第一章导数及其应用
1.3导数在研究函数中的应用
1.3.2函数的极值与导数
高效演练知能提升
A级基础巩固
一、选择题
1.函数f(x)的定义域为R，导函数f'x(的图象如图所示，贝間
数f(x)( )
A .无极大值点，有四个极小值点
B.有三个极大值点、两个极小极值点
C .有两个极大值点、两个极小值点
D .有四个极大值点、无极小值点
解析：由导函数f'x(的图象可知，f l x)= 0有四个零点，根据极值的概念知，函数f(x)有两个极大值点、两个极小值点.
答案：C
2.函数f(x)= In x-x在区间(0, e)上的极大值为()
A. - e
B.- 1
C. 1-e D . 0
1
解析：函数f(x)的定义域为(0,+x), f' x) = x- 1?令f'x) = 0,
得x= 1?当x€ (0, 1)时,f'(x)>0，当x€ (1, e)时，f'(x)v0，故 f (x) 在x= 1处取得极大值f(1) = In 1 —1= 0— 1 = - 1.
答案：B
3. 设函数f(x) = xe x,则()
A. x= 1为f(x)的极大值点
B. x= 1为f(x)的极小值点
C. x=—1为f(x)的极大值点
D. x=—1为f(x)的极小值点
解析：f'x( = e x+ xe x= (1 + x)e x，令f'x( = 0,得x= —1,当x v —1 时，f'(x)v0;当x>— 1 时，f'(x)>0?所以x= — 1 为f(x)的极小值点.
答案：D
4. 若函数f(x) = x3+ ax2+ 3x—9在x= —3处取得极值，则
a=
( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
解析：f刈=3x? +2ax+3,由题意得f( —3) = 0,即30 —6a = 0, 所以a= 5?验证知，符合题意，故选 D.
答案：D
5. 已知函数f(x) = x3+ ax2+ x+ 2(a>0)的极大值点和极小值点都
在区间(一1,1 )内，贝^实数a的取值范围是()
A. (0, 2]
B. (0, 2)
C. [ 3, 2)
D. ( 3, 2)
解析：由题意可知f'x(= 0的两个不同解都在区间(一1,1)内.因为f ( =
3x2+ 2ax + 1 ,所以根据导函数图象可得f A=( 2a) 2-4X 3X 1>0,
—2a
1—1<----- <1 -
f 6 ' 又a>0,解得V3va<2?故选D.
I f'(—)= 3— 2a+ 1>0,
f 1)= 3 + 2a+1>0,
答案：D
二、填空题
-n
6.函数f(x) = x+ 2cosx在0, 2上的极大值点为__________ .
解析：f'x) = 1 —2sin x,令f'x(= 0 得x=；?
当0v X Vn寸，F(x)>0；
当X V 2时寸，f ]x)v 0.
所以当x=6时，f(x)有极大值.
答案：n
7.函数f(x) = x3—3x2+ 1在x= _______ 取得极小值.
解析：由f(x) = x3—3x2+1,
得f' x = 3x2—6x= 3x(x —2).
当x€ (0, 2)时，f'(x)v0, f(x)为减函数；
当x€ ( — = , 0)和(2,+乂)时，f'(x)>0, f(x)为增函数.
故当x= 2时，函数f(x)取得极小值.
答案：2
8.若直线y= a与函数f(x)= x3—3x的图象有相异的三个公共点, 则a的取值范围是________ .
解析：令f'X) = 3x2—3= 0,得x=±1，则极大值为f(—1)= 2, 极小值为f(1)= —2?如图，观察得一2 答案：(—2, 2) 三、解答题 9.设函数f(x) = x3—3ax + b(a^ 0). (1) 若曲线y= f(x)在点(2,f(2))处与直线y= 8相切，求a, b的值; (2) 求函数f(x)的单调区间与极值点. 解：(1)由已知可得f'= 3x2—3a(aM0). 因为曲线y= f(x)在点(2, f(2))处与直线y= 8相切， f 2)= 0, 「3 (4 —a)= 0, 所以即 I f (2)= 8, 18—6a+ b= 8, 解得a=4, b= 24. (2)f 'x( = 3(x2—a)(az0). 当a v 0时，f'(x)>0,函数f(x)在(一 = ,+=)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点. 当a>0 时，由 f x(= 0,得x= ± a. 当X € ( 一oo. 一a)时，f '(X)>0,函数f(x)单调递增； 当x€ (- a, a)时，f'(x)v0,函数f(x)单调递减； 当x€ ( a,+ =)时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时x=- a是f(x)的极大值点，x= a是f(x)的极小值点. 10.若函数f(x) = ax3- bx+2,当x= 1时，函数f(x)取极值0. (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 若关于x的方程f(x)= k有三个零点，求实数k的取值范围. 解：(1)由题意可知f ( = 3ax2- b. ff (1)= 0, fa= 1, 所以？ If( 1)= 0, l b= 3. 故所求的函数解析式为f(x) = x3- 3x + 2. ⑵由(1)可知f(x) = 3x2-3= 3(x- 1)(x + 1). 令f( x) = 0 得x= 1 或x=- 1, 当x变化时，f((x), f(x)的变化情况如下表所示： 因此，当x=- 1时，f(x)有极大值4, 当x= 1时，f(x)有极小值0, 故实数k的取值范围为(0, 4).
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