第七章直梁弯曲时的内力和应力 一、填空题： 1、梁产生弯曲变形时的受力特点，是梁在过轴线的平面内受到外力偶的作用或者受到和梁轴线相___________的外力的作用。 2、车床上的三爪盘将工件夹紧之后，工件夹紧部分对卡盘既不能有相对移动，也不能有相对转动，这种形式的支座可简化为___________支座。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 4、梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然__________于横截面。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________力矩的代数和。 6、梁上某横截面弯矩的正负，可根据该截面附近的变形情况来确定，若梁在该截面附近弯成上_____下_______，则弯矩为正，反之为负。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 8、以梁横截面右侧的外力计算弯矩时，规定外力矩是顺时针转向时弯矩的符号为_______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 12、桥式起重机横梁由左、右两车轮支承，可简化为简支梁，梁长为L，起吊重量为P，吊重位置距梁左、右两端长度分别为a、b，且a>b,由此可知最大剪力值为_______. 13、将一简支梁的自重简化为均布载荷作用而得出的最大弯矩值,要比简化为集中罚作用而的最大弯矩值__________ 14、由剪力和载荷集度之间的微分关系可知,剪力图上的某点的_________等于对应于该点的载荷集度. 15、设载荷集度q（X）为截面位置X的连续函数，则q（X）是弯矩M（X）的_______阶导函数。 16、梁的弯矩图为二次抛物线时，若分布载荷方向向上，则弯矩图为向_________凸的抛物线。
第7章弯曲应力 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 弯曲正应力 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、
b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时 可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长 了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲 了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行 如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压， 每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在 纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近 下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶 作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于 对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面 的相对转角为d ?，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度 相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a) 上式表明，线应变ε?随y 按线性规律变化。 物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E 相等，则由 虎 克定律，得 ρ y E E εσ== (b) 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y =0，因而 ?=0，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应 力数值相等（图7-5）。 静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径?和 中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。 在图7-5中，取中性轴为z 轴，过z 、y 轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x 轴，作用于微面积dA 上的法向微内力为dA σ。在整个横截面上，各微面积上的微内
