第一章3. 解：因为
i i x a
y c
-=
所以 i i x a cy =+
1
1n
i
i x x n ==∑
()1
111n
i i n
i i a cy n na cy n ===+??=+ ???
∑∑
1n
i
i c a y n a c y
==+=+∑
所以 x a c y =+ 成立
因为 ()2
2
1
1n x i i s x x
n ==-∑
()
(
)
()
2
2
12
2
1
11n
i i i
n
i i n
i
i a cy a c y n cy c y n c y y n
====+--=-=-∑∑∑
又因为 ()2
2
1
1n y i i s y y
n ==-∑
所以 2
22
x
y
s c s = 成立 6. 解：变换
()1027i i y x =-
1
1l
i i i y m y n ==∑
()1
3529312434101.5=
-?-?+?+=- 2710
y
x
=
+= ()
2
21
1l
y
i i i s m y y
n ==-∑
()()()()2222
1235 1.539 1.5412 1.534 1.510
440.25
?=
?-++?-++?+++???= 22
1 4.4025100
x y s s =
= 7解：
*1
1l
i i i x m x n ==∑
()1
156101601416426172121682817681802100166=
?+?+?+?+?+?+?=
()2
2
*1
1l
i i i s m x x
n ==-∑
()()()()()()()2222
222
110156166141601662616416628168166100
121721668176166218016633.44
=
?-+?-+?-+?-???
+?-+?-+?-?
=
8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，
()()()()()17218120
3.2147.211.2
e n n e n
M X X R X X M X X +?? ???
??
+ ???
====-=--==== 9解：
12
1211121211n n i j
i j n x n x n n x n n ==+=+∑∑1122
12
n x n x n n +=+
()
122
21
12
1
n n i
i s x x n n +==
-+∑
(
)
(
)()12
1
22
2112
2
1
1
112212
122
2
2
2
2
111
222
1
1
2
2
12
12
2
2
22
211
22
1122
11221212
122
2211211122
121n n i i n n i
j
i j x x
n n x x
n x n x n n n n n s x n s x n x n x
n n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n s n n +====
-++??
+=
- ?
++??
+++??+=-
?++?
?
??+++=
+- ?
+++??
+++=++∑
∑∑()()
()
()()
()
22
212211222
1222
221122
121
1221212
2
12122
221212
11
22
2
12
122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n s
n n n n +-++++-=
+++-+=+
++
12. 解：
()i x P λ: i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =???
11
2
2
11
1111
n
n
i i
i i n
n
i i i i n E X E
x Ex n n n n DX D x Dx n n n n λ
λλλ
============∑∑∑∑
13.解：
(),i x U a b : 2
i a b Ex +=
()2
12
i
b a Dx -=
1,2,,i n =???
在此题中
()1,1i x U -: 0i Ex = 1
3
i Dx = 1,2,,i n =???
112
11
110
11
1
3n n
i i i i n n
i i
i i E X E x Ex n n DX D x Dx n n
n ==========∑∑∑∑
14.解：因为()2,i
X N μσ: 0i X E μσ-= 1i X D μσ
-=
所以 ()0,1i X N μσ-: 1,2,,i
n =???
由2
χ分布定义可知
()
2
2
2
1
11
n
n
i
i
i i X Y X
μμσσ==-??=
-= ??
?∑∑服从2χ分布
所以 ()2Y
n χ:
15. 解：因为
()0,1i X N :
1,2,,i n =???
()1230,3X X X N ++:
0=
1=
所以
()0,1N :
()2
21χ:
同理
()2
21χ:
由于2
χ分布的可加性，故
()22
2123Y χ=+: 可知 1
3
C
=
16. 解：（1）因为 ()
20,i X N σ: 1,2,,i n =??? ()0,1i X N σ
:
所以 ()2
2121n
i i X Y n χσσ=??= ?
??
∑:
(){}11122Y Y
y F y P Y y P σ
σ??=≤=≤????
()2
20
y
f x dx σχ=
?
()()211'221
Y Y y f y F y f χσσ
??==? ???
因为 ()2122
202200n x n x e x n f x x χ--??>???
=?Γ
????
?≥?
所以 ()2112
2202200n y
n n
Y y e y n f y y σσ--??>???=?Γ
????
?≤?
（2） 因为 ()20,i
X N σ: 1,2,,i n =???
()0,1i X N σ
:
所以
()2
2
221n
i i X nY n χσσ=??= ??
?∑: (){}()2
2222220
ny
Y nY
ny F y P Y y P f x dx σχσ
σ??=≤=≤=
?????
()()222'22Y Y ny n
f y F y f χσσ
??== ???
故 ()221222202200n n
ny n n Y n y e y n f y y σ
σ--??>???=?Γ
?
???
?≤?
（3）因为 ()
20,i X N σ: 1,2,,i
n =???
()1
0,1n
i N =: 所以
()2
2311n i Y n χσ=?= ?: (){}()()2
2333210
y
n Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ??
=≤=≤=?????
()()()233'2211
Y Y y f y F y f n n χσσ
??== ???
()(
)22
1000x x f x x χ-?>=≤?
故 (
)232000
y n Y y f y y σ-?>=≤?
（4）因为 ()20,i
X N σ: 1,2,,i n =???
所以
(
)()12
2
4210,11n
i n
i N Y χσ==?= ?::
(){}()()()()()2
242244
42210'22
11
y
Y Y Y y F y P Y y P f x dx
y f y F y f σχχχσσσσ
??=≤=≤=??????== ???? 故
(
)242000
y Y y f y y σ-?>=≤?
17.解：因为 ()X
t n :
存在相互独立的U ，V
()0,1U N : ()2V n χ:
使
X = ()2
21U
χ:
则 2
21U X V n
=
由定义可知 ()2
1,F n χ
:
18解：因为 ()20,i
X N σ: 1,2,,i n =???
()1
0,1n
i N =:
()2
21n m
i i n X m χσ+=+?? ???
∑: 所以
()1
n
n
i
X Y
t m =
=
:
（2）因为
()0,1i
X N σ
: 1,2,,i n m =???+
()()2
2
12
21n
i i n m
i i n X n X m χσχσ=+=+?? ?
??
?? ???
∑∑::
所以 ()2
211
222
11,n
i n i i
i n m n m
i i i n i n X m X n Y F n m X n X m
σσ==++=+=+??
???==?? ?
??
∑∑∑∑: 19.解：用公式计算
(
)20.010.019090χ=
查表得 0.01 2.33U =
代
入
上
式
计
算
可
得
()2
0.01909031.26121.26χ=+=
20.解：因为
()2
X n χ: 2
E n χ= 2
2D n χ=
由2
χ分布的性质3可知
()0,1N : {
}P X c P ≤=≤
2
2lim t n P dt -→∞-∞
≤==Φ 故 {
}P
X c ≤≈Φ
第 二 章 1.
,0
()0,0()()1
()
1
1
1
x x
x
x
x
e x
f x x E x f x xdx xe
dx
xe e
d x
e x
λλλλλλλλλ
λ
λ
λ
-+∞
+∞
--∞+∞
+∞--+∞-?≥=?
=-=
=?
?
?
令
从而有 1x λ∧
=
2.
()1
1
1
1
2
1).()(1)
(1)1
1
11k k x x E x k p p p k p p
p
p ∞
∞
--===-=-==
??--??
∑∑
令
1
p ＝X
所以有
1p X ∧
=
２）．其似然函数为
1`
1
1
()(1)
(1)n
i x i i n
X n
n
i L P P p p p -=-=∑=-=-∏
1
ln ()ln ()ln(1)
n
i i L P n p X n p ==+--∑
1
ln 1
()0
1n
i i d L n X n dp p p ==--=-∑
解之得
1
1
n
i
i n
p X X
∧
==
=
∑
３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以
()2122!
2!!
()12n
i i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧
∧
+=
--?
=???-?=???=???=?∑2
2
2（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，
1S =
n a+b 2
（）a 4. 解：（1）设
12,,n x x x L 为样本观察值则似然函数为：
11
1
()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0n
n
i i i n
i
i i
n i i L x x i n
L n x d L n
x d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑L （-1）
解之得：
1
1
ln ln n
i
i n
i
i n
x
n
x
θθ=∧
==-
==
∑∑
（2）母体X 的期望
1
()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞
-∞
===
+?
?
而样本均值为：
11
()1n
i
i X x n E x X X
X
θ=∧
===
-∑令得
5.。解：其似然函数为：
1
1
11
1
11()2(2)1
ln ()ln(2)1
0n
i
i
i x n
x n
i n i i n
i
i L e e L n x x σσσσ
σσσσ
σσ
=--==∧
=∑
=?=?=--=
∏∑=∑令
得：
（2）由于
00
11222111
()(
)()x
x
x x
n
n
i i i i x x E e dx e dx x e e dx E E x E x n n n n
σ
σσ
σ
σ
σσ
σσσ+∞
----
+∞
+∞+∞
-∞
∧
=====-+====?=?
??
