第一章集合与简易逻辑
第一教时
教材：集合的概念
目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的分类及性质。
过程：
一、引言：（实例）用到过的“正数的集合”、“负数的集合”
如：2x-1>3x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
如：自然数的集合0，1，2，3，……
如：高一（5）全体同学组成的集合。
结论：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。
二、集合的表示：{ …} 如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}
用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}
常用数集及其记法：
1．非负整数集（即自然数集）记作：N
2．正整数集N*或N+
3．整数集Z
4．有理数集Q
5．实数集R
集合的三要素：1。元素的确定性；2。元素的互异性；3。元素的无序性（例子略）
三、关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属
于集A 记作a∈A ，相反，a不属于集A 记作a?A （或a∈A）
例：见P4—5中例
四、练习P5略
五、集合的表示方法：列举法与描述法
1．列举法：把集合中的元素一一列举出来。
例：由方程x2-1=0的所有解组成的集合可表示为{-1，1}
例；所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为{1，3，5，7，9} 2．描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例{不是直角三角形的三角形}再见P6例
②数学式子描述法：例不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}
或{x:x-3>2} 再见P6例
六、集合的分类
1．有限集含有有限个元素的集合
2．无限集含有无限个元素的集合例题略
3．空集不含任何元素的集合Φ
七、用图形表示集合P6略
八、练习P6
小结：概念、符号、分类、表示法
九、作业P7习题1.1
第二教时
教材：1、复习2、《课课练》及《教学与测试》中的有关内容
目的：复习集合的概念；巩固已经学过的内容，并加深对集合的理解。
过程：
一、复习：（结合提问）
1．集合的概念含集合三要素
2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法
3．集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集 4．关于“属于”的概念
二、 例一 用适当的方法表示下列集合：
1．平方后仍等于原数的数集 解：{x|x 2=x}={0,1} 2．比2大3的数的集合 解：{x|x=2+3}={5}
3．不等式x 2-x-6<0的整数解集
解：{x ∈Z| x 2-x-6<0}={x ∈Z| -2 5．方程4x 2+9y 2-4x+12y+5=0的解集 解：{(x,y)| 4x 2+9y 2-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)| (1/2,-2/3)} 6．使函数y= 6 12 -+x x 有意义的实数x 的集合 解：{x|x 2+x-6≠0}={x|x ≠2且x ≠3,x ∈R} 三、 处理苏大《教学与测试》第一课 含思考题、备用题 四、 处理《课课练》 五、 作业 《教学与测试》 第一课 练习题 第三教时 教材: 子集 目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示法,同时了解等集与真子集的有关概 念. 过程: 一 提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系. 存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系. 二 “包含”关系—子集 1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察. 结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素, 则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A?B (或B?A) 也说: 集合A是集合B的子集. 2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?B (或B?A) 注意: ?也可写成?；?也可写成?；?也可写成?；?也可写成?。 3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φ?A 三“相等”关系 1.实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的 元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A 等于集合B，即： A=B 2.①任何一个集合是它本身的子集。 A?A ?≠ ②真子集：如果A?B ,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作 A B ③空集是任何非空集合的真子集。 ④如果 A?B, B?C ,那么 A?C 证明：设x是A的任一元素，则 x∈A A?B,x∈B 又 B?C ∴x∈C 从而 A?C 同样；如果 A?B, B?C ,那么 A?C ⑤如果A?B 同时 B?A 那么A=B 四例题： P8 例一，例二（略）练习 P9 补充例题《课课练》课时2 P3 五小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号 几个性质： A?A A?B, B?C ?A?C A?B B?A? A=B 作业：P10 习题1.2 1,2,3 《课课练》课时中选择 第四教时 教材：全集与补集 目的：要求学生掌握全集与补集的概念及其表示法 过程： 一复习：子集的概念及有关符号与性质。 提问（板演）：用列举法表示集合：A={6的正约数}，B={10的正约数}，C={6与10的正公约数}，并用适当的符号表示它们之间的关系。 解：A={1，2，3，6}，B={1，2，5，10}，C={1，2} C?A，C?B 二补集 1．实例：S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的集合，集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合。 集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。 结论：设S是一个集合，A是S的一个子集（即S A?），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）Array记作：C s A 即C s A ={x | x∈S且x?A} 2．例：S={1，2，3，4，5，6} A={1，3，5} C s A ={2，4，6} 三全集 定义：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 如：把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集C U Q是全体无理数的集合。