Skyline 靶向方法优化
本教程将介绍 Skyline 靶向蛋白质组环境中可用于优化选择性反应监测（简称 SRM；亦称为“多反应监测”，简称 MRM）质谱仪实验方法的功能。
当给定蛋白质的一组理想目标肽段没有或未知时，Skyline 能够简单创建可测量范围十分广泛的各种肽段的方法，以在样品基质中搜寻最适合测量的肽段。然后，将这些首次测试的结果导入Skyline，Skyline 可以帮助您优化方法，以改进下一轮的测量。
我们将这称为“靶向方法优化周期”，该方法经常以下图体现：
通过循环此周期，您可以从比较笼统的假设开始，包括您想监测的 100 多个蛋白质，快速缩小清单至最佳肽段、子离子和仪器设置以便达到您的实验目标。
本教程将引导您逐步完成此优化周期的两个半循环，以便让您知晓如何进行更多的循环来创建充分优化的定量方法。
入门指南
要开始本教程，请下载下列 ZIP 文件：
https://https://www.doczj.com/doc/884938764.html,/tutorials/MethodRefine.zip
将文件解压到您的电脑的某个文件夹，比如：
C:\Users\brendanx\Documents
这将创建一个新文件夹：
C:\Users\brendanx\Documents\MethodRefine
现在通过双击，或使用一个正在运行的Skyline的“文件”菜单下的“打开”命令来打开新文件夹中的WormUnrefined.sky 文件。
结果数据
选择文档中的第一个肽段 (YLGAYLLATLGGNASPSAQDVLK)。Skyline 将同时显示图谱库中的MS/MS
图谱和相应的在 MacCoss 实验室仪器上获得的肽段的子离子 y3 – y15 的时间-强度色谱图数据：
请注意，与每个肽段相关联的 MS/MS谱图库通常来自于离子阱质谱仪进行的实验。
在左侧的肽视图中，Skyline在肽段序列的左侧显示绿色、黄色和红色点。它们为峰质量图标，其
含义分别如下：
?绿色— Skyline 选择的最佳峰的所有离子对形成一共洗脱峰。
?黄色—至少一半的离子对形成一共洗脱峰。
?红色—不到一半的离子对形成一共洗脱峰。
色谱图数据最初从 39 Thermo 原始文件导入该文档。若要了解为何此文档中对这些肽段的一次测
量需要 39次单独进样，首先请注意 Skyline 窗口右下角的数字。您可以看到该文档包含 225 个肽
段和 2096 个离子对，涵盖各肽段的 y3 – y(n-1)子离子（其中 n 是整个肽段序列中氨基酸的个数）。
您正在查看的 Skyline 文档旨在帮助您确定在特定目标基质中哪些肽段是可以测量的，以及哪些是可测肽段的最佳离子对。每个肽段都拥有大量的离子对可以使我们获得对给定的峰确实是在测量目标肽段的置信度。这种置信度是通过计算所研究的肽段的离子对峰强度和相同肽段的谱图库1, 2之间的点积值相关性来测定的。
未优化的方法
若要了解本文档中测量肽段所需的离子对列表生成方法，请按照如下步骤操作：
?在“文件”菜单上，选择“导出”，并单击“离子对列表”。
?选择“多个方法”。
?在“每次进样允许的最多离子对数”中输入“59”。
“导出离子对列表”表单应如下所示：
?单击“确定”按钮。
?找到下一表单中的 MethodRefine 文件夹。
?在“文件名”中输入“worm”。
?单击“保存”按钮。
如果您使用 Windows Explorer 查看 MethodRefine 文件夹的内容，您将看到现在它包含了 39 个新
的 CSV 文件 (worm_0001.csv – worm_0039.csv)。每个文件大小约为 4K，且包含一个最多不超过 59
个离子对的列表，用于导入到一个未安排时序的 Thermo TSQ 方法。
选择 59 这个数字可能显得有点奇怪，但是这对于获得与原始实验匹配的离子对列表很有必要。原始实验选择的数字为 60。遗憾的是，Skyline 曾经存在一个只能允许少于最大值的离子对数量的漏
洞（现已修复）。
导入多个进样数据
如果您想要学习如何导入这个实验的初始仪器输出文件的方法，您必须下载另一个 ZIP 格式的补
充文件 (36M)。该 ZIP 文件包含MacCoss 实验室收集的 39 个 Thermo 原始文件（161M，未压缩），用于测定您在上节刚刚导出的离子对列表。
您下载的原始 MethodRefine.zip 文件包含高性能数据缓存文件 WormUnrefined.skyd，该文件已经
具有 Skyline 所要求这些文件具有的所有数据。如果您想继续使用现有数据缓存文件，您可以跳至
下一节。
如果您想亲自重新导入数据，请下载 ZIP 文件：
https://https://www.doczj.com/doc/884938764.html,/tutorials/MethodRefineSupplement.zip
将文件解压缩到您之前使用的文件夹。这将创建一个新文件夹，如：
C:\Users\brendanx\Documents\MethodRefineSupplement
在 Skyline 中，按照以下步骤操作，删除以前缓存的数据：
?在“编辑”菜单中，单击“管理结果”。
?单击“删除”按钮。
?单击“确定”按钮。
色谱图表和峰质量图标已经从 Skyline 界面中删除。
?在“文件”菜单中，单击“保存”(Ctrl-S)。
现在您可以亲自导入原始数据了。您无需一次导入所有数据。这对于在数据采集完成之前，对从
这些较大，未优化的文档中导出的所有离子对列表进行检查是有帮助的。在本教程中，您将分两
批导入数据。
首先，执行下列步骤：
?在“文件”菜单中，选择“导入”，并单击“结果”。
?选择“添加一个新的重复测定”。
?在“名称”中输入“未调整”。
?单击“确定”按钮。
?找到 MethodRefineSupplement 文件夹。
?单击“worm_0001.RAW”文件。
?按 Shift 并单击“worm_0015.RAW”文件，选择前面的 15 个文件。
?单击“打开”按钮。
Skyline 将开始导入 15 个文件，您可以在 Skyline 窗口的底部状态栏中查看显示的进度，以及峰质量图标返回至肽段视图中的肽段，如下所示：
Skyline 将该数据缓存至高性能数据文件中时，您可以继续随意检查结果。您甚至可以开始优化文档，但是对于本教程，您应该执行下列步骤来完成导入所有 39 个结果文件：