∑∑
以 11n
i
i x n σ∧
==∑ 为σ的无偏估计量。
6. 解：其似然函数为：
(1)(1)()()(1)!(1)!11k k n n k x n x i k i L x e x e
i i k k i i βββββ----∏==∏--==
ln ()ln (1)ln()11n n
L nk k X X i i
i i βββ=+--∑∑==
1
ln ()0
n
i
i d L nk
d X
βββ
==-
=∑
解得
1
n
i
i nk
k X
X
β∧
==
=
∑1
(),0,
f x x ββ=≤≤
７．解：由题意知：均匀分布的母体平均数
2
2
β
βμ=
-=
，
方差12
12)0(2
22
ββλ=-=
用极大似然估计法求β得极大似然估计量
似然函数：∏
==n
i n
L 1
1
)
(θβ β
≤≤≤≤≤n
i i i i x x 1)
(max min 0
选取β使L 达到最大
取n
i i
x ≤≤∧
=1max β
由以上结论当抽得容量为6的子样数值 ，，，，，，时
2.2=∧β即,
1.12
==
∧
∧
β
μ
4033.012
2
.22.212
2
2
≈?=
=
∧
βσ
8. 解：取子样值为)(),,,(21θ≥i n x x x x Λ
则似然函数为： ∏=--=n
i x i e L 1
)
()
(θθ θ
≥i
x
∑∑==+-=--=n
i n
i i i n x x L 1
1
)()(ln θθθ
要使似然函数最大，则需θ取),,,min(
21n x x x Λ
即
∧
θ=),,min(21n x x x Λ
9. 解：取子样值)0)(,,(2,1>i n x x x x Λ
则其似然函数∑===-=-∏n
i i
i
x n
n
i x e
e
L 1
1)
(λ
λλλλ
∑=-=n
i i
x n L 1
ln )(ln λλλ
∑=-=n
i i
x n
d L 1
)(ln λλλ
x
x
n
n
i i
1
1
=
=
∑=∧
λ 由题中数据可知
20)6525554545703510025150152455365(1000
1=?+?+?+?+?+?+?=
x 则 05.020
1
==
∧
λ 10. 解：（1）由题中子样值及题意知： 极差7.45.12.6=-=R 查表2-1得
4299.01
5
=d
故0205.27.44299.0=?=∧
λ
（2）平均极差115.0=R ，查表知
3249.01
10
=d
0455.0115.03249.0=?=∧
λ
11/解：设∧
u 为其母体平均数的无偏估计，则应有x =∧
μ
又因4)26261034018(60
1
=?+?+?+?=x
即知4=∧
μ
12. 解：)1,(~μN X Θ
μ=∴)(i x E
，1)
(=i x D ， )2,1(=i
则μμ=+=
∧
21132
31)
(EX EX E μμ=+=∧21243
41)(EX EX E
μμ=+=∧2132
1
21)(EX EX E
所以三个估计量321,,∧
∧
∧
μμμ均为μ的无偏估计
95
91949194)3132()(2121=+=+=+=∧
DX DX X X D D μ
同理可得85)(2=∧μD ，2
1
)(2=∧μD
可知3∧μ的方差最小也亦∧
2μ最有效。 13解：)(~λP X Θ
λλ==∴)(,)(X D X E
])(11[)(1
22
*∑=--=n
i i X X n E S E
)]()([11212
X nE X E n n
i i --=∑= ])()([11122∑=+-+-=n
i n n n λλλλ
λλλ=--=
)(1
1
n n 即2
*S
是λ的无偏估计
又因为
λ====∑∑∑===n
i i n
i i n i i EX n X E n X n E X E 1
111)(1)1()(
即
X
也是λ的无偏估计。
又]1,0[∈?α
λλλαλααα=-+=-+=-+)1()()1()())1((2
*2
*S E X E S X a E 因此2
*
)1(S X
αα-+也是λ的无偏估计
14.解：由题意：
),(~2σμN X 因为
])(()([)()(2111
1212
i i n i i i i i X X E X X D C X X E C E -+-=-=+-=++∧∑∑λ
21
1
211
1)1(22]0)()([λλ-==++=∑∑-=-=+n C C X D X D C n i n i i i
要使22
)(λλ
=∧E 只需)1(21+=
n C
所以当)
1(21
-=
n C 时2
∧λ为2
λ的无偏估计。
15.证明：Θ参数θ的无偏估计量为∧
θ，∧
θD 依赖于子样容量n
则,0>?ε由切比雪夫不等式
0lim =∧
∞→θD n Θ故有1lim =?
??
???<-∧∞
→εθθp n 即证∧
θ为θ的相合估计量。 16证明：设X 服从),(p N B ，
则分布律为 k k k N
P P k X P C
)1()(-== ),2,1(N k K =
这时NP X E =)
( )1()(P NP X D -=
2222)1()(P N P NP EX DX EX +-=+=
例4中
N
X
p -
∧
=
所以P N
NP
N X E P E ===
-
∧
)
(（无偏）
Nn P P n
N P NP N X D P D )
1()1(22-=
-==
-
∧
罗—克拉美下界满足
∑=----??=n
k P N K K
N P N K K N R P P P P Ln p
n I C C 02)1(])1([1 ∑=----++??=N
K K N K K
N K N P P P Ln P N KLnP Ln P
n
C C 0
2)1())]1()(([
∑=-----=N
K K N K
K N P P P
P N P K n C 0
2)1(]1[
])
1(2)1(22[2
2
2222P EX NEX N P P EX NEX P EX n -+-+---= 2
2
2222222222)1()1(2)1()1(2)1([P P
N P NP P N N P P N P NP P N P P N P NP n -+-+-+-----+-=
)
1(]
111[P P nN P P nN -=
-+= 所以∧=-=P D nN
P P I R )
1(即∧p 为优效估计
17． 解：设总体X 的密度函数
2
2
2)(21)(σμσ
π--=
x e
x f
似然函数为
∏
=--
--∑===n
i x n x n
i i i e
e
L 1
2)(2
22)(22
1
2
2
2
)2(21)(σμσμπσσ
πσ
2
1
2
22
2)
(2
22)(σμσπσ∑=--
--=n
i i
x
Ln n
Ln n LnL
02)(24
1
2
2
2=-+-=∑=σ
μσσn
i i
x
n d dLnL
∑=-=
n
i i x n 1
22)(1
μσ 因为
?
+∞
∞
-??dx x f x Lnf )())((
2
2
σ
=?∞
+∞-----dx e x x 2
22)(2
242
21]212)([σμσ
πσ
σμ
=
]2)()([414
2248
σσμμσ
+---X E X E =4
2σ
n
故2
σ的罗—克拉美下界
4
2σn
I R =
又因∑=∧-=n i i X n E E 1
2
2
)
)(1(μσ
∑=-=n
i i X E n 1
2))((1
μ2σ= 且∑=-=n i i X n D D 12
2
))(1()(μσ42σn
=
所以2
∧σ是2
∧σ
的无偏估计量且)(2
∧=σD I R
故2
∧σ
是2
∧σ
的优效估计
18． 解：由题意：n=100，可以认为此为大子样，
所以n
S X U
μ-=
近似服从)1,0(N
αα-=1}{2
u U P π
得置信区间为n
s u x 2
(α
- )2
n
s u x α
+
已知95.01=-α s=40 x =1000 查表知96.12
=α
u 代入计算得
所求置信区间为（ ）
19.解：（1）已知cm 01.0=σ
则由)1,0(~N n
X U σ
μ-=αα
-=<1}{2
u U P
解之得置信区间n
u X
σ
α
2
(- )2
n
u X
σ
α
+
将n=16 X = 645.105.02
==u u α
01.0=σ
代入计算得置信区间（ ） （2）σ未知
)1(~--=
n t n
S X T μ
αα-=<1}{2
t T P 解得置信区间为2
(αt n
s X -
)2
αt n
s X +
将n=16 753.1)15()15(05
.02
==t t α
00029.02=S 代入计算得置信区间为（ ）。 20．解：用T 估计法
)1(~--=
*
n t n
S X T μ
αα-=-<1)}1({2
n t T P 解之得置信区间2
(αt n
S X *-
)2
*αt n
S X +
将6720=X 220=*
S
n=10 查表2622.2)9(025.0=t
代入得置信区间为（ ）。
21．解：因n=60属于大样本且是来自（0—1）分布的总体，
故由中心极限定理知
)
1()
1(1
p np np X n p np np
X
n
i i
--=
--∑=近似服从)1,0(N 即αα
-=<--1})1()({2u p np P X n p
解得置信区间为2
)1((α
u n p p X --
))
1(2
αu n p p X -+ 本题中将n U n 代替上式中的X 由题设条件知25.0=n U
n
055.0)()
1(2
=-=-n
U n U n p p n n 查表知96.1025.0==U U n
代入计算的所求置信区间为（ ） 22． 解：2
σ未知 故
)
1,0(~N n
X U σ
μ
-=
由αα-<<1}{2
u U P 解得置信区间为2(α
σu n X - )2ασu n X +
区间长度为2
2ασu n
于是L u n
≤2
2ασ计算得22
2
2
4ασU L
n ≥即为所求
23．解：μ未知，用2
χ估计法 )1(~)1(22
2
2--=n S n χσ
χ
αχχχαα
-=-<-<--1)}1()1()1({2
2
222
1n n n P
解得σ的置信区间为2
22
)1((α
χS
n - ))1(22
12
α
χ-
-S n
（1） 当n=10，*
S =时
查表)9(2
005.0χ= )9(2
995.0χ=
代入计算得σ的置信区间为（ ） （2） 当n=46，*
S =14时
查表)45(2
005.0χ= )45(2
995.0χ
代入计算可得σ的置信区间为（ ） 24．解：（1）先求μ的置信区间 由于σ未知 )1(~--=n t n
S
X T μ αα
-=<1}{2
t T P
得置信区间为2
(α
t n
S X
-
)2
αt n
S X +
经计算2203
.012.5==S X 查表093.2)
19(025.0=t n=20
代入计算得置信区间为（ ） （2）μ未知 用统计量)1(~)1(22
2
2--=n S n χσ
χ
αχχχαα-=<<-1}{2
2
222
1P
得σ的置信区间为
22
2)1((α
χS n - ))1(2
2
12α
χ
-
-S n
查表)19(2025.0χ= )19(2
975.0χ= 代入计算得σ的置信区间为（ ） 25．解：因1+n X 与
n X X X K ,,21相互独立，
所以1+n X 与
X
相互独立，故
))11(,0(~21σn
N X X n +
-+
又因
)1(~22
2
-n nS χσ 且与X X n -+1相互独立，
有T 分布的定义知
)1(~1
1
)1(1
12
21-+--=
-+-++n t n n S X
X n nS n n X
X n n σσ 26． 解：因
),(~21σμN X i m i K ,2,1=
),(~22σμN Y j n j K ,2,1=
所以),0(~)(2
21m
N X σαμα-，),0(~)(222n N Y σβμβ-
由于
X 与Y 相互独立，则
)]
(
,0[~)()(22
21n
m
N Y X βαμβμα+-+- 即
)
1,0(~)
()(2
2
21N n
m Y X σ
βαμβμα+
-+-
又因
)1(~22
2
-m ms x
χσ
)1(~22
2
-n ns y
χσ
则
)2(~22
22
2-++
n m ns ms y
x
χσ
σ
构造t 分布
n
m Y X 2
2
21)
()(βασμβμα+
-+-
=
)2(~2
)
()(2
2
2
221-++
-++-+-n m t n
m
n m ns ms Y X y
x βαμβμα
27． 证明：因抽取n>45为大子样
)1(~)1(2
2
2
*
2
--=
n s n χσ
χ
由2
χ
分布的性质3知
)
1(2)
1(2---=
n n U χ近似服从正态分布)1,0(N
所以 α
α-=≤1}{2u U
P 得 22
)1(2)1(αχu n n ≤--- 或2
2
2
2)
1(2)1()1(αασu n n s
n u ≤----≤- 可得2σ的置信区间为?????
