导数的四则运算法则
§4 导数的四则运算法则 主讲：陈晓林时间：2012-2-23 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f（x）=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处附近有定义，如果?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的比?Skip Record If...?（也叫函数的平均变化率）有极限即?Skip Record If...?无限趋近于某个常
数，我们把这个极限值叫做函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处的导数，记作?Skip Record If...?，即?Skip Record If...? 2. 导数的几何意义：是曲线?Skip Record If...?上点（?Skip Record If...?）处的切线的斜率因此，如果?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?可导，则曲线 ?Skip Record If...?在点（?Skip Record If...?）处的切线方程为?Skip Record If...?3. 导函数(导数):如果函数?Skip Record If...?在开区间?Skip Record If...?内的每点处都有导数，此时对于每一个?Skip Record If...?，都对应着一个确定的导数 ?Skip Record If...?，从而构成了一个新的函数?Skip Record If...?, 称这个函数 ?Skip Record If...?为函数?Skip Record If...?在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数?Skip Record If...?的导数的一般方法： （1）求函数的改变量?Skip Record If...?2）求平均变化率?Skip Record If...?（3）取极限，得导数?Skip Record If...?＝?Skip Record If...??Skip Record If...?5.常见函数的导数公式：?Skip Record If...?；?Skip Record If...? （二）、探析新课 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即 ?Skip Record If...? 证明：令?Skip Record If...?， ?Skip Record If...??Skip Record If...?， ∴?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 即?Skip Record If...?． 例1：求下列函数的导数：
课时授课计划
教师活动 教学过程： 一?创设情景 2 1 四种常见函数y=c、y = x、y =x、y —的导数公式及应用 :■?新课讲授 学生活动学生自行预习
(二)导数的运算法则导数运算法则 1. 〔f(X)土g(x)i = f'(x) ±g'(x) 2. [f(x) g(x)]' = f'(x)g(x)±f(x)g'(x) I f (x) I f (x) g (x) - f (x) g (x) / . . 3. = ——(g(x)HO) ]g(x) 一[g(x)f (2)推论:lcf(x) I - Cf'(x) (常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数) 三.典例分析 例1 .假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5% ,物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系p(t) = p0(1 - 5%亍，其中p0 为t = 0时的物价.假定某种商品的p0 = 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t) =1.0“ In 1.05 所以p (10) =1.0510|n1.05 ： 0.08 (元/年) 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨. 例2?根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数. (1) y = x3 -2x 3 (2) y 1 1 (3) y = x sin x ln x; (4)y (5)y (6)y 4x 1 -ln x 1 l n x (2 x2—5 x + 1) e x / 、sin x—xcosx (7) y =-------------------------- cosx +xsin x 通过预习自行完成 在老师的指导下独立完成后面几道题
课题：导数的运算法则 1、 求下列函数的导数 （1 ）y = （2 ）y = （3）12x y ??= ??? （4）12 =log y x （5）212sin 2x y =- 2、已知直线1l 为曲线2+-2y x x =在点(1,0)处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，（1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形面积。 例1 求下列函数的导数 （1） )11)(1(x x y +- = ； （2） x x y 2= （3） x x x y +=s i n ； 例2 已知曲线Ｃ：x x x y 2323+-=，直线ｌ：kx y =，且ｌ与Ｃ切于点),(00y x )0(0≠x ，求直线ｌ的方程及切点的坐标。 例3设)(x f 、)(x g 分别是定义在),0()0,(+∞?-∞上的奇函数和偶函数，当0 例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数3123y x x x =-++导数. 变式：（ 1）2log y x =； （2）2x y e =； （3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =- 例2求下列函数的导数： （1）32log y x x =+； （2）n x y x e = （3）y=2e -x 2. 复合函数： 1.定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和()u g x =，如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数，那么这个函数为函数 和 的复合函数，记住 2.复合函数的求导法则 复合函数(())y f g x =的导数和函数y =f (u )，()u g x =的导数间的关系式为 ，即y 对x 的导数等于 的乘积。 例。3 求下列函数的导数： （1）2(23)y x =+； （2）1x y e -+=； （3）sin()y x π?=+ 1.2.2 导数的运算法则（一） 知识要点 1，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的 ， 即()()'u x v x ±=???? 2，两个函数的积的导数，等于 ，加上 ， 即()()'u x v x ?=???? 。特别地，()'cu x =???? （其中c 为常数）。 3，两个函数的商的导数，等于 减去 ，再除以 。即 知识点一，直接求导 例1，求下列函数的导数 （1）2 3cos y x x x =+ （2）1x y x = + （3）tan y x = （4）lg x y x e =- 变式训练1，求下列函数的导数 (1)23y x = (2)5314353 y x x x =-++(2)2sin cos y x x x =+ (4)ln 1 x y x =+ 知识点二，先变形再求导 例2，求下列函数的导数 （1） y =（2）cos 2sin cos x y x x = + （3）)22sin cos 22x x y =- 变式训练2，求下列函数的导数 (1)2311y x x x x ??=+ + ??? (2)44sin cos 44 x x y =+ 知识点三，导数的综合应用 例3，已知函数21n x y x ??= ?+??过点11,9P ?? ??? ，求函数在点P 处的切线方程。 变式训练3，某质点的运动规律是322s t t t =-+，求其最小速度m v 水平基础题 1．