数学与折纸 我们中的大多数人都有过折纸的经历，只是折叠后便收了起来．只有少数人折纸，是为了研究其间所揭示的数学思想．折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动．连L·卡洛尔也是一位折纸的热心者．虽然折叠纸张超越了许多文化，但日本人却把它作为一种交谊的途径，并通过普及和发展，使之成为一门称之为“折纸”的艺术． 纸张折出的一些数学形体 当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念．诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念． 下面是一些折纸的例子，它说明了上述概念的运用． Ⅰ)从一个矩形式样的纸张，作成一个正方形(下图左)． Ⅱ)由一张正方形的纸张，变成四个全等的直角三角形(上图右)． Ⅲ)找出正方形一条边的中点(下图右)． Ⅳ)在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中)． Ⅴ)研究纸的折痕，注意内接正方形的面积是大正方形面积的． Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠，使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形(下图左)． Ⅶ)把一个正方形折成两半，那么折痕将成为正方形边的垂直平分线(下图右)．
Ⅷ)证明毕达哥拉斯定理． 如右图折叠正方形纸： c2=正方形ABCD的面积． a2=正方形FBIM的面积． b2=正方形AFNO的面积． 由全等形状相配得： 正方形FBIM的面积=△ABK的面积． 又 AFNO的面积=BCDAK的面积(此即正方形ABCD除△ABK外剩余部分的面积)．这样，a2＋ b2= c2 Ⅸ)证明三角形内角和等于180°． 取任意形状的三角形，并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠
a°＋ b°＋ c°＝180°——它们形成一条直线． Ⅹ)通过折切线构造抛物线． 程序： ——在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点．如图所示的方法，将纸折20－30次．所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廓．
五年级数学上册折纸教 案 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
2009—2010学年度上学期五年级数学教案 主备人：薛敏 折纸（一） 教学内容： 北师大版五年级数学上册教材第66—67页内容 教学目标 1、通过直观的操作活动,理解异分母分数加减法的算理。 2、让学生主动参与异分母分数加减法计算方法的探究过程，培养学生主动探究数学知识的能力。 3、在探究的过程中，让学生感受知识转化的数学思想。 4、让学生在探究的过程中体验成功的喜悦，提高对数学学习的兴趣。教学重点 掌握异分母分数加减法的计算方法。 教学难点 异分母分数加减法转化为同分母分数加减法的探索过程。 教学具准备： 1、教具：多媒体课件。 2、学具：每人准备正方形纸片、彩色笔。 教学过程 一、情境引入： （出示主题图）小红要用一张正方形纸的1/2折小船，小明用它的1/4来折小鸟。
师：你能提出什么数学问题吗 学生相互提问并列出算式。 如：他两一共用了这张纸的几分之几列式：1/2+1/4 小红比小明多用这张纸的几分之几列式：1/2–1/4 还剩下这张纸的几分之几 列式：1–（1/2+1/4）或1–1/2–1/4 师：这些算式与我们以前学过的分数加减法有什么不同 师：这节课就来探索分母不同的分数加减法。（板书课题。） 二、动手操作、自主探索 1、动手操作。 请大家以1/2+1/4这个加法算式为例进行研究。 师：谁能估算等于多少实际上又等于多少呢请同学们自己动脑先想想、算算。然后小组合作交流。 出示操作要求： 请大家拿出一张正方形的纸，将这两个分数折出来并涂上颜色。通过拼一拼，折一折尝试解决。现在以四人为一个小组，开始研究。 2、小组合作，教师巡回指导。 3、小组汇报结果。 师：哪个小组愿意将你们组的操作过程向大家介绍一下。 生1：老师，我们发现“1/4＋1/2”在图上可以看到，它的结果应该是3/4。
A F B C E D 数学活动课 《折纸与证明》 活动目标： 1、通过折纸活动，使学生经历动手操作的过程，体会数学与生活的联系； 2、进一步激发学生对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅 相成的关系。 3、进一步发展合乎逻辑的思考和有条理表达的能力。 4、培养学生的合作交流的精神。 活动重点：探究研究问题的方法，如操作、猜想、证明等。 活动难点：说明操作活动合理性的证明过程。 活动用具：长方形纸片若干、剪刀，刻度尺、量角器。 设计意图：新课程标准对过程性目标有明确的定位：“过程本身就是一个课程目标，即首先必须让学生在数学学习活动中去经历探究物体与图形的形状的大小、位置关系变换等过程；经历提出问题、收集、整理、描述和分析数据，作出决策及自我评价的过程；经历观察、猜想、证明等数学活动过程…”。而折纸问题具有可操作性和趣味性，可帮助学生建构三角形、四边形、全等形等方面的知识，有助于培养学生的动手能力和空间观念。学生经历了操作、证明的过程，会进一步激发其对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感知合情推理和演绎推理相辅相成的关系，同时经历了克服困难和取得成功的过程，更能增进应用数学的自信心。 