?
??????---+22
2
2121,
121ααu n s u n s 28． 解： 因2
22
2
1
σ
σσ
==未知，故用T 统计量
)2(~1
1)(21-++---=
m n t m
n s Y X T w
μμ
其中2
)1()1(2
2212
-+-+-=
m n s m s n s w
而
05.0=α 2-+m n 查表 144.2)4(025.0=t
计算
625.81=X 125.76=Y
695.14521=s ，554.10122=s ， 625.1232
=w s 代入得
9237.115.51
1)2(2±=+-+±-m
n s m n t Y X w
α 故得置信区间)4237.17,4237.6(- 29解： 因2222
1
σσσ==故用T 统计量
)
2(~11)
(21-++---=
m n t m
n s Y X T w
B A μμ
其中2)1()1(2
2
2
12
-+-+-=
m n S m S n S W
αα-=????
??<12t T P 计算得置信区间为 m n m n t S X X W B A 11)
2((2
+
-+--α，
)11)2(2
m n m n t S X X W B A +-++-α 把2
W S = )7(2
α
t =
代入可得所求置信区间为（ ）。
30．解：由题意 用U 统计量
)
1,0(~)
(2
22
12121N m
S
n S X X U +---=
μμ
αα-=<1}}{2
u U P 计算得置信区间为
m S n S u
X X 2
2212
21(+
--α
，
)2
22
12
21m S n S u X X ++-α 把71.11=X 67.12=X 22
1
035.0=S
22
2038.0=S
100==m n 96.1025.02
==u u α
代入计算得 置信区间)0501.0,0299.0(- 31．解：由题意，21,u u 未知，则
)
1,1(~122
12
*1
22
2*2
--=
n n F S S F σσ
则ααα-=?
??
???
--<<---1)1,1()1,1(1
221221n n F F n n F
P 经计算得
ασσαα-=??
?
???????--<<---1)1,1()1,1(2*22
*112222212*22*11221S S n n F S S n n F P
解得2
22
1σσ的置信区间为
???
? ??-----2*22*11
222*22*11221)1,1(,)1,1(S S n n F S S n n F αα
61=n 92=n 245.02
*1
=S
357.02
*2=S 05.0=α
查表：82.4)
8,5(025.0=F
207.082
.41
)8,5(1)5,8(025.0975.0===∴F F
带入计算得
2
22
1
σσ的置信区间为：)639.4,142.0(。
32. 解：2σ未知，则
)1(~*
--=
n t n
S X T μ
即： {}αα-=-<1)1(n t T P 有：α
μα-=?
??
???-->1)1(*n S n t X P
则单侧置信下限为：
n
S
n t X *
)
1(--α将6720=X 220*
=S
10=n 833.1)9(05.0=t 带入计算得471.6592即钢索所能承受平
均张力在概率为%95的置信度下的置信下限为471.6592。 33.解：总体服从（0，1）分布且样本容量n=100 为大子样。令X 为样本均值，由中心极限定理)1,0(~2
N n nP X n σ- 又因为22
S =σ
所以αα
-=?
??
???<-12
u nS np X n P
则相应的单侧置信区间为-∞(， )2
αu n
S X + 将X = 94.06.0)1(2
?=-=n
m
n m S 645.105.0==u u α
代入计算得所求置信上限为
即为这批货物次品率在置信概率为95%情况下置信上限为。
34.解：由题意：)1(~)1(22
2
2
--=*
n S n χσχ
{
}
αχ
χα
-=->-1)1(12
2n P 解得σ
的单侧置信上限为)
1()1(2
12
---*
n S n αχ
其中n=10，*S =45， 查表==-)9()1(295.02
χχαn
代入计算得σ的单侧置信上限为。 第五章
1.解：对一元回归的线性模型为i i i Y x βε=+ 1,2,,i n =??? 离差平方和为()2
1
n
i
i i Q y
x β==
-∑
对Q 求β的偏导数，并令其为0，即
()1
n
i
i
i
i y x x
β=-=∑
变换得 2
11
11n n i i i
i i x y x n n β===∑∑ 解此方程得 2
xy x
β
∧
=
因为 22D E σεε== i
i i y x εβ=-
所以 2
2
11n i i i y x n σβ∧∧=??=- ?
??
∑
()()()
22
212
2
22
2
2
2
2
2
2
1222
n i i i i i y x y x n y xy x xy
xy x y x x ββββ∧∧=∧
∧??=-+ ???
=-+=-+∑
()2
2
2
xy y x
=-
其中11n i i i xy x y n ==∑ 2
211n i i x x n ==∑ 221
1n i i y y n ==∑
2. 解：将 26x = 90.14y = 2736.511xy =
2
451.11x
m = 2
342.665y m =代入得
2
2
2
22
22736.5112690.14
0.8706451.11
90.140.87062667.5088
342.6650.8706451.110.7487x y
x xy x y m y x m m βαβσβ∧
∧
∧
∧∧--?=
===-=-?==-=-?=
3证明：
'
00
2211d d uv uv
d d u u β∧-=- ()()()
1
2
1
1
n
i
i i n
i
i u
u
v v d d u u ==--=-∑∑
()()
()
()()
(
)
100111100021
11111100121
21
11
2
111n
i i i n i i n
i i i n i
i n
i
i
i n
i i x c y c y c x c d d d d d d x c x c d d x x y y d d d d x x d x x y y x x
β
======∧
??
??------ ? ?????=??
--- ??
?--=
---=
-=∑∑∑∑∑∑
'
'
0011
'
'
00011
'
10001'
01d d c c d d d v d u c c d c d v c d u d d y x
d y x αββββββα
∧∧∧∧∧∧∧
∧
+-
=-+-
??
=+-+ ?
?
?=-=-=
()2
''2
012
''00012
''1
000112
'''000011112
1n i i i n
i i i n
i i i n
i i i n
i i i d v u d v d d u x c y c d d d d d y c d x c d d y x αβαβαβαββαβ∧∧=∧∧=∧∧=∧∧∧=∧∧
=??-- ???
??
=-- ???-??=---??
????
=---+ ?
??
??
=-- ?
?
?∑∑∑∑∑4．解：
品
质指标
支数
将 35.353x
= 2211.2y = 76061.676xy =
2
132.130x m = 234527.46y m = 代入得 ()2
2
2
2
2
2
76061.67635.3532211.2
15.98132.130
2211.215.9835.3532776.14
34527.4615.98132.130786.69
x y
x xy xy m y x m m βαβσβ∧
∧
∧
∧∧--?=
==-=-=+?==-=--?=
*2
σ
∧为2
σ
∧的无偏估计量
*2
220
786.69874.10218
n n σ
σ∧∧===- 5. 解：将6x
= 210.4y = 1558xy =
2
8x
m = 2
10929.84y m = 代入得
()2
*2
22*
15586210.4
36.958
210.436.95611.3
510929.8436.95812.3723
3.517
x xy x y m y x n n βαβσ
σσ∧
∧
∧
∧
∧∧
--?=
===-=-?=-==-?=-= 假设 0
:38H β= 1:38H β≠
用T 检验法 拒绝域为
()2t n α≥-
查表得 ()0.025
3 3.1824t =
将上面的数据代入得
()0.0251.893t t =<
所以接受0H 即认为β为38
6. 解：（1）由散点图看，x 的回归函数具有线性函数形式，
认为长度对于质量的回归是线性的。
长度
质量
B
（2）将17.5x = 9.49y = 179.37xy =
2
72.92x m = 2 2.45y m =代入得
2
179.3717.59.49
0.18272.92
x xy xy m β∧
--?=
== 9.490.18217.5 6.305y x αβ∧
∧
=-=-?=
6.3050.182y
x x αβ∧
∧
∧
=+=+
（3）当16x =时
00
16y a b ε=++
由T 分布定义
()
2T t n ∧
∧
=
-:
()0.02520.95P t n ?
