科学计算—理论、方法 及其基于MATLAB 的实现与分析
最佳平方逼近
§２ 函数最均方逼近
函数最佳均方逼近准则
2
/122
))()(()()
()(??
????-=-?dx x P x f x x P x f b a ρ （９）
与下面的准则等价
min P ∈P ()()[]??
????-?b a dx x P x f x 2)(ρ （１０）
为了讨论问题时方便，在下面的讨论中我们采用准则（１０）。
一般人们习惯于把一个n 次多项式写成n x x ,,,1 的线性组合，即
()n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110 （１１）
的形式，但是，这种表现形式在有些场合并不好，为说明这一点，我们先采用式（１１）。当我们选取n 次多项式做最佳均方逼近时，积分
()()[]?-b
a n dx x P x f 2
（１２） 的结果依赖于n 次多项式()x P n 系数k a ，n k ,,1,0 =，即
()()()[]?-=Φb
a
n n dx x P x f a a a 2
10,,, （１３） 所以最佳平方逼近多项式()x P n *必须满足如下条件：
()?∑=??
?
???-=?Φ?-=-b a k n n i i n i k dx x x f x a a 020， n k ,,1,0 = （１４） 即
()?∑?-=--=??????b a k n i n
i b a k n i n dx
x x f a dx x x 0
， n k ,,1,0 = （１５）
由式（１５）可知，最佳平方逼近多项式()x P n *的系数*
k a ，n k ,,1,0 =，是1+n 阶线性方程组（１５）
的解，但是线性方程组（１５）通常是病态方程组，当0=a ，1=b 时，对于]1,0[)(C x f ∈，取
},,,,1{2n x x x span =Φ，1)(=x ρ.由于
??==++===+1010)(),(,1
1
),(dx x f x f d k i dx x
a k k k k
i k i ik ???， 则法方程的系数矩阵
?
?
???
??
?????+++++=
)12/(1)
2/(1)1/(1)2/(13/12/1)1/(12/11
n n n n n H . （6.12） 记 T n T n d d d d a a a a ),,,(,),,,(1010 ==，则
d
Ha = （6.13）
的解=*a T
n a a a ),,,(10*** 即为所求.
例5 在},,1{2x x span =Φ中求定义在[0，1]上的函数x x f +=1)(的最佳平方逼近多项式)(2x S *
.
解 由于2,1,0,)(==i x x i i ?，而由上面结论，有
1
1
++=
k i a ik ，21895.11100?=+=dx x d ，64379.01101=+=?xdx x d ，44024.02=d ， 得法方程
??
??
??????=????????????????????44024.064379.021895.15/14/13/14/13/12/13/12/11210a a a ，
用列主元消去法解得070567.0,48235.0,0013.1210-===*
**a a a .因此所求解为
22070567.048235.00013.1)(x x x S -+=*
.
平方误差为：∑=*
*
?-=-n
k k k n
d a f x S x f 0
2
22
2)()(
71025.3)44024.0070567.064379.048235.021895.10013.1(5.1-?=?-?+?-=.
【注】 用{}n x x x ,,,,12 作基求最佳平方逼近多项式，得到法方程的系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，当
n 较大时，是高度病态的.对于例5的三阶Hilbert 矩阵，它的条件数为748)(1
==∞
-∞
∞H H
H Cond .
为避免解病态方程组，需要引入
函数内积的概念：对于()()[]b a C x g x f ,,∈?，()[]b a C x ,0∈<ρ，定义内积如下：
()()()()?=b
a dx x g x f x g f ρ, （１６）
由内积诱导的范数（距离）
()()()0,2
1
22
f d dx x f x f
b
a =??
????=?ρ （１７） 正交的概念：
()()()()()()()()
????
?≠===?x g x f x g x f f dx x g x f x g f b
a
,2
2
ρ （１８）
基于函数的内积与正交的概念，如果我们能找到一组正交多项式()x k ?，n k ,,1,0 =：
()()()()()()()()?????≠===?
x x x x dx x x x j i j i i b
a
j i j
i
???????ρ??0
,22 （１９）
并且将n 次多项式()x P n 表示成这组正交多项式的线性组合：
()()∑==n
i i i n x b x P 0? （２０）
那么采用内积的记号，这时正规方程组（１５）
()
()()()()
()()
()
()()()()???
???? ??=????
?
?? ?????????
?????n n n n n n n n f f f b b b ?????????????????????,,,,,,,,,,,,1010101110101000
（２１）
就具有下面的特殊形式：
()()
()()()()???
?
??? ??=??????? ??????????????n n n n f f f b b b ?????????,,,,00
0,00
,10101100
（２２）
正交多项式的构造：
()()()()()()
x P b x P a x x P a x x P x P n n n n n 211
101----=-==， n k ,,1,0 = （２３）
其中
()()()()()()()()()()()()()()()()?
??
?----------------====b
a
n n b
a
n n n n n n n b
a
n n b
a n n n n n n n dx
x P x P x dx
x P x xP x P P P xP b dx
x P x P x dx
x P x xP x P P P xP a 2221222111111111,,,,ρρρρ， ,3,2=n （２４）
利用区间平移和伸缩变换：[]b a x ,∈，[]1,1-∈t ．
()b a x a
b t ---=
21
（２５） 2
2a
b t a b x ++-=
（２６） 可以原来定义在区间[]]1,1-上的正交多项式族转化成区间[]b a ,上的正交多项式族。
Legendre 多项式及其应用
在[-1，1]上，取权函数)(x ρ=1，由上述递推关系得勒让德多项式
1)(~0=x P ，x x P =)(~1
，31)(~22-=x x P ，x x x P 53)(~33-=， ,35
376)(~24
4+-=x x x P . 这是勒让德于1785年引进的.1814年罗德利克(Rodrigul)给出了简单的表达式
,2,1})1{(!21)(,1)(20=-==n x dx
d n x P x P n n
n n n . 由于n x )1(2-是n 2次多项式，求n 阶导数后得
01
1)1()12)(2(!
