2012年全国中考数学试题分类汇编 二次函数的应用(几何问题)
一、选择题
1.(2012甘肃兰州4分)二次函数y =ax 2
+bx +c(a≠0)的图象如图所示,若|ax 2
+bx +c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是【 】
A .k <-3
B .k >-3
C .k <3
D .k >3 三、解答题
1. (2012天津市10分)已知抛物线y=ax 2
+bx+c (0<2a <b )的顶点为P (x 0,y 0),点A (1,y A )、B (0,y B )、C (-1,y C )在该抛物线上. (Ⅰ)当a=1,b=4,c=10时,①求顶点P 的坐标;②求
A
B
C
y y y -的值;
(Ⅱ)当y 0≥0恒成立时,求
A
B C
y y y -的最小值.
2. (2012上海市12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax 2
+6x+c 的图象经过点A (4,0)、B (﹣1,0),与y 轴交于点C ,点D 在线段OC 上,OD=t ,点E 在第二象限,∠ADE=90°,tan∠DAE=
1
2
,EF⊥OD,垂足为F . (1)求这个二次函数的解析式;
(2)求线段EF 、OF 的长(用含t 的代数式表示); (3)当∠ECA=∠OAC 时,求t 的值.
3. (2012广东广州14分)如图,抛物线23
3y=x x+384
--与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C . (1)求点A 、B 的坐标;
(2)设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时,求点D 的坐标;
(3)若直线l 过点E (4,0),M 为直线l 上的动点,当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l 的解析式.
4. (2012广东肇庆10分)已知二次函数2y mx nx p =++图象的顶点横坐标是2,与x 轴交于A (x 1,0)、
B (x 2,0),x 1﹤0﹤x 2,与y 轴交于点
C ,O 为坐标原点,tan tan CA BO 1O C ∠-∠=. (1)求证: n 4m 0+=; (2)求m 、n 的值;
(3)当p ﹥0且二次函数图象与直线y x 3=+仅有一个交点时,求二次函数的最大值. 5. (2012广东珠海7分)如图,二次函数y=(x ﹣2)2
+m 的图象与y 轴交于点C ,点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A (1,0)及点B .
(1)求二次函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象,写出满足kx+b≥(x ﹣2)2
+m 的x 的取值范围.
6. (2012浙江杭州12分)在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k (x 2
+x ﹣1)的图象交于点A (1,k )和点B (﹣1,﹣k ).
(1)当k=﹣2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大,求k 应满足的条件以及x 的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q ,当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时,求k 的值. 7. (2012浙江宁波12分)如图,二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象交x 轴于A (﹣1,0),B (2,0),交y 轴于C (0,﹣2),过A ,C 画直线. (1)求二次函数的解析式;
(2)点P 在x 轴正半轴上,且PA=PC ,求OP 的长;
(3)点M 在二次函数图象上,以M 为圆心的圆与直线AC 相切,切点为H . ①若M 在y 轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C 与点A 对应),求点M 的坐标; ②若⊙M 的半径为
4
55
,求点M 的坐标.
8. (2012浙江温州14分)如图,经过原点的抛物线2
y x 2mx(m 0)=-+>与x 轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM x ⊥轴于点M ,交抛物线于点B.记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (B 、C 不重合).连结CB,CP 。 (1)当m 3=时,求点A 的坐标及BC 的长; (2)当m 1>时,连结CA ,问m 为何值时CA⊥CP?
(3)过点P 作PE⊥PC 且PE=PC ,问是否存在m ,使得点E 落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的m 的值,并写出相对应的点E 坐标;若不存在,请说明理由。
9. (2012江苏连云港12分)如图,抛物线y =-x 2
+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,点O 为坐标原点,点D 为抛物线的顶点,点E 在抛物线上,点F 在x 轴上,四边形OCEF 为矩形,且OF =2,EF =3, (1)求抛物线所对应的函数解析式; (2)求△ABD 的面积;
(3)将△AOC 绕点C 逆时针旋转90°,点A 对应点为点G ,问点G 是否在该抛物线上?请说明理由.
10. (2012江苏南通14分)如图,经过点A(0,-4)的抛物线y = 1 2x 2
+bx +c 与x 轴相
交于点B(-0,0)和C ,O 为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线y = 1 2x 2+bx +c 向上平移 7
2个单位长度、再向左平移m(m >0)个单位长
度,得到新抛物
线.若新抛物线的顶点P 在△ABC 内,求m 的取值范围;
(3)设点M 在y 轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM 的长.
