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专题9:几何三大变换之对称探讨

专题9:几何三大变换之对称探讨
专题9:几何三大变换之对称探讨

【2013年中考攻略】专题9:几何三大变换之轴对称探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形,并使这两个图形关于某一条直线成轴对称,这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质:(1)成轴对称的两个图形全等;(2)如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识,是中考数学的必考内容。

结合2012年全国各地中考的实例,我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换:(1)轴对称和轴对称图形的识别和构造;(2)线段、角的轴对称性;(3)等腰(边)三角形的轴对称性;(4)矩形、菱形、正方形的轴对称性;(5)等腰梯形的轴对称性;(6)圆的轴对称性;(7)折叠的轴对称性;(8)利用轴对称性求最值;(9)平面解析几何中图形的轴对称性。

一、轴对称和轴对称图形的识别和构造:

典型例题:

例1. (2012重庆市4分)下列图形中,是轴对称图形的是【】

A.B.C.D.

【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念,轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此,

A、不是轴对称图形,故本选项错误;

B、是轴对称图形,故本选项正确;

C、不是轴对称图形,故本选项错误;

D、不是轴对称图形,故本选项错误。

故选B。

例2. (2012广东湛江4分)在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是【】

A.B.C.D.

【答案】A。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念,轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合,因此

A、是轴对称图形,符合题意;

B、不是轴对称图形,不符合题意;

C、不是轴对称图形,不符合题意;

D、不是轴对称图形,不符合题意。

故选A。

例3. (2012四川达州3分)下列几何图形中,对称性与其它图形不同的是【】

【答案】A。

【考点】轴对称图形,中心对称图形。

【分析】根据轴对称及中心对称的定义,分别判断各选项,然后即可得出答案:

A、是轴对称图形,不是中心对称图形;

B、既是轴对称图形也是中心对称图形;

C、既是轴对称图形也是中心对称图形;

D、既是轴对称图形也是中心对称图形。

故可得选项A与其他图形的对称性不同。故选A。

例4. (2012广西柳州3分)娜娜有一个问题请教你,下列图形中对称轴只有两条的是【】

【答案】C。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念,分别判断出四个图形的对称轴的条数即可:

A、圆有无数条对称轴,故本选项错误;

B、等边三角形有3条对称轴,故本选项错误;

C、矩形有2条对称轴,故本选项正确;

D、等腰梯形有1条对称轴,故本选项错误。

故选C。

例5. (2012福建三明8分)如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,-1),B(-3,-3),C(-1,-3).

①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标;(4分)

②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点A2的坐标.(4分)

【答案】解:①如图所示,A1(-2,1)。

②如图所示,A2(2,1)。

【考点】轴对称和中心对称作图。

【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图,写出A1、A2的坐标。

例6. (2012四川乐山9分)如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).

(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;(要求:A与A1,B与B1,C与C1相对应)(2)在(1)问的结果下,连接BB1,CC1,求四边形BB1C1C的面积.

【答案】解:(1)如图,△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形。

(2)由图得四边形BB 1C 1C 是等腰梯形,BB 1=4,CC 1=2,高是4。

∴S 四边形BB1C1C

()()1111BB +CC 4=4+2=1222

???。 【考点】作图(轴对称变换)。

【分析】(1)关于轴对称的两个图形,各对应点的连线被对称轴垂直平分.作BM ⊥直线l 于点M ,并延长到B 1,使B 1M=BM ,同法得到A ,C 的对应点A 1,C 1,连接相邻两点即可得到所求的图形。

(2)由图得四边形BB 1 C 1C 是等腰梯形,BB 1=4,CC 1=2,高是4,根据梯形的面积公式进行计算即可。

例7. (2012贵州安顺4分)在镜中看到的一串数字是“

”,则这串数字是 ▲ . 【答案】309087。

【考点】镜面对称。

【分析】拿一面镜子放在题目所给数字的对面,很容易从镜子里看到答案是309087。

例8. (2012福建宁德4分)将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后,再沿图③中的虚线 裁剪,最后将图④中的纸片打开铺平,所得到的图案是【 】

A .

B .

C .

D .

【答案】B 。 【考点】剪纸问题

【分析】根据题中所给剪纸方法,进行动手操作,答案就会很直观地呈现,展开得到的图形如选项B 中所

示。故选B。

例9. (2012福建龙岩12分)如图1,过△ABC的顶点A作高AD,将点A折叠到点D(如图2),这时EF为折痕,且△BED和△CFD都是等腰三角形,再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠,使B、C两点都与点D重合,得到一个矩形EFGH(如图3),我们称矩形EFGH为△ABC的边BC 上的折合矩形.

(1)若△ABC的面积为6,则折合矩形EFGH的面积为;

(2)如图4,已知△ABC,在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH;

(3)如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形,且BC=2a,那么,BC边上的高AD= ,正方形EFGH的对角线长为.

【答案】解:(1)3。

(2)作出的折合矩形EFGH:

(3)2a ;。

【考点】新定义,折叠问题,矩形和正方形的性质,勾股定理。

【分析】(1)由折叠对称的性质,知折合矩形EFGH的面积为△ABC的面积的一半,

(2)按题意,作出图形即可。

(3)由如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形,且BC=2a,那么,正方形边长为a,BC边上的高AD为EFGH边长的两倍2a。

根据勾股定理可得正方形EFGH。

例10.(2012山东潍坊3分)甲乙两位同学用围棋子做游戏.如图所示,现轮到黑棋下子,黑棋下一子后白棋再下一子,使黑棋的5个棋子组成轴对称图形,白棋的5个棋子也成轴对称图形.则下列下子方法不正确的是【】.[说明:棋子的位置用数对表示,如A点在(6,3)]

A.黑(3,7);白(5,3) B.黑(4,7);白(6,2)

C.黑(2,7);白(5,3) D.黑(3,7);白(2,6)

【答案】C。

【考点】利用轴对称设计图案。

【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形,再由轴对称的定义进行判断即可得出答:

A、若放入黑(3,7),白(5,3),则此时黑棋是轴对称图形,白棋也是轴对称图形;

B、若放入黑(4,7);白(6,2),则此时黑棋是轴对称图形,白棋也是轴对称图形;

C、若放入黑(2,7);白(5,3),则此时黑棋不是轴对称图形,白棋是轴对称图形;

D、若放入黑(3,7);白(6,2),则此时黑棋是轴对称图形,白棋也是轴对称图形。

故选C。

练习题:

1. (2012浙江宁波3分)下列交通标志图案是轴对称图形的是【】

A.B.C.D.

2. (2012江苏连云港3分)下列图案是轴对称图形的是【】

A.B.C.D.