??
??
<-=
???
???
所以0Y 的预测区间为
()()00.02500.02522x t n x t n αβσβσ∧∧
∧∧∧∧?+--++-??
查表得()0.025
4 2.776t =
将（2）的数据代入得
()*2
22*
6
2.450.18272.920.0075
240.0866
n n σσσ∧∧∧==-?=-=
计算得0Y 的预测区间为
()8.9521,9.4721
9. 解：利用第八题得到的公式 将21x
= 141.2y = 3138xy = 2
90x m =
代入得
2
313821141.2
1.9290
141.2 1.9221100.88
x xy x y m y x βαβ∧
∧
∧
--?=
===-=-?=
10.
解
：
二
元
线
性
回
归
模
型
为
1122,1,2,,i i i i Y x x i n ββε=++=???
离差平方和为()
2
1221
n
i i i i i Q
y x x ββ==--∑
对Q 求12,ββ的偏导数并令其为0
()()112211
112221
00n
i i i i i n
i i i i i y x x x y x x x ββββ==?--=????--=??∑∑ 可变换为2
111212111
22112221
1100n n n
i i i i i i i i n n n
i i i i i i i i x y x x x y x x x x βββ
β======?--=????--=??∑∑∑∑∑∑
正规方程为21112212121222x x x x y
x x x x y
ββββ∧
∧
∧∧
?+=???+=?
最小二乘估计为221212
1
2
221212
2
1122122
22
1212
x yx x x yx x x x x
x yx x x yx x x x x ββ∧
∧
-=
--=
-
其中1111n i i i x y x y n ==∑ 221
1n
i i
i x y x y n ==∑
121211n i i i x x x x n ==∑ 2
21
1n j ij i x x n ==∑ 1,2j =
11解：（1）
2p = 15n =采用线性回归模型
()()
1122Y x x x x μββε=+-+-+
15
1
248.25i
i y
==∑ 16.55y =
15
2
1
4148.3125i
i y
==∑
15
1
1
920i i x
==∑
15
21
1
56734i i x
==∑
161.33x = 15
21
7257i i x ==∑ 2483.8x =
15
2
2
1
3524489i i x ==∑
15
12
1
445366i i i x
x ==∑
15
11
15170i i
i x
y ==∑
15
2
1
12063925i i i x
y ==∑
2
15
152111
11
115673456426.66307.3415i i i i L x x ==??
=-=-= ???∑∑
2
15
15
222221
1135244893510936.613552.415i i i i L x x ==??
=-
=-= ???
∑∑ 15
1515122112121
11144536644509627015i i i i i i i L L x x x x ===????
==-=-= ???????∑∑∑
15
15151111
111151701522656
15y i i i i i i i L x y x y ===????
=-=-=- ???????∑∑∑15
15152221111120639.25120103.25536
15y i i i i i i i L x y x y ===????
=-=-= ???????∑∑∑于是 16.55y μ∧==
307.3427027013552.4L ??=???? 1256536y y L L ??-??=????
???
???
可得11256536L ββ∧-∧??
-????=??????
??
所以 1210.5040.2160.04y x x =-+ 12.解
3p =18n =采用线性回归模型
()()()
112233Y x x x x x x μβββε=+-+-+-+
18
1
1463i
i y
==∑
81.277y =
18
1
1
215i i x
==∑
1
11.944x = 18
21
758i i x ==∑ 242.11x =
18
3
1
2214i i x
==∑
3123x =
18
2
1
1
4321.02i i x
==∑
18
2
21
35076i i x ==∑
18
231
307864i i x ==∑
2
18
182111
11
12
18
182
2222112
18
182
33331
114321.022568.051752.97
1813507631920.223155.78
18130789427232235572
18i i i i i i i i i i i i L x x L x x L x x ======??
=-=-= ?????=-=-= ?????=-=-= ???∑∑∑∑∑∑18
12
1
10139.5i i i x
x ==∑
18
1818122112121
11110139.59053.881085.6218i i i i i i i L L x x x x ===????
==-
=-= ???????
∑∑∑
18
13
1
96598
i i i x
x ==∑18
1818133113131
1112764526445120018i i i i i i i L L x x x x ===????
==-=-= ???????∑∑∑
18
23
196598i i i x
x ==∑
18
1818322323231
11196598932343364
18i i i i i i i L L x x x x ===????
==-=-= ???????∑∑∑
18
11
20706.2i i
i x
y ==∑
18
18181111
11120706.217474.73231.518y i i i i i i i L x y x y ===????
=-
=-= ???????
∑∑∑
18
2
1
63825i i i x
y ==∑
18
18182221
1116382561608.52216.5
18y i i i i i i i L x y x y ===????
=-=-= ???????∑∑∑
18
31
187542i i
i x
y ==∑
1818183331
111187542179949759318y i i i i i i i L x y x y ===????
=-
=-= ???????
∑∑∑
于是 4.582y μ
∧
==1752.931085.621200L -??
??=??
????
1085.621200 3155.78 3364 3364
35572
1233231.52216.57593y y y L L L ????????=????????????可得11233231.52216.57593L βββ∧
∧-∧??????????=????????????
??
所以
12343.65 1.780.080.16y x x x ∧
=+-+
第三章
1.解: 假设: 26:,26:10≠=μμH H
由于2.5=σ
已知,故用统计量)1,0(~N n
x u σ
μ-=-
αα=???
???≥2u u P u 的拒绝域2
αu u ≥
2.14
2.526
56.27=-=
-=
-
n
x u σ
μ
因显著水平05.0=α
,则96.12.1025.02
==≤=u u u α
这时,就接受0H
2. 解: (1) σ已知,故)1,0(~0
N n
x u σμ
-=
-
αα=???
???≥2u u P u 的拒绝域2
α
u u ≥
2.310
15
32.50
=-=
-=
-
n
x u σμ
因显著水平01.0=α,则
576.22.3005.02
==≥=u u u α 故此时拒绝0H :5=u
(2) 检验8.4=u
时犯第二类错误的概率β
-
+-???? ??--?-=
x d e
n
n
n
n
x 0
2
2
20
2
20
21
σμμσ
μμσμαα
σπ
β
令n
x t 0
σμ
-=
-
则上式变为
7180
.0171990.09999979.01)58.0()58.4()58.0()58.4(212158
.458
.02
2
22
1
02
1
02
≈-+=-Φ+Φ=-Φ-Φ==
=
?
?--
+----
dt
e
dt e
t u n
u n
t π
π
βα
α
σμμσμ
μ
3. 解:假设25.3:,25.3:10
≠=μμH H
用t 检验法拒绝域
)1(2
*
-≥-=
-
n t n
s x T αμ
01.0=α, 252.3=-
x 查表6041.4)14(0112.0=t 0130.0,00017.02*==s s 代入计算
)14(344.00112.0t T <=
故接受0H ,认为矿砂的镍含量为25.3
4解:改变加工工艺后电器元件的电阻构成一个母体, 则在此母体上作假设64.2:0
=μH ,用大子样检验
)1,0(~0
N n
s
x u μ-=
-
拒绝域为2
αu u ≥ 由01.0,06.0,62.2,200====-
αs x n
查表得575.22=α
u
2
575.233.310
06.002
.0αμu n
s
x u =>==-=
-
故新加工工艺对元件电阻有显著影响.