11. (2012江苏泰州10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,边长为2的正方形OABC 的
顶点A 、C 分
别在x 轴、y 轴的正半轴上,二次函数22y x bx c 3
=-++的图象经过B 、C 两点. (1)求该二次函数的解析式;
(2)结合函数的图象探索:当y>0时x 的取值范围.
12. (2012湖北黄石10分)已知抛物线C 1的函数解析式为2
y ax bx 3a(b 0)=+-<,若
抛物线C 1经过
点(0,3)-,方程2
ax bx 3a 0+-=的两根为1x ,2x ,且12x x 4-=。
(1)求抛物线C 1的顶点坐标. (2)已知实数x 0>,请证明:1x x +
≥2,并说明x 为何值时才会有1
x 2x
+=. (3)若抛物线先向上平移4个单位,再向左平移1个单位后得到抛物线C 2,设1A(m,y ),
2B(n,y )
是C 2上的两个不同点,且满足: 0
0AOB 9∠=,m 0>,n 0<.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ,并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式。 (参考公式:在平面直角坐标系中,若11P(x ,y ),22Q(x ,y ),则P ,Q 两点间的距离
222121(x x )(y y )-+-
13. (2012湖北武汉12分)如图1,点A 为抛物线C 1:21
y=x 22
-的顶点,点B 的坐标为
(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C.
(1)求点C的坐标;
(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y轴
的直线x=a
交直线AB于F,交抛物线C1于G,若FG:DE=4∶3,求a的值;
(3)如图2,将抛物线C1向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,且抛物线C2的顶点为
点P,交x轴
于点M,交射线BC于点N,NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值.
图1 图2
14. (2012湖北荆门10分)已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴
有交点.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.
①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最大值.
15. (2012湖北恩施8分)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C (2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD 交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
16. (2012湖北黄冈14分)如图,已知抛物线的方程C 1:()()1
y x 2(x m)m 0m
=-+->与x 轴相交于点B 、
C ,与y 轴相交于点E ,且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C 1过点M(2,2),求实数m 的值. (2)在(1)的条件下,求△BCE的面积.
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H ,使BH+EH 最小,并求出点H 的坐标. (4)在第四象限内,抛物线C 1上是否存在点F ,使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.
17. (2012湖南常德10分)如图,已知二次函数1
y (x 2)(ax b)48
=++的图像过点A(-4,3),B(4,4).
(1)求二次函数的解析式: (2)求证:△ACB 是直角三角形;
(3)若点P 在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P 作PH 垂直x 轴于点H ,是否存在以P 、H 、D 、为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
18. (2012湖南怀化10分)]如图,抛物线m :21
y (x h)k 4
=-++与x 轴的交点为A 、B ,与y 轴的交点为C ,顶点为(3,)M 254
,将抛物线m 绕点B 旋转
180,得到新的抛物线n,它的顶点为D.
(1)求抛物线n 的解析式;
(2)设抛物线n 与x 轴的另一个交点为E ,点P 是线段ED 上一个动点(P 不与E 、D 重合),过点P 作y 轴的垂线,垂足为F ,连接EF.如果P 点的坐标为(x,y) ,△PEF 的面积为S ,求S 与x 的函数关系式,写出自变量x 的取值范围,并求出S 的最大值;
(3)设抛物线m 的对称轴与x 轴的交点为G ,以G 为圆心,A 、B 两点间的距离为直径作⊙G,试判断直线CM 与⊙G 的位置关系,并说明理由.
19. (2012湖南郴州10分)如图,已知抛物线2y ax bx c =++经过A (4,0),B (2,3),C (0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式及对称轴.
(2)在抛物线的对称轴上找一点M ,使得MA+MB 的值最小,并求出点M 的坐标. (3)在抛物线上是否存在一点P ,使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
20. (2012湖南株洲10分)如图,一次函数1
y=x+22
-分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点,抛物线
y=﹣x 2
+bx+c 过A 、B 两点. (1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x 轴的直线x=t ,在第一象限交直线AB 于M ,交这个抛物线于N .求当t 取何值时,MN 有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形,求第四个顶点D 的坐标.