材料应力腐蚀 材料在应力和腐蚀环境的共同作用下引起的破坏叫应力腐蚀。这里需强调的是应力和腐蚀的共同作用。材料应力腐蚀具有很鲜明的特点，应力腐蚀破坏特征，可以帮助我们识别破坏事故是否属于应力腐蚀，但一定要综合考虑，不能只根据某一点特征，便简单地下结论。影响应力腐蚀的因素主要包括环境因素、力学因素和冶金因素。 原理 应力腐蚀是指在拉应力作用下，金属在腐蚀介质中引起的破坏。这种腐蚀一般均穿过晶粒，即所谓穿晶腐蚀。应力腐蚀由残余或外加应力导致的应变和腐蚀联合作用产生的材料破坏过程。应力腐蚀导致材料的断裂称为应力腐蚀断裂。 应力腐蚀一般认为有阳极溶解和氢致开裂两种。常见应力腐蚀的机理是:零件或构件在应力和腐蚀介质作用下，表面的氧化膜被腐蚀而受到破坏,破坏的表面和未破坏的表面分别形成阳极和阴极,阳极 处的金属成为离子而被溶解，产生电流流向阴极。由于阳极面积比阴极的小得多，阳极的电流密度很大，进一步腐蚀已破坏的表面。加上拉应力的作用，破坏处逐渐形成裂纹，裂纹随时间逐渐扩展直到断裂。这种裂纹不仅可以沿着金属晶粒边界发展，而且还能穿过晶粒发展。
影响 应力腐蚀过程试验研究表明:当金属加上阳极电流时可以加剧应力腐蚀，而加上阴极电流时则能停止应力腐蚀。一般认为压应力对应力腐蚀的影响不大。一般存在拉应力，但实验发现压应力有时也会产生应力腐蚀。对于裂纹扩展速率，应力腐蚀存在临界KISCC，即临界应力强度因子要大于KISCC，裂纹才会扩展。一般应力腐蚀都属于脆性断裂。应力腐蚀的裂纹扩展速率一般为10- 6~10-3 mm/min，而且存在孕育期，扩展区和瞬断区三部分。 容易发生应力腐蚀的设备发生这种腐蚀的主要设备有热交换器、冷却器、蒸汽发生器、送风机、干燥机和锅炉 特点 (1)造成应力腐蚀破坏的是静应力，远低于材料的屈服强度，而且一般是拉伸应力(近年来，也发现在不锈钢中可以有压应力引起)。这个应力可以是外加应力，也可以是焊接、冷加工或热处理产生的残留拉应力。最早发现的冷加工黄铜子弹壳在含有潮湿的氨气介质中的腐蚀破坏，就是由于冷加工造成的残留拉应力的结果。假如经过去应力退火，这种事故就可以避免。 (2)应力腐蚀造成的破坏，是脆性断裂，没有明显的塑性变形。
第七章 弯曲时的内力和应力※ 说明： 本文档仅限练习。与考试无任何联系。 如答案有误请自行修改。如仍有疑问咨询相关教师。Q群125207914 一、填空题： 1、梁产生弯曲变形时的受力特点，是梁在过轴线的平面内受到外力偶的作用或者受到和梁轴线相___________的外力的作用。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________力矩的代数和。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 18、在梁的某一段内，若无分布载荷q（X）的作用，则剪力图是 __________于X轴的直线。 19、在梁的弯矩图上，某一横截面上的弯矩有极值（极大值或极小值），该极值必发生在对应于剪力___________的横截面上。 21、梁在发生弯曲变形的同时伴有剪切变形,这种平面弯曲称为 __________弯曲。 24、梁在弯曲时的中性轴，就是梁的___________与横截面的交线。28、梁弯曲时,横截面中性轴上各点的正应力等于零,而距中性轴 ________处的各正应力为最大。 29、梁弯曲变形后，以中性层为界，靠__________边的一侧纵向纤维受压力作用,而靠__________边的一侧纵向纤维受拉应力作用。 31、等截面梁内的最大正应力总是出现在最大___________所在的横截面上。 32、在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线将成为一条连续而光滑的平面曲线，此曲线被称为_______。 33、梁在平面弯曲变形时的转角，实际上是指梁的横截面绕其________
梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、 同时存在，故梁在这些段内c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯 ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。曲。在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F Q 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 ⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵
向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c ）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。 ⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。 ⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。 由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知 y E y E E ?=?=?=ρρεσ 2-24 对于指定的横截面，ρE 为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率 半径ρ还是一个未知量，通过静力学平衡关系∑z F )(=0，可得
