2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3
2．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．
已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．最低气温与最高气温为正相关
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月
D．最低气温低于0℃的月份有4个
4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）
A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺
6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）
A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8
7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）
A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）
8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a
的值为（）
A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2
9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）
A．B．C．
D．
10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2
11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（）
A．B．C．3 D．2
12．（5分）已知函数f（x）=e x+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则?=
14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．
15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则=．
16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．
18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．
（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；
（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．
19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．
（1）求证：B1C∥平面A1DE；
（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．
20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且
W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．
（1）求W的标准方程：
（2）求．
21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．
（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；
（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程
为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1
（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为
，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．
（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；
（2）若?x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．
2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵A={x∈R|3≤32﹣x＜27}={x∈R|﹣1＜x≤1}，
B={x∈Z|﹣3＜x＜1}={﹣2，﹣1，0}，
∴A∩B={0}．
∴A∩B中元素的个数为1．
故选：B．
2．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，
则=（a﹣1）+（a+1）i，
∵=z，
∴a+1=0，得a=﹣1，
故选：B．
3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．
已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．最低气温与最高气温为正相关
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月
D．最低气温低于0℃的月份有4个
【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：
在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；
在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；
在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；
在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．
故选：D．
4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：△ABC中，A=，b=6，
∴a2=b2+c2﹣2bccosA，
即a2=36+c2﹣6c①；
又=2sinAsinB，
∴=2ab，
即cosC==，
∴a2+36=4c2②；
由①②解得c=4或c=﹣6（不合题意，舍去）；
∴c=4．
故选：C．
5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）
A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺
【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，
∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，
则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，
∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），
∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．
故选：B．
6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）
A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8
【解答】解：模拟程序的运行，可得
x=5.8
y=5﹣1.6=3.4
x=5﹣1=4
满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0
满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2
不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．
输出z的值为﹣4.6．
故选：C．
7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）
A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）
【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，
用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，
即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；
由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，
∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．
令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，
故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，
故选：D．
8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a
的值为（）
A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，
综上a=﹣3或a=2，
故选：A．
9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）
A．B．C．
D．
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），
∴f（x）为偶函数，
∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，
令f（x）=0，即=0，解得x=0，
∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，
当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，
综上所述，只有B符合，
故选：B．
10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2
【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，
PB=PC=4，AB=3．
S ABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，
△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，
=，
∴S
△PAD
则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，
故选：D
11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（）
A．B．C．3 D．2
【解答】解：根据题意，设|AF|=a，|BF|=b，
作AM、BN垂直准线于点M、N，
则有|BF|=|BN|=b，|AF|=|AM|=a，
若，则有|CB|=4|BF|，即|CB|=4|BN|，
又由BN∥AM，
则有|CA|=4|AM|，即有4b+a+b=4a，
变形可得=，
即=，
故选：A．
12．（5分）已知函数f（x）=e x+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．
【解答】解：由题意知，方程g（﹣x）﹣f（x）=0在（0，+∞）上有解，
即e x+2x2+ax﹣lnx﹣e x﹣x2=0，即x+a﹣=0在（0，+∞）上有解，
即函数y=x+a与y=在（0，+∞）上有交点，
y=的导数为y′=，
当x＞e时，y′＜0，函数y=递减；
当0＜x＜e时，y′＞0，函数y=递增．
可得x=e处函数y=取得极大值，
函数y=x+a与y=在（0，+∞）上的图象如右：
当直线y=x+a与y=相切时，
切点为（1，0），可得a=0﹣1=﹣1，
由图象可得a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
故选C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则?=﹣4
【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，
可得|+|2=|﹣|2，
即有2+2+2?=2+2﹣2?，
即为?=0，
则△ABC为直角三角形，A为直角，
则?=﹣?
=﹣||?||?cosB
=﹣||2=﹣4．
故答案为：﹣4．
14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体
内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．
【解答】解：如图，
设正方体的棱长为2a，则其内切球的半径为a，
则，，
∴蜜蜂“安全飞行”的概率为P=．
故答案为：．
15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则=．
【解答】解：α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，
∴cos（α+）==，
则=
===，
故答案为：．
16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为2．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，
∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，
∴|BF1|=2a，
又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，
∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，
∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，
∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|?|BF2|cos120°，
即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，
解得c2=7a2，b2=6a2，
由双曲线的第二定义可得===，
则m=，
由A在双曲线上，可得﹣=1，
解得a=，
则2a=2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．
【解答】解：（1）设公差为d，由，得，
化简得d2=2a1d，
因为d≠0，a1=3，所以d=6，
所以a n=6n﹣3．
（2）因为，
所以
﹣（36×（2n）2﹣9），
所以，
即S2n=﹣36（1+2+3+4+…+（2n﹣1）+2n）=．
18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．
（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；
（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图估计该校的100名同学的平均体重为：
=45×0.005×10+55×0.035×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×0.010×10=64.5．
（2）要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，
用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，
体重在[60，70）内的男生中选：6×=3人，
体重在[70，80）内的男生中选：6×=2人，
体重在[80，90]内的男生中选：6×=1人，
再从这6人中选2人当正副队长，
基本事件总数n==15，
∴这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率p=1﹣=．
19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．
（1）求证：B1C∥平面A1DE；
（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．
【解答】证明：（1）∵在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，
∴DE∥BC，DB A 1B1，
∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D∥BB1，
∵A1D∩DE=D，BB1∩BC=B，
A1D、DE?平面A1DE，BB1、BC?平面BCB1，
∴平面A1DE∥平面B1BC，
∵B1C?平面B1BC，∴B1C∥平面A1DE．
解：（2）∵AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，
AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．
∴AE=3，DE=1，B1E==3，∠AED=90°，
∴四棱锥A1﹣B1C1ED的体积：
=﹣
=S△ADE?B1E﹣
=
=
=
=3．
20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且
W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．
（1）求W的标准方程：
（2）求．
水秀中华【解答】解：（1）由题意可得，
∴
故W的标准方程为．
（2）联立得
∴，
∴，
易知B（0，1），
∴l的方程为y=﹣3x+1．
联立，得37x2﹣24x=0，
∴x=0或，
∴，
联立，得31x2﹣18x﹣9=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，
∴，
故．
21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．
（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；
水秀中华（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得（x＞0），
则，所以x0=e，
所以所求切线方程为．
（2）令，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1．
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
所以f（x）min=f（1）=1，所以f（x）∈[1，+∞）．
而g（x）=（e﹣1）x在（﹣∞，a）上单调递增，所以g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a）．
欲使函数的值域为R，须a＞0．
①当0＜a≤1时，只须（e﹣1）a≥1，即，所以．
②当a＞1时，f（x）∈[a﹣lna，+∞），g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a），
只须a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立，即lna+（e﹣2）a≥0对一切a＞1恒成立，
令φ（x）=lnx+（e﹣2）x（x＞1），得，
所以φ（x）在（1，+∞）上为增函数，
所以φ（x）＞φ（1）=e﹣2＞0，所以a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立．
综上所述：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程
为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1
（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为
，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．