数学分析中求极限的方法汇总
作者：日期：
数学分析中求极限的方法总结
1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如
下：定理 1.1 ：如果lim f（x）= ,lim g（x）=
x x 0 x x0
1lim f (x) g (x) lim f x) lim g(x)
x x0 x x0 x x0
2
）
lim f（x）g ( x)= lim
f
( x)
lim
g(x)
x x
x x
x x
3
）
若B
≠0
则：
f (x)
lim
lim f
(x)
x x
0 g(x)
lim
x x0
4lim c f (x) c lim f(x) c
x x0 x x0
lim
f(x)
n
x lim x f
(x) n
5x x0 x x0 （n 为自然
上述性质对于x ,x ,x 也同样成立i
由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
lim x
2 5
例 1. 求x 2 x 3 的极限
解：由定理中的第三式可以知道
x12
lim
例 2. 求x 3 x 3 的极限
解：分子分母同时乘以x 1 2
2
2
5
23
x 1 2 x 1 2 lim
x 3
x 3 x 1 2
li m x 3 x 3
x 3 x 1 2 1
4
式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可
2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数 f(x) 在 x 0
附近有定义， ， 则
y f x 0 x f x 0
如果
存在，
x12 x3
例 3.
1 1 1 已知 x n 11
2 21
3 n 11 n 观察
1 2=1
2 11
因此得到
x n 11 2
1
12
1
1 2 1 2
1
1 n
所以
，求 lim
x
n 1 n n-1
3 n 1n
13 13 lim x n lim 1 1
n
n
n n
1 1 1 n 1n 1 n
li x m 0 x y li x m 0
f x 0 x f x
x
2
则此极限值就称函数 f(x) 在点 x 0
的导数
记
为
f'x 0
。
在这种方法的运用过程中，首先要选好
f(x) 。然后把所求极限都表示成 f(x) 在定
点 x
的
x
1
f'2
f x 0
x f x 0 x
导数。
例 4. 解：
求 lim x x 2 ctg2x 的极限
x
2
lim x x 2 ctg2x x 2x
lim
x
x
tg2x tg 2 2
li
tg2x 2
lim
3利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：
1
例
5
lim (1 2 x ) x
x 0
(1 x)
解：为了利用极限 1
故把原式括号内式子 lim （1
x ） x e
拆成两项，使得第一项为 1，第二项和括号外的 指数互为倒数进行配平。
lim
1 cos x
例6：
x 0
x 2
解：将分母变形 后再化成“ 0/0 ”型 所以
1)l x
im
sin x
x 1
，
（2） lim 1 1
x
x
但我们经常使用的是它们的变形：
（1）lim sin
x x
1, x 0 ， 1
x x
2) lim 1
1
e, x
x e
l x im 0 ( 1 2 x)
(1 x )
lim x0
(1
lim
[( 1
1
3x x )
1
3x x
)
=lim
x0
1x 3x
e 3
2x
1
sin 2
利用这两个重要极限来求函数的极限时要 仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过 变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用 此方法来求极限。 一般常用的方法是换元法和配 指数法。
4
利用函数的连续性
因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的
内的点 , 则 l x
im
x 0
f (x) f(x 0)
lim arcsin 2x 1
例 8：
x 1
6
解 : 因为复合函数 是初等函数 , 而 x 1
是其
例
7:
1
求 lim (1 2x) x
的极限 x0
lim
x0 解：原式 =lim (1 2x) 2x
(1 2x) 2x
e 2
lim
x0
lim
x0
x 2
2 ( 2
x ) 2 所以如果
f(x)
是初等函数 , 且
x 0
是
f (x)
的定义区间
cos x 2
x
2 sin 2
x 2
arcsin
定义区间内的点 , 所以极限值就等于该点处的函
数值. 因此
2x 1 2x 1
lim arcsin arcsin x 1
6 6
1
= arcsin =
26
lim sin ln 1 2
=0
5 利用两个准则求极限。
（ 1） 函数极限的迫敛性：若一正整数 N,
当 n>N 时，有
且
l x im x
n l x
im z
n
a,
则有
l x im y
n
a
。
x
n y n z n
利用夹逼准则求极限关键在于从 x
的表达式中，
x
n
通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极 限值的数列 和 ，使得 。
y
n
z n
y
n x n z
n
例8：求
lim ln sin 解： 复合函数 在 x 处是连续的， 所以在这
ln sin x x 2
点的极限值就等于该点处的函数值
即有
ln sin x ln sin
2 li
求的极限
x n
小项
lim lim 1
又因为
x n2 n x n2 1
l x im x n 1
（2 ）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
例12：设x1 10,x n 1 6 x n n 1,2 ,n 。试证数列x n 的极限存在, 并求此极限。
解: 由x1 10及x2 4知x1 x2。设对某个正整数k 有x k x k 1，则有x k 1 6 x k 6 x k 1 x k 2
从而由数学归纳法可知, 对一切自然数n, 都有
x
n x
n 1 ，
解：因为单调递减，所以存在最大项和
最
x
n
1 1 1
1 1.............. 1 n
n
x
n
则n2
n x n n2 1
即数列 { x n
}单调下降 , 由已知易见 x n 0 （n 1,2...）
即 有下界,
根据“单调有界的数列必有极限” 这一定理可知 存在。 令 l n
im x n A 对 x
n 1
6 x n 两边取极限，
n
有 6 所以有 2
6 0解得 A=3,或 2。
因为
x n 0 (n 1,2...)
