第11讲 周期工程问题
了解工作量、工作时间及工作效率的意思； 能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率； 理解三者之间的关系，并用三者关系解题。
熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；
（1） 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； （2） 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；
（3） 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．
考点一：周期性工程问题
例1、一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？
【解析】甲1小时完成整个工程的16
，乙1小时完成整个工程的1
10
，交替干活时两个小时完成整个工程的11461015+
=，甲、乙各干3小时后完成整个工程的443155?=，还剩下1
5
，甲再干1小时完成整个工程的1
6
，还剩下130，乙花1
3
小时即20分钟即可完成．所以需要7小时20分钟来完成整个工程．
例2、一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？
【解析】甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于
教学目标
知识梳理
典例分析
甲、乙轮流做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为1V 和2V ，那么1211
2
V V V =+，所以122V V =，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要1728.5÷=天．
例3、蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时；排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟) 【解析】法一：
1小时排水比1小时进水多1123515-=，121
321510
÷=L
，说明排水开了3小时后（实际加上进水3小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子水的1
10
，
再过1小时，水池里的水为一池子水的113
10510
+=，
把这些水排完需要319
10310÷=小时，不到1小时，
所以共需要 99
6171010
++=小时7=小时54分．
法二：
1小时排水比1小时进水多1123515-=，211
415230
?-=，
说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的1
30
， 排一池子需要3小时，排一池子水的130
需要11
33010?=小时，
所以实际需要19
871010
-=小时7=小时54分．
考点二：水管问题
例1、一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，
还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？
【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为1
111225410-?-?=，所以乙的工作效率为：11(622)1020
÷--=，所以整池水由乙管单独灌水，需要1
12020
÷=（小时）．
例2、一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
【解析】先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
考点三：比例法及工资分配问题
例1、有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费的，甲、乙两队合作，10天可以全部完工，共需要支付18000元，由乙、丙两队合作，20天可以完工，共需要支付12000元，由甲、丙两队合作，12天可以完成，共需要支付15000，如果该工程只需要一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早完工____天.需要支付速度最快的队伍____元.
【解析】甲乙丙的工效和为1117210122060??++÷=
???
，所以甲的工效为711
602015-=，乙的工效为711601230-=
，丙的工效为711
601060
-=，所以从时间上考虑，应该选择甲，会比丙早完工601545-=天，同样的道理，甲乙丙的每日工资之和是 180001200015000
(
)21825102012
++÷=（元），所以甲的每日费用为182********-=（元），乙的费用为182********-=（元），丙的费用为1825180025-=（元），所以需要支付速度最快的队伍12251518375?=（元）
例2、一项工程，甲15天做了14
后，乙加入进来，甲、乙一起又做了14
，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天?
【解析】方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为
1
.60
又乙、丙工作的天数之比为(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等．即甲、乙合
作完成的
14
的工程与甲、乙、丙合作完成111
1442--=的工程所需的时间相等．所以对于工作效
率有：(甲+乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=1
.60
又有乙、丙的工作效率的比为3：
5．易知乙的工作效率为3,120
丙的工作效率为：5
.120那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：
113118
15()()156627460120260120
+
÷++÷+=++=天. 方法二：显然甲的工作效率为1
60
，设乙的工作效率为3x ，那么丙的工作效率为5x ．所以有乙工作的天数为
1111(3)(8),460260x x ÷++÷+丙工作的天数为11
(8).260
x ÷+且有111111(3)(8)2(8).460260260x x x ÷++÷+=?÷+即1111(3)(8),460260x x ÷+=÷+解得1
.120
x =所以乙的工作效率为
3,120
丙的工作效率为高5
.120那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：113118
15()()156627460120260120
+÷++÷+=++=天.
? 课堂狙击
1.一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。甲乙合做1小时后，由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用________小时。 【解析】甲乙合做1小时后，还剩下：11171151220--=
，甲乙单独做2小时，共做113
151220
+=，还需要做2×5=10小时，还剩下
110，需要甲做1小时，还有111101260-=，乙还需要做111
60154
÷=小时，一共需要1+10+1+ 0.25=12.25小时
2.规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？ 【解析】根据题意，有：
10.810.6++L L 甲乙甲乙甲小时乙小时乙甲乙甲乙小时甲小时
，可知，甲做10.60.4-=小时与乙做10.80.2
-=小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量，所以，乙单独工作需要
9.85527.3-+÷=小时．
3.蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有16
的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？
【解析】甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：1
1117
3
4
5
6
60
-+-=
，循环5次后水池还空：实战演练
171156604-
-?=，14的工作量由甲管注水需要：113434÷=(小时)，所以经过33
452044
?+=小时后水开始溢出水池．
4.某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若
要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时．
【解析】要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小．所以，乙开放的时间为11
11041224??-
?÷= ??
?
(小时)，即甲、乙最少要同时开放4小时．
5.一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水？
【解析】由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入18236?=吨水的时间，则甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是
36:274:3=．那么在这两种情况下丙管注水的时间比为4:3，而且前一种情况比后一种情况多
注入27189-=吨水，则甲管注入18吨水时，丙管注入水9(43)436÷-?=吨．
所以该水箱最多可容纳水183654+=吨．
6.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？
【解析】开始时甲队拿到840050403360-=元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为
3360:50402:3=；甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为(3360960):(5040960)18:17+-=．设
甲开始时的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需x 天才能完成任务．有
(244):(343)18:17x x ?+?+=，化简为2165413668x x +=+，解得40
7
x =．工程总量为40
547607
?+?
=，所以原计划60(23)12÷+=天完成．
7.某工地用3种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三种车的辆数之比为10:5:7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？
【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15:14:14，速度之比为6:8:9，所以它们运送1次所需的时间之比为
1514145714
::::
689249
=，相同时间内它们运送的次数比为：249
::5714
．在前10天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为5:5:7．由于三种卡车载重量之比为10:7:6，所以三种卡车的总载重量之比为50:35:42．那么三种卡车在前10天
内的工作量之比为：24950:35:4220:20:275714
??????