5 .解：用大子样作检验，假设
00:μμ=H
)1,0(~0N n
s x u 近似
μ-=
-
拒绝域为2
αu u >由
96
.1,05.0,162.0,994.0,973.0,200025.00======-
u s x n αμ
96.1833.1200162.0021
.00<≈=--
n s x μ
故接收0H ，认为新工艺与旧工艺无显著差异。 6.解:由题意知，母体X 的分布为二点分布),1(p B ，
作假设)17.0(:000
==p p p H 此时)(个产品中废品数为n m n
m
x =-
因400=n
很大，故由中心极限定理知-
x 近似服从正态分布。
故)1,0(~)
1(000N n p p p n m u --=
即α
α≈≥--})1({2
000u n
p p p n
m P
计算得拒绝域为n
p p u p n m
)
1(002
0-≥-α 把17
.0,96.1,400,560025.02
=====p u u n m
α
代入
037.00188.096.103.017.014.00=?<=-=-p n
m
即接受0H ，认为新工艺不显著影响产品质量。 7解：金属棒长度服从正态分布原假设5.10:00
==μμH ，
备择假设01:μμ≠H )1(~--=
-
n t n
s
x t μ
拒绝域为2
αt t ≥
48.10)7.106.104.10(15
1
=+++=
-
Λx 样本均方差
237.0)48.107.10()48.104.10(14
122=-++-=Λs
于是327.015
237
.002
.00
==-=
-
n
s
x t
μ
而144.2)
14(025.0=t 因144.2327.0<
故接受0H ，认为该机工作正常。 8．解：原假设12100
:00
==μμH ，
备择假设01
:μμ≠H )1(~0
--=
-
n t n
s
x μτ， 拒绝域为
2
αt T ≥ 将05.0,323,11958===-
αs x
代入计算
068.2)13(153.224
323
142
025.00=≥==--
t n
s
x μ
故拒绝原假设即认为期望。 9． 假设8
.20:,8.20:010
=>==μμμμH H
使用新安眠药睡眠平均时间
2.24)4.230.227.26(7
1
=+++=
-
Λx 296
.2]
)2.244.23()2.247.26[(61
2222==-++-=s s s Λ 046.47
296
.24
.30==-=
-
n
s
x t μ所以拒绝域为
)1(05.0->n t t
查表t t =<=046.4943.1)
6(05.0 故否定0H
又因为38.202.24+>=-
x 故认为新安眠药已达到新疗效。 10． 原假设乙
甲乙甲，μμμμ≠=::10
H H
)1,0(N u ~2
22
121
近似
乙甲n s n s x x +-=
-
-解得拒绝域2
u u α≥
100n ,140n 00.105s ,41.120s 2680
x ,2805x 212121======-
-代入计算 03.8100
105
11041.120125n s n s x x 2
2
2
22
121
21=+=
+--
-
查表96.1u u 025.02==α
因96.103.8>
故拒绝原假设即两种枪弹速度有显著差异。 11．解：因两种作物产量分别服从正态分布且22
21
σ
σ=
假设211210
:,:μμμμ≠=H H
故统计量)2(~11212
1-++-=-
-n n t n n S Y X T w
其中2
)1()1(212221-+-+-=
n n s
n s n S y
x
w
拒绝域为2
α
t T
≥
代入计算063.24=w s 2878)18()2(005.0212
==-+t n n t α
代
入
数
值
T
的
观
测
植
为
85.0756.1018
.910
1
101063.2479
.2197.30≈=+
?-=t
因为
)18(878.285.0005.0t t =<=
所以接受0H ，认为两个品种作物产量没有显著差异。
12．解：因两台机床加工产品直径服从正态分布且母体方差相等， 由题意假设211210
:,:μμμμ≠=H H 统计量)2(~11212
121-++-=
-
-n n t n n S X X T w
2
)1()1(212
2
2211-+-+-=
n n s n s n S w 拒绝域为
2
αt T ≥
数值代入计算5473
.0=w
s
265
.05175
.05437.0925
.19203966
.0,2164.020
)2.197.19(7
1
925
.19)9.195.20(81
2
22121≈?-=
===++==++=--
t s s x x ΛΛ
因
)13(160.2265.0025.0t t =<=
故接受假设0H ，认为直径无显著差异。
13．解：由题意设施肥，未施肥植物中长势良好率分别为
2
,1p p （均未知）则总体),1(~),,1(~21p B Y p B X 且两样本独立
假设211210
,:p p H p p H >==
既)
()(:).()(:10y E x E H y E x E H >=
而)(),(y D x D 均未知，则)1,0(~2
22
121
N n s n s y x u
+-=
-
-
由题意易得
2491
.0)1(53.0100
53
,1001137.0)1(87.0900783
,90022
221
1=-===
==-=≈=
=--
-
-
-
-
y y s y n x x s x n
于是
6466.60511
.034
.0100
2491
.09001137.053.087.02
2
2
121==
+-=
+--
-
n s n s y
x
查表6466
.633.201
.0<=u
故应拒绝0H ，接受1H 即认为施肥的效果是显著的。 14．（1）解：假设两厂生产蓄电池容量服从正态分布。 由于21,σσ未知，故假设2
11210
:,:μμμμ≠=H H
选取统计量)2(~11212
121-++-=
-
-n n t n n S X X T
w
2
)1()1(212
2
2211-+-+-=
n n s n s n S w
拒绝域为
2
αt T ≥
)
18(1009.201.140,1.140025.021t T x x =<===-
-
故接受210:μμ=H ，即认为两种电池性能无显著差异
（2）检验要先假设其服从正态分布且222
1σσ=
15．解：由题意假设048
.0:,048.0:100
≠==σσσH H
由于μ未知。故)
1()1(22
2
2
-=-=
n s n χσ
χ
拒绝域为22
12
2
22
α
αχ
χχχ
-≤≥或
00778
.05
,048.020===s n σ
得2
χ的观测值5
.130482.000778
.042
≈?=
χ
查表得14.11)4()1(2
025.022
==-χχαn
因为)
4(14.115.13025.02
χχ
≥>=
故拒绝0H ，认为母体标准差不正常。 16．解：由题意熔化时间服从)400,(μN
假设400:,400:2
120
≠=σσH H
)
1(~)1(22
2
2
--=
n s n χσ
χ
拒绝域为22
1222
2
α
αχχχχ
-≤≥或
400,77.404,2522===σs n
代入计算
29.24)1(2
2
=-σs n
查表56.45)24()1(2
005.022
==-χχαn
89
.9)24()1(2995.022
1==--χχαn
因为56.4529.2489.9<< 故接受0H ，即认为无显著差异。
17.证明：大子样在正态母体上作的假设
)
1(~)1(:2
2
2
2
2
20--=
=n s n H χσ
χσσ
因1-n 很大，故由2
χ分布的性质3知
)1(2-n χ分布近似于正态分布)]1n (2),1n [(N --
而
)1,0(N ~)
1n (2)
1n ()1n (2----χ给定显著水平α
，则
α
χα=≥----}u )
1n (2)
1n ()1n ({
P 2
2
即可计算
2
2
2
2)1(2)1()1()1(2)1()1(α
α
χχu n n n u n n n -+-≥----≤-或
拒绝假设0H 相反：
2
22
)1(2)1()1(2)1(α
αχu n n u n n -+-<<---若
则接受0H ，即证。 18解：（1）2
σ
未知假设0
100:%,5.0:μμμμ≠==H H
则)1(~0--=-
n t n
s
x T
μ 拒绝域为α
t T
≥
05
.0,162.310%,037.0%,5.0%,452.00======-
αμn s x
查表262
.2)
9(025.0=t
因为
)9(262.210.4162
.3%
037.0%
048.0025.00t n
s
x =>==--
μ
故拒绝假设0H ，即认为0μμ
≠
（2）μ未知假设2
212020
:%,04.0:σσσσ≠==H H
)1(~)1(22
2
2
--=
n s n χσχ
拒绝域为22
1222
2
α
αχχχχ
-≤≥或
025.0,10,%04.0,%037.022
022====ασn s
查表
7
.2)9(02.19)9(2
0975
.02025.0==χ
χ
70.7%
04.0%037.09)1(2
220
2
2
=?=-=
σχs n 故)9()9(2
025.022
975.0χχχ<<故接受%04.0:0=σH
19．解：甲品种),(~211σμN X 乙品种),(~2
22σμN Y
假设2
221122210
:,:σσσσ≠=H H 而均值未知，则
10
,1.2126.7,10)
1,1(~2122========--=
小大小大小大小
大，n n s s s s n n n n F s
s F y x
代入计算601.11.217
.2622
==
F
查表54.6)9,9()1,1(005.02
==--F n n F
小大α
而)
9,9(54.6601.1005.0F F
=<=
故接受0H ，认为产量方差无显著差异。 20．解：甲机床加工产量~
)
,(211σμN 乙机床加工产量
~),(2
22σμN
假设2
221122210
:,:σσσσ≠=H H 21,μμ未知，
则)1,1(~22
--=
小大小
大n n F s s F
2
22221213966.0,2164.012,7,8大小题计算知由s s s s n n ======故87
12====n n n n 小大 代入计算833.12164
.03966
.0==F 查表
)
7,6(12.5833.112
.5)7,6()11(025.0025.02
F F F n n F =<===--小大，α
故接受0H ，认为两台机床加工精度无显著差异。 21．解：
B A ,测定值母体都为正态分布
)(~:),,(~:2
2,2211σμσμN Y B N X A
假设2
2
21122210
:,:σσσσ≠=H H 21,μμ未知， 则)1,1(~22--=
小大小
大
n n F s
s F
2
22221215006.0,4322.0,7,5大
小s s s s n n ====== 故
5
712====n n n n 小大 158.14342
.06
500.0==
F
查表
)
4,6(20.9158.19.20
)4,6()11(025.0025.02
F F F n n F =<===--小大，α
故接受0H ，认为方差无显著差异。
22． 解：由题意（1）检验假设2
221122210:,:σσσσ≠=H H
由于2
22121,,,σσμμ未知，则)1,1(~212
2
2
1--=n n F s s F
又05.0=α，可查表得相应的拒绝域为
15.7)5,5()1,1(025.0212
==--≥F n n F F α
由样本计算0000071.0,0000078666.01385
.0)140.0135.0(6
1
1407.0)137.0140.0(61
2
221===++==++=
--
s s y x ΛΛ
由此可得1079.122
2
1==s s F
由于15.71079.114.0<=<
F 故接受22
210:σσ=H （2）检验假设2
11210:,:μμμμ≠=H H
由（1）可知2
22
1
σσ=且未知，故
)2(~1
1212
121-++-=
-
-
n n t n n S X X T w
6,2
)1()1(21212
2
2211==-+-+-=
n n n n s n s n S w
又可计算0027355
.0=w
s ，
代入得2716
.13
1
0027355.01385.01407.0=?
