高中数学 第三章 导数应用 1.2 函数的极值例题与探究 北师大版
选修2-2
高手支招3综合探究
1.理解函数极大值与极小值时要注意的问题
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.要注意以下几点:
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较大小. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. 2.关于函数极值的必要条件的证明
设函数f(x)在x 0处可导,且在x 0处取得极值,则一定有f′(x 0)=0.
证明:设f(x 0)为极大值,根据极值的定义,在x 0的附近,对于任何点x,f(x)<f(x 0)总成立,从而无论Δx=x-x 0≥0还是Δx=x-x 0≤0,总有f(x 0+Δx)-f(x 0)≤0,由已知f′(x 0)存在,于是有:
当x >x 0,即Δx >0时,f′(x 0)=x
x f x x f ?-?+→?)
()(lim
000
≤0;
当x <x 0,即Δx <0时,f′(x 0)= x
x f x x f ?-?+→?)
()(lim
000
≥0;故f′(x 0)=0.
高手支招4典例精析
【例1】(2006天津高考,理9) 函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
思路分析:函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值由负到正的点,只有1个.
答案:A
【例2】求函数f(x)=x 3-3x 2
-9x+5的极值.
思路分析:由求函数的极值的方法先求其导数,解方程f′(x)=0,分区间讨论f′(x)的符号,进而得函数f(x)的极值.
解:f′(x)=3x 2
-6x-9=3(x+1)(x-3), 令f′(x)=0,解得x 1=-1,x 2=3,
∴x<-1时,f′(x)>0,函数f(x)递增;-1<x <3时,f′(x)<0,函数f(x)递减;x >3时,f′(x)>0,函数f(x)递增.
∴f(x)极大值=f(-1)=10;f(x)极小值=f(3)=-22.
【例3】 (2006湖北高考,理21) 设x=3是函数f(x)=(x 2+ax+b)e 3-x
(x∈R )的一个极值点.
(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b),并求f(x)的单调区间; (2)设a >0,g(x)=(a 2
+
4
25)e x
.若存在ξ1,ξ2∈[0,4],使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立,求a 的取值范围.
思路分析:本题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.解题时要抓住“x=3是函数的一个极值点”这一重要条件,以此为突破口,求出a 与b 的关系式.
解:(1)f′(x)=-[x 2+(a-2)x+b-a]e 3-x
,
由f′(3)=0,得-[32+3(a-2)+b-a]e 3-3
=0,即得b=-3-2a,则
f′(x)=-[x 2+(a-2)x-3-2a-a]e 3-x =-[x 2+(a-2)x-3-3a]e 3-x =-(x-3)(x+a+1)e 3-x
.
令f′(x)=0,得x 1=3或x 2=-a-1,由于x=3是极值点,所以f′(x)要变号,∴x 1≠x 2,∴a≠-4. 当a <-4时,x 2>3=x 1,则在区间(-∞,3)上,f′(x)<0,f(x)为减函数;在区间(3,-a-1)上,f′(x)>0,f(x)为增函数;在区间(-a-1,+∞)上,f′(x)<0,f(x)为减函数.
当a >-4时,x 2<3=x 1,则在区间(-∞,-a-1)上,f′(x)<0,f(x)为减函数;在区间(-a-1,3)上,f′(x)>0,f(x)为增函数;在区间(3,+∞)上,f′(x)<0,f(x)为减函数.
(2)由(1)知,当a >0时,f(x)在区间(0,3)上单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[min(f(0),f(4)),f(3)],
而f(0)=-(2a+3)e 3<0,f(4)=(2a+13)e -1
>0,f(3)=a+6,
那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e 3
,a+6].
又g(x)=(a 2
+
4
25)e x
在区间[0,4]上是增函数, 且它在区间[0,4]上的值域是[a 2+425,(a 2+425)e 4
],
由于(a 2+425)-(a+6)=a 2
-a+41=(a 2
1)2≥0,所以只需且仅需:
(a 2+425)-(a+6)<1且a >0,解得0<a <2
3.
故a 的取值范围是(0,2
3
).
【例4】(2006湖北高考,文19) 设函数f(x)=x 3+ax 2
+bx+c 在x=1处取得极值-2,试用c 表示a 和b,并求f(x)的单调区间.
思路分析:从“函数f(x)=x 3+ax 2
+bx+c 在x=1处取得极值-2”这一条件,可以得出函数在该点的导数为零,该点的函数值为-2,以此为依据就可以列出关于a 和b 的方程组,进而解方程组得出a 和b 关于c 的表达式.
解:依题意有f(1)=-2,f′(1)=0,而f′(x)=3x 2
+2ax+b, 故??