?在“文件”菜单中，选择“导入”，并单击“结果”。
?选择“将文件添加至当前重复测定”。
?单击“确定”按钮。
?找到MethodRefineSupplement 文件夹。
?单击“worm_0016.RAW”文件。
?按 Shift 并单击“worm_0039.RAW”文件，选择剩下的所有文件。
?单击“打开”按钮。
Skyline 完成导入后，您就可以使用与本教程来源匹配的数据缓存文件进行下一节的操作。
简单手动优化
开始优化文档的一种方法是通过目测检查每个肽段，并根据 Skyline 提供的丰富信息决定将要保留和删除的内容。这就是 ASMS 2009 海报中本教程的 Skyline 文档最初优化的方法。浏览这些肽段只需要不到一小时，并选择和库谱图相匹配的轮廓清晰的峰的三个最佳离子对。
查看本教程的 Skyline 文档时，您可能会问到关于第一个肽段的问题，即 Skyline 是否错过了比当前放大显示的峰更好的峰。要回答这个问题，您可以执行下列步骤，进行缩小：
?在“视图”菜单中，选择“自动缩放”，并单击“无”(Shift-F11)。
您应该在此暂停，花些时间记住以下快捷键：
?“视图/自动缩放/最佳峰”- F11
?“视图/自动缩放/无”- Shift - F11
这些快捷方式允许您在当前选择的峰特写视图和您正在检查的仪器测量的离子对的整个时间范围之间迅速切换。
对于文档中的第一个肽段，整个范围如下所示：
乍一看这很像有大量噪音的数据，但是如果您想看更多的细节，您可以对标有保留时间的任何较
大峰附近单击并拖曳出一个方框来放大该区域。
如果您确认这些都不包含这个肽段的真正测量值，您可以按删除键从文档中删除这个肽段。
保留时间预测
在检查色谱图峰时，了解肽段的预期保留时间也是很有用的。特定序列保留时间计算器 (SSRCalc) 3.03已集成到 Skyline 以实现这项功能。若要观察 SSRCalc 得分和测量的肽段保留时间之间的关系
线性回归图，请执行下列步骤：
?在“视图”菜单上，选择“保留时间”，并单击“线性回归”(Shift-F8)。
Skyline 将显示如下图形：
注意位于当前已优化的回归线上的红色点。该点显示了SSRCalc 分值和当前所选肽段的出峰时间。您在 Skyline 文档树中选择不同的肽段时，突出点将会相应改变。
该图默认使用 r = 0.9 的阈值开始优化回归，然后从中逐步删除点并相应标注它们为异常值，直至
达到设定的阈值。您可通过执行如下操作调整阈值：
?右键单击图，并单击“设置阈值”。
?在“阈值”中输入“0.95”。
?单击“确定”按钮。
Skyline 将重新计算回归，将更多的肽段标记为异常值，将图变成：
您可通过执行如下操作来创建新的线性方程式以进行保留时间预测：
?右键单击图，并单击“创建回归”。
Skyline 显示“编辑保留时间回归”表单，该表单有预先填入来自保留时间回归图的信息，其中包括已优化的回归数据（145 个肽段），以及相同的斜率、截距和时间窗口。Skyline 建议的时间窗口为从回归残差获得的 4 个标准偏差，这应该包含 145 个肽段中的 95%。
Skyline 还将选择与数据最匹配（r 最接近 1.0）的计算器。目前仅有的选择是用孔径大小为 100 或300 埃的反相填料色谱柱数据训练过的 SSRCalc 3.0。在 MacCoss 实验室中，我们使用 90 埃孔径的填料，SSRCalc 3.0 (100?) 通常会提供最佳匹配。
若接受 Skyline 所建议的值，单击“确定”按钮。
Skyline 会将所选肽段的预测的保留时间的指示符添加至色谱图中，如下所示（您可能需要将回归图移开以便进行观察）：
该指示符周围的阴影矩形显示了您在“编辑保留时间回归”表格中选择的窗口（16.2 分钟）。任何
阴影矩形外的值均大于预测值的 2 个标准偏差。
缺失数据
在离开保留时间回归图返回本文档进行手动细调之前，请注意 x 轴上的许多异常值点。这表示Skyline 未找到所研究的肽段的任何峰。若要了解原因，请移动鼠标至最左侧，直至鼠标变为手形，然后单击鼠标左键。
Skyline 将以红色突出显示该点并滚动肽段视图，以显示新选择的肽段 (YLAEVASEDR)。按 Esc 键返
回肽段视图，如下所示：
这里有7个肽段没有红色峰质量图标，表示这些肽段在导入的RAW文件中无法进行定量。如果我们是首次将原始文件导入本文档，这可能会令人觉得奇怪。39 个离子对列表对应39 个原始文件。这是怎么回事呢？
通过进一步探测，Skyline 将会解开疑团。单击缺失数据的肽段上方的肽段 VTVVDDQSVILK。
色谱图现在将显示如下：
注意已经使用“文件”下拉列表将工具栏添加到顶部。如果您单击该列表，将会显示
worm_0027.RAW 和 worm_0028.RAW 这两个文件都包含该肽段测量值。
虽然将来可能在单次进样中对一个肽段进行两次测量，但是目前色谱图显示“文件”列表表明某处存在错误。您可能将作为单独平行测定的文件导入了 Skyline 的同一个逻辑平行测定，或者，如在此例中，样品列表为两个输出文件重复测定了同一个离子对列表，而不小心遗漏了另一个离子对列表。如果您向上滚动肽段视图，则可以看到此错误在 worm_0015.RAW 和 worm_0016.RAW 中再次发生。
现在，您可以删除没有任何数据的肽段，但是您可以将此操作作为本教程稍后讲述的单项优化操作的一部分。现在，请按 Home 键并关闭保留时间回归图。
选择可测量肽段和离子对
即使您可能会最终使用 Skyline 中提供的功能更加强大的操作来优化您的文档，使用 Skyline 提供的信息帮助您了解如何单独选择肽段和离子对，也不失为好的办法。若要准备进行本文档的初始手动审核，请按如下步骤操作：
?选择文档中的第一个肽段。
?按 F11 放大显示色谱视图中的最佳峰。
?在“编辑”菜单中，选择“全部展开”，并单击“肽段”。
最后的操作将在肽段视图中显示“点积”值 (dotp)，那是测得的 SRM 峰面积和 MS/MS 库谱图峰强度之间的点积值相似性度量4, 5。该值越接近 1.0，则匹配度越高。
肽段视图现在将如下所示：
所选肽段的点积值 (0.57) 并不好，但是所有测量的 11 个 y-离子具有较好的共洗脱峰：
如果您查看 MS/MS谱图库，您可以看到导致较差的点积值的问题所在：