四练习：P10（略） 五处理《课课练》课时3 子集、全集、补集（二） 六 小结：全集、补集 七 作业 P10 4，5 《课课练》课时3 余下练习 第五教时 教材： 子集，补集，全集 目的： 复习子集、补集与全集，要求学生对上述概念的认识更清楚，并能较好 地处理有关问题。 过程： 一、复习：子集、补集与全集的概念，符号 二、辨析： 1。补集必定是全集的子集，但未必是真子集。什么时候是真子集？ 2。A ?B 如果把B 看成全集，则C B A 是B 的真子集吗？什么时候（什 么条件下）C B A 是B 的真子集？ 三、处理苏大《教学与测试》第二、第三课 作业为余下部分选 第六教时 教材： 交集与并集（1） 目的： 通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。 过程： 六、 复习：子集、补集与全集的概念及其表示方法 提问（板演）：U={x|0≤x<6,x ∈Z} A={1,3,5} B={1,4} 求：CuA= {0,2,4}． CuB= {0,2,3,5}． 七、 新授： 1、实例： A={a,b,c,d} B={a,b,e,f} 图 公共部分 A ∩B 合并在一起 A ∪ B 2、定义： 交集： A ∩B ={x|x ∈A 且x ∈B} 符号、读法 并集： A ∪B ={x|x ∈A 或x ∈B} 见课本P10--11 定义 （略） 3、例题：课本P11例一至例五 练习P12 补充： 例一、设A={2,-1,x 2-x+1}, B={2y ,-4,x+4}, C={-1,7} 且A ∩ B=C 求x,y 。 解：由A ∩B=C 知 7∈A ∴必然 x 2-x+1=7 得 x 1=-2, x 2=3 由x=-2 得 x+4=2?C ∴x ≠-2 ∴x=3 x+4=7∈C 此时 2y=-1 ∴y=-21 ∴x=3 , y=-2 1 例二、已知A={x|2x 2=sx-r}, B={x|6x 2+(s+2)x+r=0} 且 A ∩B={2 1 }求A ∪B 。 解： ∵21∈A 且 2 1∈B ∴ ???? ?=+++-=0)2(2 1 232121r s r s ?? ? ? 5 212-=+=-s r s r 解之得 s= -2 r= -2 3 ∴A={ , 21-23} B={ , 2 1-2 1 } ∴A ∪B={, 21-2 3,-2 1 } 三、小结： 交集、并集的定义 四、作业：课本 P13习题1、3 1--5 补充：设集合A = {x | -4≤x ≤2}, B = {x | -1≤x ≤3}, C = {x |x ≤0或x ≥ 2 5 }, 求A ∩B ∩C, A ∪B ∪C 。 《课课练》 P 6--7 “基础训练题”及“ 例题推荐” 第七教时 教材：交集与并集（2） 目的：通过复习及对交集与并集性质的剖析，使学生对概念有更深刻的理解 过程：一、复习：交集、并集的定义、符号 提问（板演）：（P13例8 ） 设全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8} 求：（C U A）∩(C U B), (C U A)∪(C U B), C U(A∪B), C U (A∩B) 解：C U A = {1，2，6，7，8} C U B = {1，2，3，5，6} (C U A)∩(C U B) = {1，2，6} (C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8} A∪B = {3，4，5，7，8} A∩B = {4} ∴C U (A∪B) = {1，2，6} C U (A∩B) = {1，2，3，5，6，7，8，} 结合图说明：我们有一个公式： (C U A)∩( C U B) = C U(A∪B) (C U A)∪( C U B) = C U(A∩B) 二、另外几个性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A, A∪A = A, A∪φ= A , A∪B = B∪A. （注意与实数性质类比） 例6 （P12）略 进而讨论(x,y) 可以看作直线上的点的坐标 A∩B 是两直线交点或二元一次方程组的解 同样设 A = {x | x2-x-6 = 0} B = {x | x2+x-12 = 0} 则(x2-x-6)(x2+x-12) = 0 的解相当于A∪B 即： A = {3,-2} B = {-4,3} 则A∪B = {-4,-2,3} 三、关于奇数集、偶数集的概念略见P12 例7 （P12 ）略 练习P13 四、关于集合中元素的个数 规定：集合A 的元素个数记作：card (A) 作图 观察、分析得： card (A∪B) ≠ card (A) + card (B) card (A∪B) = card (A) +card (B) -card (A∩B) 五、（机动）：《课课练》P8 课时5 “基础训练”、“例题推荐” 六、作业：课本P14 6、7、8 《课课练》P8—9 课时5中选部分 第八教时 教材：交集与并集（3） 目的：复习交集与并集，并处理“教学与测试”内容，使学生逐步达到熟练技巧。过程： 一、复习：交集、并集 二、1．如图（1）U是全集，A，B是U的两个子集，图中有四个用数字 标出的区域，试填下表： 图（1） 图（2） 2A8个用数 字标 32+1,x∈A∩B。 1），（1，2）} 三、《教学与测试》P7-P8 （第四课）P9-P10 （第五课）中例题 如有时间多余，则处理练习题中选择题 四、作业：上述两课练习题中余下部分 第九教时 （可以考虑分两个教时授完） 教材：单元小结，综合练习 目的：小结、复习整单元的内容，使学生对有关的知识有全面系统的理解。过程： 一、复习： 1．基本概念：集合的定义、元素、集合的分类、表示法、常见数集 2．含同类元素的集合间的包含关系：子集、等集、真子集 3．集合与集合间的运算关系：全集与补集、交集、并集 二、苏大《教学与测试》第6课 习题课（1）其中“基础训练”、例题 三、补充：（以下选部分作例题，部分作课外作业） 1、用适当的符号（∈，?，， ，=，?）填空： 0 ? Φ； 0 ∈ N ； Φ {0}； 2 ∈ {x|x -2=0}； {x|x 2-5x+6=0} = {2,3}； (0,1) ∈ {(x,y)|y=x+1}； {x|x=4k,k ∈Z} {y|y=2n,n ∈Z}； {x|x=3k,k ∈Z} ? {x|x=2k,k ∈Z}； {x|x=a 2-4a,a ∈R} {y|y=b 2+2b,b ∈R} 2、用适当的方法表示下列集合，然后说出其是有限集还是无限集。 ① 由所有非负奇数组成的集合； {x=|x=2n+1,n ∈N} 无限集 ② 由所有小于20的奇质数组成的集合； {3,5,7,11,13,17,19} 有限集 ③ 平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合； {(x,y)|x<0,y>0} 无限集 ④ 方程x 2-x+1=0的实根组成的集合； Φ 有限集 ⑤ 所有周长等于10cm 的三角形组成的集合； {x|x 为周长等于10cm 的三角形} 无限集 3、已知集合A={x,x 2,y 2-1}, B={0,|x|,y} 且 A=B 求x,y 。 解：由A=B 且0∈B 知 0∈A 若x 2=0则x=0且|x|=0 不合元素互异性，应舍去 若x=0 则x 2=0且|x|=0 也不合 ∴必有y 2-1=0 得y=1或y=-1 若y=1 则必然有1∈A, 若x=1则x 2=1 |x|=1同样不合，应舍去 若y=-1则-1∈A 只能 x=-1这时 x 2=1,|x|=1 A={-1,1,0} B={0,1,-1} 即 A=B 综上所述： x=-1, y=-1 4、求满足{1} A ?