?--==??
?=++-=+++,
32,
,023,21c b c a b a c b a 解得 从而
f′(x)=3x 2
+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1). 令f′(x)=0,得x=1或x=3
3
2+-
c . 由于f(x)在x=1处取得极值,故f′(x)要变号,即3
3
2+-
c ≠1,即c≠-3.
(1)若332+-
c <1,即c >-3,则当x∈(-∞,33
2+-c )时,f′(x)>0; 当x∈(3
3
2+-c ,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0;
从而f(x)的单调增区间为(-∞,332+-c ],[1,+∞);单调减区间为[3
3
2+-c ,1].
(2)若3
3
2+-c >1,即c <-3,同上可得,
f(x)的单调增区间为(-∞,1],[332+-c ,+∞);单调减区间为[1,3
3
2+-c ].
【例5】(2006江西高考,理17文17) 已知函数f(x)=x 3+ax 2
+bx+c 在x=3
2-与x=1时都取
得极值.
(1)求a 、b 的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c 2
恒成立,求c 的取值范围. 思路分析:根据“函数在x=3
2
-
与x=1时都取得极值”这一条件,我们可以得出函数在这两点的导数为0,据此列出方程组,求出a 、b 的值,并求出f′(x)的表达式,进而解决其他问题.
解:(1)f(x)=x 3+ax 2+bx+c,f′(x)=3x 2
+2ax+b. 由f′(32-
)=912-34a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0得a=2
1-,b=-2.
2
所以函数f(x)的递增区间是(-∞,3-
)与(1,+∞),递减区间是(3
-,1). (2)f(x)=x 321x 2
-2x+c,x∈[-1,2],当x=32-时,f(32-)=27
22+c 为极大值,
而f(2)=2+c,则f(2)=2+c 为f(x)在[-1,2]上的最大值.要使f(x)<c 2
(x∈[-1,2])恒成立,只需c 2
>f(2)=2+c,解得c <-1或c >2.
【例6】(2007海南、宁夏高考,理21) 设函数f(x)=ln(x+a)+x 2
. (1)若当x=-1时f(x)取得极值,求a 的值,并讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于ln
2
e . 解:(1)f′(x)=
a
x +1
+2x, 依题意有f′(-1)=0,故a=2
3
,
从而f′(x)=2
3)
1)(12(231322+
++=+++x x x x x x .
f(x)的定义域为(2
3
-,+∞). 当2
3
-
<x <-1时,f′(x)>0; 当-1<x <21
时,f′(x)<0;
当x >21时,f′(x)>0,从而,f(x)分别在区间(23
-,-1),(21,+∞)上单调增加,在区间
(-1,2
1
)上单调减少.
(2)f(x)的定义域为(-a,+∞),f′(x)=a
x ax x +++1
222.
方程2x 2
+2ax+1=0的判别式Δ=4a 2
-8.
①若Δ<0,即-2<a <2,在f(x)的定义域内f′(x)>0,故f(x)无极值. ②若Δ=0,则a=2或a=-2, 若a=2,x∈(-2,+∞),f′(x)=
2
)12(2++x x .
当x=2
2
-
时,f′(x)=0, 当x∈(-2,22-
)∪(2
2-,+∞)时,f′(x)>0, 所以f(x)无极值.
若a=-2,x∈(2,+∞),f′(x)=
2
)12(2--x x >0,f(x)也无极值.
③若Δ>0,即a >2或a <-2,则2x 2
+2ax+1=0有两个不同的实根.
x 1=222---a a ,x 2=2
2
2-+-a a .
当a <-2时,x 1<-a,x 2<-a,从而f′(x)在f(x)的定义域内没有零点,故f(x)无极值. 当a >2时,x 1>-a,x 2>-a,f′(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点,由极值判别方法知f(x)在x=x 1,x=x 2处取得极值.
综上,f(x)存在极值时,a 的取值范围为(2,+∞).
f(x)的极值之和为f(x 1)+f(x 2)=ln(x 1+a)+x 12
+ln(x 2+a)+x 22
=ln
21+a 2-1>1-ln2=ln 2
e .
高手支招5思考发现
1.对于可导函数,一点是极值点的必要条件是这点的导数为0,而一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号.即可导函数极值点的导数一定为0,但导数为0的点不一定都是极值点.对于一般的函数,函数的不可导点也可能是极值点.
2.使y′=0的点未必是极值点,但可导函数的极值点处导数必为0.极大(小)值可以有若干个,极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
3.函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内部的点而不会是端点.
4.若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.
5.函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.
一般地,当函数f(x)的图像在某区间上是条连续曲线且有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.