高等数学基础综合练习
题及答案
Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
试卷代号：7032
上海开放大学2017至2018学年第一学期
《高等数学基础》期末复习题
一．选择题
1．函数2sin(4)2()2
2
x x f x x k x ?-
=-??≥?
在2x =连续，则常数k 的值为（）。
A ．1；
B ．2；
C ．4-；
D ．4
2．下列函数中（）的图像关于y 轴对称。 A ．cos x e x B ．cos(1)x +C ．3sin x x D ．x
x
+-11ln 3．下列函数中（）不是奇函数。
A ．sin(1)x -；
B ．x x e e --；
C ．x x cos 2sin ；D
．(ln x 4．当0x →时，（）是无穷小量。
A ．
sin 2x x B ．1(1)x x +1cos x ．1
sin x x
5．函数()sin 4f x x =，则0()
lim x f x x →=（）。
A ．0；
B ．4；
C ．1
4
；D ．不存在
6．函数()ln f x x =，则2()(2)
lim 2
x f x f x →-=-（）。
A ．ln 2；
B ．1x ；
C ．1
2
；D ．2
7.设)(x f 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则下列结论成立的是（）。
A ．0x x =是)(x f 的极小值点
B ．0x x =是)(x f 的极大值点；
C ．0x x =是)(x f 的驻点；
D ．0x x =是)(x f 的最大值点； 8．下列等式中，成立的是（）。 A
=B ．222x x e dx de --=-
C ．3313x x e dx de --=-
D ．
1
ln 33dx d x x
= 9．当函数()f x 不恒为0，,a b 为常数时，下列等式不成立的是（）
)())((x f dx x f ='?.
)()(x f dx x f dx
d b
a =? c x f dx x f +='?
)()(.)()()(a f b f x f d b
a -=?
10．曲线x y e x =-在(0,)+∞内是（）。
A ．下降且凹；
B ．上升且凹；
C ．下降且凸；
D ．上升且凸 11．曲线321
233
y x x x =-+在区间()2,3内是（）。 A ．下降且凹B ．上升且凹C ．下降且凸D ．上升且凸 12．下列无穷积分为收敛的是（ ）。
A.
sin xdx +∞?
B.0
2x e dx -∞
? C.0
12x e dx --∞?
D.1
+∞? 13．下列无穷积分为收敛的是（ ）。
A.2
1
x dx +∞?
B.1
+∞?
C.21x dx +∞-?
D.2
1x e dx +∞?
14．下列广义积分中（）发散。 A ．1
2
1x dx +∞
-?；B ．31
1
dx x
+∞
?
；C ．211dx x +∞?；D ．3
21x dx +∞-? 15．设函数)(x f 的原函数为()F x ，则211
()f dx x x
=?
（）。 A ．()F x C +；B ．1()F C x -+；C ．1()F C x +；D ．1
()f C x
+
16．下列广义积分中收敛的是（）
1．函数()
f x =
的定义域是。
2．函数y =
3．函数ln(1)
y x =
+的定义域是。
4．曲线2x y e -=在点M 处的切线斜率为22e --，则点M 处的坐标为。 5．曲线ln y x =在2x =处的切线方程为。 6．设函数(cos 2)y f x =可导，则=dy 。 7.设2()1f x x =-，则='))((x f f 。
8.设()f x 的一个原函数是sin 2x ，则=')(x f 。 9．已知()()F x f x '=，则2(1)xf x dx -=?。
10．1
1(x x dx -=?。
11．131
(cos 1)x x dx -+=?。
12．
02
cos x d t t dt dx
?=。 13．设sin 0
()x t F x e dt -=?，则()2
F π
'=。
14．设()F x 为()f x 的原函数，那么(cos )sin f x xdx =?。 15．设2
(1)0()x
t F x e dt --=?，那么(1)F '=。
三．计算题
1、求极限1241lim 41x
x x x -→∞-??
?+??
2、求极限41
21lim 23x x x x -+→∞-??
?+??
3、求极限43lim
32x
x x x →∞??
?+??
4、求极限0x →
5、求极限2
x →、求极限0
x →
7、设函数(
cos x y x e =-，求dy 。8、设函数1)y x =+，求dy
9、设函数(
2ln 2y x x =，求dy 。10、设函数31
cos 2x y x
+=，求dy 。
11、设函数321x
x
y e
=+，求dy 。12、设函数221x e y x -=+，求dy 。
13、设函数sin 21cos x y x =
+，求dy 。14、计算不定积分2sin 2
x
x dx ?
15、计算不定积分2cos 3
x
x dx ?16、计算不定积分23x x e dx -?