-=
T
又由,05.0=α，查表228.2)10(025.0=t
因
228.2)10(2716.1025.0=<=t T 故接受0H ，
即认为这两批电子元件的电阻值的均值是相同的。
23．解：（1）检验假设0100:,:μμμμ<=H H 由5题，用统计量)
1,0(~0N n
s
x u μ-=-
αα=-≤}{u u P 拒绝域为α
u u ≤
由645.1,05.0,162.0,994.0,973.0,2000======-
ααu s x u n
代入计算645
.1833.1-=->=αu u
故接受0H ，认为方差无显著降低。 （2）假设0
100
:,:p p H p p H <=
由6题知)1,0(~)
1(000N n
p p p n m u --=
α
α=-≤}{u u P 拒绝域为α
u u
<
把17.0,645.1,400,56005.0=====p u u n m
α
代入α
u u
-=-≥-=645.1596.1
即接受0H ，即产品质量显著提高。 （2）假设乙
甲乙甲，μμμμ>≤::10
H H
由10题知)1,0(N ~u 2
22
121
n s n s x x +-=
-
-乙甲
解得拒绝域αu ≥u
当
110,00.105,41.120,100,26802805,1212======-
-
n s s n x x 乙甲
代入计算05.0645.103.8u u u
==>=α
即拒绝0H ，接受1H ，认为甲枪弹的速度比乙枪弹速度显著得大。
（4）假设
400,400:12
0>≤H H σ)1(~)1(220
2
2
--=
n s n χσ
χ
400
,77.404,252
02===σs n
代入)24(98.4229.242
01.02
χχ
=<=
即接受0H ，认为符合要求。
24．解：由题意假设2
2
21122210::σσσσ>≤H H ，21μμ，未知，
故用统计量)1,1(~212
2
21--=n n F s s F 解得拒绝域αF F ≥ 把0.245
,6,90.3572*2212*2
1
======甲乙乙，s s n n s s
代入计算
)5,8(82.4457.1245
.0357
.005.0F F =<==
故接受0H ，即认为乙机床零件长度方差不超过甲机床，或认为
甲机床精度不比乙高。
25． 解：假设0H ，各锭子的断头数服从泊松分布
即)2,1,0(!
}{Λ==
=-i e i i x P i
λλ
其中λ未知，而λ的极大似然估计为
66
.01^
!
66.066
.0440
292
1-=-
=
====∑e i p im n x i
i n i i λ
由此可用泊送分布算得
i p 及有关值，如下表
由分组数1,5==r l 故自由度数21=--=r l k
由05.0=α
查表知82.7)2()2(205.02==χχα
由于∑=>=-=4
2
2
82.7095.45)(i i i i np np m χ
故拒绝0H ，即认为总体不服从泊松分布。
26. 解：假设四面体均匀，记则抛次时白色与地面接触的概率为
4
1
=
p ，k x =，表示1-k 次抛掷时，白色的一面都未与地面接触，第k 次抛掷时才与地面相接触，则相当于
)2,1(4
1
43)1(}{:1
10Λ=?
?
?
??=-==--k p p k x P H k k 则
256
81
25627163411}5{25627
4143}4{649
4143}3{16
34143}2{,41}1{3
2
=
---===
???? ??===
???? ??===?===
=x P x P x P x P x P
将以上数据代入下式，则 216.18)(5
1
2
2
=-=∑-i i i i np np f χ
对于05.0=α，自由度41=-=l n
查表22
05.0216.18488.9)
4(χχ=<=
所以拒绝0H ，即认为四面体是不均匀的。 27． 解：假设0H 螺栓口径X
具有正态分布
即
),,(~2σμN X 首先用极大似然估计法求出参数2
σμ与的估计值，i x 为各小区间中点
∑∑=-=-===n i i n i i x x n x n u 1^2
1^
)(1,111σ
下面计算x 落在各小区间上的概率
0594
.09406.01)5625.1(1}05.11{1142.08264.09460.0)9375.0()5625.1(}05.1103.11{2047.06217.08264.0)3125.0()9375.0(}03.1101.11{2434
.03783.06217.0)3125.0()3125.0()
032
.011
99.10()032.01101.11(}01.1199.10{2047
.01736.03783.0)9375.0()3125.0()
032
.011
97.10()032.01199.10(}99.1097.10{1142
.00594.01736.0)5625.1()9375.0()
032
.011
95.10()032.01197.10(}97.1095.10{0594
.0)5625.1()()032.0)
1195.10(}95.10{7654321=-=Φ-=+∞<<==-=Φ-Φ=<<==-=Φ-Φ=<<===-=-Φ-Φ=-Φ--Φ=<<==-=-Φ--Φ=-Φ--Φ=<<==-=-Φ--Φ=-Φ--Φ=<<==-Φ=-∞Φ--Φ=<<-∞=x P p x P p x P p x P p x P p x P p x P p 计算2χ的观测值列表如下：
计算得统计量的观测值为9532.102
=χ
2χ的自由度4127=--=n
05.0=α查表9532
.1049.9)4(205.0<=χ
故拒绝0H ，认为其不服从正态分布。 28． 解：由题意，取80.3,20.2==b a ，组距为, 得其分布
密度估计表
第五章作业题解 5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪 夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率. 解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得 )2100|7300(|)94005200(<-=< ） 数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体σσμ),,(~2 N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为 n X σ μ - 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u ?± ; 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 0H ：05.0≤p 6、某地区的年降雨量),(~2 σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 σ的矩估计值为 。 ~ 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~22 2221χχχχ，则__________,==b a 。 用 )1(~)1(22 2 *--n S n χσ，1,5-==b a 8、假设随机变量)(~n t X ，则 21 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 =≤λX P ，则____=λ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F =λ 10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ， X 为子样均值，而 01.0)(=>λX P ， 则____=λ 01.04)1,0(~1z N n X =?λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ，令∑∑==-=16 11 10 1 43i i i i X X Y ，则Y 的 分布 )170,10(2 σμN % 12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2 S 分别是子样均值和子 样方差，令2*2 10S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。)9,1(01.0F =λ 13、如果,?1θ2?θ都是母体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则满足 。 )?()?(2 1θθD D < 14、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2σμN ，∑-=+-=1 1 2 12 )(?n i i i X X C σ 是2σ的一个无偏估计量，则_______=C 。 ) 1(21 -n 15、假设子样921,,,X X X 来自正态母体)81.0,(μN ，测得子样均值5=x ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。025.03 9 .05u ?± 16、假设子样10021,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ，μ与2 σ未知，测得子样均值 5=x ，子样方差12=s ，则μ的置信度是95.0的置信区间为 。 025.0025.0025.0)99(),99(10 1 5z t t ≈?± 17、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2 σμN ， μ与2σ未知，计算得 100 11 ==∑ =n i i x n x 34 11222 =-=∑ =n i i x x n s 第一章 1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。 解： 2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布 求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。 解： 411 *==∑=l i i i x m n x 67.181122*2 =-=∑=l i i i x x m n s 32.467.18==s 3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值n x x x ,,,21?的平均数为x 和方差 为2x ε。作变换c a x y i i -= ，得到n y y y ,,,21?，它的平均数为y 和方差为2 y s 。试证：222 ,y x s c s y c a x =+=。 解：由变换c a x y i i -= ，即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x n i i n i i +=+=∑∑==,1 1 y c a x +=∴ 而()() () ∑∑∑====-= --+=-=n i y i n i i n i i x s c y y n c y c a cy a n x x n s 1 222 2 1212211 4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸2）： 1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909， 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。先作变换2000-=i i x y ，再计算y 与2y s ，然 后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。 解：作变换2000-=i i x y ，2000=a 44.24021649 1 11=?==∑=n i i y n y 444.2240=+=y a x 247.1970321122 22=-==∑=n i i y x y y n s s 5.在冰的溶解热研究中，测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到热量数据如下： 79.98， 80.04， 80.02, 80.04, 80.03, 80.03, 80.04， 79.97， 80.05， 80.03， 80.02， 80.00， 80.02 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。 解：作变换()80100-=i i x y ，1001,80==c a 229131 11=?==∑=n i i y n y 02.80100280=+=+=y c a x 41 2 2 2222103.5-=?=-= =∑n i i y x y y n c s c s 6.容量为10的子样频数分布为 试用变换()2710-=i i x y 作简化计算，求x 与2 x s 的数值。 解：作变换()2710-=i i x y ，10/1,27==c a ()5.11510 1 11*-=-?==∑=l i i i y m n y 习题五 1 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，因素A 表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为5. 假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= . 检验的问题：01251:,:i H H μμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.1 单因素方差分析表 ‘*’ . 查表0.95(4,15) 3.06F =，因为0.953.9496(4,15)F F =>，或p = 0.02199<0.05， 所以拒绝0H ，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异. 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异？（=0.05） 解 根据问题，设因素A 表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为4 . 假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中 样本容量不等，i n 分别取值为6，5，3，4 . 检验的问题：012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 . 