平面向量的实际背景及基本概念
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。
数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。
4.有向线段的三要素：起点，大小，方向
a
5.有向线段与向量的区别；
（1）相同点：都有大小和方向
（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段
比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。
②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线
段表示相同（等）的向量。
③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成
6.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB；
7.向量的模：向量AB的大小（长度）称为向量的模，记作|AB|.
8.零向量、单位向量概念：
长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。
9.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．． 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。 （2）共线向量是可以相互平行的。 例1.判断下列说法是否正确，为什么 （1）平行向量是否一定方向相同 （2）不相等的向量是否一定不平行 （3）与零向量相等的向量必定是什么向量 （4）与任意向量都平行的向量是什么向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量 （6）两个非零向量相等当且仅当什么 （7）共线向量一定在同一直线上吗
解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。
（2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。 （3）零向量 （4）零向量
（5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同 （7）不一定，可以平行。 例2.下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
B
A
O
C
D E
F
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
例3.如右图所示，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，
分别写出图中与向量
→
→→OC OB OA ,,相等的向量。
解：按照向量相等的定义可知：
→→→==DO CB OA OB DC EO ==→→→ OC AB ED FO ===→→→→
向量的加法运算及其几何意义
１．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（记忆口诀：“首尾相接，从头指尾”） 3.三角形法则的来由
如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做
a 与ｂ的和，记作a
＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=
，规定：a + 0-= 0 + a
4.向量加法的
字母公式：
AB BC AC =→→→
+
5.平行四边形法则
A
B
C
a +b
a +b
a
a
b
b
a
ｂ
b a+b
a
图1
如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a 与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
6.平行四边形法则与三角形法则的区别：
（1）平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点
和两个分向量的起点是同一起点。
（2）三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。
7.一般结论
当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);
当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;
当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.
一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.
二．例题讲解
例1、已知正方形ABCD的边长为1, = a, = b, = c,则| a+b+c|等于（）
A．0 B．3 C．2 D．22.
解： D C
A
作出正方形ABCD的图形如上图所示，那么：
a+b=c,所以a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c|=2|c|=22,所以选D.
例2.化简:(1)+AB;(2)DB++;(3)AB+DF+++FA.
例3.如图所示,已知矩形ABCD中,||=43,设=a,BC=b,=c,试求向量a+b+c的模.
解:过D 作AC 的平行线,交BC 的延长线于E, ∴DE ∥AC,AD ∥BE.
∴四边形ADEC 为平行四边形. ∴
DE =AC ,CE =AD .
于是a +b +c =
AB +BC +BD =DE +BD =BE =AD +AD =2AD , ∴|a +b +c |=2|
AD |=83.
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。
①向量 AB 与 CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等； ④一个向量方向不确定当且仅当模为0； ⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
2.（1）．判断下列式子是否正确，若不正确请指出错误原因. ① =0 ② .-=0
（2）若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是___________. （3）将所有共线向量移至同一起点，终点构成的图形是什么图形___________ 3．下列说法正确的是（ ）
A. 平行向量是方向相同的向量
B. 长度相等的向量叫相等向量
C. 零向量的长度为0
D. 共线向量是在同一条直线上的向量 4．若非零向量a 与b 共线，则以下说法下确的是（ ）
A. 与必须在同一直线上
B. 与平行，且方向必须相同`
C. 与平行，且方向必须相反
D. 与平行
1、在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r
，则四边形ABCD 的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形
2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向
量分别为a r 和b r
，那么下列命题中错误的一个是（ ）
A 、a r 与b r 为平行向量
B 、a r 与b r
为模相等的向量
C 、a r 与b r 为共线向量
D 、a r 与b r
为相等的向量
3、下列命题中正确的是( ) A.单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.若a ，b 满足|a |>|b |且a 与b 同向，则a>b
D.对于任意向量a 、b ,必有|a +b |≤|a |+|b | 平面向量的加法运算
1、 用三角形法则和平行四边形法则分别画出→
→
+b a
2、下列命题中正确的是( ) A.单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.若a ，b 满足|a |>|b |且a 与b 同向，则a >b
D.对于任意向量a 、b ,必有|a +b |≤|a |+|b |
3、已知正方形的边长为1， =a ，=b ，=c ,则|a +b +c |等于( )
C.2
2
4、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r
和
b r
，那么下列命题中错误的一个是
A 、a r 与b r 为平行向量
B 、a r 与b r
为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r
为相等的向量
5、在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r
，则四边形ABCD 的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形
6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =u u u r
a ，BC =u u u r
b ，AC =u u u r
c ， 则++a b c 等于 ( )
(A) 0 (B) 3 (C) (D)
7、如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）
(A) a =b (B) 1?a b = (C) 22
≠a b (D) =a b