设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求：
（1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先，
{}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ======
根据泊松过程的独立增量性质可知
{}{})
(1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e
k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是，
{}21
122!
)(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----=
==
(2) 解：该过程的均值为
[]()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=???
? ??-==∑∑+∞=--+∞
=-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >)
[]
()[])]
([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-=
其中，
)()]()([1212t t t N t N E -=-λ
12
1212)]([t t t N E λλ+=
于是，12t t >时的相关函数为
[]121212
12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-=
同理可得21t t >时的相关函数为
[]221221)()(t t t t N t N E λλ+=
所以，泊松过程的相关函数为
[]{}2121221,min )()(t t t t t N t N E λλ+=
所以，泊松过程过程不是平稳过程。
设有一个最一般概念的随机电报信号{)(t ξ}，它的定义如下：
（1） )0(ξ是正态分布的随机变量),0(2σN ； （2） 时间τ内出现电报脉冲的个数服从泊松分布，即
λτ
λττ-=e k k P k !
)(},{ (k =1,2,…)
（3） 不同时间的电报脉冲幅度服从正态分布N(0,2σ)，这个脉冲幅度延伸到下
一个电报脉冲出现时保持不变，不同电报脉冲幅度的取值是相互统计独立的，同一电报脉冲内幅度是不变的。
（4） 不同时间间隔内出现电报脉冲的个数是相互统计独立的。 它的样本函数如图4-2。
图4-2
(1) 试求它的二元概率密度。 (2) 试问该过程是否平稳？
(1) 解：设t 1 )()(2)(1)(21x f x f t t ξξ 其中，)(1)(1x f t ξ和)(2)(2x f t ξ分别是)(t ξ在t 1和t 2时刻的概率密度函数。发生情况②的概率就是t 1和t 2两个时刻间的脉冲变化次数大于等于1的概率，即 21121,1! )(}Pr{t t e e k t t k k -=-==-∞ =-∑τλτλτ λτ 处于不同脉冲内和 显然，t 1和t 2 处于同一脉冲内的概率为λτ-e 。在这种情况下，两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为 )()(121)(1x x x f t -δξ 因此，t 1和t 2时刻的脉冲幅度的联合概率密度函数为 )(2exp 21 2exp 21] 1[),(12221)(222 212 ) (21)()(121221x x x e x x e x x f t t t t t t -??? ? ??- +??? ? ??+- -=----δσπσσπσ λλξξ (2). 由此可见该过程是平稳过程，并且可以推导其多维PDF 也是只与各时刻间的间隔有关，因此是严平稳过程。 设1ξ、2ξ为独立同分布随机变量，且均匀分布于(0，1)上，又设有随机过程 )(sin )(21t t ξξη= 求 (1) )(t η均值； (2) )(t η的相关函数 (1) 解：由于1ξ、2ξ是独立的，因此 )]([sin ][)](sin [)]([2121t E E t E t E ξξξξη== 1ξ、2ξ都均匀分布于(0，1)上，所以 2 1 ][1= ξE t t t t E cos 1d )(sin )]([sin 10 222-= =?ξξξ 于是， t t t E 2cos 1)]([-= η (2) 相关函数为 )](sin )([sin ][)]()([22122 121t t E E t t E ξξξηη= 其中 3 1 ][21= ξE 和 ? ? ? ???++---= +--=?212121211 022*********)sin()sin(21d )]}(cos[)]({cos[2 1)](sin )([sin t t t t t t t t t t t t t t E ξξξξξ 所以， ?? ? ???++---= 2121212121)sin()sin(61)]()([t t t t t t t t t t E ηη 设)(t ξ是实正态分布平稳随机过程，它的数学期望为0。