请注意在 MS/MS谱图库中的两个最强峰标注有 y-离子和 b-离子（y10, b10 和 y12, b12）。我们已经知道用于 SRM 测量的 Thermo TSQ 仪器不能很好地保留 b-离子，这意味着这些峰的 b10 和 b12 离子不会在 SRM 测量中出现。
展开母离子 1160.5434++ 来进一步查看离子对，您将看到：
左侧的排名序号是 MS/MS谱图库峰排名，而最右边方括号内的数字是 SRM 峰排名。这些数字可能会帮助您决定是否相信这些离子对的测量值对应于MS/MS谱图库中的肽段。在本教程中，只需按“删除”键删除该肽段。
下一个肽段 (WNTENQLGTVIEVNEQFGR) 显然没有被测定，因为其最佳峰组仅包含小于一半离子对的峰，生成的点积值为 0.63。您也可以将其删除。
接下来的三个肽段是非常好的候选示例，能够满足这一层面优化的标准。所有三个肽段都有所有离子对的峰，都有 0.98 或更高的点积值。如果您为每个肽段仅选择 3 个离子对，第一个肽段将会比较简单。将其展开，并删去除了 3 个最强的子离子之外的其他所有子离子，其中 MS/MS 库谱图和 SRM 测量值均一致。在下一个肽段中，请注意 MS/MS 库谱图排名第3 和第4 的峰几乎相同，保留三个最强的 SRM 峰。这将只剩下以下信息：
查看下一个肽段及其离子对，您会看到在 SRM 中 y3 有第三大的峰面积，但是有第四大峰面积的y13 没有小很多。如果您删除这四个最强的峰以外的所有峰，可以按 Shift-F11 进行缩小而观察到y3 或 y13 离子都没有很多的噪音或其他特征。y13 离子，一般比 y3 离子更有选择性（因为其包含更多完整的肽段序列），在优化时，您应该尽可能找出最具选择性的方法。在本教程中，为该肽段保留 y14、y13 和 y11。
您可以继续使用此方法，删除两个肽段，然后保留一个，保留具有最强信号、最小噪音和最佳选择性的离子对。或者，您可以使用 Skyline 优化表单迅速开始此项工作。
自动优化
Skyline“优化”表格会自动进行最常见的优化操作。您在本教程进行的手动优化可以通过一次操作完成，步骤如下：
?在“编辑”菜单中，选择“优化”，并单击“高级”。
?单击“结果”标签。
?在“最大离子对峰排名”中输入“3”。
?选中“倾向较大的子离子”复选框。
?选择“删除缺失结果的节点”。
?在“线性回归的目标 r 值”中输入“0.95”。
?在“最小点积”中输入“0.95”。
?单击“确定”按钮。
此操作将为您留下 72 个肽段和 216 个离子对，且这些肽段和离子对的质量均很高。花点时间在色谱图中浏览它们，步骤如下：
?在“编辑”菜单上，选择“全部折叠”，并单击“肽段”。
?按 Home 键。
?按向下箭头键直至最后一个肽段。
但是，此操作可能显得有些激进。若要采取保守的方法来结合初始自动优化和后续手动检查，您
现在可以执行以下额外的步骤：
?在“编辑”菜单上，单击“撤销”(Ctrl-Z)。
?在“编辑”菜单中，选择“优化”，并单击“高级”。
?单击“结果”标签。
?在“最大离子对峰排名”中输入“6”。
?选择“删除缺失结果的节点”。
?在“线性回归的目标 r 值”中输入“0.9”。
?在“最小点积”中输入“0.9”。
?单击“确定”按钮。
此操作会将肽段的数量减小至 110，并保留足够的离子对，以保证点积值数值足以用来区别峰的
质量。考虑到“优化”表单仍然会缺失一些优化的因素，您可以手动进行最终优化。
高效采集的时序安排
您正在编辑的 Skyline 文档曾在 2009 年春季 MacCoss 实验室的实际实验中使用；您正在采取与我
们那时相同的步骤进行操作。但是，那时候Skyline 还没有“优化”表格，也无法计算点积值。因此，当时我们将优化周期下一个循坏的列表手动减少至 86 个肽段。您可遵循我们当时的选择，步骤如下：
?在“编辑”菜单中，单击“撤销”(Ctrl-Z)。
?在“编辑”菜单中，单击“管理结果”。
?单击“删除”按钮。
?单击“确定”按钮。
这将删除所有未优化的结果和色谱图。
?在“文件”菜单中，选择“导入”，并单击“结果”。
?选择“在目录中添加多次进样平行测定”。
?单击“确定”按钮。
?在“浏览文件夹”表单中单击“确定”按钮。
?在显示询问是否删除公共前缀“Unscheduled0”的表单中，单击“请勿删除”按钮。
此项操作将使 Skyline 开始从 MethodRefine 文件夹的两个文件夹（Unscheduled01 和
Unscheduled02）中导入两个新的未安排时序的平行测定。每个文件夹包含两个原始文件，针对完
成首次优化后的每个可测量肽段，带有 3 个离子对未安排时序的色谱图。
当前文档仍然包含了很多在这些原始文件中未测量的离子对。若要将文档减少为仅含测量的离子对，操作如下：
?在“编辑”菜单上，选择“调整”，并单击“删除缺失结果”。
此操作将会留下 86 个肽段和 255 个离子对。
测量保留时间
这些肽段可能在 4 次独立的进样中（而不只是 2 次）得到更好的测量。然而，由于优化的下一个阶段的目的是确定预测保留时间以进行时序安排，我们决定允许延长周期时间并减少洗脱曲线上的点，来减少需要的进样次数。
您可以创建与我们用于测量这些肽段类似的离子对列表，步骤如下：
?在“文件”菜单上，选择“导出”，并单击“离子对列表”。
?在“每次进样允许的最多离子对数”中输入“130”。
“导出离子对列表”表单如下所示：
?单击“确定”按钮。
?在“文件名”中输入“未安排时序的”。
?单击“保存”按钮。
您将在 MethodRefine 文件夹中看到两个离子对列表 CSV 文件（Unscheduled_0001.csv 和Unscheduled_0002.csv）。这些文件可用于收集新数据，如同您刚刚导入的文件。
查看保留时间运行
查看您导入的未安排时序的保留时间的运行：
?关闭“MS/MS 谱图”表。
?在“视图”菜单上选择“排列图”，并单击“平铺”(Ctrl-T)。
?使用向下箭头键选择肽段。
Skyline 将显示您创建的两个平行测定的图表，如下所示：
按 Shift-F11，查看所采集数据的整个范围，然后按 F11，返回到最佳峰缩放。
根据这些测得的保留时间，您可以浏览 Skyline 如何对离子对进行时序安排，步骤如下：?在“视图”菜单上选择“保留时间”，并单击“时序安排”。
Skyline 将显示下图：