已知物体的运动方程是s ＝14 t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 2．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2 3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 4．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x . 水平提升题 6．曲线y ＝x sin x 在点??? ?－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( ) A.π2 2 B ．π2 C ．2π2 D.12 (2＋π)2 7．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( ) A ．f (x )＝g (x ) B ．f (x )－g (x )为常数 C ．f (x )＝g (x )＝0 D ．f (x )＋g (x )为常数 9．曲线y ＝cos x 在点P ????π3，12处的切线的斜率为______． 10．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________． 11．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存有这两条曲线的一个公共点，使在这个点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 12．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程． 提升拓展题 13．求满足下列条件的函数f (x )： (1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 14,求下列函数()f x 的导数（其中是可导函数） 1(1)(2)y f y f x ??== ??? 高中数学《导数的计算-基本初等函数的导数及导数的运算法则》教案3 选修2-2 一、教学目标： 了解复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数. 二、教学重点： 掌握复合函数导数的求法 教学难点： 准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导. 三、教学过程： （一）复习引入 1. 几种常见函数的导数公式 (C )'＝0 (C 为常数)． (x n )'＝nx n －1 (n ∈Q)． ( sin x )'＝cos x ． ( cos x )'＝－ sin x ． 2．和（或差）的导数 (u ±v )'＝u '±v '． 3．积的导数 (uv )'＝u 'v ＋uv '． (Cu )'＝Cu ' ． 4．商的导数 ).0(2≠'-'='??? ??v v v u v u v u （二）讲授新课 1．复合函数： 如 y ＝(3x －2)2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ． 像y ＝(3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数． 练习：指出下列函数是怎样复合而成的． .)12(tan )4( ;)3cos 1()3( );11(sin )2( ;)1()1(33232+=+=-=-=x x y x y x y x y 复合函数的导数 一般地，设函数u ＝?(x )在点x 处有导数u'x ＝?'(x )，函数y ＝f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '(u ) ，则复合函数y ＝f (?(x )) 在点x 处也有导数，且 y'x ＝y'u ·u'x ． 或写作 f 'x (?(x ))＝f '(u ) ?'(x )． 复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数． 例1 求y ＝(3x －2)2的导数． 解：y'＝[(3x －2)2]' ＝(9x 2－12x ＋4)'＝18x －12． 法1 函数y ＝(3x －2)2又可以看成由y ＝u 2 ，u ＝3x －2复合而成，其中u 称为中间变量． 由于y'u ＝2u ，u'x ＝3， 因而 y'x ＝y'u ·u'x ＝2u ·3＝2u ·3＝2(3x －2)·3＝18x －12． 法2 y'x ＝y'u ·u'x 例2 求y ＝(2x ＋1)5的导数． 解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1， 则 y'x ＝y'u ·u'x ＝(u 5)'u ·(2x ＋1) 'x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4． §则 教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 的导数公式及应用 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 （二）导数的运算法则 导数运算法则 1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析 函数 导数 函数 导数 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的 01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01） 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝x x --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ； （4）y ＝ x x 4 ； （5）y ＝x x ln 1ln 1+-． （6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x （7） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +- 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． （1） 因为'2 5284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为'2 5284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨． 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越 一、基本初等函数的导数公式： （1）f(x)=C （C 为常数），则f ’(x)=_______ （2）f(x)=)(Q a x a ∈，则f ’(x)=_______ （3）f(x)=sinx ，则f ’(x)=_______ （4）f(x)=cosx ，则f ’(x)=_______ （5）f(x)=x a ，则f ’(x)=_______ （6）f(x)=x e ，则f ’(x)=_______ （7）f(x)=x a log ，则f ’(x)=_______ （8）f(x)=x ln ，则f ’(x)=_______ 二、导数的运算法则： 已知)(),(x g x f 的导数存在，则： （1）_______________])()([='±x g x f （2）__________________])()([='?x g x f （3）=']) ()([x g x f ____________________ 导数计算练习题 1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ ） A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 2、()0f x =的导数是（ ） A ．0 B ．1 C ．不存在 D ．不确定 3、y 的导数是（ ） A ．23x B ．21 3 x C ．12 - D 4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、若()f x =()1f '等于（ ） A ．0 B ．13- C ．3 D ．13 7、函数()2 2423y x x =-+的导数是（ ） A ．()2823x x -+ B ．