如定义 ?? ??? ? +++=| )()(|)()(121)(τξξτξξηt t t t t 试证明 [] )(cos 1 )}({1τπ ηξk t E -= - 其中，2/)()(ξξξσττC k =，)(τξC 代表)(t ξ的协方差函数，)0(2 ξξσC =代表)(t ξ的方 差。 证明：由给出的)(t η定义式可知它有两种可能的取值，即 ?????<+>+=0 )()(,00 )()(,1)(τξξτξξηt t t t t 因为)(t ξ是实正态平稳随机过程，且均值为0，所以联合正态分布为 ??? ? ????-+---= +)1(22exp 121),(222222 )()(r y rxy x r y x f t t σπσ τξξ 其中， )(/)(2 τστξξξk C r == 参考《概率随机变量和随机过程》（西安电子科技大学译本）之第226至229页可以 得 πατξξ+=>+21}0)()({t t P π ατξξ-= <+21}0)()({t t P 其中， r arcsin =α 因此，)(t η的均值为 )]([cos 1)arccos(121} 0)()({0}0)()({1)}({1 τππ αππτξξτξξηξk r t t P t t P t E -=-=??? ??+=>+?+>+?=- 设有随机过程)(sin )(θξ+=t z t ，)(+∞<<-∞t 。其中，θ,z 是相互独立的随机变量， 21}4{==πθP ，21 }4{=-=πθP ，Z 均匀分布于（-1，1）之间。试证明)(t ξ是宽平稳 随机过程，但)(t ξ不满足严平稳的条件（不满足一级严平稳的条件）。 证明：由Z 均匀分布于（-1，1）之间得 3 1 ][,0][2= =z E z E 并且z 和θ相互独立。所以，)(t ξ的均值为 0)]([sin ][)]([=+=θξt E z E t E )(t ξ的相关函数为 )(cos 6 1 )(cos )2(cos 21)2(cos 2161)(cos )2(cos 2131)] (sin )([sin ][)]()(R[21122121122121221t t t t t t t t t t t t E t t E z E t t -= ??????-+-++++=?? ????-+++?= ++=πππθθξξ 由此可见，)(t ξ的均值为常数，相关函数只与时间差12t t -有关。因此，随机过程)(t ξ是宽平稳随机过程。 证明严平稳可以用特征函数，)(t ξ的一维特征函数为 )4 sin()] 4sin(sin[) 4 sin()] 4sin(sin[d 2121d 2121][2 1 ][2 1][11) 4sin(11)4sin() 4sin() 4sin()sin(π π π π π ππ π θ--+ + += +=+=??---+-++t ju t u t ju t u z e z e e E e E e E t juz t juz t juz Z t juz Z t juz 与时间t 有关(如下图所示)，因此)(t ξ不是严平稳。 设z 为随机变量，θ为另一随机变量，z 与θ相互统计独立，θ均匀分布于)2,0(π间；又设有随机过程 )()sin()(+∞<<-∞+=t t z t θωξ 其中ω为常数，0>ω，试利用特征函数证明)(t ξ是一严平稳随机过程。 证明：因为特征函数能唯一地确定概率密度函数，若能证明)(t ξ的k 阶特征函数具有 时移不变性，即 ),,,;,,,(),,,;,,,(21212121εεεφφξξ+++=k k k k t t t u u u t t t u u u ΛΛΛΛ 则其k 维概率密度函数是时移不变的。如果对于任意k 都成立，则该过程是严平稳的。 该随机过程中包含z 和θ两个随机变量，且z 与θ相互统计独立。因此，其特征函数可以分两步求解。首先，令a z =，对θ求均值，然后再对z 求均值。由于θ均匀 分布于)2,0(π间，即π θθ21 )(=f ，于是 θπ θωεωεξπθd t a u j a z t u j E i k i i i k i i 21 )] sin(exp[})]({exp[20 1 1 ? ∑∑++==+== 令βθωε=+。则 βπ βωεξπωεωε θd t a u j a z t u j E i k i i i k i i 21 )] sin(exp[})]({exp[21 1 ? ∑∑+==+==+ 上式中的被积函数是β的周期函数，周期为π2。因此， } )]({exp[21 )] sin(exp[} )]({exp[1 20 11a z t u j E d t a u j a z t u j E i k i i i k i i i k i i ==+==+∑? ∑∑===ξβπ βωεξθπθ 所以， }})]({exp[{}})]({exp[{1 1 z t u j E E z t u j E E i k i i Z i k i i Z ξεξθθ∑∑===+ 即 )]}({exp[)]}({exp[1 1 i k i i i k i i t u j E t u j E ξεξ∑∑===+ 由此可见，)(t ξ的k 阶特征函数具有时移不变性，即)(t ξ为严平稳随机过程。 设有一相位调制的正弦信号，其复数表示式为 )()()) ((∞<<-∞=+t e t t t j θ?