活动过程： 一、创设情境： 同学们一定会用纸片折叠小船、小猴等，其实你还会解释折纸过程中的每一个操作活动的合理性，因为你学会了证明。下面请同学们展示自已最拿手的折纸作品。 请几个折得好的学生展示自已的作品。 二、操作探究： 活动一 如图示，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上；叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ） 说明：让学生体验到动手操作的乐趣，直观形象。 活动二 分组讨论：你能用手中的纸片折一个尽量大的正方形吗？然后请代表展示自已的做法，并说明理由。 展示：用一张长方形纸片折一个正方形。如图， （1）折叠长方形，使点A 落在边DC 的点E 处，得折痕DF ； （2）沿EF 折叠得四边形AFED 。 你能证明四边形AFED 是正方形吗？ 学生证明：∵把长方形纸片ABCD 折叠，∴DE=DA ，∠DEF=∠A ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A=∠ADC=∠DEF=900 B A B C H H(D) F(C)
教学案例：数学活动课《折纸与证明》 设计意图：新课程标准对过程性目标有明确的定位：“过程本身就是一个课程目 标，即首先必须让学生在数学学习活动中去经历探究物体与图形的形状的大小、位置关系变换等过程；经历提出问题、收集、整理、描述和分析数据，作出决策及自我评价的过程；经历观察、猜想、证明等数学活动过程…”。而折纸问题具有可操作性和趣味性，可帮助学生建构三角形、四边形、全等形等方面的知识，有助于培养学生的动手能力和空间观念。学生经历了操作、证明的过程，会进一步激发其对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感知合情推理和演绎推理相辅相成的关系，同时经历了克服困难和取得成功的过程，更能增进应用数学的自信心。 内容：苏科版教材《九年级上册》第一章《图形与证明》中的数学活动《折纸与证明》 教学过程设计 活动过程： 同学们一定会用纸片折叠小船、小猴等，其实你还会解释折纸过程中的每一个操作活动的合理性，因为你学会了证明。下面请同学们展示自已最拿手的折纸作品。 请几个折得好的学生展示自已的作品。
A F B C E D 二、操作探究： 活动一 如图示，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上；叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ） 说明：让学生体验到动手操作的乐趣，直观形象。 活动二 分组讨论：你能用手中的纸片折一个尽量大的正方形 吗？然后请代表展示自已的做法，并说明理由。 展示：用一张长方形纸片折一个正方形。如图， （1）折叠长方形，使点A 落在边DC 的点E 处，得折痕DF ； （2）沿EF 折叠得四边形AFED 。 你能证明四边形AFED 是正方形吗？ 学生证明：∵把长方形纸片ABCD 折叠，∴DE=DA ，∠DEF=∠A ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A=∠ADC=∠DEF=900 ∴四边形AFDE 是正方形。（邻边相等的矩形是正方形） 讨论：：对于任一矩形，依上述方法是否一定能折出一个等边三角形？ 活动三 用活动二中得到的正方形纸片你能折出等边三角形吗？（各组讨论） （这个问题学生感到困难，在教师指导下，学生动手操作完成。） （1） 把正方形纸片ABCD 对折后再打开，折痕为EF ； （2） 将点A 翻折到EF 上的点A 1处，且使折痕过点B ； （3） 沿A 1C 折叠，得△A 1BC. 它是什么图形？ （学生对这一问题较感兴趣，拿着长方形纸片在回顾折法，折好后纷纷度量折叠、剪裁得到的纸片，验证他们得到的是否是等边三角形。） 以小组为单位讨论如何证明操作的合理性，并让学生板演证明过程。然后师生一起点评并完善证明过程。 证明：∵把正方形纸片ABCD 对折，折痕为EF ， B D C A B C H(D) F(C)
《折纸中的数学》教学设计 一、教材内容 义务教育人教版教科书八年级下册，它是第十八章《平行四边形》的章末活动课。二、教材分析 本课之前，学生已通过折角平分线、折平行线、折纸研究轴对称等活动获得了较为丰富的折纸经验，为本节课奠定了基础。本节课是在此基础上折出特殊度数的角。三、学情分析 学生已学习了平移、旋转、轴对称等基本图形变换，角平分线、平行与垂直、三角形的全等、四边形等知识，教材选取学生熟知的、生活化的折纸游戏作为研究和学习的内容，让学生倍感亲切，能激发学生积极参与数学活动的兴趣。四、教学目标 1、能折出 60°、 30°、 15°等特殊度数的角 2、通过折叠，建立空间观念，让学生经历折叠、观察、猜想、论证、交流、反思等过程，发展学生对几何图形的认知能力，引导学生从不同的角度寻找解决问题的策略，进一步提升数学活动经验 3、在折纸活动中感受数学活动的乐趣，提高学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，激发学生的创新热情。 五、重点难点 重点是让学生学会折纸做特殊角，培养学生的动手能力，并在动手过程中培养学生思考探究的习惯，养成合作交流意识。难点是尽可能让学生通过自己的尝试与思考折出特殊度数的角。 六、教法学法 让学生在动手操作、自主探究、合作交流中获得新知，教师进行适当的引导、点拨。七、教学程序 本节课我共设计了七个活动。