???= ? ? ??
??
??
?
．在后15天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里的工作量之比为40:20:27．所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为：
2010401532
202027104020271579
?+?=++?+++?()()．
8.一项工程，甲、乙两队合干需2
25天，需支付工程款2208元；乙、丙两队合干需334
天，需支付工程款2400元；甲、丙两队合干需627
天，需支付工程款2400元．如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？
【解析】甲、乙一天完成工程的25125
12÷=；乙、丙一天完成工程的34
13415
÷=；甲、丙一天完成工程的67127
20÷=．所以，甲的工效为5741()21220154+-÷=；乙的工效为511
1246
-=；丙的工效为
71120410-=．
甲、乙一天需工程款2220829205÷=(元)；乙、丙一天需工程款3240036404
÷=(元)；
甲、丙一天需工程款6240028407
÷=(元)．所以，甲一天的工程款为
(920840640)2560+-÷=(元)；乙一天的工程款为920560360-=(元)．丙一天的工程款为840560280-=(元)．单独完成整个工程，甲队需工程款56042240?=(元)；乙队需工程
款36062160?=(元)；丙队需工程款280102800?=(元)．所以应该选择乙队．
? 课后反击
1、一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？
【解析】① 若甲、乙两人合作共需多少小时？
1
1
5
1
1171218365??
÷+=÷
= ???
（小时）． ②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ 11351
17112183636??-?+=-=
???
． ③余下的
1
36
由甲独做需要多少小时？
111
36123
÷=（小时）． ④共用了多少小时？ 11721433
?+=（小时）．
2、一项工程，甲、乙合作3125
小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多13
小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？
【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用的时间应与第一种做法相同，不会多1
3
小时，与题意不符．所以第一种做法的最后一小时是甲做的，第二种做法中最后13小时是甲做的，而这13
小时之前的一小时是乙做的，所以乙13+甲=甲，得乙23=甲．甲、乙工作效率之和为：35
112563
÷=
，甲的工作效率为：5231
(1)6336321
÷+==
， 所以甲单独做的时间为1
12121
÷=(小时)．
3、一项工程，甲队单独完成需40天。若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需______天。 【解析】甲每天完成
140
，甲乙合作中，甲一共完成201402=，所以乙也一共完成1
2，乙每天完成
1
60
，乙单独做要60天. 4、有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成．现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天．那么丙休息了 天．
【解析】设甲、乙工作了x 天，丙工作了y 天，则有：111
1363048x y ??++=
???
，
化简得4415720x y +=．由于15y 和720都是15的倍数，所以x 也是15的倍数，而7204417x <÷<，所以15x =，4y =，所以丙休息了15411-=天．
5、一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？
【解析】设1根排水管1小时排水为“1”，进水速度为(31883)(183)2?-?÷-=，原有水量为
(82)318-?=，如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开1882 4.25÷+=根出水管，
每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。
6、某市有一项工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标．三家公司的竞标条件如下：
公司名称单独完成工程所需天数每天工资/万元
甲10 5.6
乙15 3.8
丙30 1.7
⑴如果想尽快完工，应该选择哪两家公司合作？需要多少天完成？
⑵如果想尽量降低工资成本，应该选择哪两家公司合作？完工时要付工资多少元？【解析】⑴如果要想尽快完工，应该选择效率较高的两家公司．
由于甲、乙、丙三家公司单独做时，每天完成的工作量分别为1
10、1
15
、1
30
，所以应
该选择甲、乙这两家公司合作．
甲、乙两公司合作，完成工程需要的时间为11
1()6
1015
÷+=天；
⑵如果想尽量降低工资成本，应该选择完成全部工程所需总工资较少的两家公司．
由于甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所需要的工资成本分别为5.61056
?=万元、
3.81557
?=万元、1.73051
?=万元，所以应当选择甲、丙这两家公司合作．甲、丙两公司合作需要11
1()7.5
1030
÷+=天才能完成工程，完工时要付的工资为：
(5.6 1.7)100007.5547500
+??=元．
7、一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做此项工程需6个月完成，每月耗资5万元．
⑴请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？
⑵现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，
又最大限度节省资金．
【解析】⑴甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的1
4、1
6
，那么甲、乙合作所需
时间为：111() 2.446
÷+=个月；甲、乙合作 2.4个月所耗资金为：(95) 2.433.6+?=(万元)．
⑵甲工程队完成全部工作要耗资9436?=万元，乙工程队完成全部工作要耗资5630?=万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程．所以，在五个月内完成的最好方案为：乙工程做5个月，甲工程队做512(1)6
4
3
-÷=个月，即：甲、乙两工程队合作23
个月后，乙工程队再单独做
13
3
个月．
解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作效率可以通过工作时间得到，而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。在解题时，我们要弄清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。
工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量=工作效率×工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 工作效率=工作量÷工作时间
名师点拨
学霸经验
?本节课我学到了
?我需要努力的地方是