3. (2012贵州遵义4分)在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放,移动其中一个正方形到空白方格中,与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形,这样的移法共有▲ 种.

4.(2012贵州遵义3分)把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后,再如图③挖去一个三角形小孔,则展开后图形是【】

..

作图题:在方格纸中:画出△ABC关于直线

二、线段、角的轴对称性:

典型例题:

例1. (2012湖北恩施3分)如图,AB∥CD,直线EF交AB于点E,交CD于点F,EG平分∠BEF,交CD于点G,∠1=50°,则∠2等于【】

A.50°B.60°C.65°D.90°

【答案】C。

【考点】平行线的性质,角平分线的定义。

【分析】∵AB∥CD,∴∠BEF+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补)。

∵∠1=50°,∴∠BEF=130°(等量代换)。

∵EG平分∠BEF,∴∠BEG=1

2

∠BEF=65°(角平分线的定义)。

∴∠2=∠BEG=65°(两直线平行,内错角相等定理)。故选C。

例2. (2012海南省3分)如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC,分别交AB、AC于D、E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是▲ .

【答案】9。

【考点】角平分线定义,平行线的性质,等腰三角形的判定。

【分析】∵OB是∠B的平分线,∴∠DBO=∠OBC。

又∵DE∥BC,∴∠OBC =∠BOD。∴∠DBO=∠BOD。∴DO=DB。

同理,EO=EC。

又∵AB=5,AC=4,

∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9。

例3.(2012广东梅州3分)如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=1,则EF=▲ .

【答案】2。

【考点】角平分线的性质,平行的性质,三角形外角性质,含30度

角的直角三角形的性质。

【分析】作EG⊥OA于F,

∵EF∥OB,∴∠OEF=∠COE=15°,

∵∠AOE=15°,∴∠EFG=15°+15°=30°。

∵EG=CE=1,∴EF=2×1=2。

例3.(2012贵州铜仁5分)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等,且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半,A、B、C的位置如图所示,请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置,(要求:不写已知、求作、作法和结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图)

【答案】解:作图如下:M即为所求。

【考点】作图(应用与设计作图)。

【分析】连接AB,作出线段AB的垂直平分线,在矩形中标出点M的位置(以点C为圆心,1

2

AB长为

半径画弧交AB的垂直平分线于点M)。

例4.(2012山东德州8分)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A,B,如下图.电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,发射塔C应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C的位置.(保留作图痕迹,不要求写出画法)

【答案】解:作图如下:C1,C2就是所求的位置。

【考点】作图(应用与设计作图)。

【分析】根据题意知道,点C应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点。

(1)作两条公路夹角的平分线OD或OE;(2)作线段AB的垂直平分线FG。则射线OD,OE与直线FG的交点C1,C2就是所求的位置。

练习题:

1. (2012湖南怀化3分)如图,已知AB∥CD,AE平分∠CAB,且交CD于点D,∠C=110°,则∠EAB 为【】

A .30°

B .35°

C .40°

D .45°

2. (2012贵州黔南4分)如图,已知直线AB ∥CD ,BE 平分∠ABC ,交CD 于D ,∠CDE=1500,则∠C 的度数是【 】

A .1500

B .1300

C .1200

D .1000 3. (2012云南省3分)如图,在?ABC 中,∠?B=67,∠?C=33,AD 是?ABC 的角平分线,则∠CAD 的度数为【 】

4. (2012浙江嘉兴、舟山5分)在直角△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ,若CD=4,则点D 到斜边AB 的距离为 ▲ .

5.(2012湖南娄底4分)如图,FE ∥ON ,OE 平分∠MON ,∠FEO=28°,则∠MFE= ▲ 度.

三、等腰(边)三角形的轴对称性:

典型例题:

例1. (2012黑龙江牡丹江6分)已知一个等腰三角形的腰长为5,底边长为8,将该三角形沿底边上的高剪成两个三角形,用这个两个三角形能拼成几种平行四边形?请画出所拼的平行四边形,直接写出它们的对角线的长,并画出体现解法的辅助线

【答案】解:能拼成3种平行四边形,如图:

图1中,对角线的长为5;

图2中,对角线的长为3;

图3中,对角线的长为4和

【考点】拼图,等腰三角形的的性质,平行四边形、矩形的判定和性质,勾股定理。

【分析】根据平行四边形的性质拼图。图1中,拼成的平行四边形是矩形,对角线的长为5;图2中,一

条对角线的长为3;图2中,一条对角线的长为3,另一条对角线的

例2.(2012福建三明4分)如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,点P在x轴上,若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有【】

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C。

【考点】等腰三角形的判定。

【分析】如图,分OP=AP(1点),OA=AP(1点),OA=OP(2点)三种情况讨论。

∴以P ,O ,A 为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P 共有4个。故选C 。

例3. (2012湖北荆门3分)如图,△ABC 是等边三角形,P 是∠ABC 的平分线BD 上一点,PE ⊥AB 于点E ,线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ,垂足为点Q .若BF=2,则PE 的长为【 】

A . 2

B . 2

C .

D . 3 【答案】C 。

【考点】等边三角形的性质,角平分线的定义,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,线段垂直平分线的性质。

【分析】∵△ABC 是等边三角形,点P 是∠ABC 的平分线,∴∠EBP=∠QBF=30°,

∵BF=2,FQ ⊥BP ,∴。

∵FQ 是BP 的垂直平分线,∴。

在Rt △BEF 中,∵∠EBP=30°,∴PE=12。故选C 。 例4. (2012上海市4分)我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距,在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形,如果当它们的一边重合时,重心距为2,那么当它们的一对角成对顶角时,重心距为 ▲ .

【答案】4。

【考点】三角形的重心,等边三角形的性质。

【分析】设等边三角形的中线长为a ,则其重心到对边的距离为:1

a 3

∵它们的一边重合时(图1),重心距为2,

1

2a=2

3

?,解得a=3。

∴当它们的一对角成对顶角时(图2)重心=

22

2a=23=4

33

???。

例5. (2012黑龙江牡丹江3分)矩形ABCD中,AB=10,BC=3,E为AB边的中点,P为CD边上的点,且△AEP是腰长为5的等腰三角形,则DP= ▲

【答案】4或1或9。

【考点】矩形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理。

【分析】如图,根据题意,

∵AB=10,BC=3,E为AB边的中点,

∴AE=5,AD=3。

若AE=AP=5,则在Rt△ADP1中,

由勾股定理,得DP1=4。

若AE=PE=5,A作EF⊥CD于点F,则EF=3,DF=5

在Rt△EFP2中,P2F=4,∴DP2=DF-P2F=1:在Rt△EFP3中,P3F=4,∴DP3=DF+P3F=9。

另AP=EP=5不成立。

综上所述,DP=4或1或9。

例6. (2012湖北随州8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.

