【好题】高中必修五数学上期中试卷(附答案)(4)
一、选择题
1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程
2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．2016
D ．2017
2．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810
B ．840
C ．870
D ．900
3．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49
B ．91
C ．98
D ．182
4．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ）
A ．10 km
B km
C ．
D ．
5．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7
B ．5
C ．5-
D ．7-
6．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．()3,-+∞
B ．()
-+∞
C ．[)3,-+∞
D ．)
?-+∞?
7．已知正数x 、y 满足1x y +=，则14
1x y
++的最小值为（ ） A ．2
B ．
92 C ．
143
D ．5
8．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则
c d a b
> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d
9．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9
B ．27
C ．54
D ．81
10．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15?的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆
顶部的仰角分别为60?和30°，第一排和最后一排的距离为部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）
A 33
B 53
C 73
D 83
11．已知{}n a 是等比数列，22a =，51
4
a =，则12231n n a a a a a a +++???+=（ ） A ．(
)1614
n
--
B ．(
)1612
n
--
C ．
()32
123
n -- D ．
()32
143
n -- 12．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或1
3
- B ．-3或
13
C ．3或
13
D ．-3或13
-
二、填空题
13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足
11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________
14．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点
(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，
111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --???--????=+--? ? ???????????
--?????=+- ? ???????
()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．
15．已知数列{}n a 满足11a =，11
1n n
a a +=-
+，*n N ∈，则2019a =__________． 16．若数列{}n a 通项公式是12,12
3,3
n n n n a n --?≤≤=?≥?，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞
=______. 17．定义11222n n n a a a H n
-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值1
2n n H +=,
记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．
18．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，3
sin
23
ABC ∠=
，则3AB BC +的最大值为______.
19．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有
22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．
20．数列{}n b 中，121,5b b ==且*
21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设n n b a ??
????
是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．
22．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 23．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．
（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =
,求的面积．
24．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：
（2）若5a =2b =．求ABC V 的面积．
25．已知数列{}n a 满足11
1
,221
n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ??
?
???
是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1
2n n n
b a =
g ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：
12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若
21
1
(5)log n n n c a b +=
+?，求数列{}n c 的 前n 项和.n T
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，
()()1201610081009100810092016
201620160,0,02
2
a a a a a a S +?+?∴>∴==
，
()1201720171009
2017201702
a a S a
+?=
=?<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是
2016，故选C.
2．B
解析：B 【解析】
数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为
10(3165)
8402
+= ，选B. 3．B
解析：B 【解析】
∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴
13711313(6)13791S a a d ==+=?=，故选B ．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】
因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB ?BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202??
???-
= ???
700．
所以AC ＝km ．
故选D ． 【点睛】
本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2
417
a a a =可得解.
【详解】
56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.
由等比数列性质可知
2274101478,1a a a a a a ==-==或22
7410147
1,8a a a a a a ====-
1107a a ∴+=-
故选D. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
6．D
解析：D 【解析】
由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ?
?
≥-+
???
对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ????≥-+ ????
???Q
当x 时，2x x ?
?-+ ???
取得最大值m -∴≥-，m 的取
值范围是)
?-+∞?，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与14
1x y
++相乘，利用基本不等式可
求出
141x y
++的最小值． 【详解】
1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，
则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++
=+++=++=+++…， 所以，
149
12
x y ++…， 当且仅当4111
x y y x x y +?=?+??+=?，即当23
13x y ?
=????=??
时，等号成立，
因此，141x y ++的最小值为92
， 故选B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】
A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；
B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；
C 项，虽然320,210>>>>，但是
32
21
>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得
21322a 3a a ?=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公
式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，
若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ?=+，变形可得2
1114a q 3a a q =+，即
2q 4q 30-+=，
解得q 1=或3；
又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，
则n 1
n a 3-=，则有34a 327==；
故选：B ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
如解析中图形，可在HAB ?中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ?中求出直角边
HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】
如图，由题意45,105HAB HBA ∠=?∠=?，∴30AHB ∠=?，
在HAB ?中，
sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102
sin 45sin 30HB =
??
，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=?=，
353
4623
v =
=
（米/秒）． 故选B ． 【点睛】
本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用
恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】 先求出3
1()2
n n a -=，再求出25
11()
2
n n n a a -+=，即得解.
【详解】 由题得
35211,82
a q q a ==∴=. 所以2
23211
2()()22
n n n n a a q
---==?=，
所以3
22511
11
()
()()222
n n n n n a a ---+=?=. 所以
111
4
n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++???+=18[1()]
4114
n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】
本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．C
解析：C 【解析】
很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：(
)2
31113S a q q =++=，①
且：()21322a a a +=+，即()2
11122a q a a q +=+，②
①②联立可得：113a q =??=?或1
9
13a q =???=
??
，
综上可得：公比q =3或13
. 本题选择C 选项.