学员编号：学员姓名：学科教师辅导讲义 年级：三年级 辅导科目：奥数 课时数：3 学科教师： 授课主题 授课类型T同步课堂第09讲-周期问题 P实战演练S归纳总结 教学目标 授课日期及时段 ①学会对一个周期问题进行分析、推理； ②利用我们的规律来解决一些较简单的问题； ③通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。 T（Textbook-Based）——同步课堂 知识梳理 一、周期问题 在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。 二、解题策略 在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。 典例分析 考点一：一般周期问题 例1、小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？ 例2、你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什么。
（1）□△□△□△□△…… （2）□△△□△△□△△…… 例3、100个3相乘，积的个位数字是几？ 例4、有一列数按“432791864327918643279186……”排列，那么前54个数字之和是多少？ 例5、小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页？ 考点二：较复杂周期问题 例1、有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。 （1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？ 例2、假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？ A B C D 1234 5678 9… 例3、1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几？该月28日是星期几？（2）1994年1月1
童年是纯真的，童年是金色的，童年是多梦的。一张糖纸、一次争执、一句话语……看似平常，却饱含着我们的快乐、梦想和追求。学习本讲内容，感受文章的中心；通过对重点词语、句子的理解、品味，感受作者所表达的感情。 [成语万花筒] 1．请在下面括号内填上适当的数字，使每个成语完整无误。试一试，你准行。 （）劳永逸（）面三刀（）顾茅庐（）面楚歌（）光十色 （）亲不认（）零八落（）面玲珑（）牛一毛（）万火急 （）无聊赖（）篇一律（）马齐喑 【参考答案】依次填入：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万 2．填数词组成语。 （）穷（）白（）日（）里（）全（）美（）目（）行 （）落（）丈（）心（）意（）上（）下（）头（）臂 （）死（）生（）斤（）两（）山（）水（）言（）语 【参考答案】 一穷二白一日千里十全十美一目十行一落千丈三心二意 七上八下三头六臂九死一生半斤八两千山万水千言万语 第1讲 我们的童年（上）
讲义使用参考 [快乐热身]环节重点在积累成语，建议教师在授课的时候可以花几分钟的时间帮助学生积累。 [读文章试身手]环节选用了三篇关于童年的文章。《餐桌上的谜底》中，作者的童年虽然尝过了酸甜苦辣，却也得到了人生启示；《会飞的蒲公英》写了一个大山里的孩子在母亲的教导下梦想成真的故事；《一千张糖纸》回忆童年往事，讲述了一个关于“诺言”“童心”的故事，有一定难度，教师要注意通过提问的方式引导学生讨论、理解文章的中心及作者要表达的情感。每篇文章后都有[教学思路导引]这个环节，教师参考这些内容，也可以补充其他相关问题。 在授课中，建议先让学生阅读文章，教师提出一系列问题，引导学生分析讨论。教师在学生讨论中进一步引导，帮助学生得出结论，最后再让学生做文章后的习题，教师讲解方法，订正答案。 （一）餐桌上的谜底 小时候，每晚入黑的时候，我总要瞧准时机，站在自家门口，闻对门邻居餐桌飘出的肉香。那时，我家半个月才吃一次肉，我实在是太馋了。 每次，闻着邻居家飘出的肉香，我会身不由己地移动脚步，一步一步地①（挪、走、跑）到邻居家门边。 这时，邻居会夹上一块放在我的手心，说：“回去吧，回去叫你妈妈也买一点肉吃。”有时几个弟妹也去，搅得邻居好烦。 有一天，我终于问妈妈：“邻居的餐桌上为什么总有鱼和肉？” a 妈妈没有回答我。一个星期天，妈妈喊上我，问：“你今晚想不想吃肉？”我说：“想！做梦都想。”妈妈说：“好吧，你跟我去。” 妈妈带我到一家建筑工地，向工头要了一截土方。工头在土方上画了白灰线，挖完线内的土方给20元钱。妈妈说：“挖吧，挖完了，今晚就有肉吃了。”
第11讲周期问题 一、知识要点 周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。 二、精讲精练 【例题1】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？ 【思路导航】根据题意可知，这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，即5＋9+13=27（朵）花为一个周期，不断循环。因为249÷27＝9……6，也就是经过9个周期还余下6朵花，每个周期中前5朵应该是红花，第6朵应是黄花。 249÷（5＋9+13）＝9 (6) 红花有：5×9+5＝50（朵） 黄花有：9×9+1＝82（朵） 绿花有：13×9＝117（朵） 答：最后一朵是黄花。红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵。 练习1： 1. 1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？ 2. 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？ 【例题2】下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？ 【思路导航】因为每相邻的3个数字之和为17，从左数起第一位数字与第二、三位数字之和为17，第二、三位数字与第四位数字之和也是17，所以第四位数字是8。这样，就找到一条规律：从左向右每3位一循环，每隔两位必出现一个相同的数字。 从最末一位数字“6”开始，自右向左，每隔2位出现一个“6”，所以“？”表示的数字应该是“6”。 答：“？”表示的数字是6。 练习2： 1.下面是一个8位数，每3个相邻数字之和都是14，你知道问号表示数字是几吗？
第11讲 周期问题 一、知识要点 周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。 二、精讲精练 【例题1】 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？ 【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。 练习1： 1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？ 2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？ 3.1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？ 【例题2】 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？ 【思路导航】（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯； （2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋ 2=12（盏），占总数的12/47；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的