[ 活动 1] 看一看 , 说出在折纸时出现了哪 60°、 30°、 [ 活动 5] 用一用 老师有一张矩形纸片， 想利用它剪一个最大的正三角形纸片做教具， 你帮忙 想想办法。 [ 活动 6] 辨一辨 研究 2012 西宁市的一道 与折纸有关的中考题 4、合作：学生 4-6 人一组合作探究， 寻求准确折出 60°、30°、 15°的角的解决办法。 5、引导：教师参与各组活动，根据情况可进行引导 （备注：图附最后一页） 当学生纷纷得到不同的折法后，让不同折法小组的代表上台演示折叠过程，解释所折角度的正确性，再让学生选自己喜欢的一种折法证明。 学生仔细观察图形，尽量找出知道度数的角。教师关注学生回答问题是否完善、正确。 1、仔细观察各种折法示意图，发现其中等边三角形。 2、学生用规格一样的矩形纸中剪出等边三角形。 3、比一比，发现以矩形的宽为边长的三角形 不是最大的等边三角形，以矩形的宽为等边三角形的高才是最 大的。 1、（ 2012 西宁中考）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按 照图①～④的过程折叠后展开， 请选择所得到的数学结论 （ ） 2、交流：学生演示折叠方法。一般来说，此时学生想到的是将 [ 活动 3] 证一证 推理论证折出角度的正确性 [ 活动 4] 找一找 在各种折法示意图中找出知道度数的角。 90°的角估分成三等份。 3、点拔：同学们用的是估分法，能否准确折出呢？ [ 活动 2] 折一折 1、探究：学生自主探究如何在一张矩形纸上折在 一 张 矩 形 纸 上 折 出 15°的角。 60°、 30°、 15°的角 观看折纸视频 学生观看由本班同学制作的折纸视频 些角度的角。 教学活动设计
数学与折纸 一个正方形变形为一个盒子。 一个正方形变形为一只鸟。 一个正方形变形为一条蛇。 一个正方形变形为一头象。 …… 除非你有先见之明，否则你准会以为我们将要谈些有关拓扑 （注：拓扑学是一种特殊类型的几何，它研究物体在伸张或收缩的变形中保 持不变的性质。不同于欧几里得几何，拓扑学不与大小、形状以及刚性图形 打交道。这就是为什么拓扑学被说成是橡皮膜上的几何的原因。想象物体存 在于一个能够伸张和收缩的橡皮膜上，在这样变形的过程中，人们研究那些 保持不变的性质）或魔术表演之类的话题了。 折纸是一种艺术形式，其历史可追溯到公元583年。当佛教的和尚从中 国经过朝鲜东渡去日本时，带去了许多纸。由于当时纸张是很昂贵的，所以 人们用时格外小心，而折纸就成了一些礼仪的完整的一部分。折纸的艺术就 是从那时起一代代传了下来。 动物、花、船和人都是折纸的创作题材。（折纸一词是源于"折的""游戏 "。）几个世纪来，人们对折纸的热情有增无减。事实上，今天在英国、比利 时、法国、意大利、日本、荷兰、新西兰、秘鲁、西班牙和美国（注：美国 折纸中心联谊会位于纽约西第77街15号，NY10024。英国折纸协会位于斯托 克波特（英格兰西北部城市--译者）柴郡，桑恩路12号，SK71HQ ）等国家内 都有国际折纸协会的区域机构。 在创作折纸图形时，折纸能手是由一张正方形的纸开始的，然后运用他 们的想象、技巧和决心，变形为任意的形状。 一个正方形之所以可以选为折纸的初始单元，因为与矩形和其他四边形 相比，它有四条对称轴；而虽然圆和有些正多边形有更多的对称轴，但它们 又缺少正方形所拥有的直角，这就使制作上造成了较大的困难。有时人们也 用其他的纸张作为折纸的开始，但纯粹从正方形开始的折纸作品是不用胶水 和剪刀的。 折纸的对象被创造出来后，留在正方形纸张上的折痕，揭示出大量几何 的对象和性质。 右图所示的折痕是在折一只飞鸟时在正方形纸张上留下的。 在正方形纸张上的折痕表现出以下的数学概念：相似、轴对称、心对称、 全等、相似比、比例、以及类似于几何分形结构的迭代（在图案内不断地重 复图案）。 研究折纸的创作过程是极具启发性的。人们开始用一个正方形（二维物 体）的纸张来折一个形体（三维物体）。如果折出了新的东西，那么折纸的 人就把这个形体摊开，并研究留在正方形纸上的折痕。这个过程包含了维数的变动。折痕表示物体在扁平面（即正方体）上的二维投影。而一个二维物 相关文章 ·为何金属元素中只有水银在常温下呈液态？ ·首次发现两元素准晶体 ·码与密码 ·“非平衡态的引透”之谜 ·数学与折纸 ·氚：为何至关重要 ·泄露真情的闪光 ·怎样才能探测引力波 ·惰性最强的元素 ·音阶--数学对于耳朵 ·吃水果能代替吃蔬菜吗？ ·油罐车的尾巴 ·喝水的学问 ·阿基米德“死光”之谜 ·用葱汁写密信 ·把空气浮起来 ·漂白水中畅泳 ·无底洞里的旅行家 ·室内环境警示 ·世界各地的怪坡
第2课时 折 纸(2) 基础作业 不夯实基础，难建成高楼。 1. 填一填。 (1)分数单位是19 的真分数有( )个，最大的一个是( )。 (2)在a 8 中，当a ＝( )时，分数值是0； 当a ＝( )时，它是这个分数的分数单位； 当a ＝( )时，它是最大真分数； 当a ＝( )时，它是最小假分数。 (3)89－56是将( )个118 减去15个( )。 2. 涂一涂，画一画。 12＋13 ＝( )＋( )＝( ) 3. 在括号内填上适当的数。 415＋()15＝1115 78＋( )＝1516 45＋( )＝1415 59－( )＝13 4. 算一算。(计算结果注意约分。) 14＋25＝ 13＋59 ＝ 34＋56＝ 35－47 ＝ 34－512＝ 89＋1115 ＝ 5. 找朋友。(连一连。) 15－18 12＋512 27＋114 18－120 23－16 12－214 34＋16 57－314
6. 小医生。(对的打“√”，错的打“×”，并改正。) 综合提升 重点难点，一网打尽。 7. 有两箱货物，第一箱重1415吨，比第二箱重25 吨，第二箱货物重多少吨？ 8. 五(1)班同学参加联欢晚会，其中58 的同学跳舞，其余的唱歌。唱歌的同学占全班同学的几分之几？ 拓展探究 举一反三，应用创新，方能一显身手。 9. 小明和小丽合打一份稿件。 (1)两人一共完成了稿件的几分之几？