弯曲内力练习 一、选择题 1．外伸梁受均布载荷作用，如图所示。以下结论中（ ）是错误的。 A ．A B 段剪力表达式为()qx x F Q -=； B ．AB 段弯矩表达式为22 1)(qx x M -=； Ｃ．BC 段剪力表达式为()L qa x F Q 22=； Ｄ．BC 段弯矩表达式为)(2)(2x L L qa x M --=。 2．外伸梁受集中力偶作用，如图所示，以下结论中（ ）是错误的。 A ．当力偶作用点C 位于支座 B 的右侧时，梁的弯矩图为梯形； Ｂ．当C 点位于支座B 的右侧时，梁上各截面的弯矩()0≥x M ； Ｃ．当C 点在梁上移动时，梁的剪力图不改变； Ｄ．当C 点在梁上移动时，梁的中央截面上弯矩不改变。 题2图 题1图
3．简支梁受集中力作用，如图所示，以下结论中（ ）是错误的。 A ．AC 段，剪力表达式为 ()L Fb x F S =； Ｂ．AC 段,弯矩表达式为x L Fb x M =)(； Ｃ．CB 段，剪力表达式为 ()L Fa x F S = ； Ｄ．CB 段,弯矩表达式为)()(x L L Fa x M -= 。 4．简支梁的四种受载情况如图，设M 1、M 2、M 3、M 4分别表示梁（a ）、（b ）、（c ）、（d ）中的最大弯矩，则下列结论中（ ）是正确的。 A ．M 1 >M 2 = M 3 >M 4； Ｂ． M 1 >M 2 > M 3 >M 4； Ｃ．M 1 >M 2 >M 3 = M 4； Ｄ． M 1 >M 2 >M 4> M 3 。 5 ．外伸梁受均布载荷作用，如图所示。以下梁的剪力、弯矩图 （a ） （b ） （c ） （d ）
材料应力腐蚀材料在应力和腐蚀环境的共同作用下引起的破坏叫应力腐蚀。这里需强调的是应力和腐蚀的共同作用。材料应力腐蚀具有很鲜明的特点，应力腐蚀破坏特征，可以帮助我们识别破坏事故是否属于应力腐蚀，但一定要综合考虑，不能只根据某一点特征，便简单地下结论。 影响应力腐蚀的因素主要包括环境因素、力学因素和冶金因素。 原理 应力腐蚀是指在拉应力作用下，金属在腐蚀介质中引起的破坏。这种腐蚀一般均穿过晶粒，即所谓穿晶腐蚀。应力腐蚀由残余或外加应力导致的应变和腐蚀联合作用产生的材料破坏过程。应力腐蚀导致材料的断裂称为应力腐蚀断裂。 应力腐蚀一般认为有阳极溶解和氢致开裂两种。常见应力腐蚀的机理是:零件或构件在应力和腐蚀介质作用下，表面的氧化膜被腐蚀而受到破坏,破坏的表面和未破坏的表面分别形成阳极和阴极,阳极处的金属成为离子而被溶解，产生电流流向阴极。由于阳极面积比阴极的小得多，阳极的电流密度很大，进一步腐蚀已破坏的表面。加上拉应力的作用，破坏处逐渐形成裂纹，裂纹随时间逐渐扩展直到断裂。这种裂纹不仅可以沿着金属晶粒边界发展，而且还能穿过晶粒发展。 影响 应力腐蚀过程试验研究表明:当金属加上阳极电流时可以加剧应力腐蚀，而加上阴极电流时则能停止应力腐蚀。一般认为压应力对应力腐蚀的影响不大。一般存在拉应力，但实验发现压应力有时也会产生应
力腐蚀。对于裂纹扩展速率，应力腐蚀存在临界KISCC，即临界应力强度因子要大于KISCC，裂纹才会扩展。一般应力腐蚀都属于脆性断裂。应力腐蚀的裂纹扩展速率一般为10-6~10-3mm/min，而且存在孕育期，扩展区和瞬断区三部分。 容易发生应力腐蚀的设备发生这种腐蚀的主要设备有热交换器、冷却器、蒸汽发生器、送风机、干燥机和锅炉 特点 (1)造成应力腐蚀破坏的是静应力，远低于材料的屈服强度，而且一般是拉伸应力(近年来，也发现在不锈钢中可以有压应力引起)。这个应力可以是外加应力，也可以是焊接、冷加工或热处理产生的残留拉应力。最早发现的冷加工黄铜子弹壳在含有潮湿的氨气介质中的腐蚀破坏，就是由于冷加工造成的残留拉应力的结果。假如经过去应力退火，这种事故就可以避免。 (2)应力腐蚀造成的破坏，是脆性断裂，没有明显的塑性变形。 (3)只有在特定的合金成分与特定的介质相组合时才会造成应力腐蚀。例如α黄铜只有在氨溶液中才会腐蚀破坏，而β黄铜在水中就能破裂。 (4)应力腐蚀的裂纹扩展速率一般在10-9-10-6m/s，有点象疲劳，是渐进缓慢的，这种亚临界的扩展状况一直达到某一临界尺寸，使剩余下的断面不能承受外载时，就突然发生断裂。
1 材料应力腐蚀的特点 材料在应力和腐蚀环境的共同作用下引起的破坏叫应力腐蚀。这里需强调的是应力和腐蚀的共同作用。 材料应力腐蚀引起的破坏，常有以下特点： (1)造成应力腐蚀破坏的是静应力，远低于材料的屈服强度，而且一般是拉伸应力(近年来，也发现在不锈钢中可以有压应力引起)。这个应力可以是外加应力，也可以是焊接、冷加工或热处理产生的残留拉应力。最早发现的冷加工黄铜子弹壳在含有潮湿的氨气介质中的腐蚀破坏，就是由于冷加工造成的残留拉应力的结果。假如经过去应力退火，这种事故就可以避免。 (2)应力腐蚀造成的破坏，是脆性断裂，没有明显的塑性变形。 (3)只有在特定的合金成分与特定的介质相组合时才会造成应力腐蚀。例如α黄铜只有在氨溶液中才会腐蚀破坏，而β黄铜在水中就能破裂。 (4)应力腐蚀的裂纹扩展速率一般在10-9-10-6m/s，有点象疲劳，是渐进缓慢的，这种亚临界的扩展状况一直达到某一临界尺寸，使剩余下的断面不能承受外载时，就突然发生断裂。 (5)应力腐蚀的裂纹多起源于表面蚀坑处，而裂纹的传播途径常垂直于拉力轴。 (6)应力腐蚀破坏的断口，其颜色灰暗，表面常有腐蚀产物，而疲劳断口的表面，如果是新鲜断口常常较光滑，有光泽。 (7)应力腐蚀的主裂纹扩展时常有分枝。但不要形成绝对化的概念，应力腐蚀裂纹并不总是分枝的。 (8)应力腐蚀引起的断裂可以是穿晶断裂，也可以是晶间断裂。如果是穿晶断裂，其断口是解理或准解理的，其裂纹有似人字形或羽毛状的标记。 上述的应力腐蚀破坏特征，可以帮助我们识别破坏事故是否属于应力腐蚀，但一定要综合考虑，不能只根据某一点特征，便简单地下结论。 2 材料应力腐蚀抗力指标及测试方法 早期对应力腐蚀开裂的研究是采用光滑试样，在特定介质中于不同应力下测定金属材料的滞后破坏时间。用这种方法已积累了大量的数据，对于了解应力腐蚀破坏问题起了一定作用。但还有很多不足之处，主要有： (1)因数据分散，有时可能得出错误的结论。 (2)不能正确得出裂纹扩展速率的变化规律。 (3)费时，且不能用于工程设计。 现在对应力腐蚀的研究，都是采用预制裂纹的试样。将这种试样放在一定介质中，在恒定载荷下，测定由于裂纹扩展引起的应力强度因子K随
Engineering Mechanics （第3版） 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 高等教育出版社
第9章弯曲应力与弯曲变形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力 9.3 弯曲切应力简介 9.4 弯曲变形的概念 9.5 梁的挠曲线近似微分方程 9.6 用积分法求弯曲变形 9.7 用叠加法求弯曲变形 9.8 梁的刚度校核 9.9 提高梁强度和刚度的措施 小结 思考题
第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.1.1 梁的纯弯曲 前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的 合成结果。切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。 梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力的弯曲，称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。 例如，图9 - 1a 所示简支梁。由图可知梁的CD 段为纯弯曲，AC 和DB 段为横力弯曲。 图9 – 1 y a a F F B x z A C (a) D x F S F F (c) a a F F B C D (b) A F A F B (d) Fa M x
9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。 由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面内某一轴旋转一角度。这就是弯曲变形的平面假设。 1. 变形几何关系 取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在其侧面画两条横向直线mm 及nn ，并在横向线间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa 与 bb （图9 – 2a ）。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、 反向的力偶，作梁的纯弯曲变形试验（图9 – 2b ）。 a a b b m m n n (a) (b) m m n n y ρ M e M e O' O' b' b' a' a' d θy y z b' 中性轴 中性层 对称轴 (c) 图9 – 2 b' a a '' b b ''可观察到： （1）横向直线变形后仍为直线，且仍然垂直于已经变成弧线的 和 ，只是相对旋转了一个角度。 （2）靠近顶面的纵向线段aa 缩短，靠近底面的纵向线段bb 伸长。
一、填空题： 1 的作用。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________ 力矩的代数和。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力 为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中 力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 18、在梁的某一段内，若无分布载荷q（X）的作用，则剪力图是__________于X轴的直线。 19、在梁的弯矩图上，某一横截面上的弯矩有极值（极大值或极小值），该极值必发生在对应于剪力___________的横 截面上。 21、梁在发生弯曲变形的同时伴有剪切变形,这种平面弯曲称为__________弯曲。 24、梁在弯曲时的中性轴，就是梁的___________与横截面的交线。 28、梁弯曲时,横截面中性轴上各点的正应力等于零,而距中性轴________处的各正应力为最大。 29、梁弯曲变形后，以中性层为界，靠__________边的一侧纵向纤维受压力作用,而靠__________边的一侧纵向纤维受 拉应力作用。 31、等截面梁内的最大正应力总是出现在最大___________所在的横截面上。 