) 0333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l + +=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
第六 习题 6-1用静力法作图示梁的支杆反力3R R2R1F F F 、、及内力k M 、Q N K K F F 、的影响线。 解：(1)反力影响线 R323()52 F x l l = - R1R 2(4)5x F F l == - (2)K 截面的内力影响线 R3R3 Q R3N 3312 35 53130 K K K F l x l M x l x l F x l F F x l F ≤??=?-+>??-≤?=? ->?= 习题6-1图
6-2 用静力法作图示梁的By F 、A M 、K M 和Q K F 的影响线。 解：取图示坐标系，得 1By F =，A M l x =- Q 2221202 K K x M x x x l l l l x l F l ≤ => ≤ ≥ ???? ?-???-?? =? ???1
6-3用静力法作图示斜梁的Ay F 、Ax F 、By F 、C M 、Q C F 和N C F 的影响线。 解：（1）反力影响线 By F x l /=，1Ay F x l /=- 0Ax F = （2）C 截面内力影响线 [][][][][][] Q N /0,(1/),cos 0,(1)cos ,sin 0,(1)sin ,C C C bx l x a M a x l x a l x x a l F x x a l l x x a l F x x a l l αααα?∈?=? -∈???-∈??=? ?--∈???∈??=? ?--∈??
解：（1）反力影响线 tan By x F l α= tan Ay x F l α=- 1Ax F =- （2）C 截面内力影响线 [][][][][][]Q N tan 0,(1)tan ,sin 0,(1)sin ,sin tan 0,cos sin tan ,C C C b x x a l M x a x a l l x x a l F x x a l l x x a l F x x a l l ααααααααα?∈??=? ?-∈???-∈??=? ?-∈???∈??=? ?+∈?? tan sin a l αα? sin tan sin a a αα?
10- 71 习 题 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为 c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 t )
10- 72 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.... 3121233 I M m l a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： () 3 (3221393) t q l ka m a l l c a l ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程 为：() (2) 01110333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 解：
第二章 自由振动分析 2-1 （a ） 由例2 2T π =22( )W K T g π= 因此 max ()()D t kT νν= 其中 k=0、1、2…… T D =0.64sec 如果ξ 很小，T D =T ∴ 22 2200( )49.9/0.64sec 386/sec kips k kips in in π== ? 50/k kips in = （b ） 211ln ln n n v v v v δ+≡= δξ= →= 1.2 ln 0.3330.86δ== 0.0529ξ= = 0.333 20.05302δπξξπ =→= =
? 5.3%ξ= (a ’) D ω= 2T π ω = T T =2 49.9 50/1k kips in ξ= =- (c) 2c m ξω = W m g = 2T π ω = 4c T g πωξ= g T T =4W c T g π= g g 2 42000.64sec 386/sec kips c in π= g 0.539sec/c kips in =? T=T D 0.538sec/c kips in =? ?0.54sec/c kips in =?
2-2 2k m ω= → 4.47ω== (1/sec ) (0)(0)()sin (0)cos t D D D v v t e t v t ξωξωνωωω-???? +?? ?=+?? ????? g ∴ (0)(0)()sin (0)(0)(0))cos t D D D v v t e t v v v t ξωξωνξωωξωξωωω-????+???? ???=-++-???? ??????????? g g g ()22(0)(0)()(0)cos sin D t D D D v v t e v t t ξωξωξωωνωωω-????++ ???=- ? ??? g g g D ω=→()(0)cos (0)(0)sin t D D D t e v t v v t ξωωνωξωωω-????=-+ ??????? g g g ()(0)cos t D D t e v t t ξωνωω-?? ?= ??? g g g 0.055922(2)(4.47) c c c m ξω= == (a) c=0→0ξ=→D ωω= ∴ 5.6 (1)sin 4.470.7cos 4.47 1.384.47 v t in == +=- (1) 5.6cos 4.47 4.47(0.7)sin 4.47 1.69/sec v t in ==-=g ?(1) 1.4v in =-,(1) 1.7/sec v in =g (b) c=2.8→0.0559(2.8)0.157ξ== 4.41D ω== (1/sec ) (0.157)(4.41) 5.60.7(0.157)(4.47)(1)sin 4.410.7cos 4.414.41t e ν-?+? ??==+ ???????