求证:(1)ΔABD≌ΔACD;(2)BE=CE

【答案】证明:(1)∵D是BC的中点,∴BD=CD。

在△ABD和△ACD中,∵BD=CD,AB=AC,AD=AD(公共边),

∴△ABC≌△ACD(SSS)。

(2)由(1)知△ABD≌△ACD,∴∠BAD=∠CAD,即∠BAE=∠CAE。

在△ABE和△ACE中,∵AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AE,

∴△ABE≌△ACE (SAS)。∴BE=CE(全等三角形的对应边相等)。

【考点】等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质。

【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ABD≌△ACD。

(2)由(1)的全等三角形的对应角相等可以推知∠BAE=∠CAE;根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABE≌△ACE;由全等三角形的对应边相等知BE=CE。

练习题:

1. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若△ABC的边长为4,AE=2,则BD的长为【】

A.2 B.3 C D

2. (2012湖北孝感3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36o,BD平分∠ABC交AC于点D.若AC=2,则AD的长是【】

3. (2012江苏淮安3分)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,若∠BAC=700,则∠BAD=

▲ 0。

4. (2012四川泸州5分)如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧,连结AE。

求证:AE∥BC

5. (2012甘肃白银10分)如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,DC=EF.

(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;

(2)若BF=EF,求证:AE=AD.

四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性:

典型例题:

例1. (2012辽宁沈阳3分)如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰直角三角形有【】

A.4个B.6个C.8个D.10个

【答案】C。

【考点】等腰直角三角形的判定,正方形的性质。

【分析】∵正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,

∴AB=BC=CD=AD,OA=OB=OC=OD,四个角都是直角,AC⊥BD。

∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA 八个。故选C。

例2. (2012安徽省4分)为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为

【 】

A.22a

B. 32a

C. 42a

D.52a

【答案】A 。

【考点】正多边形和圆,等腰直角三角形的性质,正方形的性质。

【分析】图案中间的阴影部分是正方形,面积是2a ,由于原来地砖更换成正八边形,四周一个阴影部分是对角线为a 的正方形的一半,它的面积用对角线积的一半来计算:

222114222

a a a +??=。故选A 。 例3. (2012山西省2分)如图,已知菱形ABCD 的对角线AC .BD 的长分别为6cm 、8cm ,AE ⊥BC 于点E ,则AE 的长是【 】

A .

B .

C .48cm 5

D .24cm 5 【答案】D 。

【考点】菱形的性质,勾股定理。

【分析】∵四边形ABCD 是菱形,∴CO=12AC=3,BO=12

BD=,AO ⊥BO ,

∴5=。∴ABCD 11S BD AC 682422

=?=??=菱形。 又∵ABCD S BC AE =?菱形,∴BC·AE=24,即()24AE cm 5

=。故选D 。 例4. (2012江苏南通3分)如图,矩形ABCD 的对角线AC =8cm ,∠AOD =120o,则AB 的长为【 】

A .3cm

B .2cm

C .23cm

D .4cm

【答案】D 。

【考点】矩形的性质,平角定义,等边三角形的判定和性质。

【分析】在矩形ABCD 中,AO=BO=12

AC=4cm , ∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°-120°=60°。∴△AOB 是等边三角形。

∴AB=AO=4cm 。故选D 。

例5. (2012湖北恩施3分)如图,菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3,∠A=120°,则图中阴影部分的面积是【 】

A B .2 C .3 D

【答案】A 。

【考点】菱形的性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

【分析】如图,设BF 、CE 相交于点M ,

∵菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3,

∴△BCM ∽△BGF ,∴CM BC GF BG =,即CM 232+3

=。 解得CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。

∵∠A=120°,∴∠ABC=180°﹣120°=60°。

∴菱形ABCD 边CD 上的高为2sin60°=

菱形ECGF 边CE 上的高为3sin60°=

∴阴影部分面积=S △BDM +S △DFM =12×+12×0.8×2=。故选A 。 例6. (2012广东深圳3分)如图,Rt △ABC 中,C= 90o ,以斜边AB 为边向外作正方形 ABDE ,且正方形对角线交于点D ,连接OC ,已知AC=5,OC=62,则另一直角边BC 的长为 ▲ .

例7. (2012上海市12分)己知:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD,∠BAF=∠DAE,AE与BD交于点G.

(1)求证:BE=DF;

(2)当DF AD

FC DF

时,求证:四边形BEFG是平行四边形.

中考数学压轴题分类汇编:图形变换

中考数学分类汇:几何综合——图形变换 某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题: ①如图1,在正三角形△ABC 中,M 、N 分别是AC 、AB 上的点,BM 与CN 相交于点O ,若∠BON =60o,则BM =CN ; ②如图2,在正方形ABCD 中,M 、N 分别是CD 、AD 上的点,BM 与CN 相交于点O ,若∠BON =90o,则BM =CN ; 然后运用类比的思想提出了如下命题: ③如图3,在正五边形ABCDE 中,M 、N 分别是CD 、DE 上的点,BM 与CN 相交于点O ,若∠BON =108o,则BM =CN 。 任务要求: (1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明;(说明:选①做对得4分,选②做对得3分,选③做对得5分) (2)请你继续完成下列探索: ①请在图3中画出一条与CN 相等的线段DH ,使点H 在正五边形的边上,且与CN 相交所成的一个角是108o,这样的线段有几条?(不必写出画法,不要求证明) ②如图4,在正五边形ABCDE 中,M 、N 分别是DE 、EA 上的点,BM 与CN 相交于点O ,若∠BON =108o,请问结论BM =CN 是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。 [解] (1)以下答案供参考: (1) 如选命题① 证明:在图1中,∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60° ∵∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3 又∵BC=CA ,∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM ≌ΔCAN ∴BM=CN (2)如选命题② 证明:在图2中,∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90° ∵∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3 又∵BC=CD ,∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM ≌ΔCDN ∴BM=CN (3)如选命题③ 证明;在图3中,∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108° ∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3 又∵BC=CD ,∠BCM=∠CDN=108° ∴ΔBCM ≌ΔCDN O C M N A 图1 A C M N O D 图2 图4 N M O E D C B A

专题22 几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(原卷版解析版)-1.doc

2016中考数学预测押题--专题22 几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内,将一个图形(含点、线、面)整体绕一固定点旋转一个定角,这样的图形变换叫做图形的旋转变换,简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转,旋转前后图形的形状、大小不变,只是位置发生改变;旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等,即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上;旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后,与初始的图形重合,这种图形就叫做旋转对称图形,这个定点就叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角。 特别地,中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合,这个图形是中心对称图形。 在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识,是中考数学的必考内容。 中考压轴题中旋转问题,包括直线(线段)的旋转问题;三角形的旋转问题;四边形旋转问题;其它图形的问题。 原创模拟预测题1.如图,直线l:y=+y轴交于点A,将直线l绕点A顺时针旋转75o后,所得直线的解析式为【】