{1,2,3,4,5}的所有集合A 。 解：由题设：二元集A 有 {1，2}、{1，3}、{1，4}、{1，5} 三元集A 有 {1，2，3}、{1，2，4}、{1，2，5}、{1，3，4}、{1，3，5}、{1，4，5} 四元集A 有 {1，2，3，4}、{1，2，3，5}、{1，2，4，5}、{1，3，4， 5} 五元集A 有 {1，2，3，4，5} 5、设U={x ∈N|x<10}, A={1,5,7,8}, B={3,4,5,6,9}, C={x ∈N|0≤2x-3<7} 求： A ∩B,A ∪B,(C u A)∩(C u B), (C u A)∪(C u B),A ∩C, [C u (C ∪B)]∩(C u A)。 ? ≠ ? ≠ ? ≠ ? ≠ ? ≠ ? ≠ 解：U={x ∈N|x<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C={x ∈N|2 3≤x<5}={2,3,4} A ∩B={5} A ∪B={1,3,4,5,6,7,8,9} ∵CuA={0,2,3,4,6,9} CuB={0,1,2,7,8} ∴(CuA)∩(CuB)={0,2} (CuA)∪(CuB)={0,1,2,3,4,6,7,8,9} A ∩C=Φ 又 ∵C ∪B={2,3,4,5,6,9} ∴Cu(C ∪B)={0,1,7,8} ∴[Cu(C ∪B)]∩(CuA)={0} 6、设A={x|x=12m+28n,m 、n ∈Z}, B={x|x=4k,k ∈Z} 求证:1。 8∈A 2。 A=B 证：1。若12m+28n=8 则m= 3 2 7+-n 当n=3l 或n=3l +1(l ∈Z)时 m 均不为整数 当n=3l +2(l ∈Z)时 m=-7l -4也为整数 不妨设 l =-1则 m=3,n=-1 ∵8=12×3+28×(-1) 且 3∈Z -1∈Z ∴8∈A 2。 任取x 1∈A 即x 1=12m+28n (m,n ∈Z) 由12m+28n=4=4(3m+7n) 且3m+7n ∈Z 而B={x|x=4k,k ∈Z} ∴12m+28n ∈B 即x 1∈B 于是A ?B 任取x 2∈B 即x 2=4k, k ∈Z 由4k=12×(-2)+28k 且 -2k ∈Z 而A={x|x=12m+28n,m,m ∈Z} ∴4k ∈A 即x 2∈A 于是 B ?A 综上：A=B 7、设 A ∩B={3}, (CuA)∩B={4,6,8}, A ∩(CuB)={1,5}, (CuA)∪(CuB) ={x ∈N*|x<10且x ≠3} , 求Cu(A ∪B), A, B 。 解一： (CuA)∪(CuB) =Cu(A ∩B)={x ∈N*|x<10且x ≠3} 又：A ∩B={3} U=(A ∩B)∪Cu(A ∩B)={ x ∈N*|x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9} A ∪ B 中的元素可分为三类:一类属于A 不属于B;一类属于B 不属于A;一类 既属A 又属于B 由(C u A)∩B={4,6,8} 即4,6,8属于B 不属于A 由(C u B)∩A={1,5} 即 1,5 属于A 不属于B 由A ∩B ={3} 即 3 既属于A 又属于B ∴A ∪B ={1，3，4，5，6，8} ∴C u （A ∪B ）={2，7，9} A 中的元素可分为两类:一类是属于A 不属于B,另一类既属于A 又属于B ∴A={1,3,5} 同理 B={3,4,6,8} 解二 （韦恩图法） 略 8、设A={x|-3≤x ≤a}, B={y|y=3x+10,x ∈A}, C={z|z=5-x,x ∈A}且B ∩C=C 求实数a 的取值。 解：由A={x|-3≤x ≤a} 必有a ≥-3 由-3≤x ≤a 知 3×(-3)+10≤3x+10≤3a+10 故 1≤3x+10≤3a+10 于是 B={y|y=3x+10,x ∈A}={y|1≤y ≤3a+10} 又 -3≤x ≤a ∴-a ≤-x ≤3 5-a ≤5-x ≤8 ∴C={z|z=5-x,x ∈A}={z|5-a ≤z ≤8} 由B ∩C=C 知 C ?B 由数轴分析:???≥-≥+1 58103a a 且 a ≥-3 ? -3 2≤a ≤4 且都适合a ≥-3 综上所得:a 的取值范围{a|-3 2≤a ≤4 } 9、设集合A={x ∈R|x 2 +6x=0},B={ x ∈R|x 2+3(a+1)x+a 2-1=0}且A ∪B=A 求实数a 的取值。 解：A={x ∈R|x 2 +6x=0}={0,-6} 由A ∪B=A 知 B ?A 当 B=A 时 B={0,-6} ???=--=+-0 16 )1(32 a a ? a=1 此时 B={x ∈R|x 2+6x=0}=A 当B A 时 1。 若 B ≠Φ 则 B={0}或 B={-6} 由 ?=[3(a+1)]2-4(a 2-1)=0 即5a 2+18a+13=0 解得a=-1或 a=-513 当a=-1时 x 2=0 ∴B={0} 满足B A 当a=-513时 方程为 0 25 1445 242=+ - x x x 1=x 2=5 12 ∴B={ 5 12} 则 B ?A （故不合，舍去） 2。 若B=Φ 即 ?<0 由 ?=5a 2+18a+13<0 解得-5 13 此时 B=Φ 也满足B A 综上: - 5 13 10、方程x 2-ax+b=0的两实根为m,n,方程x 2-bx+c=0的两实根为p,q,其中m 、n 、p 、q 互不相等，集合A={m,n,p,q},作集合S={x|x=α+β,α∈A,β∈A 且α≠β}，P={x|x=αβ,α∈A,β∈A 且α≠β},若已知S={1,2,5,6,9,10},P={-7,-3,-2,6, 14,21}求a,b,c 的值。 解：由根与系数的关系知：m+n=a mn=b p+q=b pq=c 又: mn ∈P p+q ∈S 即 b ∈P 且 b ∈S ∴ b ∈P ∩S 又由已知得 S ∩P={1,2,5,6,9,10}∩ {-7,-3,-2,6,14,21}={6} ∴b=6 又：S 的元素是m+n,m+p,m+q,n+p,n+q,p+q 其和为 ? ≠ ? ≠ ? ≠ 3(m+n+p+q)=1+2+5+6+9+10=33 ∴m+n+p+q=11 即 a+b=11 由 b=6得 a=5 又：P 的元素是mn,mp,mq,np,nq,pq 其和为 mn+mp+mq+np+nq+pq=mn+(m+n)(p+q)+pq=-7-3-2+6+14+21=29 且 mn=b m+n=a p+q=b pq=c 即 b+ab+c=29 再把b=6 , a=5 代入即得 c=-7 ∴a=5, b=6, c=-7 四、作业：《教学与测试》余下部分及补充题余下部分 第十一教时 教材：含绝对值不等式的解法 目的：从绝对值的意义出发，掌握形如 | x | = a 的方程和形如 | x | > a, | x | < a (a>0) 不等式的解法，并了解数形结合、分类讨论的思想。 过程： 一、实例导入，提出课题 实例：课本 P14（略） 得出两种表示方法： 1．不等式组表示：???≤-≤-5 5005500x x 2．绝对值不等式表示:：| x - 500 | ≤5 课题：含绝对值不等式解法 二、形如 | x | = a (a ≥0) 的方程解法 复习绝对值意义：| a | = ?? ???<-=>) 0()0(0)0(a a a a a 几何意义：数轴上表示 a 的点到原点的距离 ． 例：| x | = 2 ． 三、形如| x | > a 与 | x | < a 的不等式的解法 例 | x | > 2与 | x | < 2 1?