摘要
运筹学是一门以人机系统的组织、管理为对象，应用数学和计算机等工具来研究各类有限资源的合理规划使用并提供优化决策方案的科学。通过对数据的调查、收集和统计分析，以及具体模型的建立。收集和统计上述拟定之模型所需要的各种基础数据，并最终将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。
此题研究的主要内容是根据食品的价格和使营养成分达到标准进行合理规划。目的是依据各种食品的成本、标准要求规划各种食品的使用情况，考虑每种食品如何搭配才能达到标准，如何搭配才能使总费用最低，当食品的量需要满足一定的量时，又如何使总费用最低，这完全符合运筹学线性规划的理论。
按照线性规划求解模式计算出既科学又合理的最优搭配方案：在使营养成分达到标准的情况下，用食品单价乘以餐配量计算出总花费，根据各种限定性因素得出目标函数和各个约束条件，运用运筹学计算软件（主要是指Lindo软件）求解所建立的运筹学模型。
所以对基本情况的分析，经过抽象和延伸，建立起了食品搭配研究的线性规划模型。结合模型的特点，对模型的求解进行了讨论和分析，将模型应用于案例的背景问题，得出相应的最优解决方案，就可以对问题一一进行解答。
关键词：线性规划 Lindo软件最优搭配数据分析
目录
1.问题的提出 (1)
1.1 研究的背景 (1)
1.2研究的主要内容与目的 (2)
1.3 研究的实际意义 (2)
2.问题的分析 (2)
2.1问题的特点 (2)
2.2问题实验的主要方法 (2)
3.数学模型的建立 (3)
3.1基础数据的确立 (3)
3.2变量的设定 (3)
3.3目标函数的建立 (3)
3.4限制条件的确定 (3)
3.5模型的建立 (4)
4.模型的求解与解的分析 (6)
4.1模型的求解 (6)
4.2模型的分析与评价 (10)
5.结论与建议 (11)
5.1研究结论 (11)
5.2建议与对策 (11)
附录 (12)
参考文献 (13)
1 问题的提出
某幼儿园膳食搭配的优化
1.1 研究的背景
某幼儿园为了保证孩子们的健康成长，要求对每天的膳食进行合理科学的
搭配，以保证孩子们对耕种营养的需要。从营养的角度，假设共有米、鱼、牛奶和苹果四种食品可供选择，每种食品都含有蛋白质、脂肪、碳水化合物、钙和维生素五种不同的营养成分
而且每单位的食品含有营养成分含量如下
（如表1-1所示）
表1-1 各营养成分的需求量和食品单价
营养食品米鱼苹果牛奶营养成分的最低要求量
碳水化合物蛋白质
脂肪
钙
维生素18%
15%
8%
0.06%
0.1%
20%
17%
10%
0.12%
0.11%
19%
14%
8%
0.09%
0.15%
16%
16%
9%
0.1%
0.09%
366.5克/天
95.9克/天
52.6克/天
0.96克/天
0.2克/天
食品单价0.0024
元/克0.076
元/克
0.003
元/克
0.004
元/克
（1）如果要求每人每天对营养成分的最低要求量已知，而且已知食品的单价.