简单的周期问题 一、填空题 1．某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_________． 2．1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期_________． 3．按如图摆法摆80个三角形，有_________个白色的． 4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是_________灯． 5．时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是_________时． 6．把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在_________列． 7．把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是_________． 8．循环小数与．这两个循环小数在小数点后第_________位，首次同时出现在该位中的数字都是7． 9．一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991个数． （1）其中共有_________个1，_________个9_________个4； （2）这些数字的总和是_________．10．所得积末位数是_________． 二、解答题（共4小题，满分0分） 11．紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如8×9=72，在9后面写2，9×2=18，在2后面写8，…得到一串数字：1989286… 这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？ 12．1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？ 13．n=，那么n的末两位数字是多少？ 14．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？
第1讲等高（深）线地形图 一、等高线地形图的判读及应用 1.判读规律
2．在生产实践中的应用 ⑴选点： ⑵选线： ①公路、铁路线：选择坡度平缓、线路平稳、弯路较少的线路，避免通过陡崖、沼泽、永久冻土区、地下溶洞区等，尽量少过河建桥，以降低施工难度和建设成本，并保证运行安全。 ②引水线路：线路尽可能短，避免通过山脊等障碍，并尽量利用地势使水自流。 ③输油、气管线：线路尽可能短，尽量避免通过山脉、大河等。 (3)选面： 二、等值线的判读方法 等值线图一直是高考中最为常见的地理图像之一。判读等值线图要“六看一分析”，即看图名、看疏密、看走向、看弯曲、看数值、看特殊，分析原因。 1.看图名：等值线的类型多种多样，读图名明确等值线图所要反映的地理事物，即等高线、等压线、等温线、等降水量线、等盐度线、等人口密度线、等震线、等时线、等潜水位线、等太阳高度线和等太阳辐射线等。
2.看疏密：等值线稀疏，说明单位距离内的差值较小；等值线密集，说明单位距离内的差值较大。如等高距一定时，等高线愈密则坡度愈陡，水流愈急；同一幅图中，等压线越密的地方，风力越大。 3．看走向：表明等值线数值变化的大致趋势及其主要受何种因素的影响。如等高线的走向表明了地形的起伏趋势；等温线大致呈东西走向表明气温主要受纬度影响，等温线大致与海岸线平行表明气温主要受海陆分布影响。 4.看弯曲：确定弯曲部分为高值区还是低值区，一般采用辅助线法和相关推理法。 ⑴辅助线法： ①垂线法：在等值线图上弯曲最大处的两侧作各等值线的垂线，方向从高值指向低值。若箭头向中心辐合，则等值线弯曲处与两侧相比为低值区；若箭头向外围辐散，则等值线弯曲处与两侧相比为高值区(如下图)。 ②切线法：在等值线弯曲最大处作某条等值线的切线，比较切点与切线上其他点的数值大小。若切点数值小于其他点的数值，则该处为低值区；若切点数值大于其他点的数值，则该处为高值区(如下图)。 ⑵相关推理法：①由山顶推出山脊：山脊是山顶向外延伸的部分，即山脊的等高线是由山顶等高线向外凸出的部分；由盆地推出山谷：山谷是盆地向外延伸的部分，即山谷的等高线是盆地等高线中向外凸出的部分。如下图所示（单位:m）： ②同理可由高压中心的等压线推出高压脊，由低压中心的等压线推出低压槽。
《周期问题》教案 教学内容：沪教版三年级上《周期问题》 教学目标： 知识与技能： 1、使学生结合具体情境，探索并发现简单周期现象中的排列规律，能根据规律确定某个序号所代表的是什么物体或图形。 2、知道使用除法，利用余数进行推理方法的便捷，掌握利用余数进行推理的方法。 方法与过程： 1、体会画图、计算等解决问题的不同策略，能根据实际情况，选择合适的解决问题的策略。 情感态度与价值： 1、经历探索、合作交流的过程，使学生在探索规律的过程中体会数学与日常生活的联系，获得成功的体验。 教学重点：让学生用除法计算的策略解决这类排列问题。 教学难点：计算策略中，确定几个物体为一组，怎样根据余数来确定某个序号所代表的是什么物体或图形。 教具准备：多媒体 教学过程： 一、情景谈话，导入新课 1、谈话引入： 师：小朋友知道现在是什么季节吗？（秋季） 秋季过了，接下去是什么季节呢？（冬季） 再接着是什么季节呢？（春季、夏季） 过完夏季我们又该到什么季节了？ 师：我想过完秋季直接过春季行吗？ 那能不能再继续过秋季？为什么不行？ 师：又如我们每个星期的学习生活是从那天开始的？（周一）接着是周几？ 小结：一年四季春夏秋冬、每个星期都是按照规律依次重复出现，周而复始。 像这样：按照一定的规律，依次不断重复出现的，我们把这种现象叫“周期”
出示课题：周期问题 二、动手操作，感知周期（有序排列） 1、出示：下列图形发现什么规律？你能接着画吗？ ①○□○□○□ ②△□○△□○△□○ ③◇○○□□◇○○□□ 反馈交流 师：哪几个在重复出现的？ ①每两个一组，按照○□重复出现；②每三个一组，按照△□○重复出现；③每五个一组，按照◇○○□□重复出现； 小结板书：“每几个一组”、“依次重复出现” 三、自主探究，体会规律 １、出示： 想一想：这串图形中，第31个是什么图形？（在练习纸上试一试）（1）○△□○△□○△□……（）…… 反馈： ⑴：画图： ⑵：计算： 31÷3=10（组）……1（个）（板书）○ 讨论：算式中的“31”、“3”、“10”、“1”分别表示什么？ 师：那么这1个它是在第几组第几个？ 小结： 第31个是在第11组的第1个，每一组的第1个都是○，所以第31个是○。（2）△△△○△△△○……（）…… 计算： 31÷4=7（组）……3（个）（板书）△ 2、试一试： （1）盆花的问题
Unit 1 词汇篇 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 学生通过本讲学习，能够掌握本单元的重点词汇句型，并在综合能力上有一定的拓展。 1.matter的用法 （1）名词：事情，问题What’s the matter? =what’s wrong (with you)? =what’s the trouble 怎么啦？出什么事啦？ （2）动词：有重大影响，有重要性如：What does it matter? 2.疾病的表达法 have a cold/a fever/ a toothache/ a stomachache 3.take 的固定搭配 take one’s temperature/ take breaks/ take risks/take some medicine/take off/ take care of/take away 4.surprise的用法 1.做名词：to one’s surprise 使。。。惊讶的，出乎。。。意料 2.做动词：surprise sb使某人吃惊 3.做形容词：surprising, surprised的用法 5.get的用法 get off下车/get on上车/get into陷入，参与 6.be used to sth/doing sth 习惯于做某事 be used to do sth 被用作去做某事 used to do sth 习惯于做某事 7.out of的固定搭配 look out of 向。。。外看/ get out of从。。。出来/ run out of用光
