三、解答题
26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1
242
2=+y x 的顶点，
过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足
为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB
本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--=
=N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为
)
22,1(-
-，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐
标
原点，所以
.22122
=--
=
k （2）直线PA 的方程2221,
42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得
).
34
,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是),
0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234
0=--=++
y x AB 的方程为故直线
.
32
21
1|
32
3432|,21=+--=d 因此
（3）解法一：
将直线PA 的方程kx y =代入
222222
1,,,
421212x y x k k
μ+==±++解得记
则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是--
故直线AB 的斜率为
,2=+μμ 其方程为
,0)23(2)2(),(222222=+--+-=
k x k x k x k
y μμμ代入椭圆方程得
解得
223
2
2
2
(32)
(32)(
,
)
222k k k x x B k
k
k
μμμμ++=
=-+++或因此.
于是直线PB 的斜率
.1
)
2(23)
2(2)23(22
2232
22
3
1k k k k k k k k k
k
k k -=+-++-=
++-+=
μμμ
因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二：
设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则.
设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以
.
2
2)()(0111112k
x y x x y k ==---=
从而
1
)
()
(212112*********+----?--?
=+=+x x y y x x y y k k k k
.044)2(1222
1
222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 28.
（北京理19）
已知椭圆2
2:14x G y +=.过点（m,0）作圆
22
1x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点.
（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
（II ）将
AB
表示为m 的函数，并求
AB
的最大值.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知得 所以
.
322--=b a c
所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-
离心率为
.23==
a c e
（Ⅱ）由题意知，1||≥m .
当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23
,1(),23,
1(-
此时3||=
AB
当m=－1时，同理可得3||=
AB
当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=
由0448)41(.14),
(222222
2
=-+-+?????=+-=m k mx k x k y x m x k y 得
设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则
222212
2214144,418k m k x x k m
k x x +-=+=+
又由l 与圆.
1,11
||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得
相切
所以
2
12212)()(||y y x x AB -+-=
]
41)
44(4)41(64)[1(2222242
k m k k m k k +--++=2
.
3
||342+=
m m
由于当3±=m 时，,3||=
AB
所以
)
,1[]1,(,3
|
|34||2+∞--∞∈+=
m m m AB .
因为
,
2|
|3
||343
|
|34||2≤+
=
+=
m m m m AB
且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2. 32.（湖南理21）
如图7，椭圆22
122:1(0)
x y C a b a b +=>>的离心率
为3
2，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线
段长等于C1的长半轴长。
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的
直线l 与C2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C1相交与D,E ． （i ）证明：MD ⊥ME;
（ii ）记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l,使得12
1732S S =
?请说明理
由。
解 ：（Ⅰ）由题意知
.1,2,2,2,23======
b a a b b a a
c e 解得又从而
故C1，C2的方程分别为.
1,14222
-==+x y y x
（Ⅱ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.
由?????-==12x y kx
y 得
12=--kx x .
设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是
.1,2121-==+x x k x x
又点M 的坐标为（0，—1），所以
2
121212
212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MB
MA +++=
++=+?+=?
.
11
1
22-=-++-=
k k
故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.
（ii ）设直线MA 的斜率为k1，则直线MA 的方程为?????-=-=-=1,
1,12
11x y x k y x k y 由解得
???-==???-==1,10
2
1k y k x y x 或
则点A 的坐标为
)1,(2
11-k k . 又直线MB 的斜率为
11
k -，
同理可得点B 的坐标为
).11,1(2
11--
k k
于是
22
1111111111111||||1||1||222||
k S MA MB k k k k k +=?=+??+?-=
由?????=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k
解得1212
1218,140,14114k x k x y k y k ?
=?+=????=--??=
?+?或
则点D 的坐标为
2112211841(,).1414k k k k -++
又直线ME 的斜率为k 1-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2121211k k k k +-+- 于是
)4)(1(||)1(32||||21
2
1211212++?+=?=k k k k ME MD S . 因此
211221
14(417).64S k S k =++
由题意知，
2221112114171(417),4,.64324k k k k ++===解得或
又由点A 、B 的坐标可知，
21211111
113
,.
12k k k k k k k k -
==-=±+所以
故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==
和
34.（全国大纲理21）
已知O 为坐标原点，F 为椭圆2
2
:1
2y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2
的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=
（Ⅰ）证明：点P 在C 上；
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 解：
（I ）F （0，1），l 的方程为21y x =-+，
代入2
2
1
2y x +=并化简得
242210.x x --=
…………2分
设
112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y
则
122626
,,44x x -+=
=
1212122
,2()21,2x x y y x x +=
+=-++=
由题意得
3123122
(),() 1.2x x x y y y =-+=-
=-+=-
所以点P 的坐标为
2
(,1).2-
-
经验证，点P 的坐标为
2
(,1)2-
-满足方程
2
2
1,
2y x +=故点P 在椭圆C 上。
…………6分
（II ）由
2(,1)2P -
-和题设知， 2
(,1)2Q
PQ 的垂直平分线1l
的方程为
2.2y x =-
①
设AB 的中点为M ，则
21(
,)
42M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为
21.24y x =
+
②
由①、②得
12
,l l 的交点为
21
(,)88N -
。
…………9分
222212222221311||()(1),2888
32
||1(2)||,2
32
||,4
221133||(
)(),48288
311
||||||,8
NP AB x x AM MN NA AM MN =-
++--==+-?-==
=++-==+=
故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，
由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …………12分
36.（山东理22）
已知动直线l 与椭圆C: 22
1
32x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S
?=6
2,其中O 为坐标原点.