从数轴上，绝对值的几何意义出发分析、作图。解之、见 P15 略 结论：不等式 | x | > a 的解集是 { x | -a< x < a} | x | < a 的解集是 { x | x > a 或 x < -a} 2?从另一个角度出发：用讨论法打开绝对值号 | x | < 2 ? ?? ?<≥2 0x x 或 ? ? ?<-<20 x x ? 0 ≤ x < 2或-2 < x < 0 合并为 { x | -2 < x < 2} 同理 | x | < 2 ? ?? ?>≥2 0x x 或 ?? ?>-<2 x x ? { x | x > 2或 x < -2} -2 0 2 3?例题 P15 例一、例二 略 4?《课课练》 P12 “例题推荐” 四、小结：含绝对值不等式的两种解法。 五、作业： P16 练习 及习题1．4 第十二教时 教材：一元二次不等式解法 目的：从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握运用二次 函数求解一元二次不等式的方法。 过程 ： 一、课题：一元二次不等式的解法 先回忆一下初中学过的一元一次不等式的解法：如 2x -7>0?x>2 7 这里利用不等式的性质解题 从另一个角度考虑：令 y=2x -7 引导观察，并列表，见 P17 略 当 x=3.5 时, y=0 即 2x -7=0 当 x<3.5 时, y<0 即 2x -7<0 当 x>3.5 时, y>0 即 2x -7>0 结论：略 见P17 注意强调：1?直线与 x 轴的交点x 0是方程 ax+b=0的解 2?当 a>0 时, ax+b>0的解集为 {x | x > x 0 } 当 a<0 时, ax+b<0可化为 -ax -b<0来解 二、一元二次不等式的解法 同样用图象来解，实例：y=x 2-x -6 当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x 2-x -6=0 当 x<-2 或 x>3 时, y>0 即 x 2 -x -6>0 当 -2 不等式 x 2-x -6 > 0 的解集：{ x | x < -2或 不等式 x 2-x -6 < 0 的解集：{ x | -2 < x < 3 } 这是 △>0 的情况： 若 △=0 , △<0 分别作图观察讨论 得出结论：见 P18--19 说明：上述结论是一元二次不等式 ax+bx+c>0(<0) 当 a>0时的情况 若 a<0, 一般可先把二次项系数化成正数再求解 三、例题 P19 例一至例四 练习：（板演） 有时间多余，则处理《课课练》P14 “例题推荐” 四、小结：一元二次不等式解法（务必联系图象法） 五、作业：P21 习题 1.5 《课课练》第8课余下部分 第十三教时 教材：一元二次不等式解法（续） 目的：要求学生学会将一元二次不等式转化为一元二次不等式组求解的方法，进 而学会简单分式不等式的解法。 过程： 一、复习：（板演） 一元二次不等式 ax 2+bx+c>0与 ax 2+bx+c<0 的解法 （分 △>0, △=0, △<0 三种情况） 1．2x 4-x 2-1≥0 2．1≤x 2-2x<3 (《课课练》 P15 第8题中） 解：1．2x 4-x 2-1≥0 ? (2x 2+1)(x 2-1)≥0 ? x 2≥1 ? x ≤-1 或 x ≥1 2．1≤x 2 -2x<3 ? ?? ?? ?≥-<-123 22x x x x ? ?????≥--<--0 1203222x x x x ? ?? ? + ≥-≤<<-2 12131x x x 或 ? -1 2 或 1+ 2≤x<3 二、新授： 1．讨论课本中问题：(x+4)(x -1)<0 等价于(x+4)与(x -1)异号，即：?? ?<->+0 104x x 与 ?? ?>-<+0 104x x 解之得：-4 < x < 1 与 无解 ∴原不等式的解集是：{ x |?? ?<->+0 104x x }∪{ x |?? ?>-<+0 104x x } ={ x | -4 < x < 1 }∪φ= { x | -4 < x < 1 } 同理：(x+4)(x -1)>0 的解集是：{ x |???>->+0 104x x }∪{ x |?? ?<-<+0 104x x } 2．提出问题：形如 >++b x a x 的简单分式不等式的解法： 同样可转化为一元二次不等式组 { x |?? ?>+>+0 0b x a x }∪{ x |?? ?<+<+0 0b x a x } <++b x a x 也可转化（略） 注意：1?实际上 (x+a)(x+b)>0(<0) 可考虑两根 -a 与 -b ，利用法则 求解：但此时必须注意 x 的系数为正。 2?简单分式不等式也同样要注意的是分母不能0（如 ≥++b x a x 时） 3?形如 ≥+++c b x a x 的分式不等式，可先通分，然后用上述方 法求解 3．例五：P21 略 4．练习 P21 口答板演 三、如若有时间多余，处理《课课练》P16--17 “例题推荐” 四、小结：突出“转化” 五、作业：P22 习题1．5 2--8 及《课课练》第9课中挑选部分 第十四教时 教材： 苏大《教学与测试》P13-16第七、第八课 目的： 通过教学复习含绝对值不等式与一元二次不等式的解法，逐步形成教熟 练的技巧。 过程： 一、复习：1. 含绝对值不等式式的解法：（1）利用法则； （2）讨论，打开绝对值符号 2．一元二次不等式的解法：利用法则（图形法） 二、处理苏大《教学与测试》第七课 — 含绝对值的不等式 《课课练》P13 第10题： 设A= ?? ? ???? ? ??-≤+- 2)1(2)1(|22a a x x B={x|2≤x ≤3a+1}是否存在实数a 的值， 分别使得：(1) A ∩B=A (2)A ∪B=A 解：∵2 ) 1(2) 1(2 ) 1(2 2 2 -≤ +- ≤-- a a x a ∴ 2a ≤x ≤a 2+1 ∴ A={x|2a ≤x ≤a 2 +1} (1) 若A ∩B=A 则A ?B ∴ 2≤2a ≤a 2+1≤3a+1 ? 1≤a ≤3 (2) 若A ∪B=A 则B ?A ∴当B=?时 2>3a+1 ? a<31 当B ≠?时 2a ≤2≤3a+1≤a 2+1 无解 ∴ a<31 三、处理《教学与测试》第八课 — 一元二次不等式的解法 《课课练》 P19 “例题推荐” 3 关于x 的不等式 3 3 2 2<+-+-x x k kx x 对一切实数x 恒成立， 求实数k 的取值范围。 解：∵ x 2-x+3>0恒成立 ∴ 原不等式可转化为不等式组： ()()?????>+++->-+-+0 9340 93222k x k x k x k x 由题意上述两不等式解集为实数 ∴ ()()()()?????<+-+=?<---=?0 916309832221k k k k ?? ? +<<-<<-?10 45104579k k 7 1045<<-?k 即为所求。 四、作业：《教学与测试》第七、第八课中余下部分。 第十五教时 教材：二次函数的图形与性质（含最值）； 苏大《教学与测试》第9课、《课课练》第十课。 目的： 复习二次函数的图形与性质，期望学生对二次函数y=ax 2+bx+c 的三个参 数a,b,c 的作用及对称轴、顶点、开口方向和 △ 有更清楚的认识；同时对闭区间内的二次函数最值有所了解、掌握。 过程： 一、复习二次函数的图形及其性质 y=ax 2+bx+c (a ≠0) 1．配方 a b ac a b x a y 4422 2 -+ ??? ? ? += 顶点，对称轴 2．交点：与y 轴交点（0,c ） 与x 轴交点（x 1,0）（x 2,0） 求根公式 a x x ?= -21 3．开口 4．增减情况（单调性） 5．