(2)小丽比小明多打了这份稿件的几分之几？ 10. 有两筐水果，第一筐比第二筐重5千克，现在从第二筐中取出45 千克放入第一筐，这时第一筐比第二筐重多少千克？
《折纸中的数学》教学设计 【教学内容】 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学（一年级下册）》第27页。 【教学目标】 1.使学生体会所学平面图形的特征，并能用自己的语言描述长方形、正方形的边的特征。 2.通过观察、操作活动，使学生初步感知所学图形之间的关系。 3.通过图形的拼组，使学生获得美得感受，激发学习兴趣。 【教学重点】 体会所学平面图形的特征，并能用自己的语言描述长方形、正方形的边的特征。 【教学难点】 初步感知所学图形之间的关系。 【教具准备】 教具：长方形、正方形、三角形、圆形、梯形等磁性贴，长方形纸、正方形纸、圆形纸、风车模型。风车的制作过程图、图钉 学生准备：有橡皮擦的铅笔，长方形纸、正方形纸等 【教学过程】 一、谈一谈——复习引入 （1）师：课前，我们来玩个抢答游戏：老师这有一些平面图形，请快速的说出他们的名字。 老师出示图形，学生抢答。（长方形、正方形、三角形、圆形、梯形） （2）师：你们记性真好，都记住了他们的名字。我们先来看看，长方形有什么特征？ 师：引导——几条边？几个角？（长方形有4条边、4个角） 师：那正方形呢？三角形？圆形？梯形？（正方形有4条边、4个角；三角形有3条边、3个角；圆形只有一条边；梯形也有4条边、4个角）师：看来，图形和数也是有联系的呢。 （3）师：今天我们还需要通过折纸来进一步的研究图形的特征。 （板书课题：折纸中的数学）全班齐读课题。 二、折一折——探究新知 1. 探索长方形边的特点。 （1）师：我们先来研究长方形。（出示：长方形白纸贴在磁性黑板上）师：仔细观察，长方形的边有什么特点？ （长方形有两条边长一些，有两条边短一些。）（出示：长方形白纸不同颜色描出了对边，正反两面都描上，贴上磁性黑板） 师：是吗？全班小朋友用两个手比划比划。长边在哪？短边？ （学生用手比划） 师：长方形的两条长边正好相对，两条短边也相对，我们叫它“对边”。 （老师手势比划，并板书：对边）
折纸 主备人：主教者：班级：时间：年月日 周星期 教学[来源学#科 #网Z#X#X#K]内容课题[来源:ZXXK]折纸[来源:ZXXK][来源:ZXXK][来源学科网Z|X|X|K][来源:Z&xx&k][来源:Zxxk]课时 教学目标1、通过直观的操作活动，理解异分母分数加减法的算理。 2、能正确计算异分母分数的加减法。 教学 重点探索并掌握异分母分数加减法的计算方法。教学 难点 理解先通分，再加减的算理 课前 准备 教学过程1．复习导入 师：现在，每个小朋友手上都有一些正方形的纸片，请你们取其中的一张纸折一折，然后在折的一部分涂上颜色，并说一说涂颜色的部分是几分之几？ （学生开始进行折纸、涂色的活动，教师进行巡视。） 师：现在，哪个小朋友来介绍你和折纸与涂色情况。 生：我把一张正方形的纸先对折，再对折，然后在其中一个小正方形上涂颜色，这个涂色的部分叫1/4。 生：我把一张正方形的纸先对折，再对折，然后在其中的3个部分涂上颜色，涂色的部分叫3/4。 …… 一会儿时间，学生介绍了各种各样的折纸与涂色的情况。 师：同学们，如果现在要计算两张纸中的涂色部分合起是多少，你可列出哪些算式？ 生：我可以列出：1/4＋3/4。 生：我可以列出：3/4＋1/2。 生：我可以列出：1/8＋5/8。 生：我可以列出：5/8＋1/4。 …… （教师分别将学生提出的算式，书写在黑板上。） 师：请同学们想一想，根据分数的分母特点，这些算式可以分成几类？ 生：可以分成两类，一类是分母相同的，一类是分母不同的。 （教师根据学生的分类，将黑板上的算式进行了整理。） 师：这个同学说得正好，我们今天这一节课就要来探索分母不同的分数相加减的计算方法。 2．自主探索 师：现在。请同学们根据自己的爱好，任意选择一道分母不同的加法算式，试一试如何计算？ （学生进行独立的尝试。） 师：谁来汇报自己探索的过程？
折纸中的数学奥秘 六(3) 周航宇 一丶问题的提出： 在一次培训的课上，老师提出了一个有关折纸的问题：若将一张纸折成有7条折痕，则这张纸会被分成几个面？我思索了一下的说道：八个；老师又提到：那把A、B、C、D、E、F、G、H这八个字母依次填进去，然后顺着折痕重新折起来，请你回答从上往下数，第1、2、3、4、5、6、7、8层的字母各是什么？不能打开来看哦。 我猜了几个，有些对有些错，我想：这里有没有规律呢？那如果是16个面呢、32个面呢？如何快速而准确的说出每个字母所在的位置？若有规律那其中的奥秘又会是什么？回家后，立即找来笔与纸，开始思考。 二、分析与探索 1、我找来纸，学着老师考我们的样折了7条折痕8个面（即将纸对折，再对折共对折了3次），并重新展开在每个面上依次都标上字母，然后再折回，把各层所在的位置标出来。 我仔细的搜索着这张纸里蕴藏的奥秘，我发现了:1+8=5+4=3+6=7+2。也就说第一个字母和第二个字母所在的层数之和等于第三个字母和第四个字母所在的层数之和，也等于第五个字母和第六个字母所在的层数之和，等于第七个字母和第八个字母所在的层数之和。 那将纸折15条折痕16个面（即先将纸对折，再对折，再对折，再对折，共对折了4次）之后是否也符合这个规律？ 当层数标好之后，我非常的惊喜：1+16=9+8=5+12=13+4=11+6=7+10=15+2，从前依次往后，相临的二个字母所在的层数之和真的相等，而且它们的和等于总面数值再加1！