ξ 其中，为常数，>0，(t)是一个二级严平稳过程，设),(2121u u t t ψ是过程 (t) 的二维特征函数，即 {} )]()([21221121),(t u t u j t t e E u u θθ+=ψ 同时对于任何∞<<∞-τ，0)0,1(0=ψτ。试证明过程(t )是宽平稳过程，并求它的 相关函数),(21t t R ξ。 证明：首先， (t )的均值为 {} 0]0,1[]0,1[)}({,0,)(=ψ=ψ==+τωτωθωξt j t t t j t j t j e e e E e t E (t )的相关函数为 {} ] 1,1[} )()({),(21212121,)()]()([)(2121-ψ===---t t t t j t t j t t j e e E e t t E t t R ?θθ?ξξξ 因为 (t)是一个二级严平稳过程，所以)1,1(21,-ψt t 只与t 1 t 2有关。因此， ),(21t t R ξ也只与t 1 t 2有关，且其均值为常数，所以)(t ξ是宽平稳随机过程。 设有一时间离散的马尔可夫过程)0,1,2,n )((Λ=n ξ。)0(ξ具有概率密度函数 ?????<≤=) (0) 10(2)(0其它x x x f 对于Λ,32,1,n =，当给定x n =-)1(ξ时)(n ξ的条件概率密度均匀分布于1),-(1x 之间。问),1,2n )((Λ=n ξ是否满足严平稳的条件？ 解：对于任意一个马尔可夫过程和任意m+1个取样点，它们的联合概率密度函数有如下性质 ∏-=++++=1 1)|()(),,(m i i j i j j m j j x x f x f x x f Λ 对于本题，其中的)|(1i i x x f +是不随时刻i 变化的。若)(i x f 也是与时刻i 无关的， 则),,(m j j x x f +Λ在时间轴上做任意平移时是不变的，那么该过程是严平稳的。因此，只需要证明)(j x f 与时刻j 无关。 首先，)1(ξ的概率密度函数为 ())10(,2d 21 )()|(1 11100|11<≤===? ? --y y x x x dx x f x y f y f y y 由此可见，)1(ξ的概率密度函数与)0(ξ的概率密度函数相同。依此类推，可得 )3,2,n )((Λ=n ξ的概率密度函数也与)0(ξ的概率密度函数相同，即)(n ξ的概率密度 函数不随时刻i 变化。因此，取样点在时间轴上做任意平移时该过程的所有有限维分布函数是不变的，即)(n ξ是严平稳过程。 设有两状态时间离散的马尔可夫链)(n ξ(n =1,2,3,…..)，)(n ξ可取0或1，它的 一步转移矩阵为 ??? ? ????22 11q p p q 其中， p 1+q 1=1 , p 2+q 2=1 212 }0)0({p p p P += =ξ , 2 11}1)0({p p p P +==ξ 试证明该过程为严平稳过程。 证明：对于齐次马尔可夫链，其一步转移概率与时刻无关，若其一维概率分布也与时刻无关，则其任意维联合概率密度函数只与取样点间的时间间隔有关，而与具体 的时刻无关，即具有严平稳性质。因此，对于本题只需要证明该马尔可夫链的一维概率分布与时刻无关。 首先，)1(ξ的概率分布为 } 0)0({}1)0({}0)0({}1)0({}1)0(|0)1({}0)0({}0)0(|0)1({} 1)0(,0)1({}0)0(,0)1({}0)1({2 1122121==++= =+=====+======+====ξξξξξξξξξξξξξξP p p p p p q P p P q P P P P P P P 同理可得 }1)0({}1)0({}0)0({}1)1({2 11 22121==++= =+===ξξξξP p p p q p p P q P p P 由于一步转移概率与时刻无关。所以，由此可以推知 }1)0({}1)1({}1)({======ξξξP P n P Λ }0)0({}0)1({}0)({======ξξξP P n P Λ 其中，n =1,2,3,…..。所以该过程为严平稳过程。 此题的另一种解法就是先求n 步转移阵，然后直接求n 时刻的概率分布。首先，利用习题的结果可得n 步转移阵为 ??? ? ?? ??--+--------++= n n n n n p p p p p p p p p p p p p p p p p p P )1()1()1()1(121212122211121122 1) ( 于是， 2 112 21112212 2122111) (11)(01)(] )1([)(])1([} 1)0({}0)0({} 1)({p p p p p p p p p p p p p p p p p P P P P n P n n n n +=+--+++---==+===ξξξ }1)0({==ξP 同理可得， }0)0({}0)({===ξξP n P 所以，该过程是严平稳过程。 设有相位调制的正弦过程 )](cos[()(t t A t πηωξ+= 其中，为常数， >0，(){ }0,≥t t η是泊松过程，A 是对称贝努利型随机变量，即21}1{= =A P ，2 1 }1{=-=A P ，A 和()t η是相互统计独立的。试画出其样本函数，样本函数是否连续？求)(t ξ的相关函数),(21t t R ξ，问是否均方连续？ 解：设21t t <。