21. (2012湖南湘潭10分)如图,抛物线()23
y=ax x 2a 02
--≠的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,已知B 点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式;
(2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点,求△MBC 的面积的最大值,并求出此时M 点的坐标.
22. (2012四川资阳9分)抛物线21
y=x +x+m 4
的顶点在直线y=x+3上,过点F (-2,2)的直线交该抛物线于点M 、N 两点(点M 在点N 的左边),MA⊥x 轴于点A ,NB⊥x 轴于点B .
(1)(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m 的代数式表示),再求m 的值;
(2)(3分)设点N 的横坐标为a ,试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标,并说明NF =NB ;
(3)(3分)若射线NM 交x 轴于点P ,且PA×PB=
100
9
,求点M 的坐标.
23. (2012四川泸州11分)如图,二次函数211
y x mx m 22
=-+++
的图象与x 轴相交于点A 、B(点在点的左侧),与y 轴相交于点C ,顶点D 在第一象限.过点D 作x 轴的垂线,垂足为H 。 (1)当3
m 2
=
时,求tan∠ADH 的值; (2)当60°≤∠ADB≤90°时,求m 的变化范围;
(3)设△BCD 和△ABC 的面积分别为S 1、S 2,且满足S 1=S 2,求点D 到直线BC 的距离。
24. (2012辽宁鞍山14分)如图,直线AB交x轴于点B(4,0),交y轴于点A(0,4),直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°.
(1)直接写出直线AB的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)若点P是线段MB上的动点,过点P作x轴的垂线,交AB于点F,交过O、D、B三点的抛物线于点E,连接CE.是否存在点P,使△BPF与△FCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
25. (2012辽宁朝阳14分)已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在x 轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,A(0,2),B(-1,0)。
(1)求点C的坐标;
(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴;
(3)设点P(m,n)是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC的面积为S,求S关于m 的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标;
(4)在抛物线对称轴上,是否存在这样的点M,使得△MPC(P为上述(3)问中使S 最大时点)为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
26. (2012辽宁锦州14分)如图,抛物线32
-+=bx ax y 交y 轴于点C ,直线 l 为抛物线的对称轴,点
P 在第三象限且为抛物线的顶点.P 到x 轴的距离为10
3
,到y 轴的距离为1.点C 关于直线l 的对称点为A ,连接AC 交直线 l 于B. (1)求抛物线的表达式;
(2)直线m x y +=4
3
与抛物线在第一象限内交于点D ,与y 轴交于点F,连接BD 交y 轴于点E ,且 DE:BE=4:1.求直线m x y +=
4
3
的表达式; (3)若N 为平面直角坐标系内的点,在直线m x y +=4
3
上是否存在点M ,使得以点O 、F 、M 、N 为
顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
27. (2012山东东营11分)已知抛物线2
3+bx+63A (2,0)
. 设顶点为点P ,与x 轴的另一交点为点B .
(1)求b 的值,求出点P 、点B 的坐标;
(2)如图,在直线 y=3x 上是否存在点D ,使四边形OPBD 为平行四边形?若存在,
求出点D 的坐
标;若不存在,请说明理由;
(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.
28. (2012山东莱芜12分)如图,顶点坐标为(2,-1)的抛物线y =ax 2
+bx +c(a≠0)与
y 轴交于点C(0,3),与x 轴交于A 、B 两点. (1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ,连接AC 、AD ,求△ACD 的面积;
(3)点E 为直线BC 上一动点,过点E 作y 轴的平行线EF ,与抛物线交于点F .问是否存在点E ,使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似?若存在,求点E 的坐标;若不存在,请说明理由.
32. (2012山东枣庄10分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二
象限,斜靠在两坐标轴上,点C 为 (-1,0) .如图所示,B 点在抛物线y =12x 2+1
2x -
2图象上,过点B 作BD⊥x 轴,垂足为D ,且B 点横坐标为-3. (1)求证:△BDC≌△COA; (2)求BC 所在直线的函数关系式;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P ,使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形?若存在,
求出所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
33. (2012云南省9分)如图,在平面直角坐标系中,直线1y x 23
=-+交x 轴于点P ,交y 轴于点A .抛物线2
1y x bx c 2
=-
++的图象过点E (-1,0)
,并与直线相交于A 、B 两点. (1)求抛物线的解析式(关系式);
(2)过点A 作AC⊥AB 交x 轴于点C ,求点C 的坐标;
(3)除点C 外,在坐标轴上是否存在点M ,使得△MAB 是直角三角形?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
34. (2012吉林长春10分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+42交x 轴与点A,交直线y=x 于点B,抛物线2y=ax 2x+c -分别交线段AB 、OB 于点C 、D ,点C 和点D 的横坐标分别为16和4,点P 在这条抛物线上. (1)求点C 、D 的纵坐标. (2)求a 、c 的值.