计算结果： 表5.2 单因素方差分析表 查表0.95(3,14) 3.34F =，因为0.952.4264(3,14)F F =<，或p = 0.1089 > 0.05， 所以接受0H ，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 . 3 试验某种钢的冲击值（kg ×m/cm2），影响该指标的因素有两个，一是含铜量A ， 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（=0.05） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用. 设因素,A B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2 ~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j = .记i α?为对应于i A 的主效应；记j β?为对应于j B 的主效应； 检验的问题：（1）10:i H α?全部等于零，11 :i H α?不全等于零； （2）20:j H β?全部等于零，21:j H β?不全等于零； 计算结果： 表5.3 双因素无重复试验的方差分析表 查表0.95(2,6) 5.143F =，0.95(3,6) 4.757F =，显然计算值,A B F F 分别大于查表值， 或p = 0.0005，0.0009 均显著小于0.05，所以拒绝1020,H H ，认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用. 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量： 100 11 ==∑=n i i x n x 34 1122 2 =-=∑=n i i x x n s 第一章 1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平 均数和子样方差。 解： 2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布 求子样平 均数与子样方 差，并求子样标准差。 解： 411 *==∑=l i i i x m n x 67.181122*2 =-=∑=l i i i x x m n s 32.467.18==s 3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值n x x x ,,,21?的平均数为x 和方差 为2x ε。作变换c a x y i i -= ，得到n y y y ,,,21?，它的平均数为y 和方差为2 y s 。试证：222 ,y x s c s y c a x =+=。 解：由变换c a x y i i -= ，即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x n i i n i i +=+=∑∑==,1 1 y c a x +=∴ 而()() () ∑∑∑====-= --+=-=n i y i n i i n i i x s c y y n c y c a cy a n x x n s 1 222 2 1212211 4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸 2 ）： 1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909， 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。先作变换2000-=i i x y ，再计算y 与2y s ，然 后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。 解：作变换2000-=i i x y ，2000=a 44.24021649 1 11=?==∑=n i i y n y 444.2240=+=y a x 247.1970321122 22=-==∑=n i i y x y y n s s 5.在冰的溶解热研究中，测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到热量数据如下： ， ， , , , , ， ， ， ， ， ， 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。 解：作变换()80100-=i i x y ，1001,80==c a 229131 11=?==∑=n i i y n y 02.80100280=+=+=y c a x 41 2 2 2222103.5-=?=-= =∑n i i y x y y n c s c s 数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体 ),,(~2 N X 已知，则在求均值 的区间估计时，使用的随机变量为 n X 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。 0H ：05.0 p 6、某地区的年降雨量),(~2 N X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 的矩估计值为 。 1430.8 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~22 2221 ，则__________, b a 。 用 )1(~)1(22 2 * n S n ，1,5 b a 8、假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ，则____ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F 数理统计汪荣鑫版习题答案 数理统计习题答案 第一章 1.解： () () ()()()()()122 5 2 1122222 19294103105106100 5 11100519210094100103100105100106100534 n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-?? =-+-+-+-+-? ?=∑∑∑ 2. 解：子样平均数 * 1 1l i i i X m x n ==∑ ()1 18340610262604= ?+?+?+?= 子样方差 ( )2 2 *1 1l i i i S m x x n ==-∑ ()()()()2222 18144034106422646018.67?? = ?-+?-+?-+?-? ?= 子样标准差 4.32 S = 3. 解：因为 i i x a y c -= 所以 i i x a cy =+ 1 1n i i x x n ==∑ ()1 111n i i n i i a cy n na cy n ===+??=+ ??? ∑∑ 1 n i i c a y n a c y ==+ =+∑ 所以 x a c y =+ 成 立 ( )2 2 1 1n x i i s x x n ==-∑ () ( ) () 2 2 12 21 11n i i i n i i n i i a cy a c y n cy c y n c y y n ====+--=-=-∑∑∑ 因为 ()2 2 1 1n y i i s y y n ==-∑ 所以 222x y s c s = 成 立 ()()()()()17218120 3.2147.211.2 e n n e n M X X R X X M X X +?? ??? ??+ ??? ====-=--====4. 解：变换 2000 i i y x =- 1 1n i i y y n ==∑()61303103042420909185203109240.444 =--++++-++= ( )2 2 1 1n y i i s y y n ==-∑ ()()()()()()()()()222 2 2 2 222 161240.444303240.4441030240.4449 424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247 =--+--+-+??-+-+-+ ?--+-+-? = 利用3题的结果可知 2220002240.444 197032.247 x y x y s s =+=== 5. 解：变换 () 10080i i y x =- 13 11 1113n i i i i y y y n ====∑∑ []1 2424334353202132.00= -++++++-+++++= 第一章:统计量及其分布 19.设母体ξ服从正态分布N (),,2 σμξ 和2 n S 分别为子样均值和子样方差,又设 ()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量 1 1 1+--+n n S n n ξ ξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从??? ??+21, 0σn n N 分布. 所以 ()1,0~12 1N n n n σξ ξ+-+ 而 ()1~22 2 -n nS n χσ 且2 n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以 ()1~1111--÷+--+n t S n n n n S n n n σ ξ ξ分布. 即 1 1 1+--+n n S n n ε ε服从()1-n t 分布. 20. (),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布 N () ρσσ μμ2 2212 1 ,,,的子样,设 ()∑∑∑===-===n i i i n i n i i n S n n 12 111, 1,1ξξηηξξξ 2 ,()2 1 21∑=-=n i i n S ηηη和 ()() () ()∑∑∑===----= n i i n i i i n i i r 1 2 21 1 ηηξξ ηηξξ 试求统计量 () 122 2 21--+---n S rS S S η ξηξμμηξ的分布. 解: 由于() .21μμηξ-=-E ()() = -+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D n n n n 2 12 22 12σσρ σσ-+ . 所以 ()() n 2 12 22 121 2σρσσσμμ ηξ-+---服从()1,0N 分布 . () ()()()() ()()[] 2 1 1 2 1 2 1 212 22 122ηξηξ ηηξξηηξξ---=----+-=-+∑ ∑∑∑====i i n i i i n i i n i i n i S rS S S n ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示 下列事件： 数理统计试题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 2015-2016学年第1学期《数理统计学》考试试题 1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。 2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。 3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。 选择题答案表 一、单项选择题（每题2分，共20分，选出最为恰当的一项）。 1. 设总体),(~211σμN X ，),(~2 2 2σμN Y 相互独立，样本量分别为1n ，2n ，样本方差分别为21S ，22S ，检验2221122210::σσσσn n F S S α D. )1,1(21222 2 1-->n n F S S α 2. 假设?θ 是θ的一个点估计，那么以下说法中错误的是（ ）。 A.如?()E θ θ=，则?θ是θ的无偏估计 B.如?θ 是θ的无偏估计，则?()g θ是()g θ的无偏估计 C.如?θ 是θ的极大似然估计，()g θ有单值反函数，则?()g θ是()g θ的极大似然估计 D.?θ 的均方误差定义为2??()()MSE E θθθ=- 3. 设n X X X ,,,21 为来自正态分布),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本均值， ∑=-=n i i n X X n S 1 22)(1，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。 第一学期成人本科 数理统计学试题 一、选择题（每题1分，共30分） 1、样本是总体中：（D） A、任意一部分 B、典型部分 C、有意义的部分 D、有代表性的部分 E、有价值的部分 2、参数是指：（C） A、参与个体数 B、研究个体数 C、总体的统计指标 D、样本的总和 E、样本的统计指标 3、抽样的目的是：（E） A、研究样本统计量 B、研究总体统计量 C、研究典型案例 D、研究误差 E、样本推断总体参数 4、脉搏数(次/分)是:（B） A、观察单位 B、数值变量 C、名义变量D.等级变量E.研究个体 5、疗效是:（D） A、观察单位 B、数值变量 C、名义变量 D、等级变量 E、研究个体 6、抽签的方法属于（D） A、分层抽样 B、系统抽样 C、整群抽样 D、单纯随机抽样 E、二级抽样 7、统计工作的步骤正确的是（C） A、收集资料、设计、整理资料、分析资料 B、收集资料、整理资料、设计、统计推断 C、设计、收集资料、整理资料、分析资料 D、收集资料、整理资料、核对、分析资料 E、搜集资料、整理资料、分析资料、进行推断 8、实验设计中要求严格遵守四个基本原则，其目的是为了：（D） A、便于统计处理 B、严格控制随机误差的影响 C、便于进行试验 D、减少和抵消非实验因素的干扰 E、以上都不对 9、对照组不给予任何处理，属（E） A、相互对照 B、标准对照 C、实验对照 D、自身对照 E、空白对照 10、统计学常将P≤0.05或P≤0.01的事件称（D） A、必然事件 B、不可能事件 C、随机事件 D、小概率事件 E、偶然事件 11、医学统计的研究内容是（E） A、研究样本 B、研究个体 C、研究变量之间的相关关系 D、研究总体 E、研究资料或信息的收集.