△的定义 二、图形与性质的作用 处理苏大《教学与测试》第九课 例题：《教学与测试》P17-18例一至例三 略 三、关于闭区间内二次函数的最值问题 结合图形讲解： 突出如下几点： 1．必须是“闭区间” a 1≤x ≤a 2 2．关键是“顶点”是否在给定的区间内； 3．次之，还必须结合抛物线的开口方向，“顶点”在区间中点的左侧还是右侧综合判断。 处理《课课练》 P20“例题推荐”中例一至例三 略 四、小结：1。 调二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0) 中三个“参数”的地位与作用。 我们实际上就是利用这一点来处理解决问题。 2。 于二次函数在闭区间上的最值问题应注意顶点的位置。 五、作业： 《课课练》中 P21 6、7、8 《教学与测试》 P18 5、6、7、8 及“思考题” 第十六教时 教材： 一元二次方程根的分布 目的： 介绍符号“f(x)”，并要求学生理解一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的根的 分布与系数a,b,c 之间的关系，并能处理有关问题。 过程： 一、为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号“f(x)”。 如：二次 x 函数记作f(x)= ax 2+bx+c (a ≠0) x=1时的函数值记作f(1) 即f(1)=a+b+c 二、 例一 已知关于x 的方程 (k -2)x 2-(3k+6)x+6k=0有两个负根，求k 的 取值范围。 解：()()??? ????? ? >-<-+≥?--+=?0 26026 30624632k k k k k k k ??? ??? ?><<<-≤≤-?20226 52 k k k k 或 0 5 2<≤- ? k 此题主要依靠?及韦达定理求解，但此法有时不大奏效。 例二 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3。 ()()??? ????>+?-?=<+-=<=>+-?--?=-0 3533)3(053)1(0)0(02523)2(2 2 a f a f a f a f ? -12 此题利用函数图象及函数值来“控制”一元二次方程根的分布。 例三 已知关于x 的方程x 2-2tx+t 2-1=0的两个实根介于-2和4之间，求实数t 解： ??? ? ? ????<=-<->=--=?>+-=>++=-42204)1(440158)4(0 34)2(222 2t a b t t t t f t t f 3 1<<-?t ?及顶点坐标来解题。 三、作业题（补充） *1. 关于x 的方程x 2+ax+a -1=0，有异号的两个实根，求a 的取值 范围。(a<1) *2. 如果方程x 2 +2(a+3)x+(2a -3)=0的两个实根中一根大于3,另一根 小于3，求实数a 的取值范围。 (a<-3) *3. 若方程8x 2+(m+1)x+m -7=0有两个负根，求实数m 的取值范围。 (m>7) *4. 关于x 的方程x 2-ax+a 2-4=0有两个正根，求实数a 的取值范围。 (a>2) （注：上述题目当堂巩固使用） 5．设关于x 的方程4x 2-4(m+n)x+m 2+n 2=0有一个实根大于-1，另一个实根小于-1，则m,n 必须满足什么关系。 （(m+2)2+(n+2)2<4） x x 教学辅导教案 学科： 任课教师： 授课日期： 第一部分：集合的含义 知识梳理 1.元素与集合的概念 （1）把 统称为元素，通常用________________________表示。 （2）把_________________ ___ __叫做集合（简称为集），通常用______ ______表示。 2.集合中元素的特性 （1（2（3 3.集合相等 只要_____________________________________就称这两个集合是相等的。 4、集合分类 根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集，记 （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 5.元素与集合之间的关系 （1）如果a是集合A的元素，就说__________________,记作__________________. （2）如果a不是集合A的元素，就说________________,记作__________________. 例题分析 用符号“∈”或“?”填空： (1)1________N,0________N，－3________N，0．5________N，2________N； (2)1________Z,0________Z，－3________Z，0．5________Z，2________Z； (3)1________Q,0________Q，－3________Q，0．5________Q，2________Q； (4)1________R,0________R，－3________R，0．5________R，2________R. 经典例题: 例1：用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程2x x=的所有实数根组成的集合； （3）由1~20以内的所有素数组成的集合. 素数: 例2．试分别用列举法和描述法表示下列集合： 高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。 10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？ 四、巩固深化 练习：课本P7 练习1、2（1）（2） 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业 数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ? 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x 盐城市文峰中学美术生高中数学复习教学案 §1集合与充要条件 【考点及要求】： 1.了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义； 2.了解并掌握集合之间交，并，补的含义与求法； 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件. 【基础知识】： 1.集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和 2.常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 3.集合的表示方法1 2 3 4.集合间的基本关系：1)相等关系：_________A B B A ???且 2)子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ? 3) 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____ 5.不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 6.若已知全集U ，集合A U ?，则U C A = . 7.________A A ?=，_________A ??=，__________A A ?=， _________A ??=，_________U A C A ?=，_________U A C A ?=， 8.若A B ?，则____,___A B A B ?