A .y = B .y x =+ C .y x =-+ D .y x =- 【答案】B 。 【考点】旋转的性质,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 故选B 。 原创模拟预测题2. 根据要求,解答下列问题: (1)已知直线l 1的函数表达式为y x 1=+,直接写出:①过原点且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式;②过点(1,0)且与l 1垂直的直线l 2的函数表达式; (2)如图,过点(1,0)的直线l 4向上的方向与x 轴的正方向所成的角为600,①求直线l 4的函数表达式;②把直线l 4绕点(1,0)按逆时针方向旋转900得到的直线l 5,求直线l 5的函数表达式; (3)分别观察(1)(2)中的两个函数表达式,请猜想:当两直线垂直时,它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系?请根据猜想结论直接写出过点(1,1)且与直线11y x 55 =-垂直的直线l 6的函数表达式。

几何的变换压轴题(含答案)

图形的变换压轴题 1.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置,其中∠C =90°,∠B =∠E=30°. (1)操作发现 如图2,固定△ABC ,使△DEC 绕点C 旋转.当点D 恰好落在AB 边上时,填空: ①线段DE 与AC 的位置关系是 ; ②设△BDC 的面积为1S ,△AEC 的面积为2S ,则1S 与2S 的数量关系是 . (2)猜想论证 当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中1S 与2S 的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高DM 和AN ,请你证明小明的猜想. (3)拓展探究 已知∠ABC =60°,点D 是其角平分线上一点,BD =CD =4,DE ∥AB 交BC 于点E (如图4).若在射线BA 上存在点F ,使DCF BDE S S =,请求出相应的 BF 的长. 【答案】(1)DE AC ①; 12S S =②.(2)证明见解析;(3)BF . 【解析】(1)DE AC ①; 12S S =②. (2)证明: 90DCE ACB ∠=∠=?, 180DCM ACE ∴∠+∠=?. 又180ACN ACE ∠+∠=?, ACN DCM ∴∠=∠. 又 90CNA CMD ∠=∠=?, AC CD =, ANC DMC ∴≌. AN DM ∴=. 又 CE CB =, 12S S ∴=. (3)如图,延长CD 交AB 于点P ,

则有 ∠ABD =30°,PD =2,由BD =CD =4可得∠BCD =30°, ∴∠BPD =90°,BP = 同理可求DE =BE ,故BDE S = , 当DCF BDE S S =时, 1423DCF S PF = ??=,∴3 PF =, ∴BF =,即BF . 2.已知,正方形ABCD 的边长为4,点E 是对角线BD 延长线上一点,AE=BD .将△ABE 绕点 A 顺时针旋转α度(0°<α<360°)得到△A B ′E ′,点B 、E 的对应点分别为B ′、E ′. (1)如图1,当α=30°时,求证:B ′C=DE ; (2)连接B ′E 、DE ′,当B ′E=DE ′时,请用图2求α的值; (3)如图3,点P 为AB 的中点,点Q 为线段B ′E ′上任意一点,试探究,在此旋转过程中,线段PQ 长度的取值范围为 . 【答案】(1)证明见解析(2)45°(3) ≤PQ≤4 +2

2013中考压轴题选讲专题7:几何三大变换问题(排版+答案)

2012年中考数学压轴题分类解析 专题7:几何三大变换相关问题 授课老师:黄立宗 典型例题选讲: 例题1:(2012福建龙岩13分)矩形ABCD中,AD=5,AB=3,将矩形ABCD沿某直线折叠,使点A的对 应点A′落在线段BC上,再打开得到折痕EF. (1)当A′与B重合时(如图1),EF= ;当折痕EF过点D时(如图2),求线段EF的长; (2)观察图3和图4,设BA′=x,①当x的取值范围是时,四边形AEA′F是菱形;②在①的 条件下,利用图4证明四边形AEA′F是菱形. 例题2:(2012辽宁丹东)已知:点C、A、D在同一条直线上,∠ABC=∠ADE=α,线段 BD、CE交于点M.(1)如图1,若AB=AC,AD=AE ①问线段BD与CE有怎样的数量关系?并说明理由;②求∠BMC的大小(用α表示); (2)如图2,若AB= BC=kAC,AD =ED=kAE 则线段BD与CE的数量关系为,∠BMC= (用α表示); (3)在(2)的条件下,把△ABC绕点A逆时针旋转180°,在备用图中作出旋转后的图形(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= (用α表示). 例题3:(2012福建福州)如图①,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点. (1) 求抛物线的解析式; (2) 将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D

的坐标; (3) 如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应). 例题4:(2012广西贵港12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M(2,-1),交x轴于A、B两点,交y轴于点C,其中点B的坐标为(3,0)。 (1)求该抛物线的解析式; (2)设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D,且直线CD和直线CA关于直线BC对称,求直线CD的解析式; (3)在该抛物线的对称轴上存在点P,满足PM2+PB2+PC2=35,求点P的坐标;并直接写出此时直线 OP与该抛物线交点的个数。 巩固练习 1、(2012黑龙江大庆)在直角坐标系中,C(2,3),C′(-4,3), C″(2,1),D(-4,1),A(0,a),B(a,O)( a 0). (1)结合坐标系用坐标填空. 点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称

上海市北初级中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案

上海市北初级中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案 一、初三数学旋转易错题压轴题(难) 1.在Rt△ACB和Rt△AEF中,∠ACB=∠AEF=90°,若点P是BF的中点,连接PC,PE. (1) 如图1,若点E,F分别落在边AB,AC上,求证:PC=PE; (2) 如图2,把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转,当点E落在边CA的延长线上时,探索PC与PE的数量关系,并说明理由. (3) 如图3,把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转,点F落在边AB上.其他条件不变,问题(2)中的结论是否发生变化?如果不变,请加以证明;如果变化,请说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)PC=PE,理由见解析;(3)成立,理由见解析 【解析】 【分析】 (1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,即可; (2)先判断△CBP≌△HPF,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半; (3)先判断△DAF≌△EAF,再判断△DAP≌△EAP,然后用比例式即可; 【详解】 解:(1)证明:如图: ∵∠ACB=∠AEF=90°, ∴△FCB和△BEF都为直角三角形. ∵点P是BF的中点, ∴CP=1 2BF,EP= 1 2 BF, ∴PC=PE. (2)PC=PE理由如下: 如图2,延长CP,EF交于点H,

