第十三章轴对称
《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．
轴对称
有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称.
图形轴对称的性质
如果两个图形成轴对称,?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
轴对称与轴对称图形的区别
轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,?成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称．
考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
1.下列几何图形中,错误!线段错误!角错误!直角三角形错误!半圆，其中一定是轴对称图形的有【】
A．1个Ｂ.２个Ｃ．3个D．4个
２.图中，轴对称图形的个数是【】
A.4个 B．３个 C．2个 D.1个
3.正n边形有__＿______＿_条对称轴，圆有_＿＿＿_＿_______条对称轴
线段的垂直平分线
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．
(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．
考点四、线段垂直平分线的性质
6.如图，△AＢC中，∠A＝９0°，BD为∠AＢC平分线，DE⊥BC，E是ＢC的中点，求∠C 的度数。
B
E
A
7.如图，△AＢC中,AB=AC，PB＝PC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分ＢＣ
A
P
8．如图,ＤE是?ABC中AＣ边的垂直平分线,若BC＝８厘米，AB=10厘米,则?EBＣ的周长为【】
A.16厘米
B.18厘米Ｃ.２６厘米 D.28厘米
C
E
B D
A
９．如图,∠B ＡC ＝3０°,P 是∠BAC 平分线上一点,ＰM ∥A Ｃ,P Ｄ⊥AC,PD=30 , 则A Ｍ＝
M
D P B
C
A
轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．?
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． 轴对称变换的性质
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
(２)经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．
(3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
作一个图形关于某条直线的轴对称图形
(1)作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形.
关于坐标轴对称
点Ｐ（ｘ，y ）关于x 轴对称的点的坐标是(x,－y)
点P （x,y)关于ｙ轴对称的点的坐标是（－x,ｙ)
关于原点对称
点P(x,y)关于原点对称的点的坐标是(－x,-y）
关于坐标轴夹角平分线对称
点P(x,y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y,x）
点Ｐ(ｘ，y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线ｙ= -x对称的点的坐标是(－y，－x) 关于平行于坐标轴的直线对称
点P(x,y）关于直线ｘ＝m对称的点的坐标是(2ｍ-x,y)；
点P（ｘ,y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2ｎ-y)；
考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称
1. 点 A(-3 ,2)关于 y 轴对称点的坐标是( )
A （－3 ,-２）
B （３ ,2）Ｃ（-3 ,2） D （2 ，-3)
2.点P（a,b）关于 x 轴的对称点为Ｐ＇(1，-6)，则A、Ｂ的值分别为( )
A 1 ,６
B -1 ，-6 Ｃ -1 ,6 D １，-6
3．点P关于x 轴对称点P＇的坐标为（4，-5）,那么点P关于y轴对称点P"的坐标为:
A (-４，５) Ｂ (4，-5) C (-4,-５) D (-5，-４)
4.平面内点A(-１，２)和点B(－1,６）的对称轴是( )
A.ｘ轴B．y轴Ｃ.直线ｙ＝４ D．直线x=-１
5.下列关于直线 x=1 对称的点是（)
Ａ点（０ ,-3)与点(-２,－3) Ｂ点(2 ，3)与点（－2 ，３）
C 点(2 ，3)与点（0 ,3)
D 点（２ ,３）与点（2 ,－3 )
6．已知Ａ(－1，-2)和B(１，3），将点Ａ向__＿_＿_平移_＿__＿__个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称.
7.如下图:若正方形ＡBCD 关于ｘ轴与y 轴均成轴对称图形，
点A的坐标为(2，1）,标出点 B 、C 、Ｄ的坐标分别为：
Ｂ( , )，Ｃ( ， ),Ｄ( , )。
8. 若A(ｍ-１，2n+3)与Ｂ(n-1,2m+1)关于y轴对称，则m= ,ｎ=
9．已知a＜0,那么点P（-a2-２，2－a)关于ｘ轴对称的对应点P'在第象限
三、解答题
１０.已知点M（１-a，2ａ+2),若点M关于x轴的对称点在第三象限,求a的取值范围？
11.已知点A的坐标为(２x+y－3,x－２y)。它关于x轴对称的点A＇的坐标为（x+3,ｙ-4),求点Ａ关于ｙ轴对称的点的坐标。
１２.如图，从△ABＣ到△Ａ′B′C′是进行的平移变换还是轴对称变换,如果是轴对称变换，找出对称轴，如果是平移变换,是怎样平移的?
13.如图,△ＡBC,求顶点A、B、C关于y轴对称点的坐标并在
坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△ＥＤF。
14.已知两点A(–1,2) B(3,1)
（1）P点在X轴上移动。求ＰA+PB的最小值。
(2)Ｑ点在Y轴上移动。求ＱA＋QB的最小值。
(3)并求出Ｐ.Ｑ的坐标。
考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形
（１）作出一些关键点或特殊点的对称点.
