高三数学(理)考试试题
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省市2011届高三第二次联合调研考试
数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的、号填写清
楚,并贴好条形码,请认真核准条形码上的号、和科目。
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
3.第Ⅰ卷共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。 参考公式:
如果事件A 、B 互斥,那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
P (A +B )=P (A )+P (B ) cl S 2
1=锥侧
如果事件A 、B 相互独立,那么
P (A ·B )=P (A )·P (B ) 其中c 表示底面周长,l 表示斜高或母线长 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 33
4R V π=球
次的概率()(1)k k n k
n n P k C P P -=- 其中R 表示球的半径
一、选择题 1.复数21i
i
+等于
( )
A .1i -+
B .1i +
C .22i -+
D .22i +
2.若等比数列13455
{}10,,4
n a a a a a +=+=满足则数列{}n a 的公比q 为 ( )
A .
14
B .
12
C .2
D .8 3.已知3(,),sin ,tan()254
ππ
απαα∈=+则的值为
( )
A .17
-
B .7
C .
17
D .—7
4.若函数1
()x y f x +=与y=e 的图象关于直线y x =对称,则()f x =
( )
A .ln 1(0)x x =>
B .ln(1)(1)x x ->
C .ln 1(0)x x +>
D .ln 1(1)x x ->
5.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成的角的余弦值为 ( )
A
B
C .
12
D
6.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率为2133a b +则的最小值为 ( )
A
.
3
B
.
3
C .2
D .1
7.过点M 1(,1)2
的直线l 与圆C 2
2
:(1)4x y -+=交于A 、B 两点,当∠ACB 最小时,直线l 的方程为
( )
A .20x y -=
B .220x y ++=
C .2430x y -+=
D .2450x y +-=
8.定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0x f x '+<(其中()f x '是函数()f x 的导数),又
0.112
1
(log 3),[()],(ln 3),3a f b f c f ===则
( )
A .a b c <<
B .b c a <<
C .c a b <<
D .c b a <<
9.现有四所大学进行自主招生,同时向一所高中的已获省级竞赛一等将的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书,若这四名学生都愿意进这四所大学的任一所就读,则仅有两名学生被录取到同一所大学的就读方式有 ( ) A .288种 B .144种 C .108种 D .72种 10.设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ,点A (0,2),若线段FA 与抛物线的交点B 满
足3FA FB =,则点B 到该抛物线的准线的距离为
( )
A
.
12
B
.
12
C
.
18
D
.
18
11.已知向
量(2,0),(2,2),(2cos )OB OC CA θθ===()R θ∈,则向量
OA OB 与 的夹角的取值围是
( )
A .[
,]123
ππ
B .[
,
]412ππ C .5[
,
]1212
ππ D .5[
,]122
ππ 12.已知l αβ--是大小为45°的二面角,C 为二面角一定点,且到半平面αβ和的距离分
和6,A 、B 分别是半平面,αβ的动点,则△ABC 周长的最小值为( )
A .6+
B .5
C .15
D .
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡中相应题的横线
上。 13.设全集{*|lg 1},{|21,1,2,3,4,5}U U A
B x N x A
C B m m n n ==∈<==-=若,
则集合B=.
14.已知2(
a x -的展开式中3x 的系数为9
4
,则常数a 的值为. 15.已知P 是双曲线
22
1916
x y -=上的动点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点,且20F M MP ?=,O 为坐标原点,则|OM|=.
16.已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直,PA=PD=AB=2,∠APD=120°,
若点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上,则此球的表面积等于.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分)已知△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若
(2)tan tan ,c b B b A -=求角A 。
18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD⊥平面ABCD ,PD=DC=BC=1,
AB=2,AB//DC ,∠BCD=90°,E 为棱PC 上异于C 的一点,DE⊥BE。 (1)证明:E 为PC 的中点;
(2)求二面角P —DE —A 的大小。
19.(本小题满分12分)某大学毕业生参加一个
公司的招聘考试,考试分笔试和面试两个环节,笔试有A 、B 两个题目,该学生答对A 、
B 两题的概率分别为
12和1
3
,两题全部答对方可过入面试,面试要回答甲、乙两个题目,该学生答对这两个题目的概率均为1
2
,至少答对一题即可被聘用(假设每个环节的每个题目回
答正确与否是相互独立的)
(1)求该学生被公司聘用的概率;
(2)设该学生答对题目的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
20.(本小题满分
12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且
22(21)(*)n n S n a n N =--∈
(1)设(21)n n b n S =+,求数列{}n b 的通项公式;
(2)证明:
222
11
1111.2
n b b b +++
< 21.(本小题满分12分)如图,设抛物线2
1:4(0)C y mx m =>的准线与x 轴交地F 1,焦
点为F 2,以F 1、F 2为焦点,离心率1
2
e =的椭圆C 2与抛物线C 2在x 轴上方的交点为P 。 (1)当m=1时,求椭圆C 2的方程;
(2)延长PF 2交抛物线于点Q ,M 是抛物线C 1上一动
点,且M 在P 与Q 之间运动,当△PF 1F 2的边长 恰好是三个连续的自然数时,求△MPQ 面积的最 大值。
22.(本小题满分12分)设曲线
2
31:()()C f x x ax b a b R =-+∈ (1)若函数()ln [()]2a
g x x f x a x b
'=-
+-存调递减区间,求a 的取值围;
(2)若过曲线C 外的点A (1,0)作曲线C 的切线恰有三条,求a ,b 满足的关系式。