(3)若Q 为线段OB 上一点,且P 、Q 两点的纵坐标都为5,求线段PQ 的长.
(4)若Q 为线段OB 或线段AB 上的一点,PQ⊥x 轴,设P 、Q 两点之间的距离为d (d >0),点Q 的横坐标为m ,直接写出d 随m 的增大而减小时m 的取值范围.
(参考公式:二次函数()2
y=ax +bx+c a 0≠图像的顶点坐标为2b 4ac b 2a 4a ??-- ? ???
,)
35. (2012江西省10分)如图,已知二次函数L1:y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)研究二次函数L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;
②是否存在实数k,使△ABP为等边三角形?如果存在,请求出k的值;如不存在,请说明理由;
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.
36. (2012青海省12分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
37. (2012内蒙古呼和浩特12分)如图,抛物线y=ax 2
+bx+c (a <0)与双曲线k
y=
x
相交于点A ,B ,且抛物线经过坐标原点,点A 的坐标为(﹣2,2),点B 在第四象限内,过点B 作直线BC∥x 轴,点C 为直线BC 与抛物线的另一交点,已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴的距离的4倍,记抛物线顶点为E . (1)求双曲线和抛物线的解析式; (2)计算△ABC 与△ABE 的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D ,使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的8倍?若存在,请求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.
38. (2012内蒙古赤峰12分)如图,抛物线2
y x bx 5=--与x 轴交于A .B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称,直线AF 交y 轴于点E ,|OC|:|OA|=5:1. (1)求抛物线的解析式; (2)求直线AF 的解析式;
(3)在直线AF 上是否存在点P ,使△CFP 是直角三角形?若存在,求出P 点坐标;若不存在,说明理由.
39. (2012内蒙古包头12分)已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点,抛物线2
1y=x +bx+c 2
-
经过点A , D ,点B 是抛物线与x 轴的另一个交点。 (1)求这条抛物线的解析式及点B 的坐标;
(2)设点M 是直线AD 上一点,且AOM OMD S : S 1 : 3??=,求点M 的坐标; (3)如果点C (2,y )在这条抛物线上,在y 轴的正半轴上是否存在点P ,使△BCP 为等腰三角形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
40. (2012黑龙江绥化6分)如图,二次函数y=ax 2
-4x +c 的图象经过坐标原点,与x 轴交于点A (-4,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在点P ,满足S △AOP =8,请直接写出点P 的坐标.
41. (2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分) 如图,抛物线2
1y x =x 2
b c ++-
与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,且OA=2,OC=3. (1)求抛物线的解析式.
(2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P ,使得△BDP 的周长最小,若存在,请求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由. 注:二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴是直线x =b
2a
-
42. (2012黑龙江龙东地区6分)如图,抛物线y=x 2
+bx +c 经过坐标原点,并与x 轴交于点A (2,0)。
(1)求此抛物线的解析式; (2)写出顶点坐标及对称轴;
(3)若抛物线上有一点B ,且OAB S 3?=,求点B 的坐标。
中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是() A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 () A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数,下列说法正确的是() A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.