从该图中，您可以查看仪器在整个色谱运行中使用先前测量的保留时间附近的多个可能的时间窗口测量的并行离子对的数量。时间窗口越大，您看到的同时出现的离子对就越多。在此文档中，时间窗口为 5 分钟时，同时测量的离子对的最大数量大约为 60。根据仪器的速度的不同，有可能在单个进样中测量所有剩余的肽段。
创建安排时序的离子对列表
您将在安排时序的离子对列表中实际使用的时间窗口的选择取决于您色谱分离的可再现性。如果您安排时序的窗口过窄，而无法兼顾肽段的保留时间变异，您会看到截短或缺失的峰。创建安排时序的离子对列表之前，确认您已经很好地了解了色谱分离时间的变异。
在本实验中，我们使用 4 分钟的时间窗口，以进行单次进样平行测定，这样不会在同时测定最大数量的离子对时，对驻留时间或周期产生负面影响。您可以执行下列步骤进行相同的操作：
?关闭“保留时间”视图。
?在“设置”菜单上，单击“肽段设置”。
?单击“预测”标签。
?在“时间窗口”中输入“4”。
“肽段设置”表单如下所示：
浅谈最优控制 发表时间：2008-12-10T10:25:09.263Z 来源：《黑龙江科技信息》供稿作者：李晶1 陈思2 [导读] 主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制是最优化方法的一个应用。最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。 摘要：主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制是最优化方法的一个应用。最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。而最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。通过以上知识的讲解使初学者能够快速掌握最优控制的问题。关键词：最优化；最优控制；极值 最优控制是最优化方法的一个应用，如果想了解最优控制必须知道什么是最优化方法。所谓最优化方法为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。 最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。（1）最优设计:世界各国工程技术界,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于设计中，从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等，结合有限元方法已使许多设计优化问题得到解决。一个新的发展动向是最优设计和计算机辅助设计相结合。电子线路的最优设计是另一个应用最优化方法的重要领域，它存在着巨大的开发潜力，尤其是对于学电工学的学生来说。配方配比的优选方面在化工、橡胶、塑料等工业部门都得到成功的应用,并向计算机辅助搜索最佳配方、配比方向发展。（2）最优计划:现代国民经济或部门经济的计划，直至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和生态规划的制订,都已开始应用最优化方法。一个重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策，使工作结构简单，工作效率最高化，节省了很多时间。（3）最优管理：一般在日常生产计划的制订、调度和运行中都可应用最优化方法。随着管理信息系统和决策支持系统的建立和使用，使最优管理得到迅速的发展。（4）最优控制：主要用于对各种控制系统的优化。下面着重来解释一下最优控制。 最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。它是现代控制理论的重要组成部分。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理。这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。1948年维纳发表了题为《控制论——关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。钱学森1954年所著的《工程控制论》（EngineeringCybernetics）直接促进了最优控制理论的发展和形成。 为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，即系统的数学模型，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。因此，从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。 1 古典变分法 研究对泛函求极值的一种数学方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。 2 极大值原理 极大值原理，是分析力学中哈密顿方法的推广。极大值原理的突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。 3 动态规划 动态规划是数学规划的一种，同样可用于控制变量受限制的情况，是一种很适合于在计算机上进行计算的比较有效的方法。随着社会科技的不断进步,最优控制理的应用领域十分广泛，如时间最短、能耗最小、线性二次型指标最优、跟踪问题、调节问题和伺服机构问题等。但它在理论上还有不完善的地方，其中两个重要的问题就是优化算法中的鲁棒性问题和最优化算法的简化和实用性问题。大体上说，在最优化理论研究和应用方面应加强的课题主要有：（1）适合于解决工程上普遍问题的稳定性最优化方法的研究；（2）智能最优化方法、最优模糊控制器设计的研究；（3）简单实用的优化集成芯片及最优化控制器的开发和推广利用；（4）复杂系统、模糊动态模型的辩识与优化方法的研究；（5）最优化算法的改进。相信随着对这些问题的研究和探索的不断深入，最优控制技术将越来越成熟和实用，它也将给人们带来不可限量的影响。 参考文献 [1]胡寿松.最优控制理论与系统[M].（第二版）北京：科学出版社，2005. [2]阳明盛.最优化原理、方法及求解软件[M].北京：科学出版社，2006. [3]葛宝明.先进控制理论及其应用[M].北京：机械工业出版社，2007. [4]章卫国.先进控制理论与方法导论[M].西安：西北工业大学出版社，2000.