由给出的)](cos[()(t t A t πηωξ+=可得 ()()()()??? ? ?=--=-=++=奇数 偶数12212122122211221,cos cos ,cos cos )] (cos[()](cos[()()(t t t t A t t t t A t t t t A t t ηηωωηηωωπηωπηωξξ 其中， ()()21}{)(21212t t e t t P --+==-ληη偶数 ()()2 1}{) (21212t t e t t P ---==-ληη奇数 于是， ) (2212)(2212 )(2212 21121212cos cos 2 1cos cos 21cos cos ] |)()([t t t t t t e t t a e t t a e t t a a A t t E ------=--+==λλλωωωωωωξξ 所以，相关函数为 ) (2212121212112cos cos }1{]1|)()([}1{]1|)()([] |)()([),(t t A A A e t t A P A t t E A P A t t E a A t t E t t R --=-=-=+=====λξωωξξξξξξ 同理可得21t t >时的相关函数为 )(2212121cos cos ),(t t e t t t t R --=λξωω 因此，相关函数为 ||2212112cos cos ),(t t e t t t t R --=λξωω 在021t t t ==时，0200cos ),(t t t R ωξ=，即),(21t t R ξ在),(00t t 处连续， ),0(0+∞∈t 。所以，)(t ξ在),0(+∞上均方连续。样本函数见下图，显然样本函数是不 连续的。 设有实宽平稳随机过程)(t ξ，其相关函数为)(τξR 。试证： )]()0([2 }|)()({|2 τε εξτξξξR R t t P -≤ ≥-+ 证明：设)()()(t t t ξτξη-+=。因为)(t ξ是平稳随机过程，所以 0)]()([=-+t t E ξτξ 则)(t η的均值和方差分别为 0)]([==t E ημη )]()0([2]|)()([|22τξτξσξξηR R t t E -=-+= 根据契必雪夫不等式 2 2 }|{|ε σεμηηη≤ ≥-P 得 )]()0([2 ] |)()([|}|)()({|2 2 2τε ε ξτξεξτξξξR R t t E t t P -= -+≤ ≥-+ 设有随机过程 t j n k k k e A t ωξ∑==1 )( 其中，A k （k =1,2,…,n ）是n 个实随机变量，k ω(k =1,2,…,n )是n 个实数。试问各 A k 之间应满足怎样的条件才能使)(t ξ是一个复的平稳随机过程？ 解：首先，)(t ξ的均值为 )]([)](E[1t j n k k k e A E t ωξ∑== 若)(t ξ是宽平稳过程，则)](E[t ξ为常数，即与t 无关，则要求),2,1(0][n k A E k Λ==。 )(t ξ的相关函数为 t j t j n i n j j i t j n j j t j n i i j i j i e e A A E e A e A E t t E ωτωωτωξτξ-+===+=∑∑∑∑==+)(11 1 ) (1][][])()([ 若)(t ξ是宽平稳过程，则相关函数只与时间差τ有关，因此要求 ???? ?≠∞<==j i a j i A A E i j i 0 )(][σ 设平稳随机过程)(t ξ的相关函数为)(τξR ，且)0()(ξξR T R =，T 为一常数，T >0，试证： (1) 有)()(t T t ξξ=+依概率1相等； (2) )()(t R T t R ξξ=+，即相关函数具有周期性，周期为T 。 （具有周期性相关函数的平稳随机过程称为周期性随机过程） (1) 证明：要证依概率1相等，只需证0])()([2 =-+t T t E ξξ即可。由于)(t ξ是平稳随机过程，所以 )0()()()0(])()([2 ξξξξξξR T R T R R t T t E +---=-+ 由相关函数的对称性可得 0)(2)0(2])()([2 =-=-+T R R t T t E ξξξξ 所以，)()(t T t ξξ=+依概率1相等； (2) 证明：根据相关函数的定义 ]0)([)(）（ξξξT t E T t R +=+ ，]0)([)(）（ξξξt E t R = 由）（t T t ξξ=+)(依概率1相等 ]0)([]0)([）（）（ξξξξt E T t E =+ 于是， )()(t R T t R ξξ=+ 此外，也可以用另一种方法证明：首先 )}0({}|)()({|)}0()]()({[22ξξξξξξE t T t E t T t E -+≤-+ 由(1)中结论可知 0}|)()({|2=-+t T t E ξξ 所以， 0)}0()]()({[=-+ξξξt T t E 因此， )()(t R T t R ξξ=+ 设有随机过程 ∑=+=n k k k k k t B t A t 1 ]sin cos [)(ωωξ 其中，k ω(k =1,2,…,n )是给定的实数，A k 、B k （k =1,2,…,n ）是实随机变量， 0][,0][==k k B E A E ，各A k 、B k 间彼此相互统计独立，2 ][][k k k B D A D σ== (k =1,2,…, n )。