【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点() A. (-3,-6) B. (-3,0) C. (-3,-5) D. (-3,-1) 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与轴的交点在点 和之间,对称轴是.对于下列说法:①;②;③;④ (为实数);⑤当时,,其中正确的是() A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A
二次函数的实际应用 1. (2012重庆市10分)企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处 理,另一种是通过企业的自身设备进行处理. 某企业去年每月的污水量均为 12000吨,由于 污水厂处于调试阶段, 污水处理能力有限, 该企业投资自建设备处理污水, 两种处理方式同 时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量 y 1 (吨)与月份x (1 1.如图,抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上,点B 坐标为(﹣4,﹣5),点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点,过点P 作PC ⊥x 轴于点C ,交AB 于点D .(1)求抛物线的解析式;(2)以O ,A ,P ,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点P 运动到直线AB 下方某一处时,过点P 作PM ⊥AB ,垂足为M ,连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此时点P 的坐标. 2. 在直角坐标系xoy 中,(0,2)A 、(1,0)B -,将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)连结AC ,点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点, 若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分,求此时点P 的坐标;(3)现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移,求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =-1,且经过A (1,0),C (0,3)两点,与x 轴的另一个交点为B .⑴若直线y =mx +n 经过B ,C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴x =-1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求点M 的坐标;⑶设点P 为抛物线的 图15.1 C D O B A x y 对称轴x =-1上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标. 4. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,直线l 经过坐标原点O ,与抛物线的一个交点为D ,与抛物线的对称轴交于点E ,连接CE ,已知点A ,D 的坐标分别为 (-2,0),(6,-8).(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B 和点E 的坐标;(2 )试探究抛物线上是 第25题图 2020年全国数学中考试题精选50题(8)——二次函数及其应用 一、单选题 1.(2020·玉林)把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的解析式为y =﹣a(x﹣1)2+4a,若(m﹣1)a+b+c≤0,则m的最大值是() A. ﹣4 B. 0 C. 2 D. 6 2.(2020·铁岭)如图,二次函数的图象的对称轴是直线,则以下四个结论中:①,②,③,④.正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.(2020·盘锦)如图,四边形是边长为1的正方形,点是射线上的动点(点不与点,点重合),点在线段的延长线上,且,连接,将绕点顺时针旋转90°得到,连接.设,四边形的面积为,下列图象能正确反映出与 的函数关系的是() A. B. C. D. 4.(2020·阜新)已知二次函数,则下列关于这个函数图象和性质的说法,正确的是() A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时,y随x的增大而增大 D. 图象与x轴有唯一交点 5.(2020·丹东)如图,二次函数()的图象与轴交于,两点,与轴交于点,点坐标为,点在与之间(不包括这两点),抛物线的顶点为,对称轴为直线,有以下结论:①;②若点,点是函数图象上的两 点,则;③;④可以是等腰直角三形.其中正确的有() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6.(2020·镇江)点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于() A. B. 4 C. ﹣ D. ﹣ 7.(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米,若大孔水面宽度为20米,则单个小孔的水面宽度为() A. 4 米 B. 5 米 C. 2 米 D. 7米 8.(2020·眉山)已知二次函数(为常数)的图象与x轴有交点,且当 时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是() A. B. C. D. 9.(2020·凉山州)二次函数的图象如图所示,有如下结论:①;②; ③;④(m为实数).其中符合题意结论的个数是() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10.(2020·威海)如图,抛物线交x轴于点A,B,交轴于点C.若点A坐标为 ,对称轴为直线,则下列结论错误的是() A. 二次函数的最大值为 B. C. D. 11.(2020·东营)如图,已知抛物线的图象与x轴交于两点,其对称轴与x 轴交于点C其中两点的横坐标分别为-1和1下列说法错误的是() 二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题(难) 1.如图,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,抛物线上一点D的坐标为(4,3) (1)求该二次函数所对应的函数解析式; (2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点,PE//x轴,PF//y轴,求线段EF的最大值; (3)如图2,点M是线段CD上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点N,当△CBN是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)EF的最大值为 2 4 ;(3)M点坐标为可以为(2, 3),(55 2 + ,3),( 55 2 - ,3). 【解析】 【分析】 (1)根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上,设二次函数解析式的交点式,将D点坐标代入求出a的值,最后将二次函数的交点式转化成一般式形式. (2)由题意可知点P在二次函数图象上,坐标为(p,p2﹣4p+3).又因为PF//y轴,点F 在直线BC上,P的坐标为(p,﹣p+3),在Rt△FPE中,可得FE2PF,用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值. (3)根据题意求△CBN是直角三角形,分为∠CBN=90°和∠CNB=90°两类情况计算,利用三角形相似知识进行分析求解. 【详解】 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣b)(x﹣c), ∵y=ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为(1,0)和(3,0), ∴二次函数解析式:y=a(x﹣1)(x﹣3). 