课程报告题目最优化理论与方法 学生姓名 学号 院系 专业 二Ｏ一二年十一月十日
最优化理论与方法综述 最优化方法是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。这就是我理解的整个课程的流程。在这整个学习的过程当中，当然也会遇到很多的问题，不论是从理论上的还是从实际将算法编写出程序来解决一些问题。下面给出学习该课程的必要性及结合老师讲解以及在作业过程中遇到的问题来阐述自己对该课程的理解。 20世纪40年代以来，由于生产和科学研究突飞猛进地发展，特别是电子计算机日益广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为一种迫切需要，而且有了求解的有力工具。因此最优化理论和算法迅速发展起来，形成一个新的学科。至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分文。 最优化理论与算法包括线性规划单纯形方法、对偶理论、灵敏度分析、运输问题、内点算法、非线性规划K-T条件、无约束最优化方法、约束最优化方法、参数线性规划、运输问题、线性规划路径跟踪法、信赖域方法、二次规划路径跟踪法、整数规划和动态规划等内容。 最优化理论所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。这类问题普遍存在。例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排基本单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。 一、最优化学习的必要性 最优化，在热工控制系统中应用非常广泛。为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大，或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。
习题二包括题目：P36页5（1）（4） 5（4）
习题三 包括题目：P61页1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下 3题的解如下
5,6题 14题解如下 14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T -处的牛顿方向。 解：已知 (1) (4,6)T x =-，由题意得 121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----?? ?= ?+++-----?? ∴ (1)1344()56g f x -?? =?= ??? 21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------? ??= ? +--------+--?? ∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --?? =?= ?-?? (1)1 1/8007/400()7/4001/200G x --?? = ?--?? ∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -?? =-= ?-?? 15（1）解如下 15. 用DFP 方法求下列问题的极小点 （1）22 121212min 353x x x x x x ++++ 解：取 (0) (1,1)T x =，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同 2112352()156x x f x x x ++???= ?++??， (0)(1,1)T x =，(0) 10()12f x ???= ??? (1)0.07800.2936x -??= ?-??， (1) 1.3760() 1.1516f x ???= ?-?? 以下作第二次迭代 (1)(0) 1 1.07801.2936x x δ-??=-= ?-??， (1)(0) 18.6240()()13.1516f x f x γ-??=?-?= ?-?? 0110 111011101 T T T T H H H H H γγδδδγγγ=+-
最优化方法与最优控制复习文件 1. 非线性优化的基本概念，最优解的一阶和二阶条件，最速下降方法，拟牛顿法情况，BFGS 修正。 2. 变分问题的最优必要性条件推导，各种情况下的必要性条件，Hamilton 函数、拉格让日 函数。PPT 中讲到的最优控制实例，包括求解过程需要掌握。 3. 极大值原理搞清楚，以及PPT 中的计算实例。 4. 动态规划，原理和简单的求解技术。 5. LQR 问题也要看一下。 除此之外，还有几个作业题目大家做一下，如下所示： 1. 非线性优化中，从直观考虑最速下降法是一种最快速的迭代优化方法，实际过程中为什 么不理想？为什么采用二阶方法？二阶方法中的二阶导数矩阵怎么得到的？有什么要求？ （15分） 2. 对于函数形式为 的优化问题，若采用最速下降法求解，请给出最优搜索方向p k 的表达式。变量初值为X0=[1,1,1]T ，请写出第一步迭代过程，以及得到的X1的关于搜索步长α0表达式，在这种情况下，使得))0()0((F 0p x α+最小的搜索步长α0应该等于多少？（15分） 3. 题目要求如下，采用动态规划方法寻求从A 点到B 点的最小时间路径（A 到B 仅能向前 走），（20分） 4. 对于以下简单的标量非线性系统，请通过求解相关HJB 方程得到其最优反馈控制策略。 提示，HJB 微分方程允许如此形式的解。
5.写出如下优化控制问题的Hamiltonian 函数、优化求解的必须性条件，并通过必要性条 件的求解计算出该优化控制和状态轨线。最小化目标函数 6.根据你对优化控制求解方法的了解，目前对于优化控制问题（或者成为动态优化问题， DAOPs问题）有哪些求解方法， 7.
