弧度制学案
网络图
重点难点
重点：弧度的意义及正确地进行弧度与角度的换算。
难点：弧度的概念及其与角度的关系。
关键：弄懂1弧度的角的意义。
学习要求：理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；了解角的集合与实数集之间可建立一一对应的关系；掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。
本节须注意：1．掌握角度制与弧度制间换算的实质：180°＝π（弧度）。
2．熟练掌握一些特殊角的弧度数，如,,643πππ
等。
3．弧长公式化简为L ＝｜α｜2R（α是圆心角的弧度数）。
4．同一个式子中，角度、弧度两种制度不能混用。
知识点讲解
一、角度制 初中学过角度制，它是一种重要的角度度量制度。规定周角的1360
为１度的角，记做1°这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
二、弧度制
定义
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记做1rad 。
定义的基础
根据圆心角定理，对于任何一个圆心角α，所对弧长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数。因此，弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准。
当角α的大小一定时，不论这个角所对的圆弧的半径是多少，弧长与半径的比值总是一个定值，它仅与圆心角的大小有关，所以我们可以用弧长与半径的比值来度量角的大小。
三、弧度数
如图（1）中， AB 的长等于半径r ，AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即1r r
= 。
在图（2）中，圆心角∠AOC 所对的 AC 的长l ＝2r ，那么∠AOC 的弧度数就是22l r r r
== 。
如果圆心角所对的弧长l ＝2πr （即弧长是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数是22l r r r
ππ== 。 如果圆心角表示一个负数，且它所对的弧的长l ＝4πr ，那么这个角的弧度数的绝对值是44l r r r
ππ== ，即这个角的弧度数是－4π。 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。 角α的弧度数的绝对值l r
α=
（其中l 是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r 是圆的半径）。
四、角度与弧度之间的互化 把角度换成弧度： 把弧度换成角度：
六、角度制与弧度制的比较
弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度
1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1°是圆的1360
所对的圆
心角（或该弧）的大小。
不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值。
用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数。如sin2是指sin（2弧度），π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度（°）为单位表示角时，度（°）就不能省去。
用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成
小数，如弧度，不必写成45°≈0.785弧度。
弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法。弧度制与角度制相比有一定的优点，其一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下公式简单，运用起来简单。
用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但量数相同，对于其它非零角度，由于单位不同，量数也就不同了。
七、角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：
每一个角都有唯一的一个实数（例如这个角的弧度数或度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（例如弧度数或度数等于这个实数的角）与它对应。
八、弧度制下的弧长公式及扇形面积公式
弧长公式：
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积，。
扇形面积公式：
扇形面积等于弧长与半径的积的一半，。
在应用上述公式时，一定要注意α是圆心角的弧度数，若是度数一定先化成弧度数，才能代入公式。
九、须注意的一个问题
在今后表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表
示角时，不能与角度制混用，比如α＝2kπ＋30°（k∈Z），都是不正确的。
例题1：下列诸命题中，假命题是（）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．一度的角是周角的
1
360
，一弧度的角是周角的
1
2
C．根据弧度的定义，180°一定等于弧度
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关
分析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题。
其它A、B、C均为真命题。
∴应选D。
将112°30′化为弧度；（2）将化为度。
（1）∵，
∴112°30′＝。
（2）∵，
∴＝－75°。
小结：弧度与角度互化，要牢记
解答下列各题
(1)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数。
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积。
(3)已知一扇形的周长40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
（1）设扇形圆心角的弧度数为，弧长为l，半径为r，
依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4。
当r＝1时，l＝8（cm）时，舍去。
当r＝4时，l＝2（cm）时，。
（2）设扇形弧长为l ∵72°＝，
∴。
∴。
（3）设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，
∴l＝40－2r，
∴。
∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100cm2，这时
。
小结：以上三个题是弧度制下弧长公式和扇形面积公式的应用，公式简明，运算非常简捷。若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且，则α＝_______。如果角的终边OA与OB关于直线y＝x对称，那么以OB为终边且在0到之间的角为
。
设角的终边为OA，OA关于直线y＝x对称的射线为OB，则以OB为终
边的角的集合为。
∵，∴，
∴。
∴ k∈Z，∴ k＝－2，－1,0，1。
∴。
∴应填：。
（附图，）
已知集合，，则 ( )
A．M＝P B．C．D．M∩P＝
首先研究集合，
我们知道角，k∈Z，它的终边落在坐标轴上，
∴角，k∈Z，它的终边落在直线y＝±x上。
下面研究集合
1)当k＝4n（n∈Z）时，
，它的终边落在y轴上；
2)当k＝4n＋1（n∈Z）时，
，它的终边落在y＝－x上；
3)当k＝4n＋2（n∈Z）时，
，它的终边落在x轴上；
4)当k＝4n＋3（n∈Z）时，
，它的终边落在y＝x上。
综合上面两种情况可得。
∴应选C。
小结：在解题的过程中，根据问题的特点及解题的需要，适时地进行逻辑划分、分类讨论，是解好这类问题的关键一环。