又∵点D(4,3)在二次函数上, ∴(4﹣3)×(4﹣1)a=3, ∴解得:a=1. ∴二次函数的解析式:y=(x﹣1)(x﹣3),即y=x2﹣4x+3. 2021中考专题训练:二次函数的实际应用 一、选择题 1. 某广场有一喷水池,水从地面喷出,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是() A.4米B.3米C.2米D.1米 2. 某企业生产季节性产品,当产品无利润时,企业自动停产,经过调研,它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=-n2+12n-11,则企业停产的月份为() A.1月和11月B.1月、11月和12月 C.1月D.1月至11月 3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为() A.y=x2 B.y=-x2 C.y=x2 D.y=-x2 4. 如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建 墙BC 与CD 总长为12 m ,则该梯形储料场ABCD 的最大面积是 ( ) A .18 m 2 B .18 m 2 C .24 m 2 D . m 2 5. 如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD ,其中∠C =120°.若新建 墙BC 与CD 的总长为12 m ,则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( ) A .18 m 2 B .18 3 m 2 C .24 3 m 2 D.45 3 2 m 2 6. 如图,铅球运动员掷铅球的高度 y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y =-112x 2+23x +5 3,则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A .6 m B .12 m C .8 m D .10 m 7. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①),它由五个高度不同,跨径也不 同的抛物线形钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图②所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A ,B 两点,拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米),跨径为90米(即AB =90米),以最高点O 为坐标原点,以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系.则此抛物线形钢拱的函数解析式为( ) A .y =26 675x 2 B .y =-26 675x 2 中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一:面积问题 【例1】(2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式; (2)求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ; (3)设点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P ,使S △PAB =89S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【变式练习】 1.(2009广东省深圳市)如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB . (1)求点B 的坐标; (2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由. (4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由. 图2 2.(2010绵阳)如图,抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A (-4,0)、B (2,0),与y 轴交于点C ,顶点为D .E (1,2)为线段BC 的中点,BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G . (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标; (2)在直线EF 上求一点H ,使△CDH 的周长最小,并求出最小周长; (3)若点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时, △EFK 的面积最大?并求出最大面积. 3.(2012铜仁)如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C (1,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点D 的坐标为(-1,0),在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似,求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,在x 轴下方的抛物线上,是否存在点E ,使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积?如果存在,请求出点E 的坐标;如果不存在,请说明理由. 题型二:构造直角三角形 【例2】(2010山东聊城)如图,已知抛物线y =ax 2 +bx +c (a ≠0)的对称轴为x =1,且抛物线经过A (-1,0)、C (0,-3)两点,与x 轴交于另一点B . (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)在抛物线的对称轴x =1上求一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,C E D G A x y O B F 二次函数应用题 1、某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为100元,售价为130元,每星期可卖出80件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价5元,每星期可多卖出20件. (1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元? (2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多少? 2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台. (1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围) (2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少? 3、张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围). (2)当x为何值时,S有最大值?并求出最大值. 4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y (元)与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+,去年的月销售量p (万台)与月份x 之间成一次函数关系,其中两个月的销售情况如下表: (1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?最大是多少? (2)由于受国际金融危机的影响,今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ,且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施“家电下乡”政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的13%给予财政补贴.受此政策的影响,今年3至5月份,该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台.