（Ⅰ）证明
22
12x x +和
22
12y y +均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得
6
2ODE ODG OEG S S S ???===
?若存在，判断△
DEG 的形状；若不存在，请说明理由.
（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，
所以2121,.x x y y ==-
因为
11(,)
P x y 在椭圆上，
因此22
11132x y +=
①
又因为
6
,2OPQ S ?=
所以
116||||.2x y ?=
②
由①、②得116
||,|| 1.2x y =
=
此时
2222
12123,2,
x x y y +=+=
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+
由题意知m 0≠，将其代入22
1
32x y +=，得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，
其中
2222
3612(23)(2)0,k m k m ?=-+->
即22
32k m +>
…………（*）
又2121222
63(2)
,,2323km m x x x x k k -+=-=++
所以22
2
2
2
12122
2632||1()41,23k m PQ k x x x x k k +-=+?+-=+?+
因为点O 到直线l 的距离为
2||1,m d k =
+
所以
1
||2OPQ S PQ d ?=
?
22
22212632||12231k m m k k k +-=+??++
2226||3223m k m k +-=
+
又
6
,2OPQ S ?=
整理得
22322,k m +=且符合（*）式， 此时22
22
21
2
121222
63(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--?=++
222222
121212222(3)(3)4() 2.
333y y x x x x +=-+-=-+=
综上所述，
2222
12123;2,
x x y y +=+=结论成立。
（II ）解法一：
（1）当直线l 的斜率存在时，
由（I ）知
116
||||,||2||2,2OM x PQ y ==
==
因此
6
||||2 6.2OM PQ ?=
?=
（2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知
123,22x x k
m +=
2221212222
2212122222
22
2222222
332(),2222916211||()()(3),
2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m m
x x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m ++-+1
=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++ 所以
2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m ?=
?-??+
2222
211(3)(2)113225(
).24m m m m =-
+-++≤= 所以
5||||2OM PQ ?≤
，当且仅当2211
32,2
m m m -=+=±即时，等号成立.
综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5
.2
解法二： 因为
222222
121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-
2222
12122[()()]
10.
x x y y =+++=
所以224||||102|||| 5.
25OM PQ OM PQ +?≤==
即
5
||||,
2OM PQ ?≤当且仅当2||||5OM PQ ==时等号成立。 因此 |OM|·|PQ|的最大值为5
.2
（III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得
6
.2ODE ODG OEG S S S ???===
证明：假设存在
11226(,),(,),(,)2ODE ODG OEG D u v E x y G x y S S S ???===
满足，
由（I ）得
222222222222
12121212222222121212123,3,3;2,2,2,
3; 1.
25
,,,,,1,
2
u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从中选取只能从中选取
因此D ，E ，G 只能在
6(,1)2±
±这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与
6
2ODE ODG OEG S S S ???===
矛盾，
所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.
40.（天津理18）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F
分别为
椭圆22
221x y a b +=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；
（Ⅱ）设直线
2
PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2
PF 上的点，满足
2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程．
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用
代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （I ）解：设
12(,0),(,0)(0)F c F c c ->
由题意，可得
212||||,
PF F F =
即
22
()2.a c b c -+= 整理得22()10,1
c c c
a a a +-==-得（舍）， 或1.2c a =所以
1
.
2e = （II ）解：由（I ）知2,3,a c b c ==
可得椭圆方程为
2223412,x y c +=
直线PF2方程为3().y x c =-
A ，
B 两点的坐标满足方程组2223412,3().x y c y x c ?+=??
=-?? 消去y 并整理，得2
580.x cx -=
解得
128
0,.
5x x c == 得方程组的解
21128,0,53,33.5x c x y c y c ?
=?=???
??=-???
=?? 不妨设833
(,),(0,3)
55A c c B c -
设点M 的坐标为833(,),(,),(,3)
55x y AM x c y c BM x y c =--=+则， 由
33(),.3y x c c x y =-=-
得
于是
833833
(
,),15555AM y x y x =--
(,3).BM x x =由2,AM BM ?=-
即833833(
)()3215555y x x y x x -?+-?=-， 化简得
2
18163150.x xy --= 将2218153105,0.
316163x x y c x y c x x -+==-=>代入得
所以0.x >
因此，点M 的轨迹方程是
2
18163150(0).x xy x --=> 42.（重庆理20）如题（20）图，椭圆的中心为原点O ，离心率
e 2
=
2，一条准线的方程
为x =
22．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点P 满足：OP OM ON =+2，其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON
的斜率之积为1
-
2，问：是否存在两个定点,F F
12，使得PF PF 12+为定值？
若存在，求
,F F 12
的坐标；若不存在，说明理由．
解：（I ）由22,22,
2c a e a c ===
解得
222
2,2,2a c b a c ===-=，故椭圆的标准方程为 22 1.42x y +=
（II ）设
1122(,),(,),(,)
P x y M x y N x y ，则由
2OP OM ON =+得
112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.
x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即
因为点M ，N 在椭圆
22
24x y +=上，所以
2222
112224,24
x y x y +=+=，
故
222222
121212122(44)2(44)
x y x x x x y y y y +=+++++
2222
112212121212(2)4(2)4(2)
204(2).
x y x y x x y y x x y y =+++++=++
设
,OM ON
k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知
12121
,2
OM ON y y k k x x ?=
=-因此
121220,
x x y y +=
所以
22
220.x y += 所以P 点是椭圆2
22
2
1
(25)
(10)
x y +
=上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭
圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因
22
(25)(10)10c =-=，因此两焦点的坐标为
12(10,0),(10,0).F F -