二、填空题
13．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+
2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n ∈N*满足Sn+
解析：91 【解析】 【分析】
由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】
∵对于任意n ＞1，n∈N *
，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1）， ∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2， ∴a n+1﹣a n ＝2．
∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2． 则10S ＝1+9×298
22
?+?=91． 故答案为91 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题
解析：()4031,404. 【解析】 【分析】
根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】
由题意知11x =，11y =
211015555x x T T ????=++- ? ?????，211055y y T T ????
=+- ? ?????
322115555x x T T ????=++- ? ?????，322155y y T T ????
=+- ? ?????
433215555x x T T ????=++- ? ?????，433255y y T T ????
=+- ? ?????
L
11215555k k k k x x T T ---????=++- ? ?????，11255k k k k y y T T ---????
=+- ? ?????
故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --????
+++=+++++-
? ?????
L L 12121?10155k k k y y y y y y T T --????
+++=+++++- ? ?????
L L
解得155k k x k T -??
=+
???
，当2016k =时，2016201654034031x =+?=； 115k k y T -??
=+ ???
，当2016k =时，20161403404y =+=. 故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404. 【点睛】
本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.
15．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是
解析：-2 【解析】 【分析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】
根据题干表达式得到234123
1111
,2, 1.1211a a a a a a =-
=-=-=-=-=+++ 567455
1111
,2, 1.1211a a a a a a =-
=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.
16．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题
解析：
5518. 【解析】 【分析】
利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】
Q 数列{}n a 通项公式是12,12
3,3
n n n n a n --?≤≤=?≥?，前n 项和为n S ，
当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，
3
31112731115531123118183182313
n n n n S --????- ? ? ?????????=++
=+-=- ? ?
????
-，
5531lim 55
18218l m 3i n n n n S →∞→∞????-=?? ???????
=. 故答案为：55
18
. 【点睛】
本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题.
17．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据
解析：712
[,]35
【解析】 【分析】
因为1112222n n n b b b n -+++?+=?,2121()2212n n
n b b b n --++?+=-?,从而求出
2(1)n b n =+,可得数列
{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任
意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】
Q 1
112222n n n n b b b H n
-++++==L ,
∴ 1112222n n n b b b n -++++=?L ,
故2121()(22212)n n
n b b n b n --?++=-≥+L ,
∴112212()n n n n b n n -+=?--?1()2n n =+?,
则2(1)n b n =+,对1b 也成立,
∴2(1)n b n =+,
则()22n b kn k n -=-+,
∴数列{}n b kn -为等差数列,
记数列{}n b kn -为{}n c .
故5n S S ≤对任意的*
N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；
即5(2)206(2)20k k -+≥??-+≤?
,解得,71235k ≤≤,
故答案为:712
[,]35
． 【点睛】
本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
18．【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为：【点睛】 解析：43
【解析】 【分析】
根据条件可得1
cos 3
ABC ∠=
， cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，利用余弦定理即可得到AB 、AC 的关系，再利用基本不等式即可得解.
【详解】
设AD x =，3CD x =，三角形ABC 的边为a ，b ，c ，
由2
1
cos 12sin
23
ABC ABC ∠∠=-=， 由余弦定理得222161
cos 23
a c x ABC ac +-∠==，
所以2
2
2
2
163
x a c ac =+-
， ① 又cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，
2222
2262x x
=2221238x c a =+-， ②
①②相除化简得2232296ac a c ac -=+≥， 故4ac ≤，当且仅当3a c =成立，
所以()()22
22339632448AB BC c a c a ac ac +=+=++=+≤，
所以3AB BC +的最大值为
故答案为： 【点睛】
本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，考查了方程思想和运算能力，属于中档题.
19．（﹣∞【解析】【分析】由正实数xy 满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围【详解】因为正实数xy 满足而4x
解析：（﹣∞，265
] 【解析】 【分析】
由正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，可求得x +y≥5，由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立可求得a ≤x+y+1
x y
+恒成立，利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围． 【详解】
因为正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，而4xy ≤（x+y ）2，
代入原式得（x +y ）2﹣4（x+y ）﹣5≥0，解得x +y≥5或x +y≤﹣1（舍去）， 由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0可得a （x +y ）≤（x+y ）2+1， 即a ≤x+y+
1
x y
+，令t=x +y ∈[5，+∞）， 则问题转化为a ≤t+1t
，
因为函数y=t +1t
在[5，+∞）递增， 所以y min =5+15=265
， 所以a ≤
265
， 故答案为（﹣∞，265
] 【点睛】
本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得x +y≥5是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．
20．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题
解析：-4
【解析】 【分析】
根据已知可得6n n b b +=，即可求解. 【详解】
121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈， 321211n n n n n n n n b b b b b b b b ++++++=-==-=--， 63,20166336n n n b b b ++=-==?， 201663214b b b b b ∴==-=-+=-.