问如何合理科学地制定配餐方案，既可以保证孩子们的营养需要，又使每人每天的费用最低？
（2）除了如上的要求之外，如果还按要求各种食品的合理搭配，及要求每人每天对每种食品的摄入量不少于一定的量,问配餐方案又如何？
1.2 研究的主要内容与目的
此项研究的主要内容是根据所有种类的食品和其所含营养成分进行合理规划。目的是依据各食品的成本、合理规划的食品使用情况，以使总费用最低。
1.3 研究的实际意义
通过科学、合理的计算与规划，使幼儿园食品所需费用达到最低，有利于幼儿园资金的有效使用，促进幼儿园全面发展。
2 问题的分析
2.1 问题的特点
该问题的目标函数是：用各种食品的单价乘以使用量，结果为每人每天所需的总费用。目标实现必须符合其限定条件，即在满足营养成分的最低要求量中使总费用最低。
2.2问题实现的主要方法
该研究问题符合运筹学线性规划理论，因此可以按照线性规划求解模式计算出最有搭配方案。
<1>总成本=∑食品单价×用量
<2>根据各种限定因素得出目标函数和各个约束条件
<3>运用运筹学计算软件（主要是指Lindo软件）求解所建立的模型3 数学模型的建立
3.1基础数据的确定
根据市场行情得到食品单价（如表1-1）
3.2 变量的确定
每人每天对各种食品的配参量：
米：x1克;鱼：x2;苹果：x3;牛奶：x4
3.3 目标函数的建立
根据上述基础数据和变量，可得到如下目标函数：
Min
z=0.0024x1+0.076x2+0.003x3+0.004x4
3.4限定条件的确定
对于问题（1），变量约束：
x1≥0
x2≥0
x3≥0
x4≥0
营养成分保证约束：
18%x1+20%x2+19%x3+16%x4≥366.5
15%x1+17%x2+14%x3+16%x4≥95.9
8%x1+10%x2+8%x3+9%x4≥52.6
0.06%x1+0.12%x2+0.09%x3+0.1%x4≥0.96 0.1%x1+0.11%x2+0.15%x3+0.09%x4≥0.2 对于问题（2），变量约束：
x1≥300
x2≥200
x3≥200
x4≥500
营养成分保证约束：
18%x1+20%x2+19%x3+16%x4≥366.5
15%x1+17%x2+14%x3+16%x4≥95.9
8%x1+10%x2+8%x3+9%x4≥52.6
0.06%x1+0.12%x2+0.09%x3+0.1%x4≥0.96 0.1%x1+0.11%x2+0.15%x3+0.09%x4≥0.2
3.5 模型的建立
综合以上各步工作，可以得出该问题的具体模型如下：
问题（1）：
Min
z=0.0024x1+0.076x2+0.003x3+0.004x4 s.t.
x1≥0
x2≥0
x3≥0
x4≥0
18%x1+20%x2+19%x3+16%x4≥366.5
15%x1+17%x2+14%x3+16%x4≥95.9
8%x1+10%x2+8%x3+9%x4≥52.6
0.06%x1+0.12%x2+0.09%x3+0.1%x4≥0.96 0.1%x1+0.11%x2+0.15%x3+0.09%x4≥0.2
问题（2）：
Min
z= 0.0024x1+0.076x2+0.003x3+0.004x4 s.t.
x1≥300
x2≥200
x3≥200
x4≥500
18%x1+20%x2+19%x3+16%x4≥366.5
15%x1+17%x2+14%x3+16%x4≥95.9
8%x1+10%x2+8%x3+9%x4≥52.6
0.06%x1+0.12%x2+0.09%x3+0.1%x4≥0.96
0.1%x1+0.11%x2+0.15%x3+0.09%x4≥0.2
4 模型的求解与解的分析
4.1 模型的求解
利用线性规划计算软件Lindo进行求解，结果如下: 问题（1）:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 5.786842
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.000000 0.040358
X2 0.000000 0.072842
X3 1928.947388 0.000000
X4 0.000000 0.001474
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -0.015789
3) 174.152634 0.000000
4) 101.715790 0.000000
5) 2.693421 0.000000
6) 0.776053 0.000000
7) 0.000000 0.000000
8) 0.000000 0.000000
9) 1928.947388 0.000000
10) 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 0.043200 INFINITY 0.040358 X2 0.076000 INFINITY 0.072842 X3 0.003000 0.001750 0.003000 X4 0.004000 INFINITY 0.001474
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
2 366.500000 INFINITY 163.833328
3 95.900002 174.15263
4 INFINITY
4 52.599998 101.715790 INFINITY
5 0.200000 2.693421 INFINITY
6 0.960000 0.776053 INFINITY