()2 216x -+ C ．()()282361x x x -+- D ．()()242361x x x -+- 8、求函数212y x =-在点1x =处的导数。 9、求下列各函数的导数 (1) 235y x x =-+ (2) 1y x =+(3) 222 2x y x =+ (4) 3 y = (5) 1)y = (6) (y x =+ (7) ()()y x a x b =-- §122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (两课时) 学习目标 1. 理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数; 2. 理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 3. 复合函数的分解，求复合函数的导数 . 一、预习与反馈(预习教材P l4~ P l9，找出疑惑之处) 复习1：常见函数的导数公式： cosx)' ________ ; (5) (e x )' ________ ； ⑹(a x )' 1 ⑺(l nx)' ________ ; (8) (log a x)' log a e x 复习2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 新知 1. 可导函数的四则运算法则 法则1 [u(x) v(x)]' ______________ . ( 口诀：和与差的导数等于导数的和与差 ). 法则2 [u(x)v(x)] ____________ . ( 口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号 ) 法则3 [凹] __________________ ( v(x) 0)( 口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下 v(x) (1) C' _______ (C 为常数)；(2) (x n )' n € N +; (3) (sin x)' ______ 6 (1)y x (2) y - x 导上不导，中间是负号) 1 例1. 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 y x 3 2x 丄3导数. x 变式：(1) y log 2x ； 例2求下列函数的导数: (1) y x 3 log 2 x ； 2. 复合函数： 1. 定义：一般地，对于两个函数y =f (u )和u g(x)如果通过变量u,y 可以表示成x 的函数， 那么这个函数为函数 _________ 和 ______________ 的复合函数，记住 _____________________ 2. 复合函数的求导法则 复合函数y f(g(x))的导数和函数y =f (u )， u g(x)的导数间的关系式 为 ________________ ，即y 对x 的导数等于 _________________ 的乘积。 例。3求下列函数的导数： 2 x 1 (1) y (2x 3) ； ( 2) y e ； (3) y sin( x ) x (2) y 2e ； (3) y 2x 5 3x 2 5x 4； (4) y 3cosx 4sin x (3)y=2e -x §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 一．教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 二．教学重点难点 重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 三．教学过程： （一）．创设情景 复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 、y = 用 （二）．新课讲授 1（1）基本初等函数的导数公式表 （2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数． （1）2y x =与2x y = （2）3x y =与3log y x = 2.（1 推论：[]' '()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. （2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+（2）sin y x x =?；（3）2(251)x y x x e =-+?；（4）4 x x y =； 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的． ② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 四．典例精讲 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系()(15%)t p t =+的导数。 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln 1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln 1.050.08p =≈（元/年） 1 导数的计算 教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用一、用定义计算导数 问题1：如何求函数y =f (x) =c 的导数？ 2.求函数y =f (x) =x 的导数 3.函数y =f (x) =x2的导数 4.函数 y = 5.函数 y = f (x) =的导数 x 的导数 二 1.基本初等函数的导数公式表 函数导数 y =c y'= 0 y =f (x) =x n(n ∈Q*) y' =nx n-1 y = sin x y'= cos x y = cos x y'=-sin x y =f (x) =a x y'=a x? ln a (a > 0) y =f (x) =e x y'=e x f (x) = log a x f '(x) = 1 (a > 0且a ≠ 1) x l n a f (x) = ln x f ' (x) =1 x 分几类1、幂函数 2.三角函数 3 指数函数 4.对数函数 补充 f (x) =1 x f ' (x) =- 1 x2 x x 2 x x ? ? = f (x ) (g (x ) ≠ 0) 2 ] g (x ) [ f ' (x )g (x ) - f (x )g ' (x ) = ? ? g (x ) ? ? ? f (x ) ?' 3、 1、 [ f (x ) ± g (x )]' = f ' (x ) ± g ' (x ) 2、[ f (x ) ? g (x )]' = f ' (x )g (x ) ± f (x )g ' (x ) 导数运算法则 f ( x ) = 1 f ' (x ) = 1 2 公式的应用 典型题一、求导数 例1、求下列函数的导数 A (1) y = x 5 (2) y = 5 (3) y = 1 (4) y = ln x (5) y = log 2 x (6) y = cos x 思考 求 f '(x ) 的方法有哪些？ 3. 导数的四则运算法则： 问题 x ? l n x 如何求？ 推论： [cf (x )]' = cf ' (x ) 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.。 常见错误： [ f (x ) ? g (x )]' = f ' (x )g ' (x ) ? f (x ) ?' ? g (x ) ? ' (g (x ) ≠ 0) g ' (x ) 典型题二、导数的四则运算法则 例题 3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． 1.2.2 导数的运算法则（二） 【学习目标】理解复合函数概念，记住复合函数的求导法则.理解导数的物理及几何意义；会求曲线上某点处的切线. 【基本概念】一般地，对于两个函数)(u f y =和)(x g u =，如果通过变量y u ,可以表示成x 的 ，那么称这个函数为函数)(u f y =和)(x g u =的 ，记作 . 如果函数)(),(x g u u f y ==和它们的复合函数))((x g f y =的导数 分别记为,]))(([),(),('=''=''='x g f y x g u u f y x x u 那么='x y . 即y 对x 的导数等于y 对 的导数与u 对 的导数的 . 