21)(a x a x n n n n x P n n n n
n ++++-=
-- ， 于是得首项n x 的系数2
)
!(2)!
2(n n a n n =
.显然最高项系数为1的勒让德多项式为 ,2,1},)1{()!2(!)(~
2=-=n x dx
d n n x P n n
n n . 勒让德多项式有下述几个重要性质.
【性质1】 正交性：?-?????=+≠==1
1.,1
22
,
,0)()(),(n m n n m dx x P x P P P m n m n 证明省略. 【性质2】 奇偶性：)()1()(x P x P n n n -=-. 【性质3】 递推关系：
.,2,1
),()()12()()1(11 =-+=+-+n x nP x xP n x P n n n n ，
由x x P x P ==)(,1)(10，三项递推可得
,8/)33035()(,2/)35()(,2/)13()(2
443322+-=-=-=x x x P x x x P x x P ,16/)5105315231()(,8/)157063()(2466
355-+-=+-=x x x x P x x x x P . 证明省略.勒让德多项式)(),(),(321x P x P x P 的图形见图6-4.
Plot_Legendre
clear all
clf
x=sym('x'); K=10;
for n=1:K; if n==1
LN(n)=diff(((2^(n-1))*prod([1:n-1]))\(x^2-1)^(n-1),n-1)+1; else
LN(n)=diff(((2^(n-1))*prod([1:n-1]))\(x^2-1)^(n-1),n-1); end end
L(1)=0; P='';
for i=1:K; if i==2
LN(i)='x^1';
L(i+1)=L(i)+length(char(LN(i))); P=strcat(P,char(LN(i))); else
L(i+1)=L(i)+length(char(LN(i))); P=strcat(P,char(LN(i))); end end
for i=1:K;
fplot(P(L(i)+1:L(i+1)),[-1,1]) hold on
title('LEGENDRE POLYNORMIAL')
plot([-1:0.05:1],0*[-1:0.05:1],'r') pause hold off end
【性质4】 勒让德多项式)(x P n 在区间[-1，1]内有n 个不同的实零点.
图6-4 勒让德多项式图形 图6-5 切比雪夫多项式图形
例２ 求函数x e x f -=)(在区间[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式.
解 利用勒让德多项式1)(0=x P ，x x P =)(1，2/)13()(2
2
-=x x P 求二次最佳平方逼近多项式. 1752.1)1
(2121110≈-==
?--*e e dx e a x ， 1036.1323111-≈-==
?--*
e
dx xe a x ， 3578.02
13251122
≈-=?--*dx e x a x ， 因此逼近多项式
9963.01036.15367.02
1
33578.01036.11752.1)(222
+-=-+-=*x x x x x S .
逼近多项式的平方误差为
0015.0)(122)()()(2
2
1
1
2
2
2
2
≈+-=-∑
?=*-*k k a k dx x f x S x f . 若所给的区间是],[b a ，可以通过变换t a b b a x 2
2-++=将其转化为[-1，1]. 例３ 利用Legendre 多项式求函数
()x xe x f x sin =
在区间[]3,1上的满足给定精度要求的最佳平方逼近多项式。
clear all syms x t; F=t*exp(t)*sin(t);
N=input('Input the degree of approximation polynomial: N = ') a=input('Input the left end points of interval a = ') b=input('Input the right end points of interval b = ') N=N+1; for n=1:N; if n==1
LN(n)=diff(((2^(n-1))*prod([1:n-1]))\(x^2-1)^(n-1),n-1)+1; else
LN(n)=diff(((2^(n-1))*prod([1:n-1]))\(x^2-1)^(n-1),n-1); end end
s=2\((b-a)*x+a+b); f=subs(F,t,char(s)); for i=1:N; BB(i)=LN(i)*f; for j=1:N;
C(i,j)=LN(i)*LN(j); A(i,j)=int(char(C(i,j)),-1,1); end end for i=1:N;
B(i)=int(char(BB(i)),-1,1); end c=A\(B'); Optf=LN*c; w=(b-a)\(2*x-a-b); Optf=subs(Optf,x,char(w)); Optf=collect(Optf)
fplot('x*exp(x)*sin(x)',[a,b],'r')
title('Optimal Square Approximation for Functions') hold on ezplot(Optf,[a,b])
legend('Function F(x)','Optimal Square Approximation Polynomial')
乘法运算乘法运算符为”*”，运算规则和现行代数中矩阵乘法运算相同，即放在前面的矩阵的行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。 1、两个矩阵相乘：必须满足前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数。 2、矩阵的数乘：返回数与矩阵中每一个元素相乘后的矩阵 3、向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘；A.*B表示A与B对应的元素相乘，返回的是一个向量 4、向量点积： （1）C=dot(A,B) %若A、B为向量，A与B长度相同；若为矩阵，则A与B有相同维数 （2）C=dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点积 5、向量叉乘：在数学上，两向量的叉乘是一个过两向量交点且垂直于两向量所在平面的向量。 （1）C=cross(A,B) %若A、B为向量，则返回A与B的叉乘，即C=AXB；若为矩阵，则返回一个3Xn矩阵，其中列是A与B对应列的叉积，A、B都是3Xn矩阵 （2）C=cross(A,B,dim) %在dim维数中给出向量A与B的叉积注：A与B必须具有相同维数，size(A,dim)和size(B,dim)必须是3 6、矩阵卷积和多项式乘法：w=conv(u,v) （反褶积deconv(u,v)）长度为m的向量序列u和长度为n的向量序列v的卷积定义为 ∑ = + = k 1 j j) -1 u(j)v(k )k( w，其中w向量序列长度为（m+n-1） 多项式的乘法实际上是多项式系数向量间的卷积运算，举例如下：展开多项式(s2+2s+2)(s+4)(s+1) >>w=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1])) w = 1 7 16 18 8 >>p=poly2str(w,’s’) %将w表示成多项式 p=s^4 +7 s^3 +16 s^2 +18 s + 8 7、张量积 C=kron(A,B) %A为mxn矩阵，B为pxq矩阵，则C为mpxnq矩阵A与B的张量积定义为： 加、减运算加、减运算符为”+”、”--”。运算规则为对应元素相加、减 pow2函数命令：X=pow2(F,E)，表示F*2E；命令：X=pow2(E），表示2E 矩阵的代数 运算
1 单选(2分) 利用MATLAB求解科学计算问题的优势是（）。 得分/总分 ? A. 算法最优 ? B. 不需要编写程序 ? C. 程序执行效率高 ? D. 编程效率高 正确答案：D你没选择任何选项 2 单选(2分) 在MATLAB命令行窗口输入命令时，可使用续行符，其写法是（）。 得分/总分 ? A. 省略号（…） ? B. 分号（;） ? C. 三个小数点（…） ? D. 百分号（%） 正确答案：C你没选择任何选项 3
下列语句执行后，D的值为（）。 1.A=[1:3;4:6]; 2.D=sub2ind(size(A),[1,1],[2,3]) 得分/总分 ? A. 3 6 ? B. 2 5 ? C. 3 5 ? D. 4 5 正确答案：C你没选择任何选项 4 单选(2分) ceil(-2.1)+floor(-2.1)+fix(-2.1)的结果为（）。 得分/总分 ? A. -7 ? B. -6 ? C. -5 ? D. -9 正确答案：A你没选择任何选项 5
下列语句执行后，x的值是（）。 1.log=1:5; 2.x=log(1) 得分/总分 ? A. ? B. 1 ? C. 数学常数e ? D. 报错 正确答案：B你没选择任何选项 6 单选(2分) 下列语句执行后，c的值是（）。 1.ch=['abcdef';'123456']; 2.c=char(ch(2,4)-1) 得分/总分 ? A. '4' ? B. 4 ? C. '3' ? D. 3
7 单选(2分) 产生和A同样大小的全0矩阵的函数是（）。 得分/总分 ? A. zero(size(A)) ? B. zeros(size(A)) ? C. size(zero(A)) ? D. size(zeros(A)) 正确答案：B你没选择任何选项 8 单选(2分) 语句x=speye(5)==eye(5)执行后，则下列说法中正确的是（）。 得分/总分 ? A. x是5阶全1矩阵，且采用稀疏存储方式 ? B. x是5阶全1矩阵，且采用完全存储方式 ? C. x是5阶单位矩阵，且采用稀疏存储方式 ? D. x是5阶单位矩阵，且采用完全存储方式
1.1 矩阵的表示 1.2 矩阵运算 1.2.14 特殊运算 1．矩阵对角线元素的抽取 函数diag 格式X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。 X = diag(v) %以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。 v = diag(X,k) %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0：抽取主对角线元素；k>0：抽取上方第k条对角线元素；k<0抽取下方第k条对角线元素。 v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。 2．上三角阵和下三角阵的抽取 函数tril %取下三角部分 格式L = tril(X) %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L L = tril(X,k) %抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。函数triu %取上三角部分 格式U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U U = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。3．矩阵的变维 矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。 （1）“：”变维 （2）Reshape函数变维 格式 B = reshape(A,m,n) %返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵B B = reshape(A,m,n,p,…) %将矩阵A变维为m×n×p×… B = reshape(A,[m n p…]) %同上 B = reshape(A,siz) %由siz决定变维的大小，元素个数与A中元素个数 相同。 （5）复制和平铺矩阵 函数repmat 格式 B = repmat(A,m,n) %将矩阵A复制m×n块，即B由m×n块A平铺而成。 B = repmat(A,[m n]) %与上面一致 B = repmat(A,[m n p…]) %B由m×n×p×…个A块平铺而成 repmat(A,m,n) %当A是一个数a时，该命令产生一个全由a组成的m×n矩阵。 1.3 矩阵分解 1.3.1 Cholesky分解 函数chol 格式R = chol(X) %如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足R'*R = X；若X非正定，则产生错误信息。 [R,p] = chol(X) %不产生任何错误信息，若X为正定阵，则p=0，R与上相同；若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。 1.3.2 LU分解