2、经过多次试验我确信了这个规律，太高兴了！这样我就可以验算折纸的排列是否有误！同时我还发现了： 第一个字母总是在第1层，最后一个字母总是在第2层；所以第二个字母就是最后一层，倒数第二个字母就是倒数第二层，也就是说他的位置不变。同时又发现了：最中间的二个字母，前一字母总是在第4层，后一个字母总是在第3层。临近的字母于是也可找到自己的层数。 3、我似乎找到了规律，于是赶紧拿了张稍长的纸，把它对折5次，折成了具 有32个面的纸，赶紧标上字母，准备要验证一下自己的结论，在每个字母的下面准备标上它的层数位置，但只标好如下表的数据就犯难了： 第5、第6层又是在哪个字母那里呢？还有第7、第8层……呢？刚刚发现规律的喜悦被新来的问题冲的一干二净。看来问题还远远没有得以解决，于是我将字母的顺序号标上，并重新思索着这张纸里蕴藏的奥秘： 妈妈见我愁眉苦脸的，就问到：怎么啦？我把情况与她说了。妈妈把纸找来，将纸对折了几下，然后对我说：你看，当我们第一次对折时，将纸分为几个面啊？我说二个面，这二个面是第几层呢？我看了一下是最当中的二个面，第3层与第4层。哦！我恍然大悟，那第5、6、7、8层数是不是由第二次对折决定？我马上拿来纸试了一下，结果如我所想的一样！确实是第二次对折后靠近折痕的四个面分别是第5、6、7、8层，第三次对折后靠近折痕的八个面分别是第9、10、
A F B C E D 数学活动课《折纸与证明》 二、操作探究： 复习：用折纸的方法折线段的垂直平分线，角的角平分线。 说明：为下面复杂的图形作铺垫。 活动一 说明：让学生体验到动手操作的乐趣，直观形象。 分组讨论：你能用手中的纸片折一个尽量大的正方形吗？然后请代表展示自已的做法，并说明 理由。 展示：用一张长方形纸片折一个正方形。如图， （1）折叠长方形，使点A 落在边DC 的点E 处，得 折痕DF ； （2）沿EF 折叠得四边形AFED 。 你能证明四边形AFED 是正方形吗？ 学生证明：∵把长方形纸片ABCD 折叠，∴DE=DA ，∠DEF=∠A ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A=∠ADC=∠DEF=900 ∴四边形AFDE 是正方形。（邻边相等的矩形是正方形） 讨论：对于任一矩形，依上述方法是否一定能折出一个等腰三角形？ 说明：为下面用正方形折尽量大的等边三角形作铺垫。 活动二 用活动一中得到的正方形纸片你能折出等边三角形吗？（各组讨论） （这个问题学生感到困难，在教师指导下，学生动手操作完成。） （1） 把正方形纸片ABCD 对折后再打开，折痕为EF ； N F E C （2） 将点A 翻折到EF 上的点A 1处，且使折痕过点B ； （3） 沿A 1C 折叠，得△A 1BC. 它是什么图形？
（学生对这一问题较感兴趣，拿着长方形纸片在回顾折法，折好后纷纷度量折叠、剪裁得到的纸片，验证他们得到的是否是等边三角形。） 以小组为单位讨论如何证明操作的合理性，并让学生板演证明过程。然后师生一起点评并完善证明过程。 证明：∵把正方形纸片ABCD对折，折痕为EF， ∴EF垂直平分BC。（） ∵将点A翻折，折痕过点B，且使A落在EF上的点A 1 处， ∴A 1C=A 1 B=AB=BC.（） ∴△A 1 BC是等边三角形。（） 可让学生说明（）内的理由是什么。 评析：本活动没有现成的结论，要求学生经历操作、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论，让学生从中获得学习数学的体验。 活动三 用一张长方形纸片折一个尽量大的菱形 方法1:（教师引导） 第一步：先沿对角线折叠 第二步：再对折，使B与D重合，与BC交于点G,则四边形FBGD是平行四边形。 方法2: 让学生自由讨论得出方法 活动四 用折出的菱形折正方形 说明：这个难度更大，教师要引导，学生要讨论。
A F B C E D 数学活动课 《折纸与证明》 活动目标： 1、通过折纸活动，使学生经历动手操作的过程，体会数学与生活的联系； 2、进一步激发学生对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系。 3、进一步发展合乎逻辑的思考和有条理表达的能力。 4、培养学生的合作交流的精神。 活动重点：探究研究问题的方法，如操作、猜想、证明等。 活动难点：说明操作活动合理性的证明过程。 活动用具：长方形纸片若干、剪刀，刻度尺、量角器。 设计意图：新课程标准对过程性目标有明确的定位：“过程本身就是一个课程目标，即首先必须让学生在数学学习活动中去经历探究物体与图形的形状的大小、位置关系变换等过程；经历提出问题、收集、整理、描述和分析数据，作出决策及自我评价的过程；经历观察、猜想、证明等数学活动过程…”。而折纸问题具有可操作性和趣味性，可帮助学生建构三角形、四边形、全等形等方面的知识，有助于培养学生的动手能力和空间观念。学生经历了操作、证明的过程，会进一步激发其对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感知合情推理和演绎推理相辅相成的关系，同时经历了克服困难和取得成功的过程，更能增进应用数学的自信心。 活动过程： 一、创设情境： 同学们一定会用纸片折叠小船、小猴等，其实你还会解释折纸过程中的每一个操作活动的合理性，因为你学会了证明。下面请同学们展示自已最拿手的折纸作品。 请几个折得好的学生展示自已的作品。 二、操作探究： 活动一 如图示，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上；叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ） 说明：让学生体验到动手操作的乐趣，直观形象。 活动二 分组讨论：你能用手中的纸片折一个尽量大的正方形吗？然后请代表展示自已的做法，并说明理由。 展示：用一张长方形纸片折一个正方形。如图， （1）折叠长方形，使点A 落在边DC 的点E 处，得折痕DF ； （2）沿EF 折叠得四边形AFED 。 你能证明四边形AFED 是正方形吗？ 学生证明：∵把长方形纸片ABCD 折叠，∴DE=DA ，∠DEF=∠A ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A=∠ADC=∠DEF=900 B A B C H(D) F(C)