，所以
，舍去
2
,故l n
im x
n 3
6 利用洛必达法则求未定式的极限 定义 6.1 ：若当 （或 ）时，函数 和
x a x f x F x
定理 6.2：设 （1）当 x
时, 函数 和 都
趋于零;
例如：
lim
tan x
,
( 0 0
型); x0
x
ln
lim sin ax , 型
）
x 0
ln s in bx
l
x im a xa ( x )
通常称为 0 型和 型未定式。
都趋于零 （ 或无穷大 ） ，则极限 f （x ）
可能存在、也可能不存在，
2）在a 点的某去心邻域内 ,f'x
和 都存在且 ;
F ' x
F ' x 0
(3) lim
f (x) 存在(或无穷大),
(
ix x x
a
)
F
( x )
则
定义 6.3
：这种在一定条件下通过分子分母分
别 求导再求极限来确定未定式的值
的 方法称为洛必达法则 .
2 2 2
lim
sin x x cos x
例 10：
x 0
x 2
sin 2
x
解：
(sin x x cos x)(sin x xcosx) sinx xcosx lim sinx 3xcosx
x x 0 x
3
= lim
3
x 0 x 在利用洛比达法则求极限
时， 为使计算更加 快捷减少运算中
的诸多不便，可用适当的代换， 并注意观察所求极限的类型如下例， 例 11：求 l x
im
0 1 e x x
4
x
lim xa
f (x)
F (x) lim
xa f ( x) F l x
im
cosx cosx xsin x 2 sin x 2 =2lim 2 = lim = x 0 3x 2 3 x 0 x 3 3x
2
解：l
li t m0 1t e t li t m0 1e t 1 洛必达法则通常适用于x im0 1 e x x =
以下类型：
型：
lim x(
arctan x )
例 12 求 x
2
解 原式
arctan x lim 2
x
1 x
2
lim x 1 lim 1
1.
x
1 x
2
x
2 1
型：
例 13 求
lim secx tan x .
x 2
1 sin x secx tanx
1 sin x cosx cosx cosx
故原式 1 sinx
lim x cosx
2
cosx lim
型：
例 14 求 lim . 解 原式 lim e ln x
xln x
x0
xlnx
lim e
x0
lim e
e x 0
1.
例15 求l x
im 1
x e
解 原式 l x
im 1 e
x
e
x
ee
e
.
型：
1
tanx
例 16 求
x
lim
(
x )
解 原式 x
lim 0
e
ln(
x )
x0
lim e
x0
lim e
tanxlnx x 0
tan xln x
而 lim( tanx ln x)
tanx~x
lim( xln x) 0
，因此： 原式
=1.
7. 用泰勒展式来求极限 用此法必须熟记基本初等函数的展开式 , 它 将原来函数求极限的
问题转化为求多项式或有 理分式的极限问题。 对于和或差中的项不能用其 等价无穷小代替的情形 , 有时可用项的泰勒展 开式来代替该项 , 使运算十分简便。
24
x x 4 cosx 1 o(x 4
)
2! 4! x24
2 x 1 x 4 e 2
1 * o(x ) 2! 2! 4!
21
例18：
x
lim [x x 2 ln(1 1
x )]
解：因为当 x 时， 1 所以
0 x
1 1 1 1
2 1 2
ln(1 ) * ( )2 o(( )2 ) (x ) x x 2 x x
从而
2 1 1
x 2
ln(1 ) x o(1) x
x2
im 0 l i x
cosx e
x 2
2
cosx e 2
x
4
1 4 4
11
2
x 4 o(x 4)
x
4
1 12
m 0
i
x
于是
2 1 1 1 x lim [ x x
2
(1 1x )] x lim [2 o(1)] 2
注意：如果该题利用其他方法就不容易做了。
8. 利用定积分求极限 由于定积分是一个有特
殊结构和式的极限， 这样 又可利用定积分的值求出某一和数的极限 . 若要 利用定积分求极限， 其关键在于将和数化成某一 特殊结构的和式。 凡每一项可提 1/n, 而余下的项 可用通式写成 n 项之和的形式的表达式 , 一般可 用定积分的定义去求 。 利用定积分可求如下二种形式的极限 :
f (1) f ( 2) ... f (n ) lim n n n x n
定理8.1 ：设 f x
在[0 ，1] 上可积，则有
f (1) f (2) ... f (n
)
n n n
n 解：令 f x x ， f x 在[0,1] 上可积。
1 2
... n
1
1 lim n n n xdx x n 0 2
lim x
1
f (x)dx
例19：求极限
lim x
12 nn
n (n
2) ... f (n
n ) 型 nn
1
定理8.2 ：若 在[0,1] 上可积，则
f (x)
n 1 f (n n
) epx[ 0ln f(x)dx]
f x x
, 则有：
f x x
n
n! lim x
n
(
1
例 21：求
li
n
m (
解：把此极限式化为某个积分和的极限式，
并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：
n
11
J li
n m
i n
n i 1 1 i
n n
1
im n 1* 2 *...* n epx[ ln xdx] e 1
11
)
n 1 n 2 2n