第十一讲周期问题（一） 学习内容：基本周期问题 学习目标：1、明确几个周期问题的算法 2、周期不明显的问题，由给出的特征规律多写出一些，找到规律 3、记住一些简单常用的周期，如一周七天 在日常生活中，有一些按照一定规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等，像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。 在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定术，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。 周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期. 分类：1．图形中的周期问题； 2．数列中的周期问题； 3．年月日中的周期问题； 4. 一个数连乘几次的周期问题。
周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。 ⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期， 如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个； 一、图形中的周期问题 例1、小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列： ●●○●●○●●○… 你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球第100个又是什么球呢 例2、★★○○○★★○○○★★○○○……这样的一排图形中第87个是什么图形 例3、小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列． ⑴第73颗是什么颜色的 ⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗 ⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子
五年级奥数举一反三第11周周期问 题 专题简析； 周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。 例题1 流水线上生产小木球涂色的次序是；先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？ 分析根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。 练习一 1，跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？ 2，有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？
3，1/7=0，142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？ 例题2 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？ 分析〔1〕我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5〔组〕……2〔盏〕，余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯； 〔2〕由于47÷9=5〔组〕……2〔盏〕，所以红灯共有2×5＋2=12 〔盏〕，占总数的12 47；蓝灯共有4×5=20〔盏〕，占总数的20 47 ；黄灯 共有3×5=15〔盏〕，占总数的15 47 。 练习二 1，有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？ 2，黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着；○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？ 3，在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。这些同学中共有多少个女生？
第1讲分数乘法
知识点一：分数乘整数 1. 分数乘整数的意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。 2. 分数乘整数的计算方法 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 3. 分数乘整数的简便算法 能约分的可以先约分，再计算，这样可以简便些。 知识点二：分数乘分数 1. 分数乘分数的意义 分数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少。 2. 分数乘分数的计算方法 用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。 3. 分数乘法的简便运算 能约分的要先约分，后计算，计算结果必须是最简分数或整数。 知识点三：小数乘分数 1. 能约分的先约分再计算比较简便。 2. 可以把小数转化成分数来计算；如果分数能化成有限小数，也可以把分数化成小数来计算。知识点四：分数乘法运算定律 1. 应用乘法的运算定律时要做到： 一看符号：看运算符号是不是符合运算定律的要求；
二看数：看参与计算的数是否符合简便计算； 三选定律：根据参与运算的数和符号，选择合适的运算定律； 四计算：运用运算定律进行计算。 2. 连续求一个数的几分之几是多少的实际问题有两种解法： （1）用已知量（原始单位“1”的量）依次乘已知分率。 （2）先把各分率按顺序相乘，求出所求问题占原始单位“1”的量的分率，再用原始单位“1”的量乘这个分率。（2.1）解题关键是明确每一步中谁是单位“1”。 （2.2）每一步中的数量关系是：单位“1”的量×比较量占单位“1”的几分之几＝比较量。 3. 求比一个数多(或少)几分之几的数是多少的问题；已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的问题。两类问题都可以用以下两种解法： （1）单位“1”的量+单位“1”的量×这个数量比单位“1”的量多(或少)几分之几=这个数量 （2）单位“1”的量× (1+这个数量比单位“1”的量多(或少)几分之几)=这个数量 考点一：分数乘整数
课题：周期问题 班级姓名 一、本讲知识点和能力目标 1、知识点：周期。 2、知识目标：（1）让学生知道许多事物的变化都具有周期性，掌握其 中变化的周期，并能灵活运用周期变化规律解决实 际问题。 （2）通过自主互动式的学习，提高学生主动探究问题的 能力。 （3）初步渗透物质世界是变化的规律，引导学生善于自 主发现规律，并生成认真研究规律的好习惯。 3、能力目标：能够运用数学方法解决生活中的周期问题. 二、教学方法 自主、启发与导学 三、本讲内容安排 第一课时周期的意义和初级类型。 第二课时较复杂的周期问题。（代表性问题） 第三课时周期问题的拓展和探索。 第四课时独立练习 四、课外延伸、知识拓展 周期与余数问题的结合 五、需要理解和记忆的知识 在日常生活中了那么多现象都是按照一定的规律、依次不断 重复出现的，我们把这种现象叫做周期现象
儿歌 从前有座山， 山里有个庙， 庙里有个老和尚给小和尚讲故事。 讲的是， 从前有座山， 山里有个庙， 庙里有个老和尚给小和尚讲故事。 讲的是， 从前有座山， 山里有个庙，…… 常见的简算形式 有关时间的儿歌 一、三、五、七、八、十、腊，三十一天永不差。 四、六、九与十一三十天要牢记。 二月只有二十八。 平年三百六十五，闰年再把一日加。