四、应用题
1、求由抛物线22y x =-与直线y x =-所围的面积。
2、求由抛物线2y x =与直线2y x =-所围的面积。
试问如何选取底
7、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
8、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。
9、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。 试卷代号：7032
上海开放大学2017至2018学年第一学期 《高等数学基础》期末复习题答案
一．选择题
1．D2．C3．A4．D5． ．C9．B10．B11．A12．B 13．C14．A15．B16．A 二．填空题
1．34x <<2．13x x ≥-≠且3．150x x -<≤≠且 4．()21,e -5．()1
ln 222
y x -=
-6．2sin 2(cos 2)xf x dx '- 241x -4sin 2x -21(1)2F x C -+2
3
02cos x x -1e -(cos )F x C -+三．计算题
1、求极限1241lim 41x
x x x -→∞-??
?+??
解：121212414122lim lim lim 1414141x
x
x
x x x x x x x x ---→∞→∞
→∞
-+-??
??
?
?==- ? ? ?+++??
??
??
＝e
2、求极限41
21lim 23x x x x -+→∞-??
?+??
解：41
41
41
212344lim lim lim 1232323x x x x x x x x x x x -+-+-+→∞→∞
→∞
-+-????
?
?==- ? ? ?+++??
??
??
＝8e
3、求极限43lim 32x
x x x →∞??
?+??
解：4432lim lim 13232x x
x x x x x →∞→∞
???
?=- ? ?++????
8
3e -= 4
、求极限0
x →
解：033
lim 22x x x x
→→==--
5
、求极限20
x →
解：22
303lim 232
x x x x x →→?-==- 6
、求极限0
x →
解：02lim 12x x x
x
→→-==-
7
、设函数(cos x y x e =-，求dy 。 解：3cos 2
2x
y xe
x =-
8
、设函数1)y x =+，求dy 。 9
、设函数(2ln 2y x x =，求dy 。 解：52
2
ln 2y x x x =- 10、设函数31
cos 2x y x
+=，求dy 。 解：()()()()
2
31cos 231cos 2cos 2x x x x y x ''
+-+'=
()()
2
3cos 2231sin 2cos 2x x x
x ++=
11、设函数321x
x
y e
=
+，求dy 。 12、设函数22
1x
e y x
-=+，求dy 。 13、设函数sin 21cos x
y x
=+，求dy 。
解：()()()()
2
sin 21cos sin 21cos 1cos x x x x y x ''
+-?+'=
+
14、计算不定积分2sin 2
x x dx ?
2:x 解2x
20
+—+
2sin 2x x dx ?＝-+++2
2cos 8sin 16cos 222
x x x x x C
15、计算不定积分2cos 3
x x dx ?
2:x 解2x 20
+—+
16、计算不定积分23x x e dx -?
解：2x 2x 20
+—+
四、 应用题
1、求由抛物线22y x =-与直线y x =-所围的面积。
解：2
1221,2y x x x y x
?=-?=-=?
=-?由 2、解：抛物线2y x =与直线2y x =-的交点为
(2,4),(1,1)-
面积()1
222A x x dx -=--?
3、求由抛物线2y x x =-与直线y x =所围的面积。
解：2120,2y x x
x x y x
?=-?==?
=?由 所围的面积2
2
2
200(())(2)S x x x dx x x dx
=--=-??
4、解：抛物线2
2y x =-与直线y x =的交点为(1,1),(2,2)--
面积()2
21(2)A x x dx -=--?
5、解：解：抛物线2y x =与直线6y x =-的交点为(3,9),(2,4)-
面积()2236A x x dx -=--?125
6
=
6、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。 解：设圆柱体底半径为r ，高为h ，
y x
=-2
2y x =-y
x
则体积24V r h π==2
4
h r
π?=
材料最省即表面积最小
表面积S ＝22r rh ππ+＝22
42r r r πππ+?
＝2
8r r
π+ 'S ＝2
82r r
π-
，令'S ＝0
，得唯一驻点r =
所以当底半径为
7、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。 解：设圆柱体底半径为r ，高为h ， 则体积216V r h π==2
16
h r
π?=
且造价函数22640
1020210f r rh r r
πππ=+?=+ 令2640200
f r r π'=-
=
，得唯一驻点r =
所以当底半径为
8、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。 解：设长方形的底边长为2x ，高为y ，
则2228x y =
+y ?=
面积22S xy ==
令220S ??'== ?
，得唯一驻点x =
所以当底边长为米，此时高为米时面积最大。
9、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。 解：设底半径为r ，高为h ，则体积2108V r h π==2
108
h r
π?=
造价函数22216
2f r rh r r
πππ=+=+
令2
21620
f r r π'=-
=，得唯一驻点r ==
所以当底半径为