新修订小学阶段原创精品配套教材《折纸》教学案例研讨教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 "Origami" Teaching Case Study 教师：风老师 风顺第二小学 编订：FoonShion教育
《折纸》教学案例研讨 〖教学过程〗 1．复习导入 师：现在，每个小朋友手上都有一些正方形的纸片，请你们取其中的一张纸折一折，然后在折的一部分涂上颜色，并说一说涂颜色的部分是几分之几？ （学生开始进行折纸、涂色的活动，教师进行巡视。） 师：现在，哪个小朋友来介绍你和折纸与涂色情况。 生：我把一张正方形的纸先对折，再对折，然后在其中一个小正方形上涂颜色，这个涂色的部分叫1/4。 生：我把一张正方形的纸先对折，再对折，然后在其中的3个部分涂上颜色，涂色的部分叫3/4。 …… 一会儿时间，学生介绍了各种各样的折纸与涂色的情况。主要有下列几种： 师：同学们，如果现在要计算两张纸中的涂色部分合起是多少，你可列出哪些算式？
生：我可以列出：1/4＋3/4。 生：我可以列出：3/4＋1/2。 生：我可以列出：1/8＋5/8。 生：我可以列出：5/8＋1/4。 …… （教师分别将学生提出的算式，书写在黑板上。） 师：请同学们想一想，根据分数的分母特点，这些算式可以分成几类？ 生：可以分成两类，一类是分母相同的，一类是分母不同的。 （教师根据学生的分类，将黑板上的算式进行了整理。）师：这个同学说得正好，我们今天这一节课就要来探索分母不同的分数相加减的计算方法。 2．自主探索 师：现在。请同学们根据自己的爱好，任意选择一道分母不同的加法算式，试一试如何计算？ （学生进行独立的尝试。） 师：谁来汇报自己探索的过程？ 生：我选择了“1/4＋1/2”的这一道题，它的计算过程是：1/4＋1/2=2/6。 生：我也选择了“1/4＋1/2”的这一道题，但计算的过程与他不一样。计算过程是：1/4＋1/2=1/4＋2/4=3/4。
数学文化/第6卷第2期105 折纸是一种艺术，也是一种技术，不仅可以供人玩乐和欣赏，还可以启迪心智，培养动手能力。现代折纸拥有更强大的技术，蕴藏的数学思想超乎了一般人的想象，已经衍生出折纸数学这样一门学科， 广泛地应用在生活以及医学、 航空航天等高科技领域。它在带给人们感官享受的同时， 也带给人们思维挑战的喜悦。《数学文化》曾刊登了木遥的精彩文章“关于折纸的若干事”1，我们进一步通过一系列具有代表性的人物和事例来浅谈现代折纸中的数学。 在现实生活中，我们大概都对折纸并不陌生。把一张纸折成千纸鹤、小飞机、小船、小衣服，也许是很多孩子童年最美好的记忆。让我们先来看一看如何折出一个天鹅。 蒋 迅 王淑红 现代折纸与数学 1 木遥，关于折纸的若干事，数学文化，2011, 2（4）：34-36. 图1. 天鹅折纸过程
106数学文化/第6卷第2期 现在把这个纸天鹅打开，我们得到下面的折痕。用我们平时学过的平面几何的知识，我们可以给出许多题目来，比如，可以计算AF 的长度，也可以证明ΔEDB 与ΔFDB 全等。这些都是再普通不过的几何问题。 现在，给大家提一个似乎有些“离题”的问题，用一张纸对折，请问最多能折叠多少次呢？其实不少人都产生过这样的疑问。在折叠上面的天鹅时，我们也感到了折叠次数越多就越不容易。有人说7次，有人说8次。对于大多数的人来说，将一张纸折叠7、8次并不困难吧。那么，最终的答案是什么呢？可能大家并没有去深究过。从操作层面来讲，这是一个困难的问题。因为每次对折之后，纸的厚度会增加一倍，面积却缩小一半，而指数级的增长是非常大的，所以至今人们做出的最多的折叠次数是12次，还无人真正打破这项纪录，很多人也曾一度认为这是不可能完成的超难任务。 这项纪录的保持者是加利文（Britney Gallivan, 1985-）2。她在打破这项纪录的时候还是一个名不见经传的美国高中生。有一次，她的几何老师在班上正式提出了这个问题。如果谁能选择一张合适的纸，将它成功折叠12次，就可以获得额外的数学学分。在此激励下，加利文开始不断地尝试，可惜在正常纸中的实验都无功而返。怎么办呢？她没有放弃，想到了金箔。金箔非常薄，只有一米的百分之0.28那么厚。这一次，没有令她失望，在尺子、油漆刷和小镊子的协助下，她成功地将10厘米见方的金箔折叠了12次。但是，老师坚持不能用金箔代替纸张，因为金箔太简单了。 本以为大功告成的加利文并未气馁，继续潜心研究选择什么样的纸以及运用什么样的技巧，来完成这个挑战。最终，数学帮助了她。她尝试了两种数学方法来解决这个问题。 第1种方法是，对一张边长为W 、厚度为t 的正方形纸，在不断交替变换折纸方向的情形下，得到了一个折叠n 次的边长的近似值： W ＝πt 23（n －1）/2, 其中W 和t 的单位相同。第2种方法是，对于一张可以很长的纸，将纸按一个方向折叠，亦即折叠一张长且窄的纸，得到了一个关于折叠次数（n ） 、纸张的最小可能长度（L ）和纸张厚度（t ）图2. 纸天鹅 2 Britney's Folding Record Still Holds, http://pomonahistorical. org/12ti mes.htm.