=?= 9.若q p ?,则p 是q 的 条件, q 是p 的 条件. 10.若q p ?,且p q ?,则p 是q 的 条件. 【基本训练】： 1.{}a a a ,202-∈，则a 的值等于_________. 2.若全集{}4,3,2,1,0=U ,且{}3,2=A C U ,则A 的真子集有 个. 3.集合{}{}02,12<-=>=x x x B x x A ，则______=?B A . 4.1>x 是x x >2的_____________ 条件. 【典型例题讲练】 例1.已知集合{}{} 03)32(,082222≤-+--=≤--=m m x m x x B x x x A （1） 若[]4,2=?B A ，求实数m 的值； 高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业] 高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2 知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程： 情境设置： 问题：①圆的定义？ 学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。 问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？ 二、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出） P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （１）2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上 （２）2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内 （３）2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外 三、知识应用与解题研究 （一）练习 １、指出下列方程表示的圆心坐标和半径： （１） 222=+y x ； （２） 5)1()3(22=-+-y x ； （３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。 集合间的基本关系 教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系 了解空集的含义 课 型：新授课 教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义； （2）理解子集、真子集的概念； （3）能利用Venn 图表达集合间的关系； （4）了解与空集的含义。 教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。 教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别； 教学过程： 一、引入课题 1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白： （1）0 N ；（2 ；（3）-1.5 R 2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题） 二、新课教学 （一） 集合与集合之间的“包含”关系； A={1，2，3}，B={1，2，3，4} 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。 记作：)(A B B A ??或 读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作 A B 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系 )(A B B A ??或 （二） 集合与集合之间的 “相等”关系； A B B A ??且，则B A =中的元素是一样的，因此B A = 即 ?? ????=A B B A B A 练习 结论： 任何一个集合是它本身的子集 （三） 真子集的概念 若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。 记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ） ? 一集合（§1.1.1 集合） 教学时间 :第一课时 课题:§1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学方法:尝试指导 教具准备:投影片（3张） 教学过程: （I）引入新课 同学们好！首先，我祝贺大家能升入苍梧第一高级中学进行高中学习。下面我想初步了解一下同学们的情况。请来自××中学的同学站起来。依次询问他们的名字，并板书。同样询问来自另一学校学生情况。××同学你为什么不站起来？来自××中学的三位虽然性别不同，年龄有差异，但他们有一个共同的性质——来自××中学。所以，在数学上可以把他们看作为有3个元素的集合（板书课题：集合，并将其姓名用{ }括起来），同样，××中学的二位同学也可看作有2个元素的集合。显然，刚才抽到的××同学如果作为一个元素就不属于上面这两个集合了。同学们！这节课我们将系统地研究集合的一些概念。讲四个问题：（1）集合和元素；（2）集合的分类；（3）集合的表示方法；（4）为什么要学习集合的表示方法？ （II）复习回顾 师生共同回顾初中代数中涉及“集合”提法. （Ⅲ）讲授新课 通过以上实例，教师指出： 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 师：进一步指出： 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 生：例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 师：请同学们另外举出三个例子，并指出其元素. 生：略.（教师给予评议）。 师：一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 生：在师指导下一一回答上述问题. 师：由以上四个问题可知， 集合元素具有三个特征： （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 ∈师：元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（?也可表示为）两种。 教学片断与案例 1、综合法和分析法的一个教学片断 师：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的．观察、思考下列证明过程各有什么特点？它们是以怎样的形式使结论获证的？ 引例1已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥ 证明：因为222,0b c bc a +≥>，所以22()2a b c abc +≥， 因为222,0c a ac b +≥>，所以22()2b c a abc +≥. 因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥. 引例2已知,a b R +∈，求证： 2a b +≥ 证明：要证2 a b +≥a b +≥， 只需证0a b +-，只需证20≥ 因为20≥显然成立，所以原不等式成立． 