7 0.000000 0.000000 INFINITY
8 0.000000 0.000000 INFINITY
9 0.000000 1928.947388 INFINITY
10 0.000000 0.000000 INFINITY 问题（2）:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 20.58000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 1158.333374 0.000000
X2 200.000000 0.000000
X3 200.000000 0.000000
X4 500.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 -0.013333
3) 219.850006 0.000000
4) 121.066666 0.000000
5) 1.928333 0.000000
6) 0.655000 0.000000
7) 858.333313 0.000000
8) 0.000000 -0.073333
9) 0.000000 -0.000467
10) 0.000000 -0.001867
NO. ITERATIONS= 0
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE
X1 0.002400 0.000442 0.002400
X2 0.076000 INFINITY 0.073333
X3 0.003000 INFINITY 0.000467
X4 0.004000 INFINITY 0.001867
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 366.500000 INFINITY 154.500000
3 95.900002 219.850006 INFINITY
4 52.599998 121.066666 INFINITY
5 0.200000 1.928333 INFINITY
6 0.960000 0.655000 INFINITY
7 300.000000 858.333313 INFINITY
8 200.000000 772.499939 200.000000
9 200.000000 813.157837 200.000000
10 500.000000 965.625000 500.000000
4.2模型的分析与评价
有以上的求解结果可知，当各种食品取解出的对应值时，可使总费用达到最小值5.786842元。当要求各种食品的摄入量不少于一定量时，得到的总花费最小值为20.58元。该方法可以实施。
5 结论与建议
5.1研究结论
本次研究结果表明只要过合理与科学的预测与计算，并对各种约束条件进行全面考虑，剩下的繁琐的计算工作可由计算机完成，不仅速度快，而且精确度高。从结果可以看出，通过合理有效的线性规划和计算机的应用，可以得到正确的结果。在现代社会中，信息与科学是最重要的。在预测时，我们用到了信息，在调查基础数据和求解规划中我们做到了科学。因此该研究不仅解决了提出的问题，而且在一定程度上对其他相关方面的规划有所启示，从而可以带动幼儿园包括其他方面的改善。
5.2建议与对策
在实施方案的过程中，一定要根据各个约束条件的限制结合各种食品的实际情况进行搭配。幼儿园可以根据要求进行食品搭配而使成本最低，但一切事物总是在变化发展中前进的，如食品价格会出现变化，如遇到未曾预料到的事情，那也是无可厚非的，对于出现的事情要进行客观分析，寻求最优解决方案。
附录
计算机技术的飞速发展，促进了数学工具软件技术的发展，特别是MATLAB 和LINDO软件包无论是从技术水平和应用性能方面都已达到非常高的境界和人性化水平。用它们来求解数学规划问题非常方便，也可以避免大量繁琐的计算过程，从而使得解决实际中和工程上的大规模线性规划问题成为现实。他们现已成为广大工程技术人员和管理工程者的一种方便高效的工具。值得注意的是：如果用工具软件来求解具有多组最优解的问题，则只能求出其中的一组最优解。
下面简要介绍一下LINDO软件。
LINDO是一种专门用于求解数学规划问题的优化计算软件包，版权现有美国LINDO系统公司(Lindo System Inc)所拥有。网址：https://www.doczj.com/doc/8711592860.html,。
LINDO软件包的特点是程序执行速度很快，易于输入、修改、求解和分析一个数学规划（优化问题），因此LINDO在教育、科研和工业界得到广泛应用。
LINDO是Lindo Interactive and Discrete Optimizer 字首的缩写形式，可以用来求解线性规划（LP-Linear Programming）、整数规划（IP-Integer Programming）和二次规划（QP-Quadratic Programming）问题.LINDO学生版可求解多达200个变量和100个约束的规划问题。
使用软件是：LINDO 6.1 for Windows试用版
安装过程中，用户只需要按照程序给出的提示，一步一步走下去，直到安装成功为止。
参考文献
[1]教材编写组.运筹学.第三版.北京：清华大学出版社，2001
[2]韩中庚.实用运筹学模型、方法与计算.北京：清华大学出版社，2007
[3]谢金星，等.优化模型与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版社，2005