∵∠ACB=∠AEF=90°, ∴EH//CB, ∴∠CBP=∠PFH,∠H=∠BCP, ∵点P是BF的中点, ∴PF=PB, ∴△CBP≌△HFP(AAS), ∴PC=PH, ∵∠AEF=90°, ∴在Rt△CEH中,EP=1 2 CH, ∴PC=PE. (3)(2)中的结论,仍然成立,即PC=PE,理由如下: 如图3,过点F作FD⊥AC于点D,过点P作PM⊥AC于点M,连接PD, ∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA=90°, 在△DAF和△EAF中, DAF, , , EAF FDA FEA AF AF ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DAF≌△EAF(AAS), ∴AD=AE, 在△DAP≌△EAP中, , , , AD AE DAP EAP AP AP = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DAP≌△EAP (SAS), ∴PD=PF, ∵FD⊥AC,BC⊥AC,PM⊥AC, ∴FD//BC//PM, ∴DM FP MC PB =,

中考数学专题 几何三大变换问题之对称

2004-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题13:几何三大变换问题之对称 一、选择题 1.(2004年浙江绍兴4分)如图,一张长方形纸沿AB对折,以AB中点O为顶点将平角五等分,并沿五等分的折线折叠,再沿CD剪开,使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形).则∠OCD等于【】 A.108°B.144°C.126°D.129° 【答案】C。 【考点】矩形的性质,折叠对称的性质。 【分析】展开如图:五角星的每个角的度数是: 0 180 36 5 。 ∵∠COD=3600÷10=360,∠ODC=360÷2=180, ∴∠OCD=1800-360-180=1260。故选C。 2.(2004年浙江湖州3分)小强拿了一张正方形的纸如图(1),沿虚线对折一次得图(2),再对折一次得图(3),然后用剪刀沿图(3)中的虚线(虚线与底边平行)剪去一个角,再打开后的形状应是【】 A. B. C. D. 【答案】D。 【考点】剪纸问题,折叠对称的性质,正方形的性质。 【分析】按照图中的顺序向右下对折,向左下对折,从上方角剪去一个等腰直角三角形,展开得:剪去的为一正方形,且顶点在原正方形的对角线上。故选D。 3.(2007年浙江绍兴4分)如图的方格纸中,左边图形到右边图形的变换是【】

A.向右平移7格 B.以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称,再以AB为对称轴作轴对称 C.绕AB的中点旋转1800,再以AB为对称轴作轴对称 D.以AB为对称轴作轴对称,再向右平移7格 【答案】D。 【考点】轴对称和平移变换。 【分析】观察可得:要使左边图形变化到右边图形,首先以AB为对称轴作轴对称,再向右平移7格。故选D。 4.(2008年浙江台州4分)把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移, 我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换 .......在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图1).结 合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换 ......过程中,两个对应三角形(如图2)的对应点所具有的性质是【】 A.对应点连线与对称轴垂直B.对应点连线被对称轴平分 C.对应点连线被对称轴垂直平分D.对应点连线互相平行 【答案】B。 【考点】新定义,轴对称变换和平移变换的性质。 【分析】观察图形,因为进行了平移,所以有垂直的一定不正确,A、C是错误的; 对应点连线是不可能平行的,D是错误的; 由对应点的位置关系可得:对应点连线被对称轴平分。故选B。 5.(2011年浙江温州4分)如图,O是正方形ABCD的对角线BD上一点,⊙O与边AB,BC都相切,点E,F分别在AD,DC上,现将△DEF沿着EF对折,折痕EF与⊙O相切,此时点D恰好落在圆心O处.若DE=2,

几何三大变换(习题及答案)

几何三大变换(习题) ?例题示范 例1:如图,四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片,将该纸片折叠,使点B 落在CD 边上的点B′处,点A 的对应点为A′,折痕为MN.若B′C=3,则AM 的长为. 【思路分析】 要求AM 的长,设AM=x,则MD=9-x. 思路一:考虑利用折叠为全等变换转条件,得AM=A′M=x, A′B′=AB=9.观察图形,∠A′=∠D=90°,△MA′B′和△MDB′都是 直角三角形,MB′是其公共斜边,则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达,列方程. 思路一思路二 思路二:MN 是对称轴,考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件,得MB=MB′.观察图形,∠A=∠D=90°,MB,MB′ 可分别放到Rt△ABM 和Rt△DB′M 中借助勾股定理表达,列方程. 例2:如图,在四边形ABCD 中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD 的面积为24,则AC 的长为. 【思路分析】 已知四边形ABCD 的面积,要求AC 的长,考虑借助AC 表达四 边形ABCD 的面积.四边形ABCD 为不规则四边形,考虑割补法或转化法求面积.分析题目中条件AB=AD,存在等线段共端点的 结构,且隐含∠B+∠D=180°,故考虑通过构造旋转解决问题,可把△ABC 绕点A 逆时针旋转90°.

1

?巩固练习 1.如图,将边长为2 的等边三角形ABC 沿BC 方向平移1 个单 位得到△DEF,则四边形ABFD 的周长为. 第1 题图第2 题图 2.如图,已知△ABC 的面积为8,将△ABC 沿BC 方向平移到 △A′B′C′的位置,使点B′和点 C 重合,连接AC′,交A′C 于点D,则△CAC′的面积为. 3.如图,在6 4 的方格纸中,格点三角形甲经过旋转后得到格点 三角形乙,则其旋转中心是() A.格点M B.格点N C.格点P D.格点Q 第3 题图第4 题图 4.如图,已知OA⊥OB,等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上,∠ECD=45°,将△CDE 绕点 C 逆时针旋转75°,点 E 的 对应点N 恰好落在OA 上,则OC 的值为.CD 5.如图,E 是正方形ABCD 内一点,连接 AE,BE,CE,将△ABE 绕点B 顺时针 旋转90°至△CBE′的位置.若AE=1, BE=2,CE=3,则∠BE′C= . 6.如图,在□ABCD 中,∠A=70°,将该 平行四边形折叠,使点C,D 分别落 在点E,F 处,折痕为MN.若点E, F 均在直线AB 上,则∠AMF= .

几何图形变换中考数学压轴题整顿

几何图形变换压轴题中考整理 1(黑龙江省哈尔滨市)已知:△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F.(1)如图l,若△ABC为锐角三角形,且∠ABC=45°,过点F作FG∥BC,交直线AB于点G,求证:FG+DC=AD; (2)如图2,若∠ABC=135°,过点F作FG∥BC,交直线AB于点G,则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________; (3)在(2)的条件下,若AG=2 5,DC=3,将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转,这个角的两边分别交线段FG于M、N两点(如图3),连接CF,线段CF分别 3,求线段PQ的长. 与线段BM、线段BN相交于P、Q两点,若NG= 2 (湖北省随州市)如图①,已知△ABC是等腰三直角角形,∠BAC=90°,点D是BC 的中点.作正方形DEFG,使点A,C分别在DG和DE上,连接AE,BG.(1)试猜想线段BG和AE的数量关系,请直接写出你得到的结论. (2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于360°),如图②,通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由. (3)若BC=DE=2,在(2)的旋转过程中,当AE为最大值时,求AF的值.