32、在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线将成为一条连续而光滑的平面曲线，此曲线被称为_______。 33、梁在平面弯曲变形时的转角，实际上是指梁的横截面绕其________这条线所转动的角度。 二、判断题： 1、以弯曲为主要变形的杆件，只要外力均作用在过轴的纵向平面内，杆件就有可能发生平面弯曲。（） 3、梁发生平面弯曲时，其轴线必然弯成位于外力作用面内的平面曲线。（） 4、通常将安装在车床刀架上的车刀简化为悬臂梁。（） 5、梁横截面上的剪力，在数值上等于作用在此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力的代数和。（） 6、用截面法确定梁横截面的剪力或弯矩时，若分别取截面以左或以右为研究对象，则所得到的剪力或弯矩的符号通常 是相反的。（） 9、梁的最大弯矩值必定出现在剪力为零的截面处。（） 10、在简支梁上有一移动的集中载荷作用，要使梁内产生的弯矩为最大，此集中载荷并不一定作用在梁跨度中央。（） 11、梁上某一横截面的弯矩等于作用于此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对截面形心力矩的代数和，利用此 规律，可不列出平衡方程，就能直接确定横截面弯矩值的大小。（） 14、若梁某段内各横截面上的弯矩均为零，则该段内各横截面上的剪力也均为零。（） 17、在梁某一段内的各个横截面上的，若剪力均为零，则该段内的弯矩必为常量。（） 20、梁的弯矩图上某一点的弯矩值为零，该点所对应的剪力图上的剪力值也一定为零。（） 23、从左向右检查所绘剪力图的正误时，可以看出，凡集中力作用处，剪力图发生突变，突变值的大小与方向和集中 力相同，若集中力向上，则剪力图向上突变，突变值为集中力大小。（） 24、在梁上集中力偶作用处，其弯矩图有突变，而所对应的剪力图为水平线，并由正值变为负值或由负值变为正值， 但其绝对值是相同的。（） 30、梁弯曲时，梁内有一层既不受拉又不受压的纵向纤维就是中性层。（） 35、弯曲正应力公式是由矩形截面梁推导出的，故只适用于纯弯曲，而不适用于横力弯曲。（） 三、选择题： 1、工程实际中产生弯曲变形的杆件，如火车机车轮轴、房屋建筑的楼板主梁，在得到计算简图时，需将其支承方式简 化为：（）
4-1(4-1)试求图示各梁中指定截面上的剪力和 弯矩。 解：（a） （b） （c） （d） = （e） （f） （g） （h） = 返回 4-2(4-2) 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩 方程，并作剪力图和弯矩图。 解：（a） （b） 时 时
（c） 时 时 （d） （e）时， 时， （f）AB段： BC段： （g）AB段内： BC段内： （h）AB段内： BC段内： CD段内： 返回
4-3(4-3)试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。 返回 4-4(4-4)试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。 返回 4-5(4-6)已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。 返回 4-6(4-7) 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。 返回 4-7(4-15)试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。 返回4-8(4-18)圆弧形曲杆受力如图所示。已知曲杆轴线的半径为R，试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式（表示成角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。 解：（a） （b） 返回 4-9(4-19)图示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F，试问： （1）吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？ （2）吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？ 解：梁的弯矩最大值发生在某一集中荷载作用处。 ，得：
当时， 当M极大时：， 则，故， 故为梁内发生最大弯矩的截面 故：= 返回 4-10(4-21)长度为250mm、截面尺寸为的薄钢尺，由于 两端外力偶的作用而弯成中心角为的圆弧。已知弹性模量。试求钢尺横截面上的最大正应力。 解：由中性层的曲率公式及横截面上最大弯曲正应力公式 得： 由几何关系得： 于是钢尺横截面上的最大正应力为： 4-11(4-25) 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力偶作用，如图所示。试求截面m-m和固定端截面n-n上A，B，C，D四点处的正应力。 解：对m-m及n-n截面，都给以坐标系如图所示。于是有： m-m截面及n-n截面的弯矩分别是： 横截面对z轴的惯性矩为： 因此，各点的正应力分别是：