【例证题】 例1 求下列函数的导数 （1）5)32(+=x y （2）)1ln(2+=x y （3）32--=x e y （4）)sin(?π+=x y （其中?π,均为常数） 例2 求下列函数的导数 （1）)63sin(2π +=x x y （2）x x x y 3cos 2sin += （3）x x y -= 1 （4）)12(2+=x y （5）)132(log 22++=x x y （6）x x y 2sin ln = 例3 已知抛物线c bx ax y ++=2通过点)1,1(，且在点)1,2(-处与直线3 -=x y 相切，求c b a ,,的值. 姓名： 学号： 【作业】 1、函数,)23()(3x x f -=则)(x f '=（ ） 2)23(3.x A - 2)23(6.x B - 2)23(6.x C -- 3)23(2.x D -- 2、若函数),32cos(3)(π+=x x f 则)2(π f '=（ ） 33.-A 33.B 36.-C 36.D 3、函数12+=x y 的导数为（ ） 121 .2+x A 12.2+x x B 1.2+-x x C 1.2+x x D 4、函数42-=x e y 在点2=x 处的切线方程为（ ） 032.=--y x A 032.=-+y x B 012.=+--e y ex C 012.=-++e y ex D 5、★函数22cos 53sin x x y +=的导数是（ ） 2s i n 53s i n 2.x x A - 2s i n 106sin 2.x x x B - 2s i n 106sin 3.x x C + 2s i n 106sin 3.x x x D - 6、若函数)1(log )(3-=x x f ，则2=' x y = . 7、已知函数x x x x x x f 1 53)(2+-+=，则)(x f '= . 8、曲线4 1-+=x x y 在点8=x 处的切线方程是 . 9、曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程是 . 人教版高中数学精品资料 §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运 算法则 学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 复习1：常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=； ()ln (0)x x a a a a '=>；()x x e e '=； 1()(0,ln log a x a x a '=>且1)a ≠；1(ln )x x '=. 复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2）y （3） 21y x =（4）y = 二、新课导学 学习探究 探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数 新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=± [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2 ()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数. 典型例题 例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 变式：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大 约是多少？ 例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x =<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%； （2）98%. 小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 高二数学 1．[]' ''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2 ()()()()() (()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? 4. []''()()cf x cf x = 4. 练习 （1）'C = (C 为常数)； （2）()'n x = ； （3）(sin )'x = ； （4）(cos )'x = ； （5）()'x a = ； （6）()'x e = ； （7）_____________； （8） _____________； （1） ； （2） ； （3）______________________________________； （4） =___________________________________；(C 为常数) （7） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +- （8） （9）y=tanx （10） x x y cos 3sin 4?= （11）y ＝x x 4 （12）y ＝ （13） （14）（2 －5x ＋1） )4(2 3-=x x y cos x x 32log ; y x x =+（1） 3 23y x x =-+ （2）y ＝x x -- +1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ； （4）y ＝x x 4； （5）y ＝x x ln 1ln 1+-． （6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex （7） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +- 第1页共8页 导数的四则运算法则 基本初等函数的导数公式表 导数的运算法则 (1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的． (2)法则： ①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f 2′±…±f n ′. ②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地：[Cf (x )]′＝Cf′(x )． ③商的求导法则： ???? ?? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)， 特别地：?????? 1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)． 思考：商的导数?????? f (x ) g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？ [提示]先对f(x)求导，即f′(x)g(x)，再对g(x)求导，即f(x)g′(x)． 1．下列结论不正确的是() A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3 C．若y＝－x＋x，则y′＝－ 1 2x ＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x 2．设y＝－2e x sin x，则y′等于() A．－2e x cos x B．－2e x sin x C．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x) 3．已知函数f(x)＝ln x x，则f′(1)＝________. 用导数的求导法则求导数 【例1】求下列函数的导数： (1)y＝2x2＋1 x－ 3 x3；(2)y＝ x＋3 x2＋3； (3)y＝e x cos x＋sin x；(4)y＝x3＋lg x. 应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问 题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及 其规律.对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导. 第2页共8页1.2.2 导数的运算法则(一)
北师大版数学高二-高中数学《导数的计算-基本初等函数的导数及导数的运算法则》教案3 选修2-2
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