高中数学学习材料
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定积分 练习与解析1
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内 1.根据定积分的定义，dx x ?2
02=( )
A. n n i n
i 1121???? ??-∑= B. n n i n
i n 112
1lim ???? ??-∑=∞→
C. n n i n
i 222
1???
? ??∑= D. n n i n i n 2
22
1lim ???? ??∑=∞→
解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D
2、?-+22
)cos (sin π
πdx x x 的值为（ ）
A 0 B
4
π
C 2
D 4 解析：?-+22
)cos (sin π
πdx x x =()
22
sin cos π
π
-
+-x x ??
??????? ??-+??? ??---??? ??+-2sin 2cos 2sin 2cos ππππ=2，
故选C.
3、直线4-=x y 与抛物线x y 22=所围成的图形面积是（ ） A 15 B 16 C 17 D 18
解析：直线4-=x y 与抛物线x y 22=的交点为()().4,8,2,2-结合图像可知面积
()()[]1812303
1213021248221
4
2
3242=-=?-=---?+=
--?y dy y s
.此题选取y 为积分变量较容易. 选D.
4.以初速度40m/s 素质向上抛一物体，ts 时刻的速度 21040t v -= ，则此物体达到最高时的
高度为（ ）
A . m 3160 B. m 380 C. m 340 D. m 320
解析：由
21040t v -==0，得物体达到最高时
t =2.高度
()
()m t t dt t h 31603104010402032
02=
??
? ??
-=-=?
5.一物体在力()5232+-=x x x F （力单位：N ，位移单位:m ）作用下沿与()x F 相同的方向由m x 5=直线运动到 m x 10=处作的功是（ ）
A. J 925 B . J 850 C . J 825 D. J 800 解析：
W=()()(
)()825555510510105523232310523105
2=?+--?+-=+-=+-?x x x dx x x （J ）,故选C. 6.()=--?dx x 1
2
11( )
A.1
B.
4π C. 2
π
D. π 解析：函数()2
11--=x y 的图像是圆心为()0,1，半径为1的圆的上半部分.由定积分的几何意义知道，所求定积分为圆面积的
41，也即是4
π
，故选B. 7．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ）
A ．()[]dy y y ?--1
1
B ．()[]dx x x ?
-+-2101
C ．()[]dy y y ?
--2101
D ．()[]dx x x ?+--1
1
解析：两直线交于点.()1,1.选取y 为积分变量，所求图形面积为
()??--10101ydy dy y =()[]dy y y ?--1
01
8．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为 （ ） A ．?32dx x ρ B ．()?+212dx x ρ C ．?1
0dx x ρ D ．()?+32
1dx x ρ
解析：由物理知识可知选A.
二、填空题：请把答案填在题中横线上,
9．将和式)21.........2111(
lim n
n n n +++++∞→表示为定积分 ． 解析：由定积分的定义知，和式可表示为dx x
?+1011
.
10．由x y c o s =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． 解析：由定积分的几何意义知，面积可表示为dx x ?
π
20
cos
11．计算下列定积分的值：（1）240
cos 2
x
dx π?=_________ (2) 2
21x x dx --?=_________
（1）.4
040401cos :2
1 (1cos )21
(sin )|212
()
242
2
84
x
dx x dx
x x π
π
π
ππ+==+=+=+=+
??解原式 （2）22
1021222101222303132101
:||()()()111()|()|()|322332
116
x x dx x x dx x x dx x x dx x x x x x x ----=-+-+-=-+-+-=????解
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
12．物体A 以速度231v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处以10v t =的速度与A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s ，速度单位为：m/s ）（15分） 分析：做变速直线运动的物体，速度函数为()t v v = ，则路程()dt t v s t
?=0.
解：设A 追上B 时,所用的时间为0t 依题意有
B 5A S S =+
即0
20
(31)105t t t dx tdx +=+?
?
3200055t t t +=+
22000(1)5(1)t t t +=+
0t =5 (s)
所以 A S =2055t +=130 (m)
讲评：考察定积分在物理中的应用：变速直线运动的路程. 13．（12分）一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功
分析：首先建立速度关于时间t 的函数，进而得阻力关于t 的函数.由()dx x F W a
?=0可得阻力所
做功.
1
a y=x 2
y=ax
解析：物体的速度233)(bt bt dt
dx
V ='==．媒质阻力422229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0．
当x=0时，t=0；当x=a 时，31
1)(b
a
t t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为
32
771303203027
27727)3(111b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ====?==????
讲评：考察定积分在物理中的应用：变力做功.
14.设直线y ax =(1)a <与抛物线2y x =所围成的图形面积为S,它们与直线1x =围成的面积为T, 若U=S+T 达到最小值,求a 值.
分析：首先做草图，求得直线y ax =(1)a <与抛物线2y x =的交点.用定积分求面积S 和 T (关于a 的函数).进而用导数研究函数的单调性，并求最值. 22
233332
003233312
132:(1)01,1
(0,0)(,)()()2323611()()()()323232326
1
32312
'. '0,.
22
a a a a a y ax a a y x ax x a a a S ax x dx x ax a a a a a T x ax dx a a U S T U a U a <<=??=?=-=-=-=
=-=-=---=-+
∴=+=-+
=-==??解当时如图由得交点和令得
y=ax
y=x 2
1
a
22
2302
03333212
10
032
(0,)'0 2
2
(
,1)'02222
,,.
26
(2)0,2
(0,0)(,)()()23236()()3211()3232
1
.
623
'a
a a U a U a U a y ax a a y x ax x S ax x dx a a a x ax T x ax dx a a a a U S T U ∈<∈>-=<=??=?=-=-=-+=-
=-=-=-=-∴=+=--+??当时,当时,故当时最小值为当时如图由得交点和()21
32
(),0.
a U a =--<-∞所以函数在上单调递减 故函数()U a 无最小值。
当0a =时，显然无最小值。
讲评：结合解析几何的知识，考察定积分求曲边梯形的面积，同时结合导数研究函数的单调性和最值.
图1
图2