第7章弯曲应力 7、1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时得内力——剪力与弯矩.但就是，要解决梁得弯曲强度问题，只了解梁得内力就是不够得,还必须研究梁得弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力,如何计算各点得应力。 在一般情况下,横截面上有两种内力——剪力与弯矩。由于剪力就是横截面上切向内力系得合力,所以它必然与切应力有关;而弯矩就是横截面上法向内力系得合力偶矩，所以它必然与正应力有关.由此可见,梁横截面上有剪力时，就必然有切应力；有弯矩M时,就必然有正应力。为了解决梁得强度问题，本章将分别研究正应力与切应力得计算。 7、2 弯曲正应力 7、２、1 纯弯曲梁得正应力 由前节知道,正应力只与横截面上得弯矩有关,而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩,而无剪力作用得弯曲情况来讨论弯曲正应力问题. 在梁得各横截面上只 有弯矩,而剪力为零得弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁得各横截面上，同时存 在着剪力与弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图7 —1所示得简支梁中,BC段 为纯弯曲,AB段与CD段为 横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力得方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样,需要综合考虑 问题得变形方面、物理方 面与静力学方面。图7—1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应得纵向线应变,首先观察梁在纯弯曲时得变形现象。为此,取一根具有纵向对称面得等直梁,例如图７－2(ａ）所示得矩形截面梁,并在梁得侧面上画出垂直于轴线得横向线m—ｍ、n—ｎ与平行于轴线得纵向线ｄ-d、b-b。然后在梁得两端加一对大小相等、方向相反得力偶,使梁产生纯弯曲。此时
可以观察到如下得变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线、，靠顶面得aa线缩短了，靠底面得bb线伸长了。横向线m—m、n—n在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定得角度,且仍与弯曲了得纵向线保持正交，如图7-２（ｂ）所示。 梁内部得变形情况无法直接观察，但根据梁表面得变形现象对梁内部得变形进行如下假设: (1)平面假设梁所有得横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后得梁得轴线。 (2) 单向受力假设认为梁由许许多多根纵向纤维组成,各纤维之间没有相互挤压,每根纤维均处于拉伸或压缩得单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到得变形现象已经可以推广到梁得内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动,靠近上面部分得纵向纤维缩短，靠近下面部分得纵向纤维伸长。由于变形得连续性,中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层（图7—３）。中性层与横截面得交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁得纵向对称面内因此梁得变形也应该对称于此平面,在横截面上就就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴,但具体在哪个位置上,目前还不能确定. 考察纯弯曲梁某一微段ｄｘ得变形(图７－4).设弯曲变形以后,微段左右两横截面得相对转角为dθ，则距中性层为y处得任一层纵向纤维bb变形后得弧长为 式中，为中性层得曲率半径.该层纤维变形前得长度与中性层处纵向纤维ＯO长度相等,又因为变形前、后中性层内纤维OO得长度不变,故有 由此得距中性层为ｙ处得任一层纵向纤维得线应变 (a） 上式表明,线应变 随y按线性规律变化. 物理方面根据单向受力假设,且材料在拉伸及压缩时得弹性模量E相等，则由虎克定律，得 (b) 式(ｂ)表明，纯弯曲时得正应力按线性规律变化,横截面上中性轴处,y=０，因而σ=０，中性轴两侧,一侧受拉应力，另一侧受压应力,与中性轴距离相等各点得正应力数值相等（图7—5）. 静力学方面虽然已经求得了由式（ｂ)表示得正应力分布规律,但因曲率半径ρ与中性轴得位置尚未确定,所以不能用式（b）计算正应力,还必须由静力学关系来解决。 在图7-５中，取中性轴为ｚ轴，过z、y轴得交点并沿横截面外法线方向得轴为x轴,作用于微面积上得法向微内力为。在整个横截面上,各微面积上得微内力构成一个空间平行力系。由静力学关系可知，应满足,,三个平衡方程。 由于所讨论得梁横截面上设有轴力，,故由,得 （ｃ）将式(b)代人式(c）,得