一、Maple V 系统 Maple V是由Waterloo大学开发的数学系统软件，它不但具有精确的数值处理功能，而且具有无以伦比的符号计算功能。Maple V的符号计算能力还是MathCAD和MATLAB等软件的符号处理的核心。Maple提供了2000余种数学函数，涉及范围包括：普通数学、高等数学、线性代数、数论、离散数学、图形学。它还提供了一套内置的编程语言，用户可以开发自己的应用程序，而且Maple自身的2000多种函数，基本上是用此语言开发的。 Maple采用字符行输入方式，输入时需要按照规定的格式输入，虽然与一般常见的数学格式不同，但灵活方便，也很容易理解。输出则可以选择字符方式和图形方式，产生的图形结果可以很方便地剪贴到Windows应用程序内。 二、MATLAB 系统 MATLAB原是矩阵实验室（Matrix Laboratory）在70年代用来提供Linpack和Eispac k软件包的接口程序，采用C语言编写。从80年代出现3.0的DOS版本，逐渐成为科技计算、视图交互系统和程序语言。MATLAB可以运行在十几个操作平台上，比较常见的有基于W indows 9X/NT、OS/2、Macintosh、Sun、Unix、Linux等平台的系统。 MATLAB程序主要由主程序和各种工具包组成，其中主程序包含数百个内部核心函数，工具包则包括复杂系统仿真、信号处理工具包、系统识别工具包、优化工具包、神经网络工具包、控制系统工具包、μ分析和综合工具包、样条工具包、符号数学工具包、图像处理工具包、统计工具包等。而且5.x版本还包含一套几十个的PDF文件，从MATLAB的使用入门到其他专题应用均有详细的介绍。 MATLAB是数值计算的先锋，它以矩阵作为基本数据单位，在应用线性代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、动态系统仿真方面已经成为首选工具，同时也是科研工作人员和大学生、研究生进行科学研究的得力工具。MATLAB在输入方面也很方便，可以使用内部的E ditor或者其他任何字符处理器，同时它还可以与Word6.0/7.0结合在一起，在Word的页面里直接调用MATLAB的大部分功能，使Word具有特殊的计算能力。 三、MathCAD 系统 MathCAD是美国Mathsoft公司推出的一个交互式的数学系统软件。从早期的DOS下的1. 0和Windows下的4.0版本，到今日的8.0版本，功能也从简单的数值计算，直至引用Map le强大的符号计算能力，使得它发生了一个质的飞跃。 MathCAD是集文本编辑、数学计算、程序编辑和仿真于一体的软件。MathCAD7.0 Profe ssional（专业版）运行在Win9X/NT下，它的主要特点是输入格式与人们习惯的数学书写格式很近似，采用WYSWYG（所见所得）界面，特别适合一般无须进行复杂编程或要求比较特殊的计算。MathCAD 7.0 Professional 还带有一个程序编辑器，对于一般比较短小，或者要求计算速度比较低时，采用它也是可以的。这个程序编辑器的优点是语法特别简单。 MathCAD可以看作是一个功能强大的计算器，没有很复杂的规则；同时它也可以和Wor d、Lotus、WPS2000等字处理软件很好地配合使用，可以把它当作一个出色的全屏幕数学公式编辑器。 四、Mathematica 系统 Mathematica是由美国物理学家Stephen Wolfram领导的Wolfram Research开发的数学系统软件。它拥有强大的数值计算和符号计算能力，在这一方面与Maple类似，但它的符
实验一 Matlab 常用函数、数组及矩阵的基本运算 一、 实验目的 1. 了解Matlab7.0软件工作界面结构和基本操作; 2. 掌握矩阵的表示方法及Matlab 常用函数; 3. 掌握数组及矩阵的基本运算. 二、 实验内容 1. 了解命令窗口(command widow)和变量空间(workspace)的作用,掌握清 除命令窗口(clc )和变量空间(clear)的方法.掌握查询函数(help)的方法. 2. 掌握保存和加载变量的方法. 加载变量:load 变量名. 3. 掌握掌握矩阵的表示方法: 给a,b,c 赋如下数据: ]6,46,23,4,2,6,3,8,0,1[,356838241248 7,278744125431-=??????????--=??????????=c b a 4. 求a+b,a*b,a.*b,a/b,a./b,a^2,a.^2的结果. 5. 将str1=electronic; str2 = information; str3 = engineering; 三个字符串连接 在一起成str = electronic information engineering. 6. 求矩阵a 的逆矩阵a -1，行列式计算。 (inv(a),det(a)) 三、 实验要求 1.上机操作,熟练掌握清除命令窗口和变量空间的方法、查询变量的方法、加载变量的方法。 2.第2道题请写出步骤。 3.对实验内容中第3-6项,写出指令,上机运行. 记录运行结果(数据)。 4.写出实验报告。 四、 实验结果 2. 用save 函数,可以将工作空间的变量保存成txt 文件或mat 文件等. 比如: save peng.mat p j 就是将工作空间中的p 和j 变量保存在peng.mat 中. 用load 函数,可以将数据读入到matlab 的工作空间中. 比如:load peng.mat 就是将peng.mat 中的所有变量读入matlab 工作空间中。
第四讲绘图功能
作为一个功能强大的工具软件，Matlab 具有很强的图形处理功能，提供了大量的二维、三维图形函数。由于系统采用面向对象的技术和丰富的矩阵运算，所以在图形处理方面即常方便又高效。
4.1 二维图形 一、plot函数 函数格式：plot(x,y)其中x和y为坐标向量函数功能：以向量x、y为轴，绘制曲线。【例1】在区间0≤X≤2 内，绘制正弦曲线Y=SIN（X），其程序为： x=0:pi/100:2*pi; y=sin(x); plot(x,y)
一、plot函数 【例2】同时绘制正、余弦两条曲线Y1=SIN（X）和Y2=COS（X），其程序为： x=0:pi/100:2*pi; y1=sin(x); y2=cos(x); plot(x,y1,x,y2) plot函数还可以为plot(x,y1,x,y2，x,y3，…)形式，其功能是以公共向量x为X轴，分别以y1，y2，y3，…为Y轴，在同一幅图内绘制出多条曲线。
一、plot函数 （一）线型与颜色 格式：plot(x,y1,’cs’,...) 其中c表示颜色，s表示线型。 【例3】用不同线型和颜色重新绘制例4.2图形，其程序为：x=0:pi/100:2*pi; y1=sin(x); y2=cos(x); plot(x,y1,'go',x,y2,'b-.') 其中参数'go'和'b-.'表示图形的颜色和线型。g表示绿色，o表示图形线型为圆圈；b表示蓝色，-.表示图形线型为点划线。
一、plot函数 （二）图形标记 在绘制图形的同时，可以对图形加上一些说明，如图形名称、图形某一部分的含义、坐标说明等，将这些操作称为添加图形标记。 title(‘加图形标题'); xlabel('加X轴标记'); ylabel('加Y轴标记'); text(X,Y,'添加文本');