求它的相关函数),(21t t R ξ。 解：根据相关函数的定义得 ??? ? ????++=∑∑==n j j j j j n i i i i i t B t A t B t A E t t R 12211121]sin cos []sin cos [),(ωωωωξ 因为A k 与B k 间相互统计独立，并且0][,0][==k k B E A E 。所以， 0][][][==j i j i B E A E B A E 0][=≠j i A A E j i ，0][=≠j i B B E j i 于是 {} ∑∑∑====-=+=n k k k n k k k n k k k k k k k t t t t B E t t A E t t R 1 21212 12 12 21221cos )](cos[sin sin ][cos cos ][),(τωσωσωωωωξ 由此可见，该过程是宽平稳过程。 设有平稳随机过程)(),(t t ηξ，且)(),(t t ηξ是相互统计独立的；又设有随机过程 )()(t t z ?、, ) ()(2)() ()()(t t t t t t z ηξωηξ+=+= 求)()()()(ττττwz zw w z R R R R 、、、 解：由于)(t ξ和)(t η是平稳随机过程，所以可以设)(t ξ、)(t η的均值分别为ξμ和ημ，相关函数分别为()τξR 和()τηR 。于是 []()()[] [][][][] )()()()()()()()()()()()()()()(τηητηξτξητξξτητξηξττ+++++++=++++=+=t t E t t E t t E t t E t t t t E t z t z E R z 因为)(t ξ和)(t η相互统计独立，所以 ηξηξμμτττ2)()()(++=R R R z 同理可得 [][][][] η ξηξωμμτττηητηξτξητξξτ4)()(4)()()()(2)()(2)()(4)(++=+++++++=R R t t E t t E t t E t t E R [][][][] η ξηξωμμτττηητηξτξητξξτ3)()(2)()()()()()(2)()(2)(++=+++++++=R R t t E t t E t t E t t E R z [][][][] η ξηξωμμτττηητηξτξητξξτ3)()(2)()()()(2)()()()(2)(++=+++++++=R R t t E t t E t t E t t E R z 设)(t ξ，)(t η，)(t ζ为实随机过程，)()()(t t t ηξζ=。)(t η，)(t ξ为相互统计独立的随机过程，则 (1) )()()(τττηξζR R R = (2) 若P (t)=ξμξ-)(t ，Q (t)=ημη-)(t ，||)(ττa P e R -=，||)(ττb Q e R -= a ， b 为正实数。ξμ，ημ为)(t ξ，)(t η均值。求)(τζR 。 (1) 证明：)(t ζ的相关函数为 )]()()0()0([),0()(τητξηξττζζE R R == 由于)(t η，)(t ξ为相互统计独立的随机过程，所以 )()()]()0([)]()0([)(τττηητξξτηξζR R E E R == (2) 证明：由 ξμξ-=)()(t t P ，ημη-=)()(t t Q 得 0])([)]([=-=ξμξt E t P E ，])([)]([ημη-=t E t Q E 于是， 2)()(ξ ξμττ+=P R R ，2)()(ηημττ+=Q R R 因此，由(1)的结果得 2 22 2 )(2 2] )(][)([) ()()(η ξτ ητ ξτ ηξηξζμμμμμτμττττ+++=++==--+-a b b a Q P e e e R R R R R 期末复习试题 一、填空题 1. 假设()0.4,P A =()0.7P A B =， 若A 与B 互不相容，则()________P B =； 若A 与B 相互独立，则()________P B =. 2.设0 ___________________. 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为 随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。 由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+ （1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时， 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-：：vt<：：其中「为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。5?袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球，则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j)，n步转移矩阵P(n)=8(；))，二者之间的关系为。 