折纸在数学课堂教学中的应用 亭湖区黄尖初级中学 高建仁 [摘要]教师引导学生“做数学”，通过“做数学”感受生活与数学的联系，掌握数学知识的发生、形成过程和数学建模方法，形成运用数学的意识，培养学生自主探索、合作交流的能力。 [关键词]做数学 折纸实验 构建几何图形 自主探索 合作交流 新课程标准在“空间与图形”教学中，特别体现学生“做数学”的过程，在“做”中感受和体验数学问题，在“做”中学习数学知识，在“做”中培养创新精神。因此，笔者在教学活动中经常带着一叠纸、一把剪刀进课堂，指导学生按某种要求进行折叠、剪纸，用以发现和验证图形的某种性质。让学生人人动手，在活动中增长知识，掌握理论，把“空间与图形”的学习过程变成有趣的充满想象和富有推理的动手折纸活动。 下面是笔者在教学中几例活动设计及应用。 一、折纸活动与图形定义。 教材中不少定义都是通过折纸引入的。例如，线 段中点、角平分线、线段的垂直平分线、轴对称及轴 对称图形、三角形的三条主要线段等，通过折纸实验 导入，这样更贴近生活，准确易懂。 活动１：角平分线 如图⑴在纸上画∠AOB ，然后折叠，使角的两边重合，将纸展开，观察发现折痕将角分成了相等的两部分，沿折痕画射线OC ，即OC 是∠AOB 的平分线。 B C A O 图（1）
活动２：线段的垂直平分线 如图⑵在纸上任意画一条线段AB ， 把纸对折使点A 与点B 重合，再将纸展 开，线段AB 与折痕之间有什么关系？ 沿折痕作一条直线L ，即直线L 是线段AB 的垂直平分线。 二、折纸活动与图形性质。 有些图形性质的推导，如等腰三角形的 性质、等腰梯形的性质，用说理的方法，学生感到相当困难，而通过折纸却一目了然，给学生留下深刻的印象。 活动３：三角形内角和定理 用纸剪一个任意△ABC ，对折AB 、AC 的中点E 、F ，沿EF 将顶点向下对折，则点A 落在BC 上，再将B 、C 分别折向点A 所落的位置如图⑶从而验证三角形内角和定理。 活动４：直角三角形的性质 任意剪一张直角三角形纸片，将A 、B 分别向C 折 L A B 图(2) A B C E F H G 1 2 3 1 E F H G 2 3 图（3）
折纸 一、教学目标 1、通过直观的折纸操作活动，理解异分母分数加减法的算理，能正确计算异分母分数的加减法 2、引导学生利用学生自主折纸得到的算式，经历提出问题、自主探究、得出算法、解决问题的过程。从中渗透转化、建模等教学思想，提高学生解决问题的能力。 3、通过折一折，画一画、说一说，算一算等活动激发学生学习数学的兴趣，并让学生在学习活动中获得积极的、成功的情感体验。 二、教学重、难点 1、重点：通过折纸探索并掌握异分母分数加减法的计算方法。 2、难点：利用折一折，画一画、说一说，算一算等活动理解先通分，再加减的算理。 三、教学设计 （一）动手操作，明确目标 1．谈话导入，开门见山板书课题：异分母分数加减法 出示学习目标，生齐读 （1）探索并掌握异分母分数加减法的计算方法。能正确计算异分母分数的加减法。
（2）通过直观的操作活动，理解异分母分数加减法的算理。 师：听说咱们班的同学个个都是折纸高手，这节课老师就要和大家一起来通过折纸研究解决解决异分母分数加减法的相关知识，有信心吗？ 2．请看要求 ①折一折：平均折出你喜欢的份数。②画一画：用斜线画上你想画的份数。 ③说一说：画斜线部分是正方形纸片的几分之几？ 3．动手操作 师：老师已经给每位同学都准备了两张大小一样的正方形纸张，请你拿出其中的一张按照要求动手操作。开始。（学生明确要求后，进行折纸、涂色、交流等活动，教师巡视指导。） 4．学生汇报展示。 师：谁能说一说自己是怎么折的，涂色部分是这张正方形纸片的几分之几？ （学生汇报，老师将学生的折纸和涂色情况贴在黑板上并在纸旁板书相应的分数） 5．提出问题，明确目标 师：同学们，如果现在要把黑板上两张纸中的涂色部分加起来你可以列出哪些加法算式？（学生口述算式，教师分别将学生提出的算式书写在黑板上。）想一想你能把这些算式分成几类？你是根据什么分的？（同分母、异分母）（教师根据学生的回答，将黑板上的算式进行整理。）
课题折纸练习课型练习课 教学目标1．进一步理解异分母分数加减法的算理。2．能正确计算异分母分数的加减法。3．学会解决简单的分数计算的实际问题。 教学重点巩固异分母分数加减法的算理和法则。 教学难点运用分数知识解决实际问题。 教具、学具简单的同分母分数加减法口算卡 教师指导与教学过程学生学习活动过程设计意图 一、复习 上节课学过的计算法则。 二、课堂练习 1）计算 1/4+2/5= 5/6+7/12= 5/7-1/3= 2/3-7/24= 2）解方程 3/7+x=1/2 x-3/5=1/3 3/4-x=2/3 说一说怎样计算分母不相同 的分数加减法。 练习通分 学生独立计算，后小组合作检 查，有错题的同学说说错在那 里，怎么改正。 完成后说说什么地方容易出 错，应该怎样避免。 学生先说说解方程的方法和 格式并先考虑什么地方容易 出错。 锻炼学生独立完成 任务的能力，并学 会检查。 复习解方程的方 法，和算理。 教师指导与教学过程学生学习活动过程设计意图