3、如图13-1,一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转. (1)如图13-2,当EF 与AB 相交于点M ,GF 与BD 相交于点N 时,通过观察或测 量BM ,FN 的长度,猜想BM ,FN 满足的数量关系,并证明你的猜想; (2)若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时,线段FE 的延长线与AB 的延长 线相交于点M ,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 3.在△ABC 中,点P 为BC 的中点. (1)如图1,求证:AP < 2 1 (AB +BC ); (2)延长AB 到D ,使得BD =AC ,延长AC 到E ,使得CE =AB ,连结DE . ①如图2,连结BE ,若∠BAC =60°,请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系.写出你的结论,并加以证明; ②请在图3中证明:BC ≥ 2 1 DE . 图13-2 E A B D G F O M N C 图13-3 A B D G E F O M N C 图13- 1 A ( G ) B ( E ) C O D ( F )

【整理】中考几何三大变换(含答案17页)

中考几何变换专题复习(针对几何大题的讲解) 几何图形问题的解决,主要借助于基本图形的性质(定义、定理等)和图形 之间的关系(平行、全等、相似等).基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”,最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同 样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样, 和相互间的位置没有直接关系,但是,在同一个问题中涉及到的两个全等三角形, 大多数都有一定的位置关系(或成轴对称关系,或成平移的关系,或成旋转的关 系(包括中心对称).这样,在解决具体的几何图形问题时,如果我们有意识地 从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发,来识别、构造基本图 形或图形关系,那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究. 解决图形问题的能力,核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基 本图形及基本的图形关系,而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力. 1.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG. (1)求证:EG=CG; (2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请 说明理由; (3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).

考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;正方 形的性质。 专题:压轴题。 分析:(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG.(2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点;再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG. (3)结论依然成立.还知道EG⊥CG. 解答:(1)证明:在Rt△FCD中, ∵G为DF的中点, ∴CG=FD, 同理,在Rt△DEF中, EG=FD, ∴CG=EG. (2)解:(1)中结论仍然成立,即EG=CG. 证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点. 在△DAG与△DCG中, ∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴△DAG≌△DCG, ∴AG=CG; 在△DMG与△FNG中, ∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG, ∴△DMG≌△FNG,

中考数学 专题 几何三大变换问题之轴对称(折叠)问题(含解析)

专题20 几何三大变换问题之轴对称(折叠)问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形,并使这两个图形关于某一条直线成轴对称,这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质: (1)成轴对称的两个图形全等;(2)如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。中考压轴题中轴对称 (折叠)问题,包括有关三角形的轴对称性问题;有关四边形的轴对称性问题;有关圆的轴对称性问题;有关利用轴对称性求最值问题;有关平面解析几何中图形的轴对称性问题。 一. 有关三角形的轴对称性问题 1. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别是点E ,F ,连接EF ,交AD 于点G ,求证:AD ⊥EF . 2. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=900 ,∠B=300 , BC=,点D 是BC 边上一动点(不与点B 、C 重合),过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ,将∠B 沿直线DE 翻折,点B 落在射线BC 上的点F 处,当△AEF 为等腰三角形时,BD 的长为 。 F D C E A B

【考点】翻折问题,轴对称的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,勾股定理,等腰三角形的判定,分类思想的应用。 二. 有关四边形的轴对称性问题 3.如图①是3×3菱形格,将其中两个格子涂黑,并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形,约定绕菱形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种,例②中四幅图就视为同一种,则得到不同共有【】 A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 【答案】B。 【考点】利用旋转的轴对称设计图案。 【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案: 得到的不同图案有:

几何三大变换讲义及答案

几何三大变换(讲义) 一、知识点睛 1.________、________、____________统称为几何三大变换.几 何三大变换都是_______________,只改变图形的________,不改变图形的_________________. 2.三大变换思考层次 三 大 变 换 基本要素基本性质延伸性质应用 平移平移方向 平移距离 1.对应点所连的线 段平行且相等 2.对应线段平行且 相等 3.对应角相等 平移出现 __________ 天桥问题、 平行四边形 存在性等 旋转旋转中心 旋转方向 旋转角度 1.对应点到旋转中 心的距离相等 2.对应点与旋转中 心的连线所成的角 等于旋转角 3.对应线段、角相 等,对应线段的夹 角等于旋转角 4.对应点所连线段 的垂直平分线都经 过旋转中心 旋转出现 __________ 旋转结构 (等腰)等 轴 对称对称轴 1.对应线段、对应 角相等 2.对应点所连线段 被对称轴垂直平分 3.对称轴上的点到 对应点的距离相等 4.对称轴两侧的几 何图形全等 折叠出现 __________ 折叠问题、 最值问题等

二、精讲精练 1. 如图,将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到 △DEF ,则四边形ABFD 的周长为( ) A .6 B .8 C .10 D .12 F C E D B A B 1 A 1 y x B A O 第1题图 第2题图 2. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点A ,B 的坐标分别 为(1,0),(0,2),将线段AB 平移至A 1B 1,若点A 1,B 1的坐标分别为(2,a ),(b ,3),则a b +=___________. 3. 如图,在44?的正方形网格中,△MNP 绕某点旋转一定的角 度得到△M 1N 1P 1,则其旋转中心可能是( ) A .点A B .点B C .点C D .点D D C B A N 1 M 1 P 1N M P 4. 如图,Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上,AC =3,∠ACB =90°, ∠A =30°.若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转,则当点A 第3次落在直线l 上时,点A 所经过的路径长为________________.(结果保留π) C B A l …