优化理论与方法
全局及个性化web服务组合可信度的动态规划评估方法摘要：随着Internet的快速发展,web服务作为一种软件构造形式其应用越来越广泛。单个web服务无法满足日益复杂的用户需求,web服务组合有效地解决了这个问题。然而,随着功能相似的web服务实例的不断出现,如何选择可信的web服务组合成为了人们关注的热点。服务选择依赖于web服务组合的评估结果,因此,本文主要从web服务组合着手,对其可信性进行研究,提供一种可信web服务组合评估方法。：针对web服务组合的全局及个性化问题,提出了基于全局的个性化web服务组合可信评估方法。从全局角度动态地调整评估模型;同时引入用户业务关注度来描述原子web服务对服务组合可信性的影响程度;结合前文的度量及评估方法,构建一个全局的个性化服务组合可信评估模型;并分析了模型的相关应用,给出了改进的动态规划模型。 关键字：web服务组合可信评价；全局个性化；动态规划； 0.引言 随着软件系统规模的日趋复杂，运行环境的不断开放，软件的可信性要求日益增加，可信软件成为了研究的热点。据《中国互联网发展状况统计报告》统计显示，截至2014年12月底，我国网民数量突破8亿，全年新增网民5580万。互联网普及率较上年底提升4个百分点，达到38。3%。因此，随着Internet 的广泛应用和网络技术的快速发展，面向服务的软件体系结构（SOA）作为一种新型的网络化软件应用模式已经被工业界和学术界广为接受。同时，网民对互联网电子商务类应用稳步发展，网络购物、网上支付、网上银行和在线旅游预订等应用的用户规模全面增长。因而，对web服务的可信性要求更高。单个
x zD 天津大学《最优化方法》复习题(含答案) 第一章 概述(包括凸规划) 判断与填空题 arg max f(x)二 arg min 以儿 “ max(x): x D 二 R n 』=-min(x): x D 二 R n ； 设f : D 5 R n > R.若x ： R n ，对于一切R n 恒有f(x”)^f(x)，则称x”为 设f : D 5 R n >R.若x ” ? D ,存在x ”的某邻域N ；(x”)，使得对一切 x ?N .(x)恒有f(x”)：：： f (x)，则称x”为最优化问题 min f (x)的严格局部最 优解? 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值 ? V 非空集合D R n 为凸集当且仅当 D 中任意两点连线段上任一点属于 D . V 非空集合D R n 为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于 D . V 任意两个凸集的并集为凸集? 函数f:D R n >R 为凸集D 上的凸函数当且仅当 -f 为D 上的凹函数? V 设f : D R n >R 为凸集D 上的可微凸函数，X ：D ?则对-D ,有 f (x) - f(x )乞 f (x )T (X —X )? 若c(x)是凹函数，则 D={x^R n C(x)启0}是凸集。 V f(x)的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法, 则对-k ? 5,1, 2,…匚恒有 ________________ f(x k1)乞 f(x k ) ______________ ? 算法迭代时的终止准则(写出三种) ： ___________________________________________________ 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
分数: ___________ 任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业 学年学期：2013-2014第二学期 课程名称：优化理论和最优控制 学生姓名： 学号： 提交时间：2014年4月26日
《优化理论和最优控制》结课总结 摘要：最优控制理论是现代控制理论的核心，控制理论的发展来源于控制对象的要求。尽50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象，如宇宙飞船、导弹、卫星、和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到最优值[1]。 关键字：最优控制理论，现代控制理论，时域数学模型，频域数学模型，控制率 Abstract： The Optimal Control Theory is the core of the Modern Control Theory，the development of control theory comes from the requires of the controlled objects.During the 50 years， the rapid development of the scientific technology puts more stricter requires forward to mang controlled objects，such as the spacecraft，the guide missile，the satellite，the productive process of modern industrial facilities，and so on，and requests some performance indexes that will be best in mang cases.To the control problem，it requests people to research ,analyse，and devise from the point of view of the Optimal Control Theory. There are mang major problems of the Optimal Control Theory studying,such as the building the time domain’s model or the frenquency domain’s model according to the controlled objects,controlling a control law with admitting, making the controlled objects to work according to the scheduled requires, and making the performance index to reseach to a best optimal value. Keywords: The Optimal Control Theroy， The Modern Control Theroy， The
一、 填空题 1 ． 若 ()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ，则 =?)(x f ，=?)(2x f . ２．设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。 3.向量T ) 3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量 有 ． 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算 法: . 6.以下约束优化问题： )(01)(..)(min 212121 ≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f 的K-K-T 条件为： . 7．以下约束优化问题： 1 ..)(min 212 2 21=++=x x t s x x x f 的外点罚函数为(取罚参数为μ) . 二、证明题（７分+8分) 1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h n i ,1,:1+=→都是线性函数,证明下 面的约束问题: } ,,1{, 0)(},1{, 0)(..)(min 1112 m m E j x h m I i x g t s x x f j i n k k +=∈==∈≥=∑= 是凸规划问题。