7?设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。二i)，绝对概率 P j(n)二P^X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为_____________ 。 8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一：时，M t+a -M t > ____________ 3.设］X n,n — 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n—0,仁I 马尔可夫过程 ?1马尔可夫过程概论 6 1.1马尔可夫过程处于某个状态的概率 6 1.2马尔可夫过程的状态转移概率 6 1.3参数连续状态离散马尔可夫过程的状态转移的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 齐次切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 转移概率分布函数、转移概率密度函数 6 1.4马尔可夫过程状态瞬时转移的跳跃率函数和跳跃条件分布函数 瞬时转移概率分布函数 6 1.5确定马尔可夫过程Q矩阵 跳跃强度、转移概率Q矩阵 ?2参数连续状态离散马尔可夫过程的前进方程和后退方程 柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）福克-普朗克方程（状态概率的微分方程） 柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）?3典型例题 排队问题、机器维修问题、随机游动问题的分析方法 ?4马尔可夫过程的渐进特性 稳态分布存在的条件和性质 稳态分布求解 ?5马尔可夫过程的研究 1概论 1.1 定义及性质 1.2 状态转移概率 1.3 齐次马尔可夫过程的状态转移概率 1.5跳跃强度、转移概率Q矩阵 2 前进方程和后退方程 2.1 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 2.2柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程 2.2福克-普朗克方程 2.3柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程 3典型的马尔可夫过程举例 例1 例2 例3 例4，随机游动 4马尔可夫过程的渐进特性 4.1 引理1 4.2 定理2 4.3 定理 5马尔可夫过程的研究 6关于负指数分布的补充说明： 1概论 1.1定义：马尔可夫过程 ()t ξ： 参数域为T ，连续参数域。以下分析中假定[0,)T =∞； 状态空间为I ，离散状态。以下分析中取{0,1,2,}I ="； 对于T t t t t m m ∈<<<<+121"，若在12m t t t T <<<∈"这些时刻观察到随机过程的值是12,,m i i i "，则 1m m t t T +>∈时刻的条件概率满足: {}{}1111()/(),,()()/(), m m m m m m P t j t i t i P t j t i j I ξξξξξ++======∈" 则称这类随机过程为具有马尔可夫性质的随机过程或马尔可夫过程。 1.2 定义：齐次马尔可夫过程 对于马尔可夫过程()t ξ，如果转移概率{}21()/()P t j t i ξξ==只是时间差12t t ?=τ的函数,这类马尔可夫过程称为齐次马尔可夫过程。 1.３ 性质 马尔可夫过程具有过程的无后效性； 参数连续状态离散的马尔可夫过程的条件转移概率为： {}{}212112()/()0()/(),,P t j t t t P t j t i t t i j I ξξξξ′′=≤≤===≤∈ 马尔可夫过程的有限维联合分布律可以用转移概率来表示 {} {}{}{}32132211123(),(),()()/()()/()(),,,P t k t j t i P t k t j P t j t i P t i t t t i j k I ξξξξξξξξ=========≤≤∈ 马尔可夫过程的有限维条件分布律可以用转移概率来表示 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X~U(a,b)，则X 的特征函数为 itb ita e e i(b-a)t -。 2．设随机过程X(t)=Asint,- 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1 ）是齐次马氏链。经过 次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =? 