中考数学复习专题四几何变换压轴题试题

2019-2020 年中考数学复习专题四几何变换压轴题试题 类型一图形的旋转变换 几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点,多与三角形、四边形相结合.解决旋转变换问题,首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角,关键是找出旋转前后的对应点,利用旋转前后两图形全等等性质解题.如图,在菱形 ABCD 中,AB=2,∠BAD=60°,过点 D 作DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F. 1 (1)如图 1,连接 AC 分别交 DE,DF 于点M,N,求证:MN=AC; 3 (2)如图2,将∠EDF以点D 为旋转中心旋转,其两边DE′,DF′分别与直线AB,BC 相交于点G,P.连接GP,当△DGP的面积等于3 3时,求旋转角的大小并指明旋转方向. 【分析】(1)连接 BD,由∠BAD=60°,得到△ABD为等边三角形,进而证明点 E 是AB 的中点,再根据相似三角形的性质解答;(2)分∠EDF 顺时针旋转和逆时针旋转两种情况,然后根据旋转的性质解题. 1.(xx·潍坊)边长为 6 的等边△ABC 中,点 D,E 分别在 AC,BC 边上,DE∥AB,EC=2 3. (1)如图1,将△DEC沿射线EC方向平移,得到△D′E′C′,边D′E′与AC的交点为M,边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点 N.当 CC′多大时,四边形MCND′为菱形?并说明理由. (2)如图 2,将△DEC绕点C 旋转∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,连接AD′,BE′.边D′E′的中点为 P. ①在旋转过程中,AD′和BE′有怎样的数量关系?并说明理由; ②连接 AP,当 AP 最大时,求AD′的值.(结果保留根号) 图1 图2 2.(xx·成都)如图 1,△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,点 D 在AH 上,且 DH=CH,连接 BD. (1)求证:BD=AC; (2)将△BHD 绕点 H 旋转,得到△EHF(点 B,D 分别与点 E,F 对应),连接 AE. ①如图 2,当点 F 落在 AC 上时(F 不与 C 重合),若 BC=4,tan C=3,求 AE 的长; ②如图 3,当△EHF 是由△BHD 绕点H 逆时针旋转 30°得到时,设射线 CF 与AE 相交于点 G,连接 GH,试探究线段 GH 与EF 之间满足的等量关系,并说明理由.

第7讲 几何三大变换问题及答案

1.如图(1),将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不 与点C ,D 重合),压平后得到折痕MN .当12CE CD =时,求AM BN 的值. 类比归纳:在图(1)中,若 13CE CD =,则AM BN 的值等于;若14 CE CD =,则AM BN 的值等于;若1CE CD n =(n 为整数),则AM BN 的值等于.(用含n 的式子表示)联系拓展:如图(2),将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C D ,重合),压平后得到折痕MN ,设()111AB CE m BC m CD n =>=,,则AM BN 的值等于__.(用含m n ,的式子表示)

2. 2.如图①,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使B落在边AD(含端点)上, 落点记为E,这时折痕与边BC或边CD(含端点)交于点F,然后再展开 铺平,则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”. 图一图二图三(1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF” 是一个_________三角形; (2)如图②,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.当它的“折痕△BEF”的顶 点E位于边AD的中点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点F的坐标; (3)如图③,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最 大的“折痕△BEF”?若存在,说明理由,并求出此时点E的坐标;若不存 在,为什么?

3.课题:两个重叠的正多边形,其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的 有关问题. 实验与论证 设旋转角∠A1A0B1=α(α<∠A1A0A2),θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6所表示的角如图所示. (1)用含α的式子表示:θ3=_________,θ4=_________,θ5=_________; (2)图1-图4中,连接A0H时,在不添加其他辅助线的情况下,是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段?若存在,请选择其中的一个图给出证明;若不存在,请说明理由;归纳与猜想 设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合(其中,A1与B1重合),现将正n边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α ( n 180 0< < ). (3)设θn与上述“θ3,θ4,…”的意义一样,请直接写出θn的度数;(4)试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下,是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段?若存在,请将这条线段用相应的顶点字母表示出来(不要求证明);若不存在,请说明理由.

几何变换综合题2018版中考数学压轴题

一、选择题 1.(2017四川省达州市,第9题,3分)如图,将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置,继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置,以此类推,这样连续旋转2017次.若AB=4,AD=3,则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为() A.2017πB.2034πC.3024πD.3026π 2.(2017临沂,第14题,3分)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 k y x =(x>0)的图象与边长是 6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M,N两点,△OMN的面积为10.若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是() A.62B.10C.226D.229 3.(2017新疆乌鲁木齐市,第10题,4分)如图,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线 3 y x =上,点C, D,分别是x轴,y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为() A.52B.62C.21022 +D.82 4.(2017湖北省恩施州,第12题,3分)如图,在平面直角坐标系中2条直线为l1:y=﹣3x+3,l2:y=﹣3x+9,

直线l1交x轴于点A,交y轴于点B,直线l2交x轴于点D,过点B作x轴的平行线交l2于点C,点A、E 关于y轴对称,抛物线2 y ax bx c =++过E、B、C三点,下列判断中: ①a﹣b+c=0;②2a+b+c=5;③抛物线关于直线x=1对称;④抛物线过点(b,c);⑤S四边形ABCD=5,其中正确的个数有() A.5B.4C.3D.2 5.(2017湖北省咸宁市,第8题,3分)在平面直角坐标系xOy中,将一块含有45°角的直角三角板如图放置,直角顶点C的坐标为(1,0),顶点A的坐标为(0,2),顶点B恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的对应点C′的坐标为() A.(3 2 ,0)B.(2,0)C.( 5 2 ,0)D.(3,0) 6.(2017辽宁省营口市,第8题,3分)如图,在菱形ABOC中,∠A=60°,它的一个顶点C在反比例函 数 k y x 的图象上,若将菱形向下平移2个单位,点A恰好落在函数图象上,则反比例函数解析式为()

中考复习几何三大变换

几何综合——三大变换 【例1】已知△ABC ,AD ∥BE ,若∠CBE =4∠DAC =80°,求∠C 的度数。 C D E B A 【例2】已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =DC ,且BD =BC ,AC ⊥BD 。求证:AD +BC =2CM 。 M D C B A

【例3】已知:如图,正方形ABCD 中,E 是AB 上一点,FG ⊥DE 于点H 。 ⑴求证:FG =DE 。 ⑵求证:FD EG 。 H G F E D C B A 【例4】如图,△ABC 中,AB =AC ,D 、E 是AB 、AC 上的点且AD =CE 。求证:2DE ≥BC 。 E D C B A 【例5】(2007北京)如图,已知△ABC 。 ⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外),连结AD 、AE ,写出使此 图中只存在... 两对.. 面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形;

⑵请你根据使⑴成立的相应条件,证明AB +AC >AD +AE 。 板块二 轴对称变换 【例6】把正方形沿着EF 折叠使点B 落在AD 上, B 'C '交CD 于点N ,已知正方形的边长为1,求△DB'N 的周长。 N C' F E B' D C B A 【例7】(2009山西太原)问题解决: 如图1,将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C D 、重合),压平后得到折痕MN 。当 12CE CD 时,求 AM BN 的值。 图1 N M F E D C B A 【例8】⑴(2009浙江温州)如图,已知正方形纸片ABCD 的边长为8,⊙O 的半径为2,圆心在正方形的中