第一课时 【经典例题】 例1．根据周期找位置： （1）卡片出示：△○○△○○△○○△○○…… 3个一组——一个△两个○ （2）学生同桌说一说排列规律，说出它的变化周期是几？ 答：变化周期是3 （3）提问：第13个图形是什么？第60个呢？ 13÷3=4（组）………1（个） 60÷3=20（组） 答：第13个图形是△。第60个是○。 例2．在3.4507507……中的第50位小数是几？ 50÷3=18（组）……2（个） 答：第50位小数是0。 例 3.2007年六·一是星期五，明年的六、一儿童节将会是星期几？ （365＋1）÷7 =366÷7 =52（周）……2（天） 答：明年的六、一儿童节将会是星期日。 【要点】弄清楚周期是几！
小学数学《周期问题》练习题（含答案） 【例1】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？ 分析：这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有5+9+13=27（朵）花。因为249÷27=9……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花。按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花。 答案：249÷（5+9+13）=9 (6) 红花有：5×9+5=50（朵） 黄花有：9×9+1=82（朵） 绿花有：13×9=117（朵） 最后一朵是黄花。红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵。 【例2】2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？ 分析：2002年平年。每7天为一个星期，也就是为一个周期；从2002年1月1日到2002年12月31日为365天，到2003年1月1日是第366天。关键在于一个周期的第一天是星期几。 答案：366÷7=52（周）……2天。本题一个周期的第一天是星期二，所以，余2天就是星期三。 2003年的1月1日是星期三。 拓展训练 100个同学从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位 数，后面的同学就要报出这个数与7的和；如果某个同学报的数是两位数，后面 的同学就要报出此数的个位数字与4的和．现在让第一个同学报1，问最后一个 同学报的是多少？ 答案：依次为1，8，15，9，16，10，4，11，5，12，6，13，7，14，8，15…以13为周期。 最后一个同学报5。 【例3】有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个，按4个红珠，3个白珠，2个黑珠的顺序排列着。黑珠共有几个？第101个珠子是什么颜色？ 分析：4＋3＋2＝9，所以珠子9个为一周期。 答案：160÷9＝17…7，所以黑珠有17×2＝34个。
第一讲 博览群书 学习目标 1、巩固书本上的基础知识，增加学生关于“书”的知识积累。 2、引导学生把握内容，体会对书的深厚感情。 3、能联系上下文和自己的积累，体会文章中含义深刻的句子。 4、在阅读中能够结合学习和生活实际，习得一些读书和习作的方法。
考点介绍 略高要求内容基本要求较高要求整体扩充局部扩充运用修辞、形象生动扩句知识体会文章字词句的含义把握文章内容课内阅读理解文章中心 体会感情，发表看法把握内容、中心课外阅读体会重点字词的含义 理解含义，正确使用正确书写、默写课下积累必须认真看 基础知识 【课前热身】把下列关于“读书”的名言警句补充完整。。（陈寿） 1、一日无书，，下笔如有神。（杜甫）、2 ，善读之可以医愚。（刘向）3、 4，白首方悔读书迟。（颜真卿）、 。（朱熹）5、读书有三到，【参考答案】、百事荒芜1 2 3、书犹药也、读书破万卷、黑发不知勤学早 5、谓心到、眼到、口到4 教学参考．本讲安排关于“读书”的名言警句，学生可以先独立填写，教师进行订正。1 2．说一说：这些名言警句分别告诉我们什么？或者是：什么情况下可以引用这些句子？ 3．教师针对一些诗句可以进行简单讲解、补充，要求学生积累。 【故事】学无止境苏轼年少时，天资聪颖，他广泛阅读诗书，博通经史，又长于作文，因而受到人们的赞赏，自矜之情亦随之而萌。． 一日，苏轼于门前手书一联：“识遍天下字；读尽人间书。”“尽”与“遍”对，活画出苏轼当时的自傲之心。没料到，几天之后，一鹤发童颜老者专程来苏宅向苏轼“求教”，他请苏轼认一认他带来的书。苏轼满不在乎，接过一看，心中顿时发怔，书上的字一个也不认识；心高气傲的苏轼亦不免为之汗颜，只好连连向老者道不是，老者含笑飘然而去。 苏轼羞愧难当，跑到门前，在那副对联上各添上两字，境界为之一新，乡邻皆刮目：“发愤识遍
周期问题 在我们的日常生活中，经常会遇到一些按照一定的规律不断重复出现的现象。例如： ⑴一年四季：春、夏、秋、冬的次序反复出现。 ⑵一周7天：按照周一至周日的顺序反复出现。 ⑶ 12生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪的顺序不断反复出现。 典型例题 例1我国的农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这十二种动物按顺序轮流代表个年的年号。例如，第一年如果属鼠，那第二年就是属牛，第三年就是虎年，……，如果公元1年是猴年，那么公元1201年是什么年？ 分析：人的生肖是依次不断重复的出现的，12年为一个周期。从公元1到公元1201年，正好经历了1201年。采用余数除法计算： 1201÷12 = 100（组）……1（个），余数是1，按照顺序猴年的下一年是鸡年，所以公元1201年是鸡年； 可以任意出数字让学生计算，注意数字简单。 例2一串珠子如图排列，规律是“三红、二黄”，想一想，第30 颗是红色还是黄色的？那第52颗呢？
分析：这是一个典型的周期，这串珠子的排列规律是“三红、二黄”，每5个珠子组合成一组，这5个珠子不断地重复出现，所以周期是5。我们可以通过余数找出中间珠子的颜色。 30÷（3+2）=6（组），正好整除，所以第30颗是黄色的； 52÷（3+2）=10（组）……2（个），余数是2，所以第52颗是红色的； 可以任意出数字让学生计算，注意数字简单。 例3羊村的村长手里有1︿36号数字卡片，依次发给喜羊羊、美羊羊、沸羊羊、暖羊羊和懒羊羊五个小朋友，请问第36号卡片发给谁？谁拿到的卡片最多？ 分析：“喜羊羊、美羊羊、沸羊羊、暖羊羊和懒羊羊”这五个羊羊实际上相当于一个周期，就是说36张卡片按照，每5张为一个周期，36里一共有多少个周期，余数是多少。 36÷5=7（组）……1（张），余数是1，说明这种卡片是第7个周期以后，应该是给喜羊羊。喜洋洋比其他小朋友多拿一张，也就是喜洋洋拿到的最多。 想一想：那第28张应该发给谁？ 例4有一列数字，按432791864327918643279186……排列。那么第 54个数字是多少？ 分析：我们发现，这个数是43279186一直循环下去的，也就是每6个数字作为一个循环周期，而54=6×9，所以第54个数字就是第9个循环周期的最后一个数字6。 例5有一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，… （1）第51个数是多少？
1. 握手问题思维方法：将每一个握手的人看做一个点，2个点的连线表示握手一次。 2. 解一元一次方程的5个步骤：第一步：去分母 第二步：去括号 第三步：移项 第四步：合并同类型 第五步：系数化为1 3. 解二元一次方程组的方法：通过消元，转化成解一元一次方程。 1.咱班共有18个学生, 你去和其余同学握手,你要握手 17 次. 2.每两个学生握手一次,你不是特殊的，其他每个学生都握手 17 次. 3.18个学生,每两个学生握手一次,一共要握手 306 次. ★ 握手次数问题及变式的一般性结论 1.咱班共有x 个学生, 你去和其余同学握手,你要握手 X-1 次. 2.每两个学生握手一次,你不是特殊的，其他每个学生都握手 X-1 次. 3.现有x 个学生,每两个学生握手一次,一共要握手 2 1 X*(X-1) 次. 例1.如果在老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生一共握手780 次，那么请算出老师所教的班级共有多少名学生？ 解： 2 1 X*(X-1)=780, X=40,-39(舍去). 练习1.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间比赛一场,计划安排15场比 赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解： 2 1 X*(X-1)=15，X=6,-5(舍去). 迁移新知 例2.平面上有n 条直线，两两相交于不同的点； （1）交点个数总共有多少个？ （2）交点个数可以是100个吗，若可以,求出n 的值;若不可以，请说明理由. 解：（1）21n*(n-1) （2）2 1 n*(n-1) =100，n=11，-10（舍去）. 第1讲 握手问题及方程铺垫
◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆ 第十一讲 周期问题 知识要点 1．找出周期 2．第几天数（第几个数）÷周期=份数……余数 从第一个数数起，余数的个数即为所求。 典型例题 例1 如图11-1，每列上面的字和下面的字母组成一组，如果第一组是（我，A ），第二组是（们，B ），…，第100组是____________。 例2 1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期___________。 例3把珠子一个一个地如图11-2按顺序往返不断投入A 、B 、C 、D 、E 、F 袋中，第1992粒珠子投在__________袋中。 我 们 爱 数 学 我 们 爱 数 学 我 们 …… A B C D E F G A B C D …… 图11-1 F E D C B A 5 7 15 17 4 8 14 18 3 9 13 (2) 10 12 1 6 16 图11-2
◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆ 例4 有一串数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…其中第1、第2个数都是1，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的和。那么在这串数中，第2000个数被3除后所得的余数是几？ 例5 求1993 1993的个位数数字？ 例6 788888 100÷43421Λ个，当商是整数时，余数是几？商的末位数字是几？ 练习题 1．2002年1月1日是星期二，那么，2002年6月1日是星期几？
◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆ 2．2001年10月1日是星期一，那么，2003年1月1日是星期几？ 3．数手指。大拇指为1，食指为2，中指为3，无名指为4，小拇指为5；然后换向，无名指为6，中指为7，食指为8，大拇指为9；再换向，食指为10，……这样数到1998时，应该停在哪个手指上？ 4．观察下面一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… （1）这列数中第1999个数字的个位数字是__________； （2）这列数中第1999个数除5的余数是___________。 5．求1992 66719923 的个位数字。
四年级奥数举一反三第二十八 周周期问题 专题简析； 在日常生活中’有一些现象按照一定的规律不断重复出现’例如’人的生肖、每周的七天等等。我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。 解答周期问题的关键是找规律’找出周期。确定周期后’用总量除以周期’如果正好有整数个周期’结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个’那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环’可以从总量里减掉不是特球的个数后’再继续算。
例1；你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律’算出每组第20个图形分别是什么。 [1]□△□△□△□△…… [2]□△△□△△□△△…… 分析与解答；第[1]题排列规律是“□△”两个图形重复出现’20÷2=10’即“□△”重复出现10次’所以第20个图形是△。第[2]题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现’20÷3=6…2’即“□△△”重复出现6次后又出现了两个图形“□△”’所以第20个图形是△。 练习一 [1]□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么？ [2]盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？ [3]公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列’第63只灯泡是什么颜色？第112只呢？
例2；有一列数’按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。 [1]第129个数是多少？[2]这129个数相加的和是多少？ 分析与解答；[1]从排列可以看出’这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列’那么一个循环就是4个数’则129÷4=32…1’可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。所以第129个数是5。[2]每组四个数之和是5+6+4+2=17’所以’这129个数相加的和是17×32＋5=549。 练习二 1’有一列数；1’4’2’8’5’7’1’4’2’8’5’7… [1]第58个数是多少？[2]这58个数的和是多少？ 2’小青把积存下来的硬币按先四个1分’再三个2分’最后两个5分这样的顺序一直往下排。[1]他排到第111个是几分硬币？[2]这111个硬币加起来是多少元钱？ 3’河岸上种了100棵桃树’第一棵是蟠桃’后面两
写在竞赛课堂之前 亚里士多德开启了理性分析世界的物理学的第一篇章，虽然，他的篇章中多数内容都是错误的。例如，他认为自然界应该有四种基本“元素”：风，火，土，水组成，例如他认为重的东西下落的快，例如，他认为地球是静止不动的等等。后来，历史逐渐纠正了这些错误。但是不得不否认，亚里士多德的分析问题的一些基本思想：分析问题的基本构成，分析事物间的联系，抽象物理量等等都为后人的工作打下了良好的基础。 伽利略是个热爱实验的好童鞋，他用假想的逻辑性很强的实验，验证了并不是重的东西就下落的快；他亲自设计实验，设计建造计时器，研究了困扰世人几个世纪的落体问题，给出了匀加速运动的公式。这些工作都透露着物理的理性之光：严密的逻辑推理和尽量精确的实验验证。 突然有一天，伽利略童鞋挂了，同一天，牛顿牛童鞋出生了。然而，他写的书《自然哲学的数学原理》的发表，远远要比他的出生更为重要。因为，他第一次以用占据当时数学制高点的微积分，解释了当时的物理学前沿：天体运动。在他的严密的逻辑推理+数学推演下，人眼所能见到的一切，似乎都有了可计算的答案。就连牛顿自己所相信的“上帝”似乎都不再具备存在的价值。 就在一切都按照牛顿给出的“三大定律”和“万有引力定律”所构建的完美机械世界中运行的时候，一个在欧洲的专利局小职员，对这个世界的一个基本性质提出了质疑：爱因斯坦发表文章，质疑时间的绝对性，并且以另一种他认为是绝对的东西作为基本原理，开辟了另一片物理世界的天空。在爱因斯坦的理论框架中，牛顿的理论仅仅是速度很小的一种粗略的近似。 后来，前仆后继的各种人又相继的给出了更多对于我们能见到的，看不到的，感受得到的，感受不到的万事万物的运行机制的解释。他们运用着理性之光，通过分析总结，假设，实验，修正，再实验验证的方式不断的重塑着人类对于一切的认识。这群人，就是物理学家。 Physics is what physicists do.