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机 变量，[]01A ∈， 且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方 差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比() Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一 时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且 0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 二、计算题（共80分） 1. (16分)两随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ，a 是常数，其中0,1x y ≤≤。 求： 1) a ; 2) X 特征函数； 3) 试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。 解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即 （2分） 所以4A = （1分） X 的边缘概率密度函数： 1 ()4201X f x xydy x x ==≤≤? （2分） 所以特征函数 随机过程复习 一、回答： 1 、 什么是宽平稳随机过程？ 2 、 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？ 3 、 窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？ 4 、 什么是白噪声？性质？ 二、计算： 1 、随机过程 X (t) Acos t + Bsin t ，其中 是常数， A 、B 是相互独 立统计的高斯变量， 并且 E[A]=E[B]=0 ， A 2 ]=E[ B 2 ]= 2 。求： X (t) E[ 的数学期望和自相关函数？ 2 、判断随机过程 X (t ) A cos( t ) 是否平稳？其中 是常数，A 、 分 别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。 a f ( ) 1 2 ； f A ( a) a 2 e 2 2 a 0 2 3 、求随机相位正弦函数 X (t) A cos( 0 t ) 的功率谱密度， 其中 A 、 0 是常数， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量。 4 、求用 X (t ) 自相关函数及功率谱表示的 Y (t ) X (t) cos( 0 t) 的自相关 函数及谱密度。 其中， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量， X (t ) 是与 相互独立的随机过程。 5 、设随机过程 { X (t ) Acos( 0t Y),t} ，其中 0 是常数， A 与 Y 是相互独立的随机变量， Y 服从区间 (0,2 ) 上的均匀分布， A 服从瑞利 分布，其概率密度为 x 2 x 2 e 2 2 x 0 f A (x) 0 x 0 试证明 X (t ) 为宽平稳过程。 解：（ 1） m X (t) E{ Acos( 0 t Y)} E( A)E{cos( 0t Y )} x 2 x 2 2 e 2 2 dx y)dy 0 与 t 无关 2 cos( 0t 0 （ 2） X 2 (t) E{ X 2 (t )} E{ A cos( 0t Y)}2 E( A 2 ) E{cos 2 ( 0t Y )} E( A 2 ) 3 x 2 t E( A 2 ) x 1 2 t 2 e 2 2 dt ， 2 e 2 2 dx 2 t t t te 2 2 |0 e 2 2 dt 2 2e 2 2 |0 22 所以 X 2 (t ) E{ X 2 (t )} （3） R X (t 1,t 2 ) E{[ A cos( 0t 1 Y)][ A cos( 0t 2 Y )]} E[ A 2 ] E{cos( 0t 1 Y ) cos( 0t 2 Y)} 2 2 2 1 0t 1 0t 2 y) cos 0 (t 2 t 1)] 1 dy [cos( 2 2 2 cos 0 (t 2 t 1 ) 只与时间间隔有关，所以 X (t ) 为宽平稳过程。 6 、 设随机过程 X (t ) R t C ， t (0, ) ， C 为常数， R 服从 [0,1] 区间 上的均匀分布。 （ 1 ）求 （ 2 ）求 X (t ) X (t ) 的一维概率密度和一维分布函数； 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】随机过程期末复习试题
随机过程试题带答案
(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案
随机过程习题答案
期末随机过程试题及标准答案
最新随机过程习题及答案
应用随机过程试题及答案
随机过程补充例题
2017 2018期末随机过程试题及答案
北大随机过程课件：第 3 章 第 2 讲 马尔可夫过程
随机过程复习试题及答案
随机过程期末试题答案A卷(10年12月)
随机过程复习题(含答案)
随机过程-习题-第4章-01
随机过程习题答案
随机过程-习题-第4章
第2章 随机过程习题及答案
电子科技大学随机信分析期末考试题
(完整版)随机过程习题.doc
相关主题
文本预览