整理和分析 12、统计中所说的总体是指：（A） A、根据研究目的确定的同质的研究对象的全体 B、随意想象的研究对象的全体 C、根据地区划分的研究对象的全体 D、根据时间划分的研究对象的全体 E、根据人群划分的研究对象的全体 13、概率P=0，则表示（B） A、某事件必然发生 B、某事件必然不发生 C、某事件发生的可能性很小 D、某事件发生的可能性很大 E、以上均不对 14、总体应该由（D） A、研究对象组成 B、研究变量组成 C、研究目的而定 D、同质个体组成 E、个体组成 15、在统计学中，参数的含义是（D） P168 2解：假设0 1234:H μμμμ=== 112 34:H μμμμ不全为零 1234454562024.52r n n n n n X ======= 经计算可得下列反差分析表： 查表得0.05(3,16) 3.24F = 0.0517.8837 0.4745(3,16)37.6887 F F = =< 故接受0H 即可认为四个干电池寿命无显着差异 3 解：假设0 123:H μμμ== 1123:H μμμ不全相等 12336140.9278r n n n X ===== 经计算可得下列方差分析表： 0.050.05(2,15) 3.68 4.373 3.68(2,15) F F F ==>= ∴拒绝0H 故可认为该地区三所小学五年级男生平均身高有显着差异。 4 解： 假设01234:H μμμμ=== 11234:H μμμμ不全相等 123445100.535r n n n n X ====== 0.05(3,16) 3.24F = 0.05(3,16) 3.24F F >= ∴拒绝0H 故可认为这几支伏特计之间有显着差异。 5 解：假设012345:H μμμμμ==== 112345:H μμμμμ不全相等 60 1234553 89.6r n n n n n X ======= 0.050.05(4,10) 3.4815.18(4,10)F F F ==> ∴拒绝0H 故可认为温度对得率有显着影响 2 151515 11(,( ))X X N n n μμσ--+ 由T 检验法知： ()T t n r = - 给定的置信概率为10.95α-= 0.025{()}0.95P T t n r <-= 故15μμ-的置信概率为的置信区间为 150.025150.025((,()E E X X t n r X X t n r ----+- 2.236E S = == 0.025(10) 2.2281t = 由上面的数据代入计算可得： 150.025150.0259084 2.2281 2.236 1.932210.0678E E X X t X X t --=--?=-+= 故15μμ-的置信区间为（ , ） 2 343434 11(,( ))X X N n n μμσ--+ 由T 检验法知： ()X X T t n r = - 34μμ-的置信区间为： 340.025340.025((,()E E X X t n r X X t n r ----+- 同步练习参考答案 练习 1-1 1. （1）是；（2）是；（3）是. 练习1-2 1. （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =, 其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =， 246{,,}A e e e =; （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =; （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}; {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =; （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------. （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===. 2. （1）ABC ; （2）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ； （3）A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ； （4）ABC ABC ABC ；（5）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC . 3. （1）123A A A ；（2）1 23A A A ；（3）123123123A A A A A A A A A ； （4）121323A A A A A A . 4.(C) 5. 甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 一、第六章习题详解 6.1 证明（6.2.1）和(6.2.2)式. 证明： (1) ∑∑∑===+=+==n i i n i i n i i nb X a n b aX n Y n Y 1 11)(1 )(11 b X a b X n a n i i +=+=∑=1 )1( (2) ∑∑==+-+=--=n i i n i i Y b X a b aX n Y Y n S 1 212 2 )]()[(1)(11 221 2212)(1)]([1X n i i n i i S a X X n a X X a n =-=-=∑∑== 6.2设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本, X 与2S 分别为该样本均值。 证明与2 (),()/E X Var X n μσ==. 证：()E X =12121 1 1 [()]()()n n E X X X E X X X n n n n μμ++ = ++== ()Var X =22 1212221 1 1[()]()()n n Var X X X E X X X n n n n n σσ++ =++ == 6.3 设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2 σ的总体的样本,2 21 1()1n i i S X X n ==--∑, 证明: (1) 2 S =)(11 21 2X n X n n i i --= ∑= (2) 2()E S =2σ= 证：(1) ∑∑==+--=--=n i i i n i i X X X X n X X n S 1 2212 2 )2(11)(11 ]2)([112112X n X X X n n i i n i i +--=∑∑== ])(2)([11212X n X n X X n n i i +--=∑= )(1121 2X n X n n i i --=∑= 习 题 三 1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量( )2 4.55,0.108 X N .现在测试了5炉铁水，其含 碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？ 解 由题意知，()2 4.55,0.108X N ，5n =，5 1 1 4.3645i i x x ===∑，0.05α=， ()52 2 01 10.095265i i s x μ==-=∑. 1)当00.108σ=已知时， ①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.97512 1.96u u α - ==，临界值12 0.108 1.960.09475 c u n ασ - = = ?=， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->. ③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化. 2)当0 4.55μ=已知时， ①设统计假设2 2 2 2 2 2 0010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值 ()()()()222210.02520.975122 111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-= =====， 拒绝域为2 2 2 2 0212 2 2 2 0000{ }{ 2.56660.1662}s s s s K c c σσσσ=><=><或 或 . ③ 2 02 2 00.09526 8.16700.108 s K σ= =∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化. 2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.已知该种元件寿命( )2 ,100 X N μ ，问这批元件是否合格()0.05α=？ 湖北中医药大学期末考试 《数理统计学》试卷 一、选择题（每题1分，共30分） 1、样本是总体中：（） A、任意一部分 B、典型部分 C、有意义的部分 D、有代表性的部分 E、有价值的部分 2、参数是指：（） A、参与个体数 B、研究个体数 C、总体的统计指标 D、样本的总和 E、样本的统计指标 3、抽样的目的是：（） A、研究样本统计量 B、研究总体统计量 C、研究典型案例 D、研究误差 E、样本推断总体参数 4、脉搏数(次/分)是:（） A、观察单位 B、数值变量 C、名义变量D.等级变量E.研究个体 5、疗效是:（） A、观察单位 B、数值变量 C、名义变量 D、等级变量 E、研究个体 6、抽签的方法属于（） A、分层抽样 B、系统抽样 C、整群抽样 D、单纯随机抽样 E、二级抽样 7、统计工作的步骤正确的是（） A、收集资料、设计、整理资料、分析资料 B、收集资料、整理资料、设计、统计推断 C、设计、收集资料、整理资料、分析资料 D、收集资料、整理资料、核对、分析资料 E、搜集资料、整理资料、分析资料、进行推断 8、实验设计中要求严格遵守四个基本原则，其目的是为了：（） A、便于统计处理 B、严格控制随机误差的影响 C、便于进行试验 D、减少和抵消非实验因素的干扰 E、以上都不对 9、对照组不给予任何处理，属（） A、相互对照 B、标准对照 C、实验对照 D、自身对照 E、空白对照 10、统计学常将P≤0.05或P≤0.01的事件称（） A、必然事件 B、不可能事件 C、随机事件 D、小概率事件 E、偶然事件 11、医学统计的研究内容是（） A、研究样本 B、研究个体 C、研究变量之间的相关关系 D、研究总体 E、研究资料或信息的收集.整理和分析 北京建筑工程学院 《应用数理统计》课程教学大纲 （最新修改版） 课程名称：应用数理统计 英文名称：Application of Mathematical Statistics 课程编号： 11121002 开课单位：基础部数学教研室 撰写人：吕亚芹 开课学期： 2 总学时：32学时 学分：2学分 课程类别：学位课 考核类别：考试 考核方式：开卷或闭卷；平时成绩占30%，考试成绩占70%。 预修课程：概率论，线性代数, 高等数学 适用专业：管理、工科（土木、城建、测绘等）类各专业 一、教学目标 近年来，数理统计在自然科学，工程技术和社会经济等领域的应用了日趋深广，让数据说话的实证分析已成趋势，使统计越来越引起人们的重视。数理统计以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象统计规律性的学科。本课程的目的是让学生了解统计推断检验等方法并能够应用这些方法对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。掌握总体参数的点估计和区间估计，掌握假设检验的基本方法与技巧，理解方差分析及回归分析的原理，并能运用其方法和技巧进行统计推断。 二、教学要求 本课程属于数学基础课程，含有较多的数学推导和证明及很多统计思想。通过本课程的学习，使学生掌握数理统计基本知识，着重培养学生用数理统计方法和统计软件解决实际问题的能力。 具体教学要求如下： 1．理解简单随机样本的含义；熟练掌握一些常见的统计量及其分布。 2．掌握参数的矩估计和最大似然估计方法；掌握评价估计量的好坏准则；掌握正态总体参数的区间估计方法。 3．了解显著性检验的基本思想；熟练掌握一个正态总体的参数的显著性检验方法；．掌握两个正态总体的参数的显著性检验方法。 4．了解回归分析的基本思想；掌握一元线性回归分析的基本方法。 5．了解方差分析的基本思想；掌握单因素方差分析的基本方法。 6. 熟悉统计软件SPSS操作步骤，学会分析处理统计数据。 三、课程内容 课程的主要内容分为如下几部分： 1、总体、样本、简单随机样本；χ2-分布、t-分布、F-分布；统计量的定义及其分布。 2、估计量的求法：矩法、最大似然法；估计量的优良准则：无偏性、有效性、一致性；正态总体参数的区间估计。学会用统计软件SPSS进行区间估计。 3、假设检验的基本思想和基本概念；正态总体参数的显著性检验基本步骤。学会用统计软件SPSS进行假设检验。 4、一元线性回归分析；多元线性回归分析。学会用统计软件SPSS进行回归分析。 5、单因素方差分析；两因素方差分析。学会用统计软件SPSS进行方差分析。 四、教学时间安排 第二章作业题解: 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式. 解： 由表格知X 并且，361)12()2(= ===X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 36 5)8()6(= ===X P X P ；366)7(==X P 。 即 36 | 7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{Λ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解：根据 1)(0 ==∑∞=k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即 111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为 和 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率： (1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则 12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ======== 两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=???=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为： 2016 .06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=????=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。所以： （1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：数理统计课后答案
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