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形
4．如图,Rt△ABC，∠C＝9０°,∠Ｂ＝３0°,BＣ=8,D为AＢ中点,P为BC上一动点,连接AP、DP，则AP＋DP的最小值是
5．已知等边△ABC，E在BC的延长线上,ＣF平分∠DCE，P为射线BＣ上一点，Ｑ为CF上一点,连接AＰ、ＰQ.若AP=PQ,求证∠ＡPQ是多少度
作点Q关于BE的对称点R，交BＥ于点Ｈ，
从而可得ΔQCH≌ΔRＣH，∠QＣＨ=∠RＣH=６０度。
Ａ ,C,R在同一直线上。
易证ΔPCＱ≌ΔPCR,从而∠QPH=∠RＰH，ＰR=ＰQ, ∠ＰQC=∠ＰRC.
又由于AP＝PQ,从而ＡＰ＝ＰR,得到∠PRA=∠PAR
∴∠BＡP+∠PAＣ=∠PQＣ＋∠QPC
∴∠ＢAＰ=∠ＱPC
即有:∠BAＰ+∠B＝∠QPC+∠AＰQ
即∠APQ=60o
等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角.
等腰三角形的性质
性质1:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
特别的:（1）等腰三角形是轴对称图形．
(2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”）． 特别的：
(1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形.
(2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.
(3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．
(４)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
考点五、等腰三角形的特征和识别
11.如图,△ABC 中，AB ＝AC=8，D 在BC 上，过D 作DE ∥AB 交AC 于Ｅ，DF∥AＣ
交AB 于F ，则四边形A ＦDE 的周长为＿＿__＿＿ 。
F
E D A
B C
12.如图，△ＡBC 中，ＢD 、ＣＤ分别平分∠ＡBC 与∠ＡＣB,EF 过D 且ＥＦ∥ＢＣ,若AB = 7，B Ｃ = ８,AC ＝ 6，则△ＡEF 周长为【 】
Ａ. １5 Ｂ . １4 C. 13 D.
1８
13.如图,点B、D、F在ＡN上,C、Ｅ在ＡM上,且AＢ＝ＢC=CD=ED=ＥF,∠A=２0o,则∠FＥB ＝＿___＿_＿_度
.
14．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为4０°,则它的一个底角的度数是_＿__＿＿＿
15.如图：在△ABC中,AB＝AC，AD⊥BC, ＤE⊥AB于点E, ＤF⊥AＣ于点F。试说明ＤE＝DF。
F
C
D
B
E
A
１6.如图,Ｅ在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上,ＤE交BC于点F,DF=EF,ＢD＝CE.求证:△ABC是等腰三角形.
17.已知：如图，△AＢC中，∠ACＢ的平分线交AB于Ｅ，ＥF∥BC交AC于点F，交∠ACB 的外角平分线于点Ｇ.试判断△EＦC的形状，并说明你的理由.
A
B C D
G
F
E
等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形.
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，?并且每一个内角都等于60°
等边三角形的判定方法
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形;
(2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（３)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
考点六、等边三角形的特征和识别
22.下列推理中,错误的是【】
A．∵∠A＝∠B＝∠C,∴△ＡＢC是等边三角形
B.∵AB＝AC，且∠B＝∠C,∴△ABC是等边三角形
Ｃ．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABＣ是等边三角形
Ｄ．∵AB=AC,∠Ｂ＝60°，∴△ABC是等边三角形
23．如图，等边三角形ＡＢC中，D是AC的中点,E为BC延长线上一点，且CＥ=CD,DM⊥BC，垂足为M。求证：M是ＢE的中点。
24.已知△ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AE＝ＣF,BE、ＡF
交于点Ｄ,则∠BDF＝ ____＿_＿＿_度
26.如图，D 、E 、Ｆ分别是等边△ABC 各边上的点,且ＡD ＝B Ｅ＝CF,则△DEF?的形状是
【 】
A ．等边三角形 B.腰和底边不相等的等腰三角形 C ．直角三角形
D.不等边三角形
D
A
F
角平分线的性质:在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
A
B C
P M N O
角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
A B C P
M N O
三角形的角平分线的性质:三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离相等．
考点七、30°所对的直角边是斜边的一半
29.如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱B Ｃ、DE 垂直于横梁AC,A Ｂ＝8m,∠A=30°，则DE 等于【 】
A ．1ｍ Ｂ.2m C ．3ｍ D ．４m
E D
C B
A
31.一张折叠型方桌如图甲,其主视图如图乙，已知ＡO ＝BO=４0ｃm,C ０=D0＝３０ cm ，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB 刚好为12０°,求桌面到地面的距离是多少？
O
D C B
A
3２.如图，AB=AC,ＤＥ⊥AB 于Ｅ,ＤＦ⊥AＣ于Ｆ,∠ＢAC=12０o
，B Ｃ=6，则DE ＋DF=
３3.在ABC △中,120AB AC A =∠=?，，AB 的垂直平分线交BC 于点F,交AB 于点E .如果1EF =,求BC 的长
甲
F
34．已知：在△ABC中,ＡＢ＝AC,∠BAＣ＝1２0°,AＢ的垂直平分线交ＡB于E,交BC于F. 求证：CＦ=2BF．