引例3已知0,0,0>>++>++abc ca bc ab c b a .求证： 0,,>c b a 证：设0abc ，∴0 高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020. 『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）—————————————— 1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈ 组合教学设计（第一课时） 一、教材分析 本节课的教学内容是选修2-3（人教A版）§1.2.2《组合》第一课时．本节内容是两个计数原理及排列知识的延续，也是后续学习二项式定理，研究二项式系数性质及求等可能事件概率的基础，因此本节课在整个章节中起了承上启下的重要作用。本节课主要是借助学生身边的例子，类比排列的知识探究组合的定义、组合数的定义、组合数计算公式及组合数的性质，并从具体情境中体会排列与组合的区别与联系。通过对组合教学的探究，让学生体会类比，从特殊到一般等重要数学思想的应用以及数学来源于生活又服务于生活的课程理念。 二、学情分析 从学生的现有知识水平看，在学习本节前，学生已学习了两个基本计数原理、排列。绝大多数学生能正确运用两个计数原理，能正确理解排列、排列数的概念，能比较熟练地应用排列数公式进行计算。还能遵循先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则，解决典型的排列问题。因此在本节课教学要借助这些已有的知识，通过观察、分析、类比、归纳，帮助学生理解组合的概念；从能力的角度看，学生已经具备了一定的分析问题的能力、思考的能力、探究的能力、计算的能力、数学表达的能力，教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组讨论、合作交流，全班展示等活动培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。 三、设计思想 《组合》是继排列后的又一特殊的计数模型，是计数问题的延续与拓展。本节课我的设计理念是：以问题为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放、民主、和谐的学习氛围，充分调动学生的兴趣与积极性。让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中，体验从生活中发现数学，并通过观察、分析、对比、归纳、猜想、证明、展示、交流等一系列思维活动，在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程。同时注重渗透“特殊与一般”、“分类讨论”、“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，真正做到“授之以鱼不如授之以渔”。 四、教学目标 1、知识与技能: 正确理解组合、组合数的概念；会利用排列与组合的关系推导组合数公式；初步掌握组合数的性质； 2、过程与方法: 借助学生生活中熟悉的例子创设问题情境，学生通过对实际问题的探究、思考、对比、分析，初步形成组合、组合数的概念；用类比、归纳的思想得出组合、组合数的概念，并深刻体会组合、排列的区别与联系；通过小组讨论、交流合作、成果展示等活动，才用类比、特殊到一般的思想探究推导组合数公式并能进行简单应用；从组合数的计算中观察、归纳、猜想得到组合数的性质并进行简单的应用。3、情感态度与价值观: 学会用联系的观点看问题，培养良好的个性品质及团队合作意识；让学生充分感受到数学来源于生活又服务于生活，提高应用数学的意识。 五、教学重点：组合的概念、组合数公式、组合数的性质 六、教学难点：组合数公式的推导. 七、教学方法：启发、引导、自主、合作、探究 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1. 知识与技能 (1) 通过实物操作，增强学生的直观感知。 (2) 能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3) 会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4) 会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2. 过程与方法 (1) 让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出拄、锥、台、球的几何结构特征。 (2) 让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3. 情感态度与价值观 (1) 使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提鬲学生的观察能力。 (2) 培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大董空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的槪括。 三、教学用具 (1) 学法：观察、思考、交流、讨论、槪括。 (2) 实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1. 教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2. 所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体)，你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1. 引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2. 观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么它们的共同 特点是什么 3. 组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)毎相邻两上四边形的公共边互相平 第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： ⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流； ⑶非负奇数；⑷某校2011级新生； ⑸血压很高的人； 7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。 高一数学《集合概念》教案Teaching plan of set concept for senior one mathematics 高一数学《集合概念》教案 前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 集合的概念 教学目的： （1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 （2）使学生初步了解“属于”关系的意义 （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示 一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1.