3）填一填 1/2和1/3的（）不 同，也就是（）不 同，不能（）相加减。 三、引导学生看书 读“你知道吗”：可以老师一边读学生看书。遇到难理解的地方老师讲解。它们的分母不同，也就是分 数单位不同，不能直接相加 减。 学生在老师阅读中理解单 位分数。 巩固所学的异分母 分数加减法算理。 知道数学知识的历 史知识。 板书设计：1）计算 2）解方程 1/4+2/5= 5/6+7/12= 3/7+x=1/2 x-3/5=1/3 5/7-1/3= 2/3-7/24= 3/4-x=2/3 3）填一填 1/2和1/3的（）不同，也就是（）不同，不能（）相加减。 教学反思：
《折纸中得数学》 ——小课题研究 王炯亮 (1) 课题得背景 折纸起源于中国,而我酷爱折纸,因为折纸又称之为“工艺折纸”,就是一种以纸张折成各种不同形状得艺术活动。如今折纸得发展不只就是儿童得玩具,也就是一种有益身心、开发智力与思维得活动。凭着我对折纸得热爱,在无数次得折纸实践中,我发现其实折纸与数学存在着密不可分得关系,在折纸中用到许多数学知识。V4GWs 。 （2） 此小课题得目得 如何将一张平面得纸张通过折叠成有空间概念得模型,比如幸运星、千纸鹤、或就是纸飞机等等？这就就是需要运用到折纸中最基础得“将一条线N 等分”得方法,可就是如何将一条直线进行多次等分,比如2、3、4、5、6等分呢？6UNCe 。 （3） 研究得内容与步骤 Pj5QE 。 ③四等分 在一张矩形得纸中,如何进行四等分呢,最简单得就就是把这张纸边对边得对折再对折(?×?=?),最后形成得两个矩形得面积比为3:1 ④五等分 如下图,在一张正方形得纸中,先进行对角线对折,再取其中一个角平分对折再对折,这时取第三条角平分线与左边得交点D,作与上下边得平行线,以此边为界而形成得两个长方形面积比为4:1 ①二等分 将一张矩形纸进行边对边得对折(即1×?=?),最后形成得两个矩形得面积比为1:1,且就是全等图形。 ② 三等分 如下图,在一个正方形ABCD 得纸中,取对角线BD 进行对折;然后打开后进行左右,边对边对折(AD 对BC);再将纸打开,在长方形EBCF 中取对角线EC 对折,与BD 相交于点G ,这时经G 点作平行于BC 得直线(即下图中红线),红直线与上纸边AB 得交点即3等分点,最后形成得两个长方形得面积比为2:1 A B D C O E F G
《折纸中的数学》 ——小课题研究 王炯亮 （1） 课题的背景 折纸起源于中国，而我酷爱折纸，因为折纸又称之为“工艺折纸”，是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动。 如今折纸的发展不只是儿童的玩具，也是一种有益身心、开发智力和思维的活动。凭着我对折纸的热爱，在无数次的折纸实践中，我发现其实折纸与数学存在着密不可分的关系，在折纸中用到许多数学知识。 （2） 此小课题的目的 如何将一张平面的纸张通过折叠成有空间概念的模型， 比如幸运星、千纸鹤、或是纸飞机等等？这就是需要运用到折纸中最基础的“将一条线N 等分”的方法，可是如何将一条直线进行多次等分，比如2、3、4、5、6等分呢？ （3） 研究的内容和步骤 ①二等分 将一张矩形纸进行边对边的对折（即1×?=?） ，最后形成的两个矩形的面积比为1:1，且是全等图形。 ② 三等分 如下图，在一个正方形ABCD 的纸中，取对角线BD 进行对折；然后打开后进行左右，边对边对折（AD 对BC ）；再将纸打开，在长方形EBCF 中取对角线EC 对折，与BD 相交于点G ，这时经G 点作平行于BC 的直线（即 下图中红线） ，红直线与上纸边AB 的交点即3等分点，最后形成的两个长方形的面积比为2:1 A B D C O E F G
③四等分在一张矩形的纸中，如何进行四等分呢，最简单的就是把这张纸边对边的对折再对折（?×?=?），最后形成的两个矩形的面积比为3:1 ④五等分如下图，在一张正方形的纸中，先进行对角线对折，再取其中一个角平分对折再对折，这时取第三条角平分线与左边的交点D，作与上下边的平行线，以此边为界而形成的两个长方形面积比为4:1