故答案为:-4 【点睛】
本题考查数列的递推关系以及周期数列，考查计算求解能力，属于中档题.
三、解答题
21．（1）21n a n =+；（2）()1212n
n +-?
【解析】 【分析】
()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项
和公差，由此能求出21n a n =+．
(2()111)
2,2212n n n n
n n n
b b a n a ---==?=+?，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T ． 【详解】
解：(1)Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠， 且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．
()()1
121
113254355022312a d a d a d a a d ???+++=?∴??+=?+?，
解得13
2a d =??
=?
()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+，
21n a n ∴=+
(2)n n b a ??
????
Q 是首项为1公比为2的等比数列，
()1112,2212n n n n
n n n
b b a n a ---∴
==?=+? ()0121325272212n n T n -∴=?+?+?+?++?...①
()()12312325272212212n n n T n n -=?+?+?+?+-?++?...②
两式相减得：
()()12123221212
n n n T n --=--?
++?-
()1212n n =+-?
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题。
22．（1）32n a n =-+（2）n S 23212
n n n
-=+-
【解析】 【分析】
（1）依题意()()382726a a a a d +-+==-，从而3d =-.由此能求出数列{}n a 的通项公式；
（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求出
112322n n n n b a n --=-=-+，再分组求和即可.
【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差是d . 由已知()()382726a a a a d +-+==-， ∴3d =-，
∴2712723a a a d +=+=-， 得 11a =-，
∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+.
（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，
∴1
2n n n a b -+=，
∴11
2322n n n n b a n --=-=-+，
∴()(
)2
1
147321222
n n S n -=+++???+-++++???+????
()31212
n
n n -=
+-，
23212n n n -=+-.
【点睛】
本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.
23．（1 ； （2） 【解析】 【分析】
（Ⅰ）已知等式括号中第一项利用同角三角函数间基本关系化简，整理后求出cosB 的值，确定出sinB 的值，
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB ，利用完全平方公式变形后，将a+b ，b ，cosB 的值代入求出ac 的值，再由sinB 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积． 【详解】
（Ⅰ）由()3cos cos tan tan 11A C A C -=得，sin sin 3cos cos 11cos cos A C A C A C ??
-=
???
, 3sin sin cos cos )1A C A C ∴-=（，即()1cos 3A C ∴+=-， 1
cos 3
B ∴=，
又0B π<< , sin 3
B ∴=
． （Ⅱ）由余弦定理得：2221cos 23a c b B ac +-== ()2
221
23
a c ac
b a
c +--∴=，
又a c +=，b =
9ac =,
1
sin 2
ABC S ac B ?∴=
=． 【点睛】
本题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 24．（1）4
A π
=（2）4
【解析】
分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．
详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=． 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，
所以sin cos 0A A -=
04A π??
-= ??
?
， 又因为()0,A π∈，所以4
A π
=
．
（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-?，
则2
20442c c ?=+-? ??
．
即2
160c -=．
解得c =-
c =
所以1242S =
??=．·
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 25．（1）12n a n
=；（2）1242n n n
S -=-+.
【解析】 分析：（1）121n n n a a a +=
+两边取倒数可得
1112n n
a a +-=，从而得到数列1n a ??
????
是等差数列，进而可得{}n a 的通项公式；（2）22n n
n
b =，利用错位相减法求和即可. 详解：（1）∵121n n n a a a +=
+，∴
111
2n n
a a +-=， ∴1n a ??
????
是等差数列， ∴
()1
11122n n n a a =+-=， 即12n a n
=
； （2）∵22
n n n b =
， ∴1221231222
n n n n
S b b b -=+++=++++L L ， 则
23112322222
n n n
S =++++L ，
两式相减得23111111112122222222
n n n n n n n
S L -?
?=+++++-=-- ???， ∴1
242n n n
S -+=-
. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
26．（1）23n a n =-，1
4n n b -=；（2）4(1)
n n
T n =
+
【解析】 【分析】
（1）将1250,15a a S +==转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式，由此化简131(2)n n n n n nb a b a b ++++=，判断出数列{}n b 是等比数列，进而求得数列{}n b 的通项公式.
（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
所以11120,1,2,2354
5152n a d a d a n a d +=??
∴=-==-??+=??
； 由1311(2),(6n 12n 1)b 4nb n n n n n n n n nb a b a b nb +++++=?=--+=，
1
4n n
b b +∴
=，所以数列{}n b 是以4为公比，首项121b a ==的等比数列，14.n n b -∴= （2）因为2111111
(),(5)log (22)(2)41
n n n c a b n n n n +=
==-+?++
1211111111b b b (1).42233414(n 1)
n n n
T n n ∴=+++=-+-+-++-=++L L
【点睛】
本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等比数列的通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.