2.设R R f →2 :连续可微，n i R a ∈,R h i ∈,m i ,2,1=,考察如下的约束条件问题: } ,1{,0} 2,1{,0..) (min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T i +=∈=-=∈≥- 设d 是问题 1 ||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥?d E i d a I i d a t s d x f T i T i T 的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。 三、计算题（每小题１2分) １.取初始点T x )1,1() 0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题 (迭代２步）: 2 2212)(m in x x x f += 2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题： 212 2212 1)(min x x x x x f -+= 3.用有效集法求解下面的二次规划问题: . 0,001..42)(min 21212 12 221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f 4．用可行方向算法(Zoutend ｉj ｋ算法或Ｆrank Wol ｆｅ算法）求解下面的问题（初值设为)0,0() 0(=x ,计算到)2(x 即可）： . 0,033..22 1)(min 212112 22121≥≥≤+-+-= x x x x t s x x x x x x f
10月12日作业： ,,2 3345 2..23max )5(3213213213213 21≥=++-≥++≤-+-+-x x x x x x x x x x x x t s x x x 答案：max (0,2,0), 4f = ,,8 321 32..23min )7(321213213 21≥≥+=+-+-x x x x x x x x t s x x x 答案：min 8110,,9,33 f ? ?= ??? 第五周作业（1） 1． 给定原问题 ,,2 321 ..34min 3213213213 21≥≥-+≥+-++x x x x x x x x x t s x x x 已知对偶问题的最优解??? ??=37,35),(21w w ，利用对偶性质求原问题的最优解。 答案：41,,033?? ??? 2． 给定线性规划问题： 0 ,,1 26..215min 3213211 3213 1≥≥++≥+-+x x x x x x b x x x t s x x 其中1b 是某一个正数，已知这个问题的一个最优解为?? ? ??=41,0,21 ),,(321x x x 。
（1） 写出对偶问题。 （2） 求对偶问题的最优解。 答案：（2）119,44?? ??? 3. 考虑线性规划问题 min ..0 cx s t Ax b x =≥ 其中A 是m 阶对称矩阵，T c b =。证明若(0)x 是上述问题的可行解，则它也是最优解。 证明：对偶问题为 max ..wb s t wA c ≤ 因为A 是对称矩阵，且T c b =，所以()(0)(0)T w x =是对偶问题的可行解， 由于 (0)(0)cx w b =，所以，(0)x 是原问题的最优解。
根据对偶问题的定义知道，原问题与对偶问题是互为对偶的。在给出原问题的对偶问题过程中应注意的几点关系： (1) 原问题各约束条件中的限制符号，必须统一是“≤”或统一为“≥”，不必考虑向量b 的元素是否是正值； (2) 如原问题有等式约束，则将该条件用等价的两个不等式约束条件替换，即“k f =)x (”可改写成两个不等式条件“k f ≤)x (，k f -≤-)x (”； (3) 对偶前后都要求变量是非负的； (4) 对偶关系是，“极大”对“极小”；“≤”对“≥”；向量c 与向量b 对调位置；矩阵A 转置。 例3-14 给出以下线性规划问题的对偶问题 212max x x z += 12321≤+x x ； 521=+x x ； 16421≤+x x ； 21≥x ；02≥x 。 解：原问题的规范形式及对偶形式写在表3-17中。 表3-17 线性规划对偶问题 原问题 对偶问题 min 543212551612w w w w w s --++= max 212x x z += 1354321≥--++w w w w w 12321≤+x x ； 244321≥-++w w w w 16421≤+x x ； 0≥i w ，51≤≤i 。 521≤+x x ； 对偶问题的线性规划标准形式 521-≤--x x ； max 543212551612w w w w w s ++---= 21-≤-x ； 13654321=---++w w w w w w 01≥x ，02≥x 。 2474321=--++w w w w w 0≥i w ，71≤≤i 。 下面介绍线性规划对偶问题的一些性质。 定理3-4 在式(3-23)定义的对偶问题中，若x 和w 分别是原问题和对偶问题的任意可 行解，则一定有 w b x c T T ≤。 (3-24) 证 因为是可行解，必然满足各自的全部约束条件，即 b A ≤x ，0x ≥； c w T ≥A ，0w ≥。 由此导出， b w x w T T ≤A ； c x w x T T T ≥A 。 标量的转置就是标量本身，即
中南大学考试试卷 2011--2012学年 1 学期 时间100分钟 最优化理论与方法 课程 48 学时 学分 考试形式： 闭 卷 专业年级： 信科08、应数08 总分100分，占总评成绩 70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上,可用中英文作答。 1.（15 points ） For an unconstrained optimization problem: ),(min x f Let )0(x be a given point, )0(d be a descent search direction at )0(x . (1) With the exact line search, show that there is a steplength 0α satisfying .0)()0()0(0)0(=+?d d x f T α (2)Show that when applied to a quadratic objective function, the Newton method with the exact line search terminates in at most one iteration. 2. （15 points ）For an unconstrained optimization problem: .2)(min 2 221x x x f += (1) Find a descent direction )0(d of f at .)1,1() 0(T x = (2) By the Armijo line search, find a steplength 0α along )0(d at .)0(x 3.（15 points ） （1）Let .2113???? ??=A Find two directions 1d and 2d such that 1d and 2d are conjugate with respect to the matrix A . （2）Show that when applied to a quadratic objective function, with the exact line search, the PRP conjugate gradient method is equivalent to the FR conjugate gradient method.