练习题 1.求函数在指定点的数值导数 x=sym('x'); >> y=[x x.^2 x.^3;1 2*x 3*x.^2;0 2 6*x]; >> x=1; >> eval(diff(y)) ans = 1 2 3 0 2 6 0 0 6 >> x=2; >> eval(diff(y)) ans = 1 4 12 0 2 12 0 0 6 >> x=3; >> eval(diff(y)) ans = 1 6 27 0 2 18 0 0 6 2.求下列函数导数 （1） x=sym('x'); >> y=x^10+10^x+(log(10))/log(x); >> diff(y) ans = 10*x^9+10^x*log(10)-2592480341699211/1125899906842624/log(x)^2/x （2） x=sym('x');
>> y=log(1+x); >> x=1; >> eval(diff(y,2)) %在x=1的条件下对y表达式求两次导数后导函数的值 ans = -0.2500 3.用数值方法求下列积分 首先先讲一下trapz的用法，如下题 t=0:0.001:1; >> y=t; >> trapz(t,y) ans = 0.5000 （1） >> x=1:0.01:5; >> y=(x.^2).*sqrt(2*x.^2+3); >> trapz(x,y) ans = 232.8066 (2) x=pi/4:0.01:pi/3; >> y=x./(sin(x).^2); >> trapz(x,y) ans = 0.3810 第三题拟合曲线题 x=[0:0.1:1]; >> y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; >> a=polyfit(x,y,2); >> x=[0.05:0.2:1.05]; >> y=a(3)+a(2)*x+a(1)*x.^2 %注意x要在y前先赋值，不然y不会运行为最新的x对呀的y值 y =
MATLAB 矩阵及其运算函数表 函数名函数功能 abs( ) 绝对值、负数的模、字符串的ASCII码值都可用来求字符串矩阵所 对应的ASCII码数值矩阵double( ) char( ) 可以把ASCII码数值矩阵转换为字符串矩阵 fix( ) 向零方向取整 floor( ) 不大于自变量的最大整数 ceil( ) 不小于自变量的最小整数 round( ) 四舍五入到最邻近的整数 rem(x,y) 求余函数 mod(x,y) % exp( ) 指数函数 [ ] 空操作符 format 格式符设置或改变数据输出格式 (其中格式符决定数据的输出格式) e1:e2:e3 冒号表达式可以产生一个行向量 (其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值) linspace(a,b,n) 产生一个行向量 (其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数) [注：linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价] A(:,j) 表示取A矩阵的第j列全部元素 A(i,:) 表示A矩阵第i行的全部元素 A(i,j) 表示取A矩阵第i行、第j列的元素 A(i:i+m,:) 表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素 A(:,k:k+m) 表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素 A(i:i+m,k:k+m) 表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～k+m列中的所有元素 zeros 产生全0矩阵(零矩阵) ones 产生全1矩阵(幺矩阵) eye 产生单位矩阵 rand 产生0～1间均匀分布的随机矩阵 randn 产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵 zeros(size(A)) 建立一个与矩阵A同样大小的零矩阵 reshape(A,m,n) 在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵magic(n) 生成一个n阶魔方矩阵（其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等） vander(V) 生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵（最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积） hilb(n) 生成希尔伯特矩阵 invhilb(n) 求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵 (用一般方法求逆会因原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果) toeplitz(x,y) 生成一个以x为第1列，y为第1行的托普利兹矩阵（除第1行第1列外，
《Matlab与科学计算》作业 第一章MATLAB环境 1、MATLAB通用操作界面窗口包括哪些？命令窗口、历史命令窗口、当前目录窗口、工作空间窗口各有哪些功能？ 答：MATLAB通用操作界面窗口包括：命令窗口、历史命令窗口、当前目录浏览器窗口、工作空间窗口、变量编辑器窗口、M文件编辑/调试器窗口、程序性能剖析窗口、MATLAB帮助。 命令窗口是MATLAB命令操作的最主要窗口，可以把命令窗口当做高级的“草稿纸”。在命令窗口中可以输入各种MATLAB的命令、函数和表达式，并显示除图形外的所有运算结果。 历史命令窗口用来记录并显示已经运行过的命令、函数和表达式，并允许用户对它们进行选择、复制和重运行，用户可以方便地输入和修改命令，选择多行命令以产生M文件。 当前目录窗口用来设置当前目录，可以随时显示当前目录下的M、MKL等文件的信息，扬文件类型、文件名、最后个修改时间和文件的说明信息等，并可以复制、编辑和运行M文件及装载MAT数据文件。 工作空间窗口用来显示所有MATLAB工作空间中的变量名、数据结构、类型、大小和字节数。 2、熟悉课本中表格1.4、1.5、1.6、1.7、1.8的内容。 3、如何生成数据文件？如何把数据文件中的相关内容输入到工作空间中，用实例进行操作。 生成数据文件：
把数据文件中的相关内容输入到工作空间中： 结果： 4、在工作空间中可以通过哪些命令管理变量，写出每种语法的具体操作过程。答：（1）把工作空间中的数据存放到MAT数据文件。 语法：save filename 变量1 变量2 ……参数。 （2）从数据文件中取出变量存放到工作空间。 语法：load filename 变量1 变量2 ……。
盐城师范学院《MATLAB与科学计算》期末论文 2016－2017学年度第一学期 用MATLAB解决解析几何的图形问题 学生姓名吴梦成 学院数学与统计学院 专业信息与计算科学 班级数15(5)信计 学号 15213542