集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离 不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这 些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最 开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章 讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑 本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出 集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子 第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程： 一、复习准备： 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； >； （2）312 >吗？ （3）312 （4）8是24的约数； （5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 二、讲授新课： 1. 教学命题的概念： ①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题. ②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）. 上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题. ③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？ x<； （5）215 （6）平面内不相交的两条直线一定平行； （7）明天下雨. （学生自练→个别回答→教师点评） ④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式： ①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式. ③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点； （2）对顶角相等； （3）全等的两个三角形面积也相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式. 巩固练习： 教材 P4 1、2、3 4. （师生共析→学生说出答案→教师点评） ②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数； 人教版高中数学必修2 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法： （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观： （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪。 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 1、由六根火柴最多可搭成几个三角形？（空间：4个） 2在我们周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子 吗？这些建筑的几何结构特征如何？ 3、展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体。 问题：请根据某种标准对以上空间物体进行分类。 （二）、研探新知 空间几何体：多面体（面、棱、顶点）：棱柱、棱锥、棱台； 旋转体（轴）：圆柱、圆锥、圆台、球。 1、棱柱的结构特征： （1）观察棱柱的几何物体以及投影出棱柱的图片， 思考：它们各自的特点是什么？共同特点是什么？ （学生讨论） （2）棱柱的主要结构特征（棱柱的概念）： ①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两上四边形的公共边互相平行。 （3）棱柱的表示法及分类： 1.1.1集合的概念 【教学目标】 1. 初步理解集合的概念；理解集合中元素的性质． 2. 初步理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法．【教学重点】 集合的基本概念，元素与集合的关系． 【教学难点】 正确理解集合的概念． 【教学过程】 新 课 元素都是不同的对象． 4. 集合的分类． (1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集． (2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集． 5. 常用数集及其记法． (1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作N； (2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N＋或N*； (3) 整数集：整数全体构成的集合，记作Z； (4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作Q； (5) 实数集：实数全体构成的集合，记作R． 注意：（1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0； （2）自然数集内排除0的集，表示成或，其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集，也可类似表示，，； （3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如，，…不再适用． 例1 判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由． (1) 小于10 的自然数的全体； (2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生； (3) 英文的26 个大写字母； (4) 非常接近1 的实数． 练习1 判断下列语句是否正确： (1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； (2) 所有三角形构成的集合是无限集； (3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集； (4) 如果a ∈Q，b ∈Q，则a＋b ∈Q． 2．选择题 ⑴以下四种说法正确的( ) (A) “实数集”可记为{R}或{实数集} (B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合高一数学必修一集合教案知识点及练习
高中数学选修4-4全套教案
最新人教版高中数学必修二_全册教案
高中数学必修一集合的基本运算教案
(完整版)高中数学一轮复习《1集合与充要条件》教学案
高中数学三角函数教案
新人教版必修二高中数学 《圆的标准方程》 教学设计
高中数学集合间的基本关系教案3 新课标 人教版 必修1(A)
人教版高中数学必修1集合教案
教学片断与案例
高中数学必修一教案全套
人教版高中数学集合教案
高中数学《组合》教学设计
人教版高中数学必修二-全册教案
高一数学必修集合教案
高一数学《集合概念》教案
高中数学【北师大选修1-1】教案全集
人教版高中数学必修2全部教案(最全最新)
高一数学集合课程教案
相关主题
文本预览