周期问题 导言： 在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现。我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。 要解决这类问题，关键要抓住两点： ①找出规律，找出周期。即多少个（次）又出现重复 ②用总量除以周期，看余数，余几就是周期里的第几个，没有余数就是最后一个。 例1．有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、、、、、、、 （1）第2009个数是多少？ （2）这列数字中，“2”会出现多少次 （3）这2009个数相加的和是多少？ 解析：仔细观察，这2009个数不是随意排列的，每六个数重复一次，按1、4、2、8、5、7一个循环依次不断重复出现排列的。周期找到了，接着用总量除以周期，把余数与周期对比，很容易解答问题。 （1）2009÷6=334…5，即重复了334次，还余5个数，分别是1、4、2、8、5。所以第2009个数就是5 （2）（1、4、2、8、5、7）重复了334次，“2”也就出现了334次，再加上余下的五个数中，“2”又出现了一次，所以，数字“2”总共出现了335次 （3）我们把2009个数按每一组（1、4、2、8、5、7）这样分组，可以分成334组，还剩5个数，334组的数都相同，每组的和=1+4+2+8+5+7=27，那么这334组的总和是27×334=9018，再加上还余下的五个数，即为2009个数的总和了。 （1+4+2+8+5+7）×334+（1+4+2+8+5）=9018+20=9038 例2．求2×2×…×2（2008个2相乘）+ 3×3×…×3（2009个3相乘）的个位数字 解析：要想求和的个位数字，关键是要求出每个加数的个位数字。
1．能够读准字音、认准字形、辨明字义； 2．积累成语、歇后语，通过练习，正确运用成语、歇后语； 3．准确使用关联词语； 4．小升初面试支招（一）。 [成语万花筒] 请在下面括号内填上适当的数字，使每个成语完整无误。试一试，你准行。 （ ）尘不染 （ ）姓之好 （ ）思而行 （ ）海为家 （ ）体投地 （ ）神无主 （ ）窍生烟 （ ）面威风 （ ）霄云外 （ ）全十美 （ ）感交集 （ ）载难逢 （ ）象更新 【参考答案】 依次填入：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万 [文常小贴士] 1．《史记》的作者是汉朝的司马迁，《史记》既是中国第一部纪传体通史，又是中国第一部传记文学 名著，被鲁迅先生誉为“史家之绝唱，无韵之《离骚》”。 2．《汉书》是我国第一部纪传体断代史。《汉书》的纪、表、志、传，体例完备，现存汉以后各朝代 所谓的正史，基本都是沿用《汉书》的体例，《汉书》在中国文学史是有巨大贡献，作者班固。 3．《资治通鉴》是我国最著名的编年体通史，是宋朝的司马光负责编纂的。 第1讲 固本夯实强基础（一）
讲义使用参考 学生经过六年的学习积累，已经掌握了一定的知识，但会了的东西还不能成为能力，只有熟练了的东西，达到“熟能生巧”的程度，才能在限定的时间内运用自如。本学期进入总复习阶段，目的在于帮助学生系统梳理、强化训练这些知识。本学期共12次课，从基础知识、阅读理解、写作这三方面进行集中训练，中间穿插小升初面试的真题及应答技巧。通过训练，帮助学生理清语文学习的脉络，巩固已学的知识和方法，学会灵活运用，提高学习能力，为将面临的小升初考试和以后初中学习奠定基础。 本学期[快乐热身]环节增加[文常小贴士]，主要给学生介绍一些文学知识和文化常识，扩展学生的眼界和知识面，也是为小升初备考。每次内容2－3条，不拘形式，教师可以留为课后复习作业，在下一次上课的时候检查学生记忆的情况。 本讲重点在于对字、词进行系统梳理及强化训练，[方法导引]环节提供了一些解题方法和答题技巧，教师在授课的过程中结合例题讲解这些方法和技巧，要求学生记笔记。 [实战演练]环节提供了一些经典例题，教师引导学生解答例题，并讲解相关解题方法和技巧。 [牛刀小试]环节提供一些例题，让学生自己答题，目的在于让学生在实际解题的过程中巩固方法，运用答题技巧。 [小升初面试支招]选取了一些学校历年面试真题，请教师课上花几分钟时间给学生讲一讲，让学生了解面试题目，提前做好准备。 （教师专用，学生讲义上没有这部分内容。教师结合实际引导学生记笔记。） 一、汉字 （一）多音字 汉字大部分只有一个读音，但也有一些汉字有两个或两个以上的读音。我们掌握了辨识的方法就能 准确选择正确的读音。 1．看词性。有的多音字因词性不同而读音不同。如“钻”组成动词的时候读“zuān”（钻研）（钻探），组成名词的时候读“zuàn”（钻井）（钻头）。 2．看词义。有的多音字组成的词，当它的意思与某事物或现象有关时，读同一个音；与另外一个事物或现象有关时，读另一个音。如“强”组成的词语，当词语意思与“壮”有关时读“qiánɡ”（强壮、强