用MATLAB 解决解析几何的图形问题 摘 要 将 MATLAB 的图形和动画功能都用于解析几何教学，可使教学形象生动。以图形问题为例，详细给出了实例的程序编写和动画实现过程 。在解析几何教学中有一定的应用价值。 【关键词】： MATLAB ； 解析几何 ；图形 ； 动 画；编程 1 引 言 在解析几何的教学中，使用传统的教学方法。许多曲线及曲面的形成过程与变换过程只通过传统的教师讲授静态图示就很难形象生动地表示出来 。在解析几何教学中使用MATLAB 软件辅助教学，不仅可以很容易绘制出复杂的立体图形。把曲线、曲面的形成和变化过程准确地模拟出来 ，而且还能够对它们进行翻转 、旋转 ，甚 至还能够轻而易举地实现图形的动画效果!这对提高教学效率和培养学生的空间想象能力可起到事半功倍的效果。下面结合实例从几个方面说明MATLAB 在解析几何画图方面的应用。 2 利用 MATLAB 绘制三维曲线 在空间解析几何中，各种曲线和曲面方程的建立都离不开图形 ，而空间曲线和曲面图形既难画又费时。借助MATLAB 的绘图功能 ，可以快捷 、 准确地绘出图形，使教学变得形象 、生动 。有利于学生观察三维空间图形的形状 ， 掌握图形的性质 。 一 般地 ，MATLAB 可用plot3，ezplot3，comet3等函数来各种三维曲线 。 例如画螺旋曲线的图形，其参数方程设为 ：t at cos x =，t b sin t y -=，ct =z 。使用 plot3语句画螺旋曲线图形的方法如下( 设a =2 ,b=4,c=3)： );*3),sin(*.*4),cos(*.*2(3;*10:50/:0t t t t t plot pi pi t -= MATLAB 用两条简单的语句就可以画出螺旋 曲线(图1)，但上述方法是静态的 ，为了体
单元测验已完成成绩：100.0分 1 【单选题】 MATLAB一词来自（）的缩写。 ?A、 Mathematica Laboratory ?B、 Matrix Laboratory ?C、 MathWorks Lab ?D、 Matrices Lab 我的答案：B得分：50.0分 2 【单选题】 下列选项中能反应MATLAB特点的是（）。?A、 算法最优 ?B、 不需要写程序 ?C、 程序执行效率高 ?D、 编程效率高
我的答案：D得分：50.0分 单元测验已完成成绩：96.4分 1 【单选题】 当在命令行窗口执行命令时，如果不想立即在命令行窗口中输出结果，可以在命令后加上（）。 ?A、 冒号（:） ?B、 逗号（,） ?C、 分号（;） ?D、 百分号（%） 我的答案：C得分：7.1分 2 【单选题】 fix(264/100)+mod(264,10)*10的值是（）。 ?A、 86 ?B、 62 ?C、 423
?D、 42 我的答案：D得分：7.1分 3 【单选题】 在命令行窗口输入下列命令后，x的值是（）。 >> clear >> x=i*j ?A、 不确定 ?B、 -1 ?C、 1 ?D、 i*j 我的答案：B得分：7.1分 4 【单选题】 使用语句x=linspace(0,pi,6)生成的是（）个元素的向量。?A、 8 ?B、 7
?C、 6 ?D、 5 我的答案：C得分：7.1分 5 【单选题】 ceil(-2.1)的结果为（）。?A、 -2 ?B、 -3 ?C、 1 ?D、 2 我的答案：A得分：7.1分 6 【单选题】 eval('sqrt(4)+2')的值是（）。?A、 sqrt(4)+2 ?B、
单元测验已完成成绩：分 1 【单选题】 MATLAB一词来自（）的缩写。 A、 Mathematica Laboratory B、 Matrix Laboratory C、 MathWorks Lab D、 Matrices Lab 我的答案：B得分：分 2 【单选题】 下列选项中能反应MATLAB特点的是（）。 A、 算法最优 B、 不需要写程序 C、 程序执行效率高 D、 编程效率高
我的答案：D得分：分 单元测验已完成成绩：分 1 【单选题】 当在命令行窗口执行命令时，如果不想立即在命令行窗口中输出结果，可以在命令后加上（）。 A、 冒号（:） B、 逗号（,） C、 分号（;） D、 百分号（%） 我的答案：C得分：分 2 【单选题】 fix(264/100)+mod(264,10)*10的值是（）。 A、 86 B、 62 C、 423 D、
42 我的答案：D得分：分 3 【单选题】 在命令行窗口输入下列命令后，x的值是（）。 >> clear >> x=i*j A、 不确定 B、 -1 C、 1 D、 i*j 我的答案：B得分：分 4 【单选题】 使用语句x=linspace(0,pi,6)生成的是（）个元素的向量。 A、 8 B、 7 C、 6
D、 5 我的答案：C得分：分 5 【单选题】 ceil的结果为（）。 A、 -2 B、 -3 C、 1 D、 2 我的答案：A得分：分 6 【单选题】 eval('sqrt(4)+2')的值是（）。 A、 sqrt(4)+2 B、 4 C、 2 D、
2+2 我的答案：B得分：分 7 【单选题】 已知a为3×5矩阵，则执行完a(:,[2,4])=[]后（）。 A、 a变成行向量 B、 a变为3行2列 C、 a变为3行3列 D、 a变为2行3列 我的答案：C得分：分 8 【单选题】 在命令行窗口输入以下命令 >> A=[1:3;4:6]; >> D=sub2ind(size(A),[1,1],[2,3]) D的值为（）。 A、 3 6 B、 2 5 C、 4 5
MATLAB中矩阵常用的操作函数 1. zeos : 生成零矩阵 2. ones : 生成1矩阵 3. eye : 生成单位矩阵 4. rand : 返回[0,1]之间的平均分布的随机数（矩阵） 5. randn : 返回标准正态分布的随机数（矩阵） 6. mean : 返回列的均值 7. std : 返回列的方差 8. magic : 返回魔方矩阵，即行、列，对角线元素之和都相等的矩阵 9. hilb : 返回Hilbert矩阵，即H(i,j)=1/(i+j-1) 的矩阵 10. toeplitz : 返回toeplitz矩阵 11. 常用运算： 和：A+B 积：A*B 转置：A'，注意：如果A是复矩阵，则A'是共轭转置 行列式：det(A) 逆：inv(A) 内积：dot(a, b) 秩：rank(A) 迹：trace(A) 12. 线性方程组：Ax=b，可以用左除运算：x=A\b；也可以用逆运算：x=inv(A)*b，但效率不如左除运算。 13. Jordan 标准型：jordan(A)，返回A的Jordan标准型。或者用两个参数接收结果：[V, J] = jordan(A)，那么J是A的Jordan标准型，V是用到的相似变换矩阵，即A=V*J*inv(V)。 14. SVD分解，即奇异值分解：[U, S, V] = svd(A)，A=USV'。 15. 特征值：eig(A)返回A的所有特征值。如果用两个参数接收结果：[E, F] = eig(A)，那么E 的列是A的特征向量，F是A的特征值。 16. 范数： 1范数：norm(A, 1) 2范数：norm(A, 2) 无穷范数：norm(A, inf) Frobenius范数（也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数），即A全部元素平方和的平方根：norm(A, 'fro') 17. 矩阵函数：通用方法是funm(A, @fun)，即计算矩阵A的fun函数。