若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元,求m 的值(保留一位小数). 5.831 5.916 6.083 6.164) 5、某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y (件)与销售单价x (元)符合一次函数y kx b =+,且65x =时,55y =;75x =时,45y =. (1)求一次函数y kx b =+的表达式; (2)若该商场获得利润为W 元,试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x 的范围. 月份 1月 5月 销售量 3.9万台 4.3万台 中考数学习题精选:一、选择题 1、(2018北京房山区第一学期检测)小明以二次函数 2 248 y x x =-+的图象为灵感为 “2017北京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿, 若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为 A.14 B.11 C.6 D. 3 答案:B 2、(2018北京怀柔区第一学期期末)网球单打比赛场地宽度为8米,长度在球网的两侧各为12米,球网高度为0.9米(如图AB的高度).中网比赛中,某运动员退出场地在距球网 14米的D点处接球,设计打出直线 ..穿越球,使球落在对方底线上C处,用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中,为保证战术成功,该运动员击球点高度至少为 A. 1.65米 B. 1.75米 C.1.85米 D. 1.95米 答案:D 3、(2018北京丰台区第一学期期末)在北京市治理违建的过程中,某小区拆除了自建房,改建绿地. 如图,自建房占地是边长为8m的正方形ABCD,改建的绿地是矩形AEFG,其中点E在AB上,点G在AD的延长线上,且DG = 2BE. 如果 设BE的长为x(单位:m),绿地AEFG的面积为y(单位: m2),那么y与x的函数的表达式为;当 BE AEFG的面积最大. E D G F H A C B 第 6题图 C 答案:2 2864(08)y x x x =-++<<(可不化为一般式),2 4、(2018北京密云区初三(上)期末)学校组织“美丽校园我设计”活动.某同学打算利用学校文化墙的墙角建一个矩形植物园.其中矩形植物园的两邻边之和为4m ,设矩形的一边长为x m ,矩形的面积为y m 2.则函数y 的表达式为______________,该矩形植物园的最大面积是_______________ m 2. 答案:(4)y x x =- ,4 5、(2018北京顺义区初三上学期期末)如图,利用成直角的墙角(墙足够长),用10m 长的栅栏围成一个矩形的小花园,花园的面积S (m 2)与它一边长a (m )的 函数关系式是 ,面积S 的最大值是 . 答案:2 20S a a =-+ 6、(2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测)如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10m 时,桥洞与水面 的最大距离是5m . (1)经过讨论,同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如下图), 你选择的方案是_____(填方案一,方案二,或方案三),则B 点坐标是______, 求出你所选方案中的抛物线的表达式; (2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为6m ,求水面上涨的高度. 解:方案1:(1)点B 的坐标为(5,0) (1) 分 设抛物线的解析式为:(5)(5)y a x x =+-…………… 2分 由题意可以得到抛物线的顶点为(0,5),代入解析式可得:1 5 a =- y 方案 2 方案 3 方案 1 人教版数学 初三中考复习 二次函数 专题练习题 一、选择题 1 抛物线y =x 2+2x +3的对称轴是( ) A .直线x =1 B .直线x =-1 C .直线x =-2 D .直线x =2 2.在平面直角坐标系中,将抛物线y =x 2-x -6向上(下)或向左(右)平移m 个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为( ) A .1 B .2 C .3 D .6 3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =12x 2经过平移得到抛物线y =12 x 2-2x ,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( ) A .2 B .4 C .8 D .16 4. 如图,已知顶点为(-3,-6)的抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(-1,-4),则下列结论中错误的是( ) A .b 2 >4ac B .ax 2+bx +c≥-6 C .若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m >n D .关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =-4的两根为-5和-1 5. 如图,观察二次函数y =ax 2+bx +c 的图象,下列结论:①a +b +c >0;②2a +b >0;③b 2-4ac >0;④ac >0.其中正确的是( ) A .①② B .①④ C .②③ D .③④ 6. 如图,一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx +c 的图象相交于P ,Q 两点,则函数y =ax 2 +(b -1)x +c 的图象可能是( ) 7. 如图,在正方形ABCD 中,AB =8 cm ,对角线AC ,BD 相交于点O ,点E ,F 分别从B ,C 两点同时出发,以1 cm /s 的速度沿BC ,CD 运动,到点C ,D 时停止运动,设运动时间为t(s ),△OEF 的面积为S(cm 2),则S(cm 2)与t(s )的函数关系可用图象表示为( ) 二、填空题 8.若y =(2-m)xm 2-3是二次函数,且开口向上, 则m 的值为 . 9.已知点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在二次函数y =(x -1)2+1的图象上,若x 1>x 2>1,则y 1____y 2.(填“>”“<”或“=”) 10.已知二次函数y =-2x 2-4x +1,当-3≤x ≤0时,它的最大值是____,最小值是____. 11.一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m )与足球被踢出后经过的时间t(s )之间具有函数关系h =at 2+19.6t ,已知足球被踢出后经过4 s 落地,则足球距地面的最大高度是____m . 12. 如图,抛物线y =-x 2+2x +3与y 轴交于点C ,点D(0,1),点P 是抛物线上的动点.若△PC D 是以CD 为底的等腰三角形,则点P 的坐标为 . 三、解答题 13.如果抛物线y =ax 2+bx +c 过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线. (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出了一个答案:y =2x 2+3x -4,请你写出一个不同于小敏的答案; (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y =-x 2+2bx +c +1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式,请你解答. 第二十六章 二次函数 【知识梳理】 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式,其中 a b a c k a b h 4422 -=-=,. 3.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当02017中考二次函数专题(含答案)
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