《最优化与最优控制》教学大纲 课程编号：4050141 开课院系：自动化学院控制科学与工程系课程类别：专业选修 适用专业：自动化 课内总学时：32 学分：2 实验学时：0 设计学时：0 上机学时：0 先修课程：数学分析、线性代数、常微分方程、自动控制原理 执笔：邵立珍 审阅：董洁 一、课程教学目的 最优化与最优控制在工程技术，经济，管理等领域有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生学会最优化的基本理论和算法，学会最优控制基本概念和理论。 二、课程教学基本要求 1．课程重点： 要求学生掌握典型的最优化算法，了解最优化的基本理论，掌握最优控制基本概念，掌握极大值原理，动态规划法了解典型最优控制问题。 2．课程难点： 极大值原理，动态规划法。 3．能力培养要求： 能够解决一些典型的最优控制问题，首先能够将实际问题，描述为最优控制问题，然后根据问题的条件，选择合适的求解工具并得到正确的答案。 三、课程教学内容与学时 课堂教学（32学时） 1．最优化概论(2学时) 最优化问题的数学模型 最优化方法及其结构 线性搜索 2．无约束最优化方法(4学时) 局部极小的条件 牛顿法 拟牛顿法 共轭梯度法 方向集法 3．约束优化的理论与方法(8学时) 约束问题和Lagrange乘子法 一阶最优条件 二阶最优条件 罚函数与障碍函数 乘子法 4．二次规划(6学时) 等式约束法 Lagrange方法 有效集法 5．最优控制概论(2学时) 经典控制与现代控制理论简介 最优控制问题的产生 最优控制问题的一般提法 最优控制问题分类 6．变分法与最优控制(4学时) 变分法 用变分法解最优控制 7．极大值原理(4学时) 末端自由的极大值原理 末端受约束的极大值原理 时变系统,复合型性能指标问题 8．动态规划法(2学时) 多步决策与动态规划 离散系统动态规划法 连续系统动态规划法 实验（上机、设计）教学（0学时） 四、教材与参考书 教材 1. 王晓陵，陆军编，《最优化方法与最优控制》，哈尔滨工程大学出版社，2008年，第1版 参考书 1. 吴受章编，《最优控制理论与应用》，机械工业出版社，2008年，第1版 2.李国勇编，《最优控制理论与应用》，国防工业出版社，2008年，第1版 3. 赫孝良等编，《最优化与最优控制》，西安交通大学出版社，1992年，第1版
一、 填空题 1.若()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ， 则=?)(x f ，=?)(2x f . 2.设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。 3.向量T )3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： . 6.以下约束优化问题： )(01)(..)(min 212121 ≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f 的K-K-T 条件为： . 7.以下约束优化问题： 1 ..)(min 212 2 21=++=x x t s x x x f 的外点罚函数为（取罚参数为μ） . 二、证明题（7分+8分） 1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h n i ,1,:1+=→都是线性函数，证明下 面的约束问题： } ,,1{, 0)(},1{, 0)(..)(min 1112 m m E j x h m I i x g t s x x f j i n k k +=∈==∈≥=∑= 是凸规划问题。
2.设R R f →2 :连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题： } ,1{,0} 2,1{,0..) (min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T i +=∈=-=∈≥- 设d 是问题 1 ||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥?d E i d a I i d a t s d x f T i T i T 的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。 三、计算题（每小题12分） 1.取初始点T x )1,1() 0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题 （迭代2步）： 2 2212)(m in x x x f += 2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题： 212 2212 1)(min x x x x x f -+= 3.用有效集法求解下面的二次规划问题： . 0,001..42)(min 21212 12 221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f 4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0() 0(=x ,计算到)2(x 即可)： . 0,033..22 1)(min 21211222121≥≥≤+-+-= x x x x t s x x x x x x f
内点法基本原理 摘要：内点法是求解含不等式约束最优化问题的一种十分有效的算法。内点法通过构造障碍函数，求解一系列只含等式约束最优化问题，逐步得到原问题的最优解，具有找初始点容易、线性收敛、迭代次数少等特点。本文主要介绍了内点法的基本原理，障碍方法的一般步骤并分析了该方法的优缺点，进行了算例实践。 关键词：内点法；障碍方法；Newton法 The Theory of Interior Point Method Abstract: Interior point method is a very effective algorithm for solving optimization problems with inequality constrained. Interior point method is constructed to solve a series of optimization problems with equality constraints, and the optimal solution of the original problem is obtained, which has the characteristics of finding the initial point easier, linear convergence, less iteration number and so on. This paper mainly introduces the theory of interior point method, the general steps of barrier method and analyzing the advantages and disadvantages of the method. Key words: interior point method; barrier method;Newton method
附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，
大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .
精心整理 练习题一 1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。 2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。 min () f x D ∈，对于则有(f ?1例2.1解：*2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。 答：略。 3、用单纯形法求解下列线性规划问题：
（1）???????≥≤+-≤++≤-++-=0 ,,4322 2..min 32131 3213213 21x x x x x x x x x x x t s x x x z ；（2）?????? ?=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min 53243232132Λi x x x x x x x x x x t s x x z i 解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6 因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(0,8/3,1/3,0,0,11/3)X =，去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：*(0,8/3,1/3)X =。 （2）根据题意选取x 1，x 4，x 5，为基变量：
因检验数σ2<0最小，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。 4根据题意约束条件1和2可以合并为1，引入松弛变量x 3，x 4，构造新问题。
因检验数σj>0，表明已求得最优解：*(3/5,6/5) X 。Matlab调用代码： Matlab调用代码： f=[-10;-15;-12]; A=[5,3,1;-5,6,15;-2,-1,-1]; b=[9;15;-5]; lb=[0;0;0]; x=linprog(f,A,b,[],[],lb) 输出结果：
第六周作业(1) 1． 用对偶单纯形法解下列问题： 12123123123max ..1(3)21,,0x x s t x x x x x x x x x +????=???++≥??≥? 答案：无界 12345123456812345834578min 4352..22331(4)322423320,1,,8j x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ?++++??+?+?++=??+?+?+=???+?++=??≥=? " 答案：min (0,0,0,0,3,0,1,10)6f =， 第六周作业（2） 1． 给定下列线性规划问题： 123 123123123min 2..26 44,,0x x x s t x x x x x x x x x ??+++≤+?≤≥ 它的最优单纯形表如下表： 1 23453 1112011333121413 0333152606 0333 x x x x x x x ?????? （1） 若右端向量64b ??=???? 改为2'4b ?? =????，原来的最优基是否还是最优基？利用原来的最优 表求新问题的最优表。 （2） 若目标函数中1x 的系数由12c =?改为1 c ′，那么1c ′在什么范围内时原来的最优解也是新问题的最优解？ 答案：（1）min (2,0,0),4f =?
（2）1 1c ′≤? 2． 考虑下列线性规划问题： 123 123123123max 5513..320 1241090,,0 x x x s t x x x x x x x x x ?++?++≤++≤≥ 先用单纯形方法求出上述问题的最优解，然后对原来问题分别进行下列改变，试用原来问题的最优表求新问题的最优解： （1） 目标函数中3x 系数3c 由13改变为8； （2） 1b 由20改变为30； （3） 2b 由90改变为70； （4） A 的列由112???????改变为05?????? ； （5） 增加约束条件：12323550x x x ++≤。 答案：最优解为max (0,20,0),100f = （1）最优解不变； （2）max (0,0,9),117f = （3）max (0,5,5),90f = （4）最优解不变 （5）max 2550, ,,9522f ??=????