Matlab 与科学计算考试样题（客观题） 1 下面的MATLAB 语句中正确的有： a) 2a ＝pi 。 b) record_1=3+4i c) a=2.0, d) c=1+6j 2. 已知水的黏度随温度的变化公式如下，其中a=0.03368，b=0.000221，计算温度t 为20，30，40度时的粘度分别是： 2 1at bt μμ=++0μ为0℃水的黏度，值为31.78510-?；a 、b 为常数，分别为0.03368、0.000221。 3. 请补充语句以画出如图所示的图形： [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2)。 Z=x.*exp(-x.^2-y.^2)。 。 a) Plot3(x,y,Z) b) plot3(x,y,Z) c) mesh(x,y,Z) d) plot3(x,y,z) 2 a) 0.4900 1.2501 0.8560 b) 0.8560 1.2501 0.4900 c) -0.6341 3.8189 -3.7749 d) 3.8189 -3.7749 2.8533 解释说明：
>> x=0.5:0.5:3.0。 >> y=[1.75,2.45,3.81,4.80,8.00,8.60]。 >> a=polyfit(x,y,2) a = 0.4900 1.2501 0.8560 >> x1=[0.5:0.25:3.0]。 >> y1=a(1)*x1.^2+a(2)*x1+a(3) >> plot(x,y,'*') >> hold on >> plot(x1,y1,'--r') 5. 求方程在 x=0.5附近的根. 21 x x += a) 0.6180 b) -1.1719e-25 c) －1 d) -1.6180 6. 用Newton-Cotes方法计算如下积分 1 5 x? （a）133.6625 (b)23.8600 (c) 87.9027 (d) -1.6180 7. y=ln(1+x)，求x=1时y" a) -0.25 b) 0.5 c) -0.6137 d) -1.6137 8.某公司用3台轧机来生产规格相同的铝合金薄板。取样测量薄板的 厚度，精确至‰厘M。得结果如下： 轧机1：0.236 0.238 0.248 0.245 0.243 轧机2：0.257 0.253 0.255 0.254 0.261 轧机3：0.258 0.264 0.259 0.267 0.262 计算方差分析结果，并判定各台轧机所生产的薄板的厚度有无显著的差异？ a) p＝1.3431e-005，没有显著差异。
杭州电子科技大学信息工程学院《科学计算与MATLAB》期末大作业
给出程序、图、作业分析，程序需加注释。 1. 试编写名为fun.m 的MATLAB 函数，用以计算下述的值： ?? ? ??-<->=t t n t t t n t f 的)4/sin()(si 对所有)4/sin(其他情况)sin(的)4/sin()(si 对所有)4/sin()(ππππ 绘制t 关于函数f(t)的图形，其中t 的取值范围为ππ66≤≤-t ，间距为10/π。 function y=fun()%定义函数 % t=-6*pi:pi/10:6*pi; %定义变量范围 y = (sin(pi/4)).*(sin(t)>sin(pi/4))+(sin(-pi/4)).*(sin(t)
2.解以下线性方程组 ??? ??=+=++=--3 530 42231 321321x x x x x x x x A=[2 -1 -1;1 1 4;3 0 5];%输入矩阵 B=[2;0;3]; %输入矩阵 X = A\B %计算结果 3.已知矩阵? ? ??? ???? ???=44434241 3433323124232221 14131211A 求： (1)A(2:3,2:3) (2)A(:,1:2) (3)A(2:3,[1,3]) (4)[A,[ones(2,2)；eye(2)]]
A=[11 12 13 14;21 22 23 24;31 32 33 34;41 42 43 44];%输入矩阵A(2:3,2:3) %输出矩阵 A(:,1:2) %输出矩阵 A(2:3,[1,3]) %输出矩阵 [A,[ones(2,2);eye(2)]] %输出矩阵
目录 计算器得效果图 ........................................................................... 错误!未定义书签。 一、GUI设计界面: (3) 1。打开GUI (3) 2。添加按钮 (3) 3。根据按钮得作用及视觉效果做一定得修改: (4) 4。保存、添加功能函数 (4) (1)数字键编写 (4) (2)符号键得编写 (4) (3)运算符“=”得编写 (5) (4)按键“←back"得编写 (5) (5)按键“清空”得编写 (5) (6)按键“退出”得编写 (5) (7)按键“二进制数转十进制数"得编写 (5) (8)按键“十进制数转二进制数”得编写 (5) 二、计算器得使用 (5) 除法运算(÷) (5) 平方运算(^2) (6) 函数cos (∏/3)得计算 (6) 函数arctan (∏/3)得计算 (7) 以2为底得对数得计算(log 2) (7) 十进制数转二进制数得计算(调用dec2bin函数) (8) 二进制数转十进制数得计算(调用bin2dec函数) (8) 三、附各按键得程序源代码 (9) 四、问题与解决方法 (14) 五、心得体会 (14) 参考文献 (15) 计算器得效果图:
一、GUI设计界面: 1。打开GUI 输入Guide 回车或者在工具栏上点击图标打开Guide 窗口: 2。添加按钮