中考数学 专题21 几何三大变换问题之平移问题(含解析)

专题21几何三大变换问题之平移问题 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内,将一个图形(含点、线、面)整体按照某个直线方向移动一定的距离,这样的图形变换叫做图形的平移变换,简称平移。平移由两大要素构成:①平移的方向,②平移的距离。平移有如下性质: 1、经过平移,平移前后图形的形状、大小不变,只是位置发生改变,即平移前后的图形全等; 2、平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等; 3、平移前后图形的对应线段平行且相等,对应角相等。 中考压轴题中平移问题,包括直线(线段)的平移问题;曲线的平移问题;三角形的平移问题;四边形的平移问题;其它曲面的平移问题。 一.直线(线段)的平移问题 1.定义:P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离. 已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角系中四点. (1)根据上述定义,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离是_____, 当m=5,n=2时,如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______ (2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数解析式. (3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M. ①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长; ②点D的坐标为(0,2),m≥0,n≥0,作MH⊥x轴,垂足为H,是否存在m的值,使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)2;5(2) () () 2 m8m122m4 d 24m6 < ?-+-≤ ? =? ≤≤ ?? (3)①16+4π②存在,m=1,m=3,m= 14 3 【解析】解:(1)2;5。 (2)∵点B落在圆心为A,半径为2的圆上,∴2≤m≤6。当4≤m≤6时,根据定义, d=AB=2。 当2≤m<4时,如图,过点B作BE⊥OA于点E,则根据定义,d=EB。

九年级数学几何三大变换(旋转)拔高练习

九年级数学几何三大变换(旋转)拔高练习 试卷简介:全卷共20道题,全部为选择题,共100分,整套试卷略有难度,考查学生对知识的灵活综合运用能力,题目短小却又不失难度和知识点的考查,包含了不少中考经常考查的知识点和解题策略。学生在做题过程中可以回顾所学知识,认清自己对知识的掌握及灵活运用程度 学习建议:熟练掌握全等三角形的判定和性质、特殊四边形的性质、一元二次方程等知识点,并学会灵活运用。只有多加练习,才能对较难的题目轻松掌握,快速做题 一、单选题(共2道,每道50分) 1.已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,且BD=BC,AC⊥BD,下列结论正确的是() A.BC-AD=CM B.AD+BC=2CD C.BC-AD=2AM D.AD+BC=2CM 答案:D 解题思路:由等腰梯形性质可知,AC=BD,AM=DM,BM=CM,△ADM和△BCM都是等腰直角三角形. 设BM=CM=x,则BC=x, DM=BD-BM=BC-BM=(-1)x, AD=DM=(2-)x, 于是AD+BC=(2-)x+x=2x=2CM,故答案选D 易错点:不能灵活运用等腰梯形的性质,并结合题目条件得到梯形中各条线段的数量关系试题难度:四颗星知识点:等腰梯形的性质 2.在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB与P,若四边形ABCD的面积是18,则DP的长为() A.

B. C. D. 答案:C 解题思路:作CE⊥DP于点E,则CE=PB, 在Rt△ADP和Rt△DCE中, AD=DC, ∠APD=∠DEC=90°, 因为∠ADP+∠CDE=90°,∠DCE+∠CDE=90°,所以∠ADP=∠DCE 所以△ADP≌△DCE,AP=DE,DP=CE=BP, 设AP=x,CE=DP=y,则DE=x,PE=y-x,则 18=2S△ADP+S矩形BCEP=2·xy+y(y-x)=y2 所以y=故答案选C 易错点:想不到辅助线的做法,不能把图形中的线段和四边形面积建立起联系试题难度:四颗星知识点:全等三角形的判定与性质

中考数学专题训练-旋转模型几何变换三种模型手拉手-半角-对角互补

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形(包含正方形) 等边三角形(包含费马点) 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换(与圆相关) 【练1】(2013北京中考)在ABC △中,AB AC =,BACα ∠=(060 α ?<

【练2】 (2012年北京中考)在ABC △中,BA BC BAC α=∠=, ,M 是AC 的中点,P 是线段上的动点,将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ . (1)若α=60?且点P 与点M 重合(如图1),线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ,请补全图形,并写出CDB ∠的度数; (2)在图2中,点P 不与点B M ,重合,线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ,猜 想CDB ∠的大小(用含α的代数式表示),并加以证明; (3)对于适当大小的α,当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ,M 重合)时,能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ,且PQ QD =,请直接写出α的范围.

例题精讲 考点1:手拉手模型:全等和相似 包含:等腰三角形、等腰直角三角形(正方形)、等边三角形伴随旋转出全等,处于各种位置的旋转模型,及残缺的旋转模型都要能很快看出来 (1)等腰三角形旋转模型图(共顶点旋转等腰出伴随全等) (2)等边三角形旋转模型图(共顶点旋转等边出伴随全等) (3)等腰直角旋转模型图(共顶点旋转等腰直角出伴随全等) (4)不等边旋转模型图(共顶点旋转不等腰出伴随相似)

2020江苏省中考数学选择填空压轴题专题:《几何变换问题》(含答案)

专题: 几何变换问题 例1.如图,斜边长12cm,∠A=30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置,再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上,则三角尺向左平移的距离为______________.(结果保留根号) 同类题型1.1 把图中的一个三角形先横向平移x格,再纵向平移y格,就能与另一个三角形拼合成一个四边形,那么x+y() A.是一个确定的值B.有两个不同的值 C.有三个不同的值D.有三个以上不同的值 同类题型1.2 已知:如图△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,-3),C(-2,1),如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点,若设△ABC的面积为S1,△AB1C的面积为S2,则S1,S2的大小关系为() A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.不能确定 例2.如图,P是等边△ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′,已知∠AP′B=150°,P′A:P′C=2:3,则PB:P′A是() A. 2 :1 B.2:1 C. 5 :2 D. 3 :1 同类题型2.1 如图,△ABC为等边三角形,以AB为边向形外作△ABD,使∠ADB=120°,再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE,则下列结论:①D、A、E三点共线;②DC平分∠BDA;③∠E=∠BAC;④DC=

DB+DA,其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 同类题型2.2 如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与B,C 重合),CN⊥DM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列五个结论:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM; ③△OMN∽△OAD;④AN 2 +CM 2 =MN 2 ;⑤若AB=2,则S△OMN的最小值是 1 2 ,其中正确结论的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 同类题型2.3 在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(0,4),将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA,使点B在直线CD上,连接OD交AB于点M,直线CD的解析式为__________. 同类题型2.4 如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上,连结CE,CF,若∠CEF=α,∠CFE=β,则tanα﹒tanβ=___________. 同类题型2.5 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M是BC 的中点,P是A′B′的中点,连接PM,若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是_____.

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