3、根据按钮得作用及视觉效果做一定得修改: 双击按钮(Puch Button)进入按键属性修改显示字符串大小、字体与颜色,然后对按钮得位置进行排布,尽量使按钮集中在静态文本框下面、 4、保存、添加功能函数 把做好得按钮及静态文本框保存后自动弹出Editor得M文本,对然后对相应得pushbutton添加功能函数。以下就是相应按钮得功能函数。 (1)数字键编写 在function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)下输入: textString = get(handles。text1,’String'); textString =strcat(textString,'0'); set(handles、text1,’String',textString) 这就是使用句柄handles指向对象text1,并以字符串形式来存储数据文本框text1得内容,并存储数个“0”, 然后由set(handles。text1,'String','textString’在text1中输出。 同理,分别在function pushbutton2~10_Callback(hObject, eventdata, handles)下给1～9数字按键下编写此类程序、 (2)符号键得编写 function pushbutton12_Callback(hObject, eventdata, handles) textString = get(handles、text1,'String’); textString =strcat(textString,’÷’); set(handles。text1,'String',textString) strcat得作用就是将两个字符串连接起来,就就是在已输入得存储数据textString后添加“÷"进行运算。 然后执行set(handles、text1,’String’,textString)。符号键‘—’、‘＊’、‘/’与‘÷'得运算函数类似。“平方运算”,主要就是由“^2”功能实现。
三角函数： （）里如果是角度必须是弧度，如果是矩阵的话则为对每个元素执行。cos(),tan()也是一样。 以2为底对数函数：log2（4）=2 以10为底对数函数：log10() 自然对数：log（） 绝对值函数：abs（-2）=2 平方根函数：sqrt（2）=1.41 符号函数：sign（正数）=1 sign(负数)=-1 sign(0)=0 天花板函数ceil（）向大的方向 地板函数floor（）向小的方向 fix()向0的方向 圆整函数round()对数进行4舍5入，负数的话也对对应的正数4舍5入
取模函数 mod（5，3）=2 rem（5，3）=2 区别rem（-5，3）=-2 mod（-5，3）=1 多项式相乘函数：
conv（）deconv（）是相除 取最大和最小函数： max() min() 图中b为行向量或者是列向量 如果（）里为矩阵，则输出每列的最大值（以行向量的形式）如果要求矩阵的最大值max（max（A）） mean（A）输出对应每列的平均值（以行向量的形式）
向量的求和和求积：
整个矩阵的总和sum（sum（A）），求积函数prod同理
多项式乘多项式展开的表达式： [1,1]表示x+1，1 2 1的意思是x^2+2*x+1 复数的函数 real（1+2i）=1(取实部) imag(1+2i)=2(取虚部) abs（1+2i）=2.23 angle（1+2i）=1.107 （在坐标系中对应的角度，即arctan 2=1.107 ）取共轭复数： （1+2i）’=1-2i conj（1+2i）=1-2i dot（a，b）向量的内积 det（a）求行列式的值
工程设计报告 设计题目：基于Matlab的简易计算器 学院： 专业： 班级： 学号： 姓名： 电子邮件： 日期：2015年12 月 成绩： 指导教师：
西安电子科技大学 电子工程学院 工 程设计 任务书 学生姓名指导教师职称 学生学号专业 题目基于Matlab 的简易计算器 任务与要求 任务如下： 利用MATLAB GUI 设计实现一个图形用户界面的计算器程序，实现： A.实现十进制数的加、减、乘、除、简单计算。 B. 科学计算函数，包括正弦、余弦、正切、余切、开方、指数等函数运行。 C. 有清除键，能清除操作。 要求如下： A ．熟练掌握MatlabGUI 界面的设计与应用 B ．最终计算器能够实现预期的相关功能 开始日期2015年 11月日完成日期2016年1月日 课程设计所在单位 本表格由电子工程学院网络信息中心编辑录入 https://www.doczj.com/doc/897591039.html,. …………………………装…………………… … … … … 订 … … … … … … … … … … … …线 … …… …… …… …… …… … …… …… …… …… …… … …
摘要 基于Matlab GUI计算器设计时利用GUI的创建图像用户界面进行计算器设计。设计计算器时，主要是考虑到计算器的易用性、功能的常用程度进行计算器界面与功能的设计。通过调整控件和文本的布局及颜色，使界面简单大方、布局合理，达到界面友好的效果。 计算器设计时主要利用到get和set两个函数进行各个控件属性值的传递和设置。计算器实现的功能有：数字0~9和小数点的输入显示，平方开方和对数的输入显示。进行四则运算、正弦函数、余弦函数、正切函数以及反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的计算等等。最后运行调试，实现基于MatlabGUI的计算器的设计。 关键词：MatlabGUI计算器 Abstracts Based on Matlab GUI calculator design using the user interface to create images of GUI calculator design.Design calculator, mainly considering the ease of use, function calculators calculator interface and function of the common level of design.By adjusting the control and the layout of the text and color, make the interface simple and easy, rational layout, to achieve the effect of friendly interface. Calculator design used to get and set two main function for each attribute value transfer and control Settings.Calculator the functions are: 0 ~ 9, according to input and decimal square root and logarithm of input.Arithmetic, sine function and cosine function, tangent function and the arcsine function,arccosine function, the calculation of the arctangent function and so on.Finally running